矢量張量公式及推導

矢量張量公式及推導矢量張量公式及推導矢量張量公式及推導矢量張量公式及推導編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:矢量及張量協(xié)變基矢量：，稱為逆變基分量，是協(xié)變基矢量。逆變基矢量：，稱為協(xié)變基分量，是逆變基矢量。愛因斯坦求和約定：省略求和符號，逆變基于協(xié)變基的關(guān)系：標積：坐標轉(zhuǎn)換系數(shù)：轉(zhuǎn)換系數(shù)的性質(zhì)：，因為張量：分量滿足坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系的量，比如矢量置換張量：，其中，同理有由行列式的性質(zhì)及線性，因此是張量分量。定義置換張量：基的叉積：，所以，叉積：，或?qū)懗蓪嶓w形式，雙標量積用前前后后規(guī)則完成?；旌头e：，有以上關(guān)系可得重要關(guān)系：反偶：反對稱二階張量滿足，其中是一矢量，則稱與互為反偶反偶的性質(zhì)：證明：由于是反對稱張量，上式得證同理另外同樣可以證明兩對反偶有：幾個矢量公式及其證明：證明：分量m有證明：另一半同理可得。證明：度量張量：定義為度量張量的分量，顯然：設(shè)，所以，則逆變張量的逆：度量張量與張量分量：，原因克里斯托夫符號：第二類克里斯托夫符號：，稱為第二類克里斯托夫符號第一類克里斯托夫符號：，稱為第一類克里斯托夫符號兩類克里斯托夫符號的關(guān)系，由和定義可知克里斯托夫符號不是張量，仿射坐標中為0，曲坐標中不為0，其分量不可能滿足坐標變換關(guān)系。逆變基導數(shù)：，因為：第一類克里斯托夫符號對稱性：因第二類的對稱性：由于，可知第二類克里斯托夫的坐標轉(zhuǎn)換公式：證明：與克里斯托夫符號的一個關(guān)系：證明：張量對坐標的導數(shù)：分量表現(xiàn)形式的導數(shù)，協(xié)變導數(shù)：由張量的導數(shù)，定義張量的協(xié)變導數(shù)：由張量的協(xié)變導數(shù)和克里斯托夫的坐標轉(zhuǎn)換公式可以證明協(xié)變導數(shù)是張量的分量。為了證明這點，先注意證明：…⑴兩邊同乘并遍歷k求和，得：，代入⑴式得：即：由于協(xié)變導數(shù)是張量分量，所以同樣可由導出，稱為逆變導數(shù)逆變導數(shù)及協(xié)變導數(shù)構(gòu)成的張量實體：梯度散度和旋度：梯度：散度：旋度：幾個協(xié)變導數(shù)：由于張量實體不因坐標變化而變化，如果某張量的各分量在直角坐標系下為0，則該張量為0。容易知道在任意標系下有，，，，由于協(xié)變導數(shù)是張量分量，在任意坐標系下上三式成立。幾個微分向量公式：張量的積分定理：對封閉曲面a有，由于對任意常矢量有由的任意性可知，證明：列出類似關(guān)系式： 和 和 和 斯托克斯公式 和 證明：三角區(qū)域，，邊上的張量取邊中