習(xí)題解答(第1章)

習(xí)題解答(第1章)習(xí)題解答(第1章)習(xí)題解答(第1章)習(xí)題解答(第1章)編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:第1章習(xí)題答案三、解答題1．設(shè)P(AB)=0，則下列說法哪些是正確的(1)A和B不相容；(2)A和B相容；(3)AB是不可能事件；(4)AB不一定是不可能事件；(5)P(A)=0或P(B)=0(6)P(A–B)=P(A)解：(4)(6)正確.2．設(shè)A，B是兩事件，且P(A)=，P(B)=，問：(1)在什么條件下P(AB)取到最大值，最大值是多少(2)在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少解：因為，又因為即所以(1)當(dāng)時P(AB)取到最大值，最大值是=. (2)時P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=+=.3．已知事件A，B滿足，記P(A)=p，試求P(B)．解：因為，即，所以 4．已知P(A)=，P(A–B)=，試求．解：因為P(A–B)=，所以P(A)–P(AB)=,P(AB)=P(A)–,又因為P(A)=，所以P(AB)=–=，.5．從5雙不同的鞋子種任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少解：顯然總?cè)》ㄓ蟹N，以下求至少有兩只配成一雙的取法：法一：分兩種情況考慮：+其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法二：分兩種情況考慮：+其中：為恰有1雙配對的方法數(shù),恰有2雙配對的方法數(shù)法三：分兩種情況考慮：+其中：為恰有1雙配對的方法數(shù)法四：先滿足有1雙配對再除去重復(fù)部分：-法五：考慮對立事件：-其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)法六：考慮對立事件：其中：為沒有一雙配對的方法數(shù)所求概率為 6．在房間里有10個人，分別佩戴從1號到10號的紀(jì)念章，任取3人記錄其紀(jì)念章的號碼．求：(1)求最小號碼為5的概率；(2)求最大號碼為5的概率．解：(1)法一：，法二：(2)法二：，法二：7．將3個球隨機(jī)地放入4個杯子中去，求杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的概率．解：設(shè)M1,M2,M3表示杯子中球的最大個數(shù)分別為1，2，3的事件，則 ,,8．設(shè)5個產(chǎn)品中有3個合格品，2個不合格品，從中不返回地任取2個，求取出的2個中全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品的概率各為多少解：設(shè)M2,M1,M0分別事件表示取出的2個球全是合格品，僅有一個合格品和沒有合格品，則,,9．口袋中有5個白球，3個黑球，從中任取兩個，求取到的兩個球顏色相同的概率．解：設(shè)M1=“取到兩個球顏色相同”，M1=“取到兩個球均為白球”，M2=“取到兩個球均為黑球”，則.所以10．若在區(qū)間(0，1)內(nèi)任取兩個數(shù)，求事件“兩數(shù)之和小于6/5”的概率．解：這是一個幾何概型問題．以x和y表示任取兩個數(shù)，在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系，如圖.任取兩個數(shù)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間={(x，y)：0x，y1}事件A=“兩數(shù)之和小于6/5”={(x，y)：x+y6/5}因此．圖 11．隨機(jī)地向半圓（為常數(shù)）內(nèi)擲一點(diǎn)，點(diǎn)落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于的概率．解：這是一個幾何概型問題．以x和y表示隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn)的坐標(biāo)，表示原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角，在平面上建立xOy直角坐標(biāo)系，如圖.隨機(jī)地向半圓內(nèi)擲一點(diǎn)的所有結(jié)果構(gòu)成樣本空間={(x，y)：}事件A=“原點(diǎn)和該點(diǎn)的連線與軸的夾角小于”={(x，y)：}因此．12．已知，求．解：13．設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取兩件，已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率是多少解：題中要求的“已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品，則另一件也是不合格品的概率”應(yīng)理解為求“已知所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品，則兩件均為不合格品的概率”。設(shè)A=“所取兩件產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”，B=“兩件均為不合格品”；，，14．有兩個箱子，第1箱子有3個白球2個紅球，第2個箱子有4個白球4個紅球，現(xiàn)從第1個箱子中隨機(jī)地取1個球放到第2個箱子里，再從第2個箱子中取出一個球，此球是白球的概率是多少已知上述從第2個箱子中取出的球是白球，則從第1個箱子中取出的球是白球的概率是多少解：設(shè)A=“從第1個箱子中取出的1個球是白球”，B=“從第2個箱子中取出的1個球是白球”，則，由全概率公式得由貝葉斯公式得15．將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為，而B被誤收作A的概率為，信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1，若接收站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少解：設(shè)M=“原發(fā)信息是A”，N=“接收到的信息是A”，已知所以由貝葉斯公式得16．三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為，問三人中至少有一人能將此密碼譯出的概率是多少解：設(shè)Ai=“第i個人能破譯密碼”，i=1,2,3.已知所以至少有一人能將此密碼譯出的概率為17．設(shè)事件A與B相互獨(dú)立，已知P(A)=，P(A∪B)=，求.解：由于A與B相互獨(dú)立，所以P(AB)=P(A)P(B),且P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)將P(A)=，P(A∪B)=代入上式解得P(B)=，由于A與B相互獨(dú)立,所以A與相互獨(dú)立，所以18．甲乙兩人獨(dú)立地對同一目標(biāo)射擊一次，其命中率分別為和，現(xiàn)已知目標(biāo)被命中，則它是甲射中的概率是多少解：設(shè)A=“甲命中目標(biāo)”，B=“乙命中目標(biāo)”，M=“目標(biāo)被命中”，已知P(A)=,P(B)=.由于甲乙兩人是獨(dú)立射擊目標(biāo).所以19．某零件用兩種工藝加工，第一種工藝有三道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為，，；第二種工藝有兩道工序，各道工序出現(xiàn)不合格品的概率分別為，，試問：(1)用哪種工藝加工得到合格品的概率較大些(2)第二種工藝兩道工序出現(xiàn)不合格品的概率都是時，情況又如何解：設(shè)Ai=“第1種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2,3；Bi=“第2種工藝的第i道工序出現(xiàn)合格品”，i=1,2.（1）根據(jù)題意，P(A1)=，P(A2)=，P(A3)=，P(B1)=,P(B2)=,第一種工藝加工得到合格品的概率為P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)=P(B1)P(B2)=可見第二種工藝加工得到合格品的概率大。（2）根據(jù)題意，第一種工藝加工得到合格品的概率仍為，而P(B1)=P(B2)=,第二種工藝加工得到合格品的概率為P(B1B2)=P(B1)P(B2)=可見第一種工藝加工得到合格品的概率大。（B）1．設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件A，B和C滿足條件ABC=，且已知，求P(A)．解：因為ABC=，所以P(ABC)=0,因為A，B，C兩兩相互獨(dú)立，所以由加法公式得即考慮到得2．設(shè)事件A，B，C的概率都是，且，證明：．證明：因為，所以將代入上式得到整理得3．設(shè)0<P(A)<1，0<P(B)<1，P(A|B)+，試證A與B獨(dú)立．證明：因為P(A|B)+，所以將代入上式得兩邊同乘非零的P(B)[1-P(B)]并整理得到所以A與B獨(dú)立.4．設(shè)A，B是任意兩事件，其中A的概率不等于0和1，證明是事件A與B獨(dú)立的充分必要條件．證明：充分性，由于，所以即兩邊同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到所以A與B獨(dú)立.必要性：由于A與B獨(dú)立，即且所以一方面另一方面所以5．一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試．第一次及格的概率為p，若第一次及格則第二次及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為.(1)若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率．(2)若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．解：設(shè)Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知由全概率公式得(1)他取得該資格的概率為(2)若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率為6．每箱產(chǎn)品有10件，其中次品從0到2是等可能的，開箱檢驗時，從中任取一件，如果檢驗為次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品為不合格而拒收．由于檢驗誤差，一件正品被誤判為次品的概率為2%，一件次品被誤判為正品的概率為10%．求檢驗一箱產(chǎn)品能通過驗收的概率．解：設(shè)Ai=“一箱產(chǎn)品有i件次品”，i=0，1，2.設(shè)M=“一件產(chǎn)品為正品”，N=“一件產(chǎn)品被檢驗為正品”.已知由全概率公式又由全概率公式得一箱產(chǎn)品能通過驗收的概率為7．用一種檢驗法檢驗產(chǎn)品中是否含有某種雜質(zhì)的效果如下．若真含有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為含有的概率為；若真含不有雜質(zhì)檢驗結(jié)果為不含有的概率為；據(jù)以往的資料知一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)或真不含有雜質(zhì)的概率分別為和．今獨(dú)立地對一產(chǎn)品進(jìn)行三次檢驗，結(jié)果是兩次檢驗認(rèn)為含有雜質(zhì)，而有一次認(rèn)為不含有雜質(zhì)，求此產(chǎn)品真含有雜質(zhì)的概率．解：A=“一產(chǎn)品真含有雜質(zhì)”，Bi=“對一產(chǎn)品進(jìn)行第i次檢驗認(rèn)為含有雜質(zhì)”，i=1,2,3.已知獨(dú)立進(jìn)行的三次檢驗中兩次認(rèn)為含有雜質(zhì)，一次認(rèn)為不含有雜質(zhì)，不妨假設(shè)前兩次檢驗認(rèn)為含有雜質(zhì)，第三次認(rèn)為檢驗不含有雜質(zhì)，即B1，B2發(fā)生了，而B3未發(fā)生.又知所以所求概率為由于三次檢驗是獨(dú)立進(jìn)行的，所以8．火炮與坦克對戰(zhàn)，假設(shè)坦克與火炮依次發(fā)射，且由火炮先射擊，并允許火炮與坦克各發(fā)射2發(fā)，已知火炮與坦克每次發(fā)射的命中概率不變，它們分別等于和.我們規(guī)定只要命中就被擊毀．試問(1)火炮與坦克被擊毀的概率各等于多少(2)都不被擊毀的概率等于多少解：設(shè)Ai=“第i次射擊目標(biāo)被擊毀”，i=1,2,3,4.已知所以(1)火炮被擊毀的概率為坦克被擊毀的概率為(2)都不被擊毀的概