數(shù)控加工中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第二章數(shù)控加工中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

——楊玲109020002目錄2.1圓弧樣條2.1.1圓弧樣條的構(gòu)造方法2.1.2圓弧樣條的光順處理2.2局部坐標(biāo)下的分段三次樣條2.3B樣條簡(jiǎn)介2.3.1B樣條的定義2.3.2B樣條的幾個(gè)重要性質(zhì)2.3.3B樣條曲線(xiàn)類(lèi)型的劃分2.4有理B樣條曲線(xiàn)、曲面2.4.1NURBS曲線(xiàn)與曲面2.4.2NURBS曲線(xiàn)的定義2.4.3權(quán)因子的幾何意義2.4.4非均勻有理B樣條（NURBS）曲面2.5拋物線(xiàn)擬合2.6曲線(xiàn)的2次逼近

2.1圓弧樣條圓弧樣條就是用圓弧這一最簡(jiǎn)單的二次多項(xiàng)式模擬樣條，分段組成一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)。圓弧樣條是我國(guó)在1977年創(chuàng)造的一種擬合方法，在具有圓弧插補(bǔ)功能的數(shù)控系統(tǒng)中，采用圓弧樣條可以直接輸出圓弧信息，避免了用其他擬合方法還需進(jìn)行二次逼近處理的過(guò)程，減少了誤差環(huán)節(jié)。2.1.1圓弧樣條的構(gòu)造方法圓弧樣條是已知型值點(diǎn)Pi（xi,yi）(i=1,2,...,n),過(guò)每一個(gè)Pi點(diǎn)作一段圓弧，且使相鄰圓弧在相鄰節(jié)點(diǎn)（如Pi和Pi+1）的弦平分線(xiàn)上相交并相切，則使整條曲線(xiàn)在各連接點(diǎn)處達(dá)到位置和切線(xiàn)的連續(xù)。如圖2-1所示，圓弧段分別過(guò)點(diǎn)P1,P2,...,Pn-1,Pn，過(guò)點(diǎn)P1及P2的兩段圓弧在P1P2弦平分線(xiàn)上相交并相切。這就是圓弧樣條的構(gòu)造方法。2.1.2圓弧樣條的光順處理圓弧樣條擬合時(shí)，規(guī)定過(guò)每一型值點(diǎn)Pi（i=0,1,...,n）作一段圓弧。當(dāng)曲線(xiàn)轉(zhuǎn)折較大時(shí)，如果型值點(diǎn)給得較稀，可能出現(xiàn)型值點(diǎn)處曲率變號(hào)情況，這時(shí)擬合出的曲線(xiàn)可能出現(xiàn)拐點(diǎn)。為了防止這一現(xiàn)象，通常限制和的比值若超出此范圍，則可在Pi和Pi+1點(diǎn)之間加密一個(gè)點(diǎn)。補(bǔ)加點(diǎn)可取在Pi、Pi+1處弦切角和組成的三角形內(nèi)心上，也可取在PiPi+1的中垂線(xiàn)上。插入補(bǔ)加點(diǎn)后，要重排點(diǎn)的次序，重新進(jìn)行計(jì)算。下面是補(bǔ)加點(diǎn)在中垂線(xiàn)上時(shí)的計(jì)算過(guò)程。

如圖所示，在局部坐標(biāo)系中，補(bǔ)加點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)PiPi+1與參考坐標(biāo)系中x軸的夾角為時(shí)，有在參考坐標(biāo)系中，補(bǔ)加點(diǎn)的坐標(biāo)為2.2局部坐標(biāo)下的分段三次樣條這一擬合方法是在給定的每?jī)上噜徶迭c(diǎn)間建立局部坐標(biāo)系內(nèi)的三次曲線(xiàn)方程，通過(guò)迭代使每?jī)蓚€(gè)中間型值點(diǎn)左右兩端曲線(xiàn)達(dá)位置及切線(xiàn)連續(xù)，且點(diǎn)點(diǎn)通過(guò)型值點(diǎn)。這樣求出來(lái)的曲線(xiàn)連續(xù)且與實(shí)際要求的曲線(xiàn)誤差較小。2.3B樣條簡(jiǎn)介Bezier曲線(xiàn)或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點(diǎn)不足：Bezier曲線(xiàn)或曲面不能作局部修改；Bezier曲線(xiàn)或曲面的拼接比較復(fù)雜1972年，Gordon、Riesenfeld等人發(fā)展了1946年Schoenberg提出的樣條方法,提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部?jī)?yōu)點(diǎn)的同時(shí)，克服了Bezier方法的弱點(diǎn)。2.3.1B樣條的定義如何理解B-樣條？樣條插值，三對(duì)角方程(函數(shù)、參數(shù))給定分劃，所有的B樣條的全體組成一個(gè)線(xiàn)性空間，線(xiàn)性空間有基函數(shù)，這就是B樣條基函數(shù)由B樣條基函數(shù)代替Bezier曲線(xiàn)中的Bernstein基函數(shù)，即B樣條曲線(xiàn)。B樣條曲線(xiàn)線(xiàn)的方程程定義為為：是控制多多邊形的的頂點(diǎn)(i=0,1,..,n)稱(chēng)為k階（k-1次)B樣條基函函數(shù)B樣條基函函數(shù)是一一個(gè)稱(chēng)為為節(jié)點(diǎn)矢矢量的非非遞減的的參數(shù)t的序列所所決定的的k階分段多多項(xiàng)式，，也即為為k階（k-1次)多項(xiàng)式樣樣條。德布爾和和考克斯斯（deBoor&Cox）遞推定義義并約定2.3.2B樣條的的幾個(gè)重重要性質(zhì)質(zhì)局部性。。k階階B樣條條曲線(xiàn)上上參數(shù)為為的一點(diǎn)至至多與k個(gè)控制制頂點(diǎn)有關(guān)，與與其它控控制頂點(diǎn)點(diǎn)無(wú)關(guān)；；移動(dòng)該該曲線(xiàn)的的第i個(gè)個(gè)控制頂頂點(diǎn)Pi至多影影響到定定義在區(qū)區(qū)間上那部分分曲線(xiàn)的的形狀，，對(duì)曲線(xiàn)線(xiàn)的其余余部分不不發(fā)生影影響。局部支承承性連續(xù)性P(t)在r重重節(jié)點(diǎn)處處的連續(xù)續(xù)階不低低于k-1-r。凸包性P(t)在區(qū)間間上上的部分分位于k個(gè)點(diǎn)的的凸凸包內(nèi)內(nèi)，整整條曲線(xiàn)線(xiàn)則位于于各凸包包的的并并集之內(nèi)內(nèi)。權(quán)性分段參數(shù)數(shù)多項(xiàng)式式P(t)在每一區(qū)區(qū)間上都都是次數(shù)數(shù)不高于于k-1的參數(shù)t的多項(xiàng)式式導(dǎo)數(shù)公式式微分公式式2.3.3B樣條曲曲線(xiàn)類(lèi)型型的劃分分B樣條曲線(xiàn)線(xiàn)類(lèi)型的的劃分曲線(xiàn)按其其首末端端點(diǎn)是否否重合，，區(qū)分為為閉曲線(xiàn)線(xiàn)和開(kāi)曲曲線(xiàn)。B樣條曲線(xiàn)線(xiàn)按其節(jié)節(jié)點(diǎn)矢量量中節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的分布布情況，，可劃分分為四種種類(lèi)型。。均勻B樣條曲線(xiàn)線(xiàn)節(jié)點(diǎn)矢量量中節(jié)點(diǎn)點(diǎn)為沿參參數(shù)軸軸均勻勻或等距距分布，，所有節(jié)節(jié)點(diǎn)區(qū)區(qū)間長(zhǎng)度度為常數(shù)數(shù)。這樣樣的節(jié)點(diǎn)點(diǎn)矢量定定義了均均勻的B樣條基。。準(zhǔn)均勻B樣條與均勻B樣條曲曲線(xiàn)的差差別在于于兩端節(jié)節(jié)點(diǎn)具有有重復(fù)度度k，這這樣的節(jié)節(jié)點(diǎn)矢量量定義了了準(zhǔn)均勻勻的B樣樣條基。。均勻B樣條曲曲線(xiàn)沒(méi)有有保留Bezier曲曲線(xiàn)端點(diǎn)點(diǎn)的幾何何性質(zhì)，，即樣條條曲線(xiàn)的的首末端端點(diǎn)不再再是控制制多邊形形的首末末端點(diǎn)。。采用準(zhǔn)準(zhǔn)均勻的的B樣條條曲線(xiàn)解解決了這個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題分段段Bezier曲線(xiàn)線(xiàn)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)矢矢量量中中兩兩端端節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)具具有有重重復(fù)復(fù)度度k，所所有有內(nèi)內(nèi)節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)重重復(fù)復(fù)度度為為k-1，這這樣樣的的節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)矢矢量量定定義義了了分分段段的的Bernstein基。。B樣樣條條曲曲線(xiàn)線(xiàn)用用分分段段Bezier曲曲線(xiàn)線(xiàn)表表示示后后，，各各曲曲線(xiàn)線(xiàn)段段就就具具有有了了相相對(duì)對(duì)的的獨(dú)獨(dú)立立性性，，移移動(dòng)動(dòng)曲曲線(xiàn)線(xiàn)段段內(nèi)內(nèi)的的一一個(gè)個(gè)控控制制頂頂點(diǎn)點(diǎn)只只影影響響該該曲曲線(xiàn)線(xiàn)段段的的形形狀狀，，對(duì)對(duì)其其它它曲曲線(xiàn)線(xiàn)段段的的形形狀狀沒(méi)沒(méi)有有影影響響。。并并且且Bezier曲曲線(xiàn)線(xiàn)一一整整套套簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單有有效效的的算算法法都都可可以以原原封封不不動(dòng)動(dòng)地地采采用用。。缺缺點(diǎn)點(diǎn)是是增增加加了了定定義義曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，，控控制制頂頂點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)及及節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)數(shù)數(shù)。。非均均勻勻B樣樣條條曲曲線(xiàn)線(xiàn)任意意分分布布的的節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)矢矢量量，，只只要要在在數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)上上成成立立（（節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)序序列列非非遞遞減減，，兩兩端端節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)重重復(fù)復(fù)度度≤≤k，，內(nèi)內(nèi)節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)重重復(fù)復(fù)度度≤≤k-1））都都可可選選取取。。這這樣樣的的節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)矢矢量量定定義義了了非非均均勻勻B樣樣條條基基。。2.4有有理理B樣樣條條曲曲線(xiàn)線(xiàn)、、曲曲面面給定定參參數(shù)數(shù)軸軸u和v的節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)矢矢量量p×q階B樣條條曲曲面面定義義如如下下構(gòu)成成一一張張控控制制網(wǎng)網(wǎng)格格，，稱(chēng)稱(chēng)為為B樣樣條條曲曲面面的的特征征網(wǎng)網(wǎng)格格。和和是是B樣樣條條基基，，分分別別由由節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)矢矢量量U和和V按按deBoor-Cox遞遞推推公公式式?jīng)Q決定定。。2.4.1NURBS曲曲線(xiàn)線(xiàn)與與曲曲面面B樣條條曲曲線(xiàn)線(xiàn)包包括括其其特特例例的的Bezier曲線(xiàn)線(xiàn)都都不不能能精精確確表表示示出出拋拋物物線(xiàn)線(xiàn)外外的的二二次次曲曲線(xiàn)線(xiàn)，，B樣條條曲曲面面包包括括其其特特例例的的Bezier曲面面都都不不能能精精確確表表示示出出拋拋物物面面外外的的二二次次曲曲面面，，而而只只能能給給出出近近似似表表示示。。提出出NURBS方法法，，即即非均均勻勻有有理理B樣條條方法法主主要要是是為為了了找找到到與與描描述述自自由由型型曲曲線(xiàn)線(xiàn)曲曲面面的的B樣條條方方法法既既相相統(tǒng)統(tǒng)一一、、又又能能精精確確表表示示二二次次曲曲線(xiàn)線(xiàn)弧弧與與二二次次曲曲面面的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)方方法法。。NURBS方法法的的主主要要優(yōu)優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)既為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)解解析析形形狀狀(即前前面面提提到到的的初初等等曲曲線(xiàn)線(xiàn)曲曲面面)，又又為為自自由由型型曲曲線(xiàn)線(xiàn)曲曲面面的的精精確確表表示示與與設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)提提供供了了一一個(gè)個(gè)公公共共的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)形形式式修改改控控制制頂頂點(diǎn)點(diǎn)和和權(quán)權(quán)因因子子，，為為各各種種形形狀狀設(shè)設(shè)計(jì)計(jì)提提供供了了充充分分的的靈靈活活性性。。具有有明明顯顯的的幾幾何何解解釋釋和和強(qiáng)強(qiáng)有有力力的的幾幾何何配配套套技技術(shù)術(shù)對(duì)幾何何變換換和投投影變變換具具有不不變性性。非有理理B樣條、、有理理與非非有理理Bezier方法是是其特特例。。應(yīng)用NURBS中還還有一一些難難以解解決的的問(wèn)題題：比傳統(tǒng)統(tǒng)的曲曲線(xiàn)曲曲面定定義方方法需需要更更多的的存儲(chǔ)儲(chǔ)空間間權(quán)因子子選擇擇不當(dāng)當(dāng)會(huì)引引起畸畸變對(duì)搭接接、重重疊形形狀的的處理理很麻麻煩。。反求曲曲線(xiàn)曲曲面上上點(diǎn)的的參數(shù)數(shù)值的的算法法，存存在數(shù)數(shù)值不不穩(wěn)定定問(wèn)題題(MAF方法)2.4.2NURBS曲線(xiàn)線(xiàn)的定定義NURBS曲線(xiàn)線(xiàn)是由由分段段有理理B樣樣條多多項(xiàng)式式基函函數(shù)定定義的的Ri,k(t)具有k階B樣條基基函數(shù)數(shù)類(lèi)似似的性性質(zhì)：：局部支支承性性：Ri,k(t)=0，t[ti,ti+k]權(quán)性：：可微性性：如如果分分母不不為零零，在在節(jié)點(diǎn)點(diǎn)區(qū)間間內(nèi)是是無(wú)限限次連連續(xù)可可微的的，在在節(jié)點(diǎn)點(diǎn)處(k-1-r)次連續(xù)續(xù)可導(dǎo)導(dǎo)，r是該節(jié)節(jié)點(diǎn)的的重復(fù)復(fù)度。。若i=0，則Ri,k(t)=0；若i=+，則Ri,k(t)=1；NURBS曲線(xiàn)與與B樣條曲曲線(xiàn)具具有類(lèi)類(lèi)似的的幾何何性質(zhì)質(zhì)：局部性性質(zhì)。。變差減減小性性質(zhì)。。凸包性性。在仿射射與透透射變變換下下的不不變性性。在曲線(xiàn)線(xiàn)定義義域內(nèi)內(nèi)有與與有理理基函函數(shù)同同樣的的可微微性。。如果某某個(gè)權(quán)權(quán)因子子為零零，那那么相相應(yīng)控控制頂頂點(diǎn)對(duì)對(duì)曲線(xiàn)線(xiàn)沒(méi)有有影響響。若，，則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，，非有理理與有有理Bezier曲線(xiàn)和和非有有理B樣條曲曲線(xiàn)是是NURBS曲線(xiàn)的的特殊殊情況況2.4.3權(quán)因子子的幾幾何意意義如果固固定曲曲線(xiàn)的的參數(shù)數(shù)t，，而使使變變化，，則NURBS曲線(xiàn)線(xiàn)方程程變成成以為參數(shù)數(shù)的直直線(xiàn)方方程，，即NURBS曲線(xiàn)線(xiàn)上t值相相同的的點(diǎn)都都位于于同一一直線(xiàn)線(xiàn)上。。分別是是對(duì)應(yīng)曲曲線(xiàn)上上的點(diǎn)點(diǎn)，即即N，Bi可表示示為：：(Pi，Bi，N，，B)四點(diǎn)點(diǎn)的交交比（1）若i增大或或減小小，則則也增大大或減減小，，所以以曲線(xiàn)線(xiàn)被拉拉向或或推離離開(kāi)Pi點(diǎn)；（2）若j增大或或減小小，曲曲線(xiàn)被被推離離或拉拉向Pj（ji）。2.4.4非均勻勻有理理B樣樣條（（NURBS））曲面面NURBS曲面面的定定義規(guī)定四四角點(diǎn)點(diǎn)處用用正權(quán)權(quán)因子子，即即，其余余。。NURBS曲面面的性性質(zhì)與非有有理B樣條條基函函數(shù)相相類(lèi)似似的性性質(zhì)：：局部支支承性性質(zhì)權(quán)性可微性性.在重復(fù)復(fù)度為為r的u節(jié)點(diǎn)處處沿u向是p-r-1次連續(xù)續(xù)可微微，在在重復(fù)復(fù)度為為r的v節(jié)點(diǎn)處處沿v向是q-r-1次連續(xù)續(xù)可微微極值.若p，q>1，恒有有一個(gè)個(gè)極大大值存存在是雙變變量B樣條基基函數(shù)數(shù)的推推廣2.5拋拋物線(xiàn)線(xiàn)擬合合拋物線(xiàn)線(xiàn)擬合合是美美國(guó)福福特汽汽車(chē)公公司奧奧維豪豪瑟在在1986年發(fā)發(fā)表的的一種種方法法，用用于配配有一一般2次曲曲線(xiàn)插插補(bǔ)裝裝置的的數(shù)控控設(shè)備備。對(duì)對(duì)于給給定的的型值值點(diǎn)和和端點(diǎn)點(diǎn)條件件，一一般樣樣條采采用整整體擬擬合法法，建建立方方程組組，然然后解解出各各節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的連連續(xù)條條件，，得出出整條條曲線(xiàn)線(xiàn)的分分段函函數(shù)。。拋物物線(xiàn)擬擬合法法是一一種局局部方方法，，被擬擬合曲曲線(xiàn)可可以逐逐段延延伸，，不斷斷給出出數(shù)據(jù)據(jù)，便便于修修改和和進(jìn)行行計(jì)算算機(jī)交交互圖圖形設(shè)設(shè)計(jì)。。2.6曲曲線(xiàn)線(xiàn)的的2次次逼逼近近采用用以以上上方方法法擬擬合合曲曲線(xiàn)線(xiàn)，，可可以以稱(chēng)稱(chēng)之之為為一一次次擬擬合合，，而而數(shù)數(shù)控控機(jī)機(jī)床床及及繪繪圖圖機(jī)機(jī)上上，，一一般般具具有有直直線(xiàn)線(xiàn)插插補(bǔ)補(bǔ)或或圓圓弧弧插插補(bǔ)補(bǔ)功功能能；；加加工工時(shí)時(shí)輸輸出出結(jié)結(jié)果