數(shù)控加工中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

第二章數(shù)控加工中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

——楊玲109020002目錄2.1圓弧樣條2.1.1圓弧樣條的構(gòu)造方法2.1.2圓弧樣條的光順處理2.2局部坐標(biāo)下的分段三次樣條2.3B樣條簡介2.3.1B樣條的定義2.3.2B樣條的幾個重要性質(zhì)2.3.3B樣條曲線類型的劃分2.4有理B樣條曲線、曲面2.4.1NURBS曲線與曲面2.4.2NURBS曲線的定義2.4.3權(quán)因子的幾何意義2.4.4非均勻有理B樣條（NURBS）曲面2.5拋物線擬合2.6曲線的2次逼近

2.1圓弧樣條圓弧樣條就是用圓弧這一最簡單的二次多項式模擬樣條，分段組成一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)。圓弧樣條是我國在1977年創(chuàng)造的一種擬合方法，在具有圓弧插補功能的數(shù)控系統(tǒng)中，采用圓弧樣條可以直接輸出圓弧信息，避免了用其他擬合方法還需進(jìn)行二次逼近處理的過程，減少了誤差環(huán)節(jié)。2.1.1圓弧樣條的構(gòu)造方法圓弧樣條是已知型值點Pi（xi,yi）(i=1,2,...,n),過每一個Pi點作一段圓弧，且使相鄰圓弧在相鄰節(jié)點（如Pi和Pi+1）的弦平分線上相交并相切，則使整條曲線在各連接點處達(dá)到位置和切線的連續(xù)。如圖2-1所示，圓弧段分別過點P1,P2,...,Pn-1,Pn，過點P1及P2的兩段圓弧在P1P2弦平分線上相交并相切。這就是圓弧樣條的構(gòu)造方法。2.1.2圓弧樣條的光順處理圓弧樣條擬合時，規(guī)定過每一型值點Pi（i=0,1,...,n）作一段圓弧。當(dāng)曲線轉(zhuǎn)折較大時，如果型值點給得較稀，可能出現(xiàn)型值點處曲率變號情況，這時擬合出的曲線可能出現(xiàn)拐點。為了防止這一現(xiàn)象，通常限制和的比值若超出此范圍，則可在Pi和Pi+1點之間加密一個點。補加點可取在Pi、Pi+1處弦切角和組成的三角形內(nèi)心上，也可取在PiPi+1的中垂線上。插入補加點后，要重排點的次序，重新進(jìn)行計算。下面是補加點在中垂線上時的計算過程。

如圖所示，在局部坐標(biāo)系中，補加點的坐標(biāo)為

設(shè)PiPi+1與參考坐標(biāo)系中x軸的夾角為時，有在參考坐標(biāo)系中，補加點的坐標(biāo)為2.2局部坐標(biāo)下的分段三次樣條這一擬合方法是在給定的每兩相鄰值點間建立局部坐標(biāo)系內(nèi)的三次曲線方程，通過迭代使每兩個中間型值點左右兩端曲線達(dá)位置及切線連續(xù)，且點點通過型值點。這樣求出來的曲線連續(xù)且與實際要求的曲線誤差較小。2.3B樣條簡介Bezier曲線或曲面有許多優(yōu)越性，但有兩點不足：Bezier曲線或曲面不能作局部修改；Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜1972年，Gordon、Riesenfeld等人發(fā)展了1946年Schoenberg提出的樣條方法,提出了B樣條方法，在保留Bezier方法全部優(yōu)點的同時，克服了Bezier方法的弱點。2.3.1B樣條的定義如何理解B-樣條？樣條插值，三對角方程(函數(shù)、參數(shù))給定分劃，所有的B樣條的全體組成一個線性空間，線性空間有基函數(shù)，這就是B樣條基函數(shù)由B樣條基函數(shù)代替Bezier曲線中的Bernstein基函數(shù)，即B樣條曲線。B樣條曲線線的方程程定義為為：是控制多多邊形的的頂點(i=0,1,..,n)稱為k階（k-1次)B樣條基函函數(shù)B樣條基函函數(shù)是一一個稱為為節(jié)點矢矢量的非非遞減的的參數(shù)t的序列所所決定的的k階分段多多項式，，也即為為k階（k-1次)多項式樣樣條。德布爾和和考克斯斯（deBoor&Cox）遞推定義義并約定2.3.2B樣條的的幾個重重要性質(zhì)質(zhì)局部性。。k階階B樣條條曲線上上參數(shù)為為的一點至至多與k個控制制頂點有關(guān)，與與其它控控制頂點點無關(guān)；；移動該該曲線的的第i個個控制頂頂點Pi至多影影響到定定義在區(qū)區(qū)間上那部分分曲線的的形狀，，對曲線線的其余余部分不不發(fā)生影影響。局部支承承性連續(xù)性P(t)在r重重節(jié)點處處的連續(xù)續(xù)階不低低于k-1-r。凸包性P(t)在區(qū)間間上上的部分分位于k個點的的凸凸包內(nèi)內(nèi)，整整條曲線線則位于于各凸包包的的并并集之內(nèi)內(nèi)。權(quán)性分段參數(shù)數(shù)多項式式P(t)在每一區(qū)區(qū)間上都都是次數(shù)數(shù)不高于于k-1的參數(shù)t的多項式式導(dǎo)數(shù)公式式微分公式式2.3.3B樣條曲曲線類型型的劃分分B樣條曲線線類型的的劃分曲線按其其首末端端點是否否重合，，區(qū)分為為閉曲線線和開曲曲線。B樣條曲線線按其節(jié)節(jié)點矢量量中節(jié)點點的分布布情況，，可劃分分為四種種類型。。均勻B樣條曲線線節(jié)點矢量量中節(jié)點點為沿參參數(shù)軸軸均勻勻或等距距分布，，所有節(jié)節(jié)點區(qū)區(qū)間長度度為常數(shù)數(shù)。這樣樣的節(jié)點點矢量定定義了均均勻的B樣條基。。準(zhǔn)均勻B樣條與均勻B樣條曲曲線的差差別在于于兩端節(jié)節(jié)點具有有重復(fù)度度k，這這樣的節(jié)節(jié)點矢量量定義了了準(zhǔn)均勻勻的B樣樣條基。。均勻B樣條曲曲線沒有有保留Bezier曲曲線端點點的幾何何性質(zhì)，，即樣條條曲線的的首末端端點不再再是控制制多邊形形的首末末端點。。采用準(zhǔn)準(zhǔn)均勻的的B樣條條曲線解解決了這個個問問題題分段段Bezier曲線線節(jié)點點矢矢量量中中兩兩端端節(jié)節(jié)點點具具有有重重復(fù)復(fù)度度k，所所有有內(nèi)內(nèi)節(jié)節(jié)點點重重復(fù)復(fù)度度為為k-1，這這樣樣的的節(jié)節(jié)點點矢矢量量定定義義了了分分段段的的Bernstein基。。B樣樣條條曲曲線線用用分分段段Bezier曲曲線線表表示示后后，，各各曲曲線線段段就就具具有有了了相相對對的的獨獨立立性性，，移移動動曲曲線線段段內(nèi)內(nèi)的的一一個個控控制制頂頂點點只只影影響響該該曲曲線線段段的的形形狀狀，，對對其其它它曲曲線線段段的的形形狀狀沒沒有有影影響響。。并并且且Bezier曲曲線線一一整整套套簡簡單單有有效效的的算算法法都都可可以以原原封封不不動動地地采采用用。。缺缺點點是是增增加加了了定定義義曲曲線線的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，，控控制制頂頂點點數(shù)數(shù)及及節(jié)節(jié)點點數(shù)數(shù)。。非均均勻勻B樣樣條條曲曲線線任意意分分布布的的節(jié)節(jié)點點矢矢量量，，只只要要在在數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)上上成成立立（（節(jié)節(jié)點點序序列列非非遞遞減減，，兩兩端端節(jié)節(jié)點點重重復(fù)復(fù)度度≤≤k，，內(nèi)內(nèi)節(jié)節(jié)點點重重復(fù)復(fù)度度≤≤k-1））都都可可選選取取。。這這樣樣的的節(jié)節(jié)點點矢矢量量定定義義了了非非均均勻勻B樣樣條條基基。。2.4有有理理B樣樣條條曲曲線線、、曲曲面面給定定參參數(shù)數(shù)軸軸u和v的節(jié)節(jié)點點矢矢量量p×q階B樣條條曲曲面面定義義如如下下構(gòu)成成一一張張控控制制網(wǎng)網(wǎng)格格，，稱稱為為B樣樣條條曲曲面面的的特征征網(wǎng)網(wǎng)格格。和和是是B樣樣條條基基，，分分別別由由節(jié)節(jié)點點矢矢量量U和和V按按deBoor-Cox遞遞推推公公式式?jīng)Q決定定。。2.4.1NURBS曲曲線線與與曲曲面面B樣條條曲曲線線包包括括其其特特例例的的Bezier曲線線都都不不能能精精確確表表示示出出拋拋物物線線外外的的二二次次曲曲線線，，B樣條條曲曲面面包包括括其其特特例例的的Bezier曲面面都都不不能能精精確確表表示示出出拋拋物物面面外外的的二二次次曲曲面面，，而而只只能能給給出出近近似似表表示示。。提出出NURBS方法法，，即即非均均勻勻有有理理B樣條條方法法主主要要是是為為了了找找到到與與描描述述自自由由型型曲曲線線曲曲面面的的B樣條條方方法法既既相相統(tǒng)統(tǒng)一一、、又又能能精精確確表表示示二二次次曲曲線線弧弧與與二二次次曲曲面面的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)方方法法。。NURBS方法法的的主主要要優(yōu)優(yōu)點點既為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)解解析析形形狀狀(即前前面面提提到到的的初初等等曲曲線線曲曲面面)，又又為為自自由由型型曲曲線線曲曲面面的的精精確確表表示示與與設(shè)設(shè)計計提提供供了了一一個個公公共共的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)形形式式修改改控控制制頂頂點點和和權(quán)權(quán)因因子子，，為為各各種種形形狀狀設(shè)設(shè)計計提提供供了了充充分分的的靈靈活活性性。。具有有明明顯顯的的幾幾何何解解釋釋和和強(qiáng)強(qiáng)有有力力的的幾幾何何配配套套技技術(shù)術(shù)對幾何何變換換和投投影變變換具具有不不變性性。非有理理B樣條、、有理理與非非有理理Bezier方法是是其特特例。。應(yīng)用NURBS中還還有一一些難難以解解決的的問題題：比傳統(tǒng)統(tǒng)的曲曲線曲曲面定定義方方法需需要更更多的的存儲儲空間間權(quán)因子子選擇擇不當(dāng)當(dāng)會引引起畸畸變對搭接接、重重疊形形狀的的處理理很麻麻煩。。反求曲曲線曲曲面上上點的的參數(shù)數(shù)值的的算法法，存存在數(shù)數(shù)值不不穩(wěn)定定問題題(MAF方法)2.4.2NURBS曲線線的定定義NURBS曲線線是由由分段段有理理B樣樣條多多項式式基函函數(shù)定定義的的Ri,k(t)具有k階B樣條基基函數(shù)數(shù)類似似的性性質(zhì)：：局部支支承性性：Ri,k(t)=0，t[ti,ti+k]權(quán)性：：可微性性：如如果分分母不不為零零，在在節(jié)點點區(qū)間間內(nèi)是是無限限次連連續(xù)可可微的的，在在節(jié)點點處(k-1-r)次連續(xù)續(xù)可導(dǎo)導(dǎo)，r是該節(jié)節(jié)點的的重復(fù)復(fù)度。。若i=0，則Ri,k(t)=0；若i=+，則Ri,k(t)=1；NURBS曲線與與B樣條曲曲線具具有類類似的的幾何何性質(zhì)質(zhì)：局部性性質(zhì)。。變差減減小性性質(zhì)。。凸包性性。在仿射射與透透射變變換下下的不不變性性。在曲線線定義義域內(nèi)內(nèi)有與與有理理基函函數(shù)同同樣的的可微微性。。如果某某個權(quán)權(quán)因子子為零零，那那么相相應(yīng)控控制頂頂點對對曲線線沒有有影響響。若，，則當(dāng)當(dāng)時時，，非有理理與有有理Bezier曲線和和非有有理B樣條曲曲線是是NURBS曲線的的特殊殊情況況2.4.3權(quán)因子子的幾幾何意意義如果固固定曲曲線的的參數(shù)數(shù)t，，而使使變變化，，則NURBS曲線線方程程變成成以為參數(shù)數(shù)的直直線方方程，，即NURBS曲線線上t值相相同的的點都都位于于同一一直線線上。。分別是是對應(yīng)曲曲線上上的點點，即即N，Bi可表示示為：：(Pi，Bi，N，，B)四點點的交交比（1）若i增大或或減小小，則則也增大大或減減小，，所以以曲線線被拉拉向或或推離離開Pi點；（2）若j增大或或減小小，曲曲線被被推離離或拉拉向Pj（ji）。2.4.4非均勻勻有理理B樣樣條（（NURBS））曲面面NURBS曲面面的定定義規(guī)定四四角點點處用用正權(quán)權(quán)因子子，即即，其余余。。NURBS曲面面的性性質(zhì)與非有有理B樣條條基函函數(shù)相相類似似的性性質(zhì)：：局部支支承性性質(zhì)權(quán)性可微性性.在重復(fù)復(fù)度為為r的u節(jié)點處處沿u向是p-r-1次連續(xù)續(xù)可微微，在在重復(fù)復(fù)度為為r的v節(jié)點處處沿v向是q-r-1次連續(xù)續(xù)可微微極值.若p，q>1，恒有有一個個極大大值存存在是雙變變量B樣條基基函數(shù)數(shù)的推推廣2.5拋拋物線線擬合合拋物線線擬合合是美美國福福特汽汽車公公司奧奧維豪豪瑟在在1986年發(fā)發(fā)表的的一種種方法法，用用于配配有一一般2次曲曲線插插補裝裝置的的數(shù)控控設(shè)備備。對對于給給定的的型值值點和和端點點條件件，一一般樣樣條采采用整整體擬擬合法法，建建立方方程組組，然然后解解出各各節(jié)點點的連連續(xù)條條件，，得出出整條條曲線線的分分段函函數(shù)。。拋物物線擬擬合法法是一一種局局部方方法，，被擬擬合曲曲線可可以逐逐段延延伸，，不斷斷給出出數(shù)據(jù)據(jù)，便便于修修改和和進(jìn)行行計算算機(jī)交交互圖圖形設(shè)設(shè)計。。2.6曲曲線線的的2次次逼逼近近采用用以以上上方方法法擬擬合合曲曲線線，，可可以以稱稱之之為為一一次次擬擬合合，，而而數(shù)數(shù)控控機(jī)機(jī)床床及及繪繪圖圖機(jī)機(jī)上上，，一一般般具具有有直直線線插插補補或或圓圓弧弧插插補補功功能能；；加加工工時時輸輸出出結(jié)結(jié)果