函數(shù)與極限知識點

關(guān)于函數(shù)與極限知識點第一頁，共五十四頁，2022年，8月28日第一節(jié)函數(shù)一．函數(shù)概念：１．常量與變量：常量：某一變化過程中保持?jǐn)?shù)值不變的量.變量：在某一變化過程中取不同數(shù)值的量．一個量是常量還是變量只是相對而言的．例：同一地點的ｇ=9.8米/秒2(初等數(shù)學(xué)研究的主要對象)例：自由落體Ｓ=gt2/2中的S與t都是變量.第二頁，共五十四頁，2022年，8月28日２．函數(shù)的概念：函數(shù)關(guān)系——變量之間的依賴關(guān)系函數(shù)定義：設(shè)ｘ與ｙ是兩個變量，如果對于ｘ在數(shù)集Ｘ中所取的每一個值，通過ｘ與ｙ之間的某一對應(yīng)律ｆ,都有一個

(或多個)確定的y值與之對應(yīng),則稱f是Ｘ上的函數(shù).記作：y=f(x)，xX．

ｘ稱為自變量，ｙ稱為因變量．Ｘ稱為函數(shù)的定義域．而所有對應(yīng)的ｙ值組成的數(shù)集Ｙ則稱為函數(shù)的值域．

第三頁，共五十四頁，2022年，8月28日３．函數(shù)的表示方法：解析法(如y=f(x))列表法圖象法其他函數(shù)的表示法解析法可用一個式子表示也可用多個式子表示.例如:cosx-π≤x≤010＜x＜11/xx≥1f(x)=(分段函數(shù))注：分段函數(shù)雖然由多個式子組成的，但它不是多個函數(shù)，而是一個函數(shù)．√第四頁，共五十四頁，2022年，8月28日冪函數(shù)：ｙ=

xa

指數(shù)函數(shù)：ｙ=ax對數(shù)函數(shù)：ｙ=logax三角函數(shù)：ｙ=sinx，y=cosx,y=tgx,y=ctgx.反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx.

二．初等函數(shù)：1．基本初等函數(shù)：(中學(xué)學(xué)過的）第五頁，共五十四頁，2022年，8月28日2．復(fù)合函數(shù)：形如：ｙ=f[(φ(x)](u=φ(x))定義:設(shè)變量y是變量u的函數(shù),變量u又是變量x的函數(shù)即

y=f(u),u=φ(x),如果變量x的某些值通過中間變量u可以確定變量y的值時,則稱y是x的復(fù)合函數(shù),記作

y=f[φ(x)]

(y—因變量,u—中間變量(既是自變量又是因變量),x—自變量)注:①函數(shù)u=Φ(x)的值域不能超過函數(shù)y=f(u)的定義域.②形成復(fù)合函數(shù)的中間變量可以不止一個,如:y=f｛φ[ω(x)]｝第六頁，共五十四頁，2022年，8月28日例：y=cos(2t+π/3)那么拆成什么形式好呢?▲.一般復(fù)合函數(shù)拆開的結(jié)果應(yīng)使拆成的每一個函數(shù)都是基本初等

函數(shù)或是它們的和,差,積,商.√將復(fù)合函數(shù)拆成簡單函數(shù)：（重點）例：例：可分解為:y=cosx,x=2t+π/3.或:y=cos2x,x=t+π/6第七頁，共五十四頁，2022年，8月28日3．初等函數(shù)定義：由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次加，減，乘，除四則運算和

有限次復(fù)合運算而構(gòu)成的僅用一個解析式表達的函數(shù)，稱為初等函數(shù)．（注：不用一個式子表示的函數(shù)就不是初等函數(shù)）問：分段函數(shù)是否是初等函數(shù)？不是初等函數(shù)，但它是一個函數(shù).例：都是初等函數(shù)。第八頁，共五十四頁，2022年，8月28日第二節(jié)函數(shù)的極限極限概念的引入:例1.有一變量其變化趨勢為:1,1/2,1/3,1/4,...,1/n,...

則該變量的極限是0.(數(shù)列極限)第九頁，共五十四頁，2022年，8月28日例2.已知圓的半徑為R,求圓面積S.解題思路:1.求圓的內(nèi)接正多邊形(正n邊形)的面積2.取極限(n→∞時正n邊形的面積即為圓的面積)第十頁，共五十四頁，2022年，8月28日一.函數(shù)的極限:對于函數(shù)y=f(x),我們將分別考察以下兩種情況的極限:1.自變量x→x0時函數(shù)的極限.2.自變量x→∞時函數(shù)的極限.x→x0-0時,函數(shù)的極限x→x0+0時,函數(shù)的極限x→-∞時,函數(shù)的極限x→+∞時,函數(shù)的極限第十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日1.x→x0時函數(shù)的極限:記作: ⑴定義:設(shè)函數(shù)f(x)在點x0附近有定義(但在x0處可以沒有定義),當(dāng)自變量x以任何方式無限趨近于定值x0時,若函數(shù)f(x)無限趨近于一個常數(shù)A,就說當(dāng)x趨近于x0時,函數(shù)f(x)以A為極限.注:①僅要求函數(shù)在點x0附近有定義,但在x0處可以沒有定義.②“自變量x

以任何方式無限趨近于定值x0”是指左趨近和

右趨近

(對于一元函數(shù))

.Axfxx=?)(lim0第十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日⑵.函數(shù)的單側(cè)極限:左極限：右極限：x從左側(cè)趨近于x0時產(chǎn)生的極限.記作:x從右側(cè)趨近于x0時產(chǎn)生的極限.記作:第十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日即左極限和右極限都存在并且相等時,才能說函數(shù)的極限存在例:右圖中的函數(shù)f(x)(分段函數(shù))AxfxfAxfxxxxxx===+?-??)(lim)(lim)(:)(lim00000當(dāng)且僅當(dāng)存在的充要條件極限▲.BAxyx0o∵A≠B,即左極限≠右極限∴此函數(shù)f(x)在x0處的極限不存在.第十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日2.x→∞時函數(shù)的極限:⑴函數(shù)在正無限處極限:⑵函數(shù)在負(fù)無限處極限:⑶函數(shù)在正負(fù)無限處極限:oxyA第十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日例:對于函數(shù)f(x)=arctgx,x→∞時極限是否存在?解:當(dāng)x→+∞時,f(x)=arctgx→π/2,∴函數(shù)極限不存在(當(dāng)x→∞時).OYxπ/2π-π/2π當(dāng)x→-∞時,f(x)=arctgx→-π/2.AxfxfAxfxxx===-￥?+￥?￥?)(lim)(lim)(:)(lim當(dāng)且僅當(dāng)存在的充要條件極限▲.第十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日極限不存在的幾種情形式:1.當(dāng)x→x0(x→∞)時,f(x)→∞,極限不存在.這時雖然f(x)的極限不存在,但也可記作:2.左右極限至少有一個不存在或都存在但不相等時,極限不存在.3.當(dāng)x→x0(x→∞)時,f(x)的變化趨勢振蕩不定,此時函數(shù)極限不存在.第十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日二.無窮小和無窮大.1.無窮小定義:以零為極限的變量就是無窮小量.例:當(dāng)x→+∞時,1/x的極限為零;注:①稱一個函數(shù)是無窮小量時,必須指出其自變量的變化趨勢.②無窮小量是變量而不是常數(shù)0,也不是很小的數(shù)(如10-10000)但0可以看成是無窮小量。當(dāng)x→1時,x-1的極限也是零.第十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日2.無窮大定義:在變化過程中其絕對值無限變大,(無窮大量的變化趨勢和無窮小的變化趨勢相反)例:當(dāng)x→0時,1/x的值無限增大;注:①稱一個函數(shù)是無窮大量時,必須指出其自變量的變化趨勢.②無窮大量是變量,而不是一個很大的量.▲.無窮大量,無窮小量是變量,而不是一個確定的量.當(dāng)x→π/2時,y=tgx的絕對值│y│無限增大.第十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.無窮小與無窮大的關(guān)系:互為倒數(shù)關(guān)系例:當(dāng)x→0時,1/x為無窮大量,而x

為無窮小量.(在同一變化過程中).第二十頁，共五十四頁，2022年，8月28日4.無窮小定理:定理1.函數(shù)f(x)以A為極限的充分必要條件是函數(shù)f(x)與常數(shù)A之差是一個無窮小量.即limf(x)=A成立的充要條件是:lim[f(x)-A]=0亦即,若函數(shù)f(x)以A為極限,若設(shè)f(x)-A=α,則α為該極限過程中的無窮小量.第二十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日定理2.有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小量.定理3.有界函數(shù)與無窮小的乘積仍為無窮小量.(有界函數(shù):若函數(shù)f(x)在某個區(qū)間X內(nèi)滿足:A≤f(x)≤B,其中A,B是兩個定數(shù),則稱f(x)在區(qū)間X內(nèi)有界,A—下界,B—上界).推論1.常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量.推論2.有限個無窮小量的乘積仍為無窮小量.第二十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日5.無窮小的比較

:設(shè)α,β為兩個無窮小.①若limα/β=0(或limβ/α=∞),則稱α是比β高階的無窮小或稱β是比α低階的無窮小.②若limα/β=k≠0,則稱α與β是同階無窮小.特別地若limα/β=1,則稱α與β是等價無窮小.記作:α∽β第二十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日即limα/β=0α是比β高階的無窮小.∞α是比β低階的無窮小.k≠0α與β是同階無窮小.1α與β是等價無窮小.

第二十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日在求等價無窮小的比值的極限時,可將其中每一個(或僅僅一個)換為與其等價的無窮小.即若α∽α1,β∽β1,則limα/β=limα1/β=limα/β1=limα1/β1注:等價無窮小有一個很有用的性質(zhì):例:求解:利用x→0時,ln(1+2x)∽2x得:∽原式==1/2第二十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日三.極限的四則運算法則:定理:設(shè)在某變化過程中有l(wèi)imf(x)=A,limg(x)=B,則有:①lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B.②lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)=AB③limf(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=A/B(B≠0)性質(zhì):①limC=C(C為常量).②limCf(x)=Climf(x)③lim[f(x)]n=[limf(x)]n(n為正整數(shù)).第二十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日第二十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日第二十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日31)1)(1(lim,0,1(:21=-++-=??xxxxxx原式故不能用極限的商定理)分母的極限為時當(dāng)解第二十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日第三十頁，共五十四頁，2022年，8月28日對于有理分式函數(shù)F(x)=P(x)Q(x)求極限小結(jié)如下：⑴當(dāng)x→∞時①若多項式P(x)的次數(shù)低于分母Q(x)的次數(shù),則函數(shù)F(x)的極限為0.②若P(x)與Q(x)為同次多項式,則F(x)的極限為p(x)與Q(x)中x最高次冪的系數(shù)之比.③若P(x)的次數(shù)高于Q(x)的次數(shù),則F(x)的極限為無窮大.第三十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日⑵當(dāng)x→x0時①若分母極限不為0,則可直接應(yīng)用商定理求出其極限.②若分母的極限為0時,想法消去使分母極限為零的因子,而后用

商定理出其極限.⑶求分式函數(shù)的極限時,可能會遇到0/0型,∞/∞型,∞0型等極限,①這時需對分式函數(shù)作恒等變換,而后約去公因式,化為可求解的形式.②利用羅必塔法則求解.第三十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日四.兩個重要極限:第三十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性反映在圖形上就是：函數(shù)曲線是連續(xù)而不間斷的xyxyoo（連續(xù)的）（在x0處間斷）x0y=f(x)y=f(x)第三十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日一.函數(shù)的增量:函數(shù)y=f(x),當(dāng)自變量x從x0變到x1時,函數(shù)y就從f(x0)變到f(x1),這時稱△x=x1-x0為自變量x的增量,稱△y=f(x1)-f(x0)或△y=f(x0+△x)-f(x0)為函數(shù)在x=x0處的增量.第三十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日函數(shù)增量的幾何意義:△yf(x0)f(x1)x0x1=x0+△xy=f(x)△xABxyo記作:△y=f(x1)-f(x0)或△y=f(x0+△x)-f(x0)第三十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日二.函數(shù)的連續(xù)點與間斷點:1.連續(xù)性定義:設(shè)函數(shù)y=f(x)在點x0及其附近有定義,當(dāng)x0有一增量△x時,相應(yīng)地函數(shù)也有一增量:△y=f(x0+△x)-f(x0),若則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)(并稱x0為函數(shù)的連續(xù)點)若以x=x0+△x代入上式,則有△x→0.則有第三十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日于是函數(shù)的連續(xù)性定義可用以下三種不同的形式給出:)()(lim000xfxxfx=D+?D②)()(lim00xfxfxx=?③①0lim0=D?Dyx(其中△x=x-x0,△y=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)第三十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日連續(xù)函數(shù)的幾何意義:xyoy=f(x)x0(x0,y0)第三十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日由定義知:函數(shù)y=f(x)在點x0處連續(xù)必須滿足以下三個條件:①f(x)在點x0及其附近有定義.(要求比極限存在的條件高)2.間斷點:不滿足以上三個條件之一的點就叫做f(x)的間斷點.極限必須存在（即）)(lim0xfxx?②)(lim)(lim00xfxfxxxx+-??=)()(lim00xfxfxx=?（即該極限等于點x0處的函數(shù)值）③第四十頁，共五十四頁，2022年，8月28日例:舉一例說明間斷點的第③種情形:???íì==11sin)(xxxfy當(dāng)x≠0時當(dāng)x=001sinlim)(lim00==??xxxfxx解:∵而f(0)=1∴y=f(x)在x=0處不連續(xù).(若定義中x=0時,f(x)=0,則f(x)在x=0處連續(xù))第四十一頁，共五十四頁，2022年，8月28日3.函數(shù)的左連續(xù)與右連續(xù):4.函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)的充分必要條件是:①左連續(xù):若函數(shù)f(x)在x0點及某一鄰域內(nèi)有定義,且只有則稱f(x)在點x0處左連續(xù).)()(lim000xfxfxx=-?(即充要條件為:f(x)在x0點既是左連續(xù)又是右連續(xù)))(lim)(lim00000xfxfxxxx==+?-?即:②右連續(xù):若函數(shù)f(x)在x0點及某一鄰域內(nèi)有定義,且只有則稱f(x)在點x0處右連續(xù).)()(lim000xfxfxx=+?第四十二頁，共五十四頁，2022年，8月28日5.連續(xù)點與極限的關(guān)系:函數(shù)在x0點處連續(xù)函數(shù)在x0處極限存在(回憶極限定義與連續(xù)點定義)第四十三頁，共五十四頁，2022年，8月28日解:∵f(x)在點x=3處沒有定義.∴點x=3是一個間斷點.例:考察函數(shù)的間斷點.0xyA(3,6)3(雖然極限存在)第四十四頁，共五十四頁，2022年，8月28日2)2(lim)(lim20000-=-=-?-?xxfxx)(lim)(lim0000xfxfxx+?-?1例:討論函數(shù)???íì-+=212)(22xxxf當(dāng)x＞0當(dāng)x=0的連續(xù)性.當(dāng)x＜02)2(lim)(lim20000=+=+?+?xxfxx解:∵∴x→0時,函數(shù)的極限不存在.∴x=0點是間斷點,而其余點是連續(xù)的.0xy+2-2第四十五頁，共五十四頁，2022年，8月28日三.在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù):1.f(x)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù):如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上每一點都連續(xù),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù).2.f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù):如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)上連續(xù),且有(即f(x)在左端點處右連續(xù)),,(即f(x)在右端點處左連續(xù)),則稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).

第四十六頁，共五十四頁，2022年，8月28日∴它們在區(qū)間(-∞,+∞)上是連續(xù)的.例:在區(qū)間(-∞,+∞)是否都連續(xù)?例:y=2x,y=sinx.在區(qū)間(-∞,+∞)是否都連續(xù)?∵它們在區(qū)間(-∞,+∞)上任一點都是連續(xù)的.解:解:∵x=0處函數(shù)無定義.∴函數(shù)在x=0點處是間斷點,即在(-∞,+∞)不是都連續(xù)的.第四十七頁，共五十四頁，2022年，8月28日在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的兩個性質(zhì):定理1.(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在該區(qū)間上至少取得它的最大值和最小值各一次.即一段連續(xù)曲線必有最高點和最低點.ymaxyminoxyy=f(x)第四十八頁，共五十四頁，2022年，8月28日定理2.(介值定理):如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)≠f(b),則對介于f(a)和f(b)之間的任何值C,在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少存在一點ξ,使f(ξ)=C,(a＜ξ＜b).aξ1ξ2ξ3boxycf(a)f(b)其幾何意義:連續(xù)曲線y=f(x)與水平直線y=c至少相交于一點.第四十九頁，共五十四頁，2022年，8月28日特殊地,若f(a)與f(b)異號則連續(xù)曲線y=f(x)與x軸至少