淺談合情推理能力培養(yǎng)課件

淺談合情推理能力培養(yǎng)一中分校史志剛淺談合情推理能力培養(yǎng)一中分校史志剛1

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)2何謂合情推理？所謂合情推理就是從具體的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段而進(jìn)行的一種推理．這種推理的途徑是從觀察、實(shí)驗(yàn)入手，通過(guò)類比而產(chǎn)生聯(lián)想，或通過(guò)歸納而作出猜想．這就是說(shuō)，合情推理的條件與結(jié)論之間是以聯(lián)想或猜想作為橋梁的。歸納推理、類比推理、統(tǒng)計(jì)推理是其三種重要形式。何謂合情推理？所謂合情推理就是從具體的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)觀察3合情推理與演繹推理的關(guān)系。科學(xué)結(jié)論(包括數(shù)學(xué)的定理,法則,公式等)發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對(duì)事物的觀察,比較,歸納,類比……即通過(guò)合情推理提出猜想,然后再通過(guò)演繹推理證明猜想正確或錯(cuò)誤.長(zhǎng)期以來(lái),中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直強(qiáng)調(diào)教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,過(guò)分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動(dòng)活潑的合情推理,使人們合情推理與演繹推理的關(guān)系?？茖W(xué)結(jié)論(包括數(shù)學(xué)4誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué).事實(shí)上,數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn),除演繹推理外,合情推理也起重要作用,如哥德巴赫猜想,費(fèi)爾馬大定理,四色問(wèn)題等的發(fā)現(xiàn).其它學(xué)科的一些重大發(fā)現(xiàn)也是科學(xué)家通過(guò)合情推理,提出猜想,假說(shuō)和假設(shè),再經(jīng)過(guò)演繹推理或?qū)嶒?yàn)得到的.如牛頓通過(guò)蘋果落地而產(chǎn)生靈感,經(jīng)過(guò)合情推理,提出萬(wàn)有引力的猜想,后來(lái)通過(guò)庫(kù)侖的紐秤實(shí)驗(yàn)證實(shí).合情推理與演繹推理是相輔相成的.

誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué).事實(shí)上,數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一5發(fā)展學(xué)生合情推理能力的意義？合情推理的核心是新的發(fā)現(xiàn)，即創(chuàng)新性。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是其目的所在。這種創(chuàng)新性主要來(lái)源于合情推理過(guò)程中的直覺(jué)和靈感．直覺(jué)是一種思維形式，它是在豐富的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，在短時(shí)間內(nèi)直觀地把握事物的本質(zhì)、瞬間做出判斷的思維形式．在合情推理的過(guò)程中，無(wú)論是類比聯(lián)想，還是歸納聯(lián)想，往往要借助于直覺(jué)思維．發(fā)展學(xué)生合情推理能力的意義？合情推理的核心是新的發(fā)現(xiàn)，即創(chuàng)新6靈感在合情推理中，也是一種重要的思維形式．靈感是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期思維后的瞬間頓悟，是思維的信息迅速轉(zhuǎn)化和急劇重組，形成新的信息系統(tǒng)，從而使思維出現(xiàn)新的突破．例如，俄國(guó)化學(xué)家門捷列夫給出的元素周期表，就“完成了科學(xué)史上的一個(gè)勛業(yè)”．前蘇聯(lián)科學(xué)史學(xué)家凱德洛夫曾經(jīng)詳盡的研究了門捷列夫的發(fā)現(xiàn)過(guò)程．靈感在合情推理中，也是一種重要的思維形式．靈感是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期思維7據(jù)凱德洛夫介紹，門捷列夫的第一張?jiān)刂芷诒沓霈F(xiàn)于1869年2月17日．雖然在此以前，門捷列夫曾經(jīng)從各個(gè)方面研究過(guò)元素及其他化合物的各種相互關(guān)系，但總不得要領(lǐng)．發(fā)現(xiàn)周期律的決定性觀念是在很短的時(shí)間里產(chǎn)生的，那一天，門捷列夫動(dòng)身離開彼德堡去辦與周期律毫不相干的事情，就在一切準(zhǔn)備就緒，提了箱子要上火車之際，一個(gè)天才的猜想在他腦海里突然閃現(xiàn)，于是，在這種緊張的“思索時(shí)間不足”之中誕生了偉大的發(fā)現(xiàn)．門捷列夫當(dāng)天就把元素周期表送往印刷廠發(fā)排，這是一個(gè)直覺(jué)閃現(xiàn)和頓悟的典型事例．據(jù)凱德洛夫介紹，門捷列夫的第一張?jiān)刂芷诒沓霈F(xiàn)于1869年28由此可見(jiàn)，靈感的出現(xiàn)往往會(huì)帶來(lái)一種嶄新的思想、方法，從而使思維結(jié)果具有創(chuàng)新性．愛(ài)因斯坦曾經(jīng)宣稱“我相信直覺(jué)和靈感”．許多發(fā)明和創(chuàng)造的事實(shí)都證實(shí)了直覺(jué)和靈感在其創(chuàng)造過(guò)程中的決定作用．這就更加肯定了合情推理的核心是創(chuàng)造性的這一特征。發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的本領(lǐng)，是現(xiàn)階段教育的核心。也與我國(guó)現(xiàn)階段提出的發(fā)展創(chuàng)新型國(guó)家，發(fā)展創(chuàng)新性人才的國(guó)策相吻合由此可見(jiàn)，靈感的出現(xiàn)往往會(huì)帶來(lái)一種嶄新的思想、方法，從而使思9如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力？能力的發(fā)展決不等同于知識(shí)與技能的獲得.能力的形成是一個(gè)緩慢的過(guò)程,有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律,它不是學(xué)生“懂”了,也不是學(xué)生“會(huì)”了,而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等.這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動(dòng)中才能得以進(jìn)行,因而教學(xué)活動(dòng)必須給學(xué)生提供探索交流的空間,組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程”,并把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)融合在這樣的“過(guò)程”之中.任何試圖把能力“傳授”給學(xué)生,試圖把能力培養(yǎng)“畢其功于一役”的做法,都不可能真正取得好的效果。如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力？能力的發(fā)展決不等同于知識(shí)與技能的10首先、為學(xué)生的合情推理創(chuàng)設(shè)空間波利亞說(shuō)：“有效地應(yīng)用合情推理是一種實(shí)際技能”，“要通過(guò)模仿和實(shí)踐來(lái)學(xué)習(xí)它，在實(shí)踐中發(fā)展合情推理能力”，因此，教師要充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)。問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)是學(xué)生參與學(xué)習(xí)的前提。把學(xué)科的內(nèi)容隱入情境，提供給學(xué)生足以探索的數(shù)學(xué)材料，創(chuàng)設(shè)具有一定合理自由度的思維空間，要突出問(wèn)題（應(yīng)有一定的難度和開放性），把問(wèn)題放在“需要”與“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”矛盾的風(fēng)口浪尖。不僅要?jiǎng)?chuàng)設(shè)引入問(wèn)題的情境，也要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好每個(gè)環(huán)節(jié)的情境。情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)滿足：a.可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)；b.一定的趣味性；C.便于學(xué)生參與，但要防止讓學(xué)生看了書上的結(jié)論一語(yǔ)點(diǎn)破。如首先、為學(xué)生的合情推理創(chuàng)設(shè)空間波利亞說(shuō)：“有效地應(yīng)用合情推11學(xué)習(xí)“有理數(shù)乘法運(yùn)算定律”時(shí)，可以聯(lián)系學(xué)生原有“學(xué)習(xí)加法運(yùn)算定律”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，利用類比推理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

例1學(xué)習(xí)“車輪為什么是圓形”時(shí)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)操作情境：可以提供圖釘、鉛筆、棉線等材料，讓學(xué)生在自主探索如何畫圓時(shí)，初步發(fā)現(xiàn)圓的基本性質(zhì)和概念。

例2學(xué)習(xí)“有理數(shù)乘法運(yùn)算定律”時(shí)，可以聯(lián)系學(xué)生原有“學(xué)習(xí)加法運(yùn)算12再以多媒體動(dòng)畫展示兒童玩風(fēng)車的情境。同時(shí),給學(xué)生提出諸如“風(fēng)車旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的是什么圖形”、“為什么這些圖形的大小各有不同”等問(wèn)題。學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn),這些風(fēng)車盡管在顏色、形狀和大小等方面各有不同,但是,當(dāng)它們?cè)陲L(fēng)力的作用下快速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),所產(chǎn)生的視覺(jué)效果卻有著相似性,即“變成”了一個(gè)個(gè)色彩斑斕的“圓”。在交流與探究中,學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了“圓”的大小與風(fēng)車葉片長(zhǎng)度之間的關(guān)系?？梢?jiàn),這種動(dòng)態(tài)的視覺(jué)效果不僅增強(qiáng)了情境的趣味性,而且也給學(xué)生提供了一個(gè)深入感知“圓”的基本特征的經(jīng)驗(yàn)平臺(tái)。在隨后的學(xué)習(xí)活動(dòng)中,學(xué)生通過(guò)對(duì)折(事先準(zhǔn)備的)圓形紙片,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)了“圓”的基本要素———圓心和半徑以及“圓”的基本特征與對(duì)稱性。再以多媒體動(dòng)畫展示兒童玩風(fēng)車的情境。同時(shí),給學(xué)生提出諸如“13二、把合情推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中日本的著名教育家米山國(guó)藏曾說(shuō)：“我們搞了這么多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)诔踔?、高中等接受的?shù)學(xué)知識(shí)，出校不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，惟有深深銘記于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維的方法、研究方法、推理方法卻隨時(shí)發(fā)生作用，使他們受益終生”。也正因?yàn)槿绱?，我們?cè)诓煌虒W(xué)時(shí)如果能注意對(duì)學(xué)生合情推理能力培養(yǎng)，學(xué)生會(huì)因此積累一些解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。二、把合情推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中日本的14數(shù)學(xué)中的法則、性質(zhì)、公式或辨析易混概念等教學(xué)時(shí)，我們可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所掌握的信息，對(duì)一定條件下可能產(chǎn)生的結(jié)論，用合理推理的方法先進(jìn)行合理的猜測(cè)，形成假說(shuō)、猜想，然后再予以驗(yàn)證，從而得出法則、性質(zhì)、公式等知識(shí)。

1、發(fā)現(xiàn)規(guī)律性知識(shí)時(shí)

數(shù)學(xué)中的法則、性質(zhì)、公式或辨析易混概念等教學(xué)時(shí)，我們可以有意15

例3“平方差公式”的教學(xué)可設(shè)置如下的問(wèn)題串(見(jiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》第93～94頁(yè)):

(1)計(jì)算并觀察下列每組算式

(2)已知25×25=625,那么24×26=_________.

(3)你能舉出一個(gè)類似的例子嗎？

(4)從上述過(guò)程,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律你能用語(yǔ)言敘述這個(gè)規(guī)律嗎你能用代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律嗎？

(5)你能證明自己所得到的規(guī)律嗎？

8×8=64{7×9=635×5=254×6=24{12×12=144{11×13=143在這樣的過(guò)程中,學(xué)生從對(duì)具體算式的觀察,比較中,通過(guò)合情推理(歸納)提出猜想,進(jìn)而用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)——若a×a=m,則(a-1)×(a+1)=m-1,然后用多項(xiàng)式乘法法則證明猜想是正確的.例3“平方差公式”的教學(xué)可設(shè)置如下的問(wèn)題串(見(jiàn)《標(biāo)準(zhǔn)16

例4觀察算式:34+43=77,51+15=66,26+62=88,你發(fā)現(xiàn)了什么?

[可能的猜想:個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換前后的兩個(gè)兩位數(shù)的和是個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字相同的一個(gè)兩位數(shù);所得的兩位數(shù)能被11整除……]驗(yàn)證:74+47=121,原來(lái)的猜想成立嗎?

再繼續(xù)驗(yàn)證,結(jié)論仍然成立嗎?

[以上是進(jìn)行歸納推理(合情推理)的過(guò)程]

問(wèn)題:能否證明結(jié)論是正確的呢?

[方法一:對(duì)所有的兩位數(shù)一一加以驗(yàn)證,但這既繁復(fù)又費(fèi)時(shí);方法二:若a,b表示一個(gè)兩位數(shù)兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字,則(a×10+b)+(b×10+a)=11a+11b=11×(a+b),于是"所得的兩位數(shù)能被11整除"的猜想得到證實(shí)]

這樣的過(guò)程,是一個(gè)經(jīng)歷觀察,猜想,歸納,證明的過(guò)程,即既有合情推理又有演繹推理的過(guò)程.例4觀察算式:34+43=77,51+15=66,217

2、預(yù)測(cè)可能性問(wèn)題時(shí)

例5“體驗(yàn)事件發(fā)生的可能性，游戲規(guī)則的公平性，計(jì)算一些簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性?！边@是《標(biāo)準(zhǔn)》的具體目標(biāo)之一。學(xué)生在日常生活、游戲中，的確需要對(duì)一些可能發(fā)生的事件，作出判斷和合情推理。在兩方球隊(duì)比賽時(shí)，預(yù)測(cè)此場(chǎng)比賽誰(shuí)獲勝的可能性大，并闡述理由。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩支球隊(duì)以往比賽的勝負(fù)情況或當(dāng)時(shí)賽場(chǎng)的情況等方面作出假設(shè)，提醒學(xué)生利用類比、歸納等多種方法進(jìn)行猜想，從而得出合情推理的結(jié)果。2、預(yù)測(cè)可能性問(wèn)題時(shí)例5“體驗(yàn)事件發(fā)生的可18

例6兩個(gè)人握一次手,若每?jī)扇宋找淮问?則三個(gè)人共握幾次手？n個(gè)人共握多少次手呢？(通過(guò)合情推理探索規(guī)律)

這與“由上海開往北京的1462次列車途中?？?3個(gè)站(不包括上海和北京),這次列車共發(fā)售多少種不同的車票”這樣的問(wèn)題,有什么聯(lián)系呢？(類比)

例6兩個(gè)人握一次手,若每?jī)扇宋找淮问?則三個(gè)人共握幾19

3、實(shí)驗(yàn)探究問(wèn)題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)要探究的問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手操作，計(jì)算初步形成假說(shuō)、猜想，但此時(shí)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解僅停留在猜測(cè)階段，沒(méi)有真正的內(nèi)化。我們應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造條件，要求學(xué)生“做出來(lái)看一看”，這也是數(shù)學(xué)課在對(duì)猜想進(jìn)行推理證明前所進(jìn)行的必要步驟。教師在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，應(yīng)起到畫龍點(diǎn)睛的作用，幫助學(xué)生用類比、特殊化等合性推理的方法選擇特例或設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)猜想，并引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)科規(guī)范的語(yǔ)言表達(dá)結(jié)論；在逐步形成結(jié)論的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生真正暴露出合情推理的思維過(guò)程，并使之得到優(yōu)化。3、實(shí)驗(yàn)探究問(wèn)題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)要探究的問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手20圖－1探索下列問(wèn)題：（1）在圖1給出的四個(gè)正方形中，各畫出一條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方向的直線、與水平方向成45°角的直線、任意的直線），將每個(gè)正方形都分割成面積相等的兩部分；我們知道：由于圓是中心對(duì)稱圖形，所以過(guò)圓心的任何一條直線都可以將圓分割成面積相等的兩部分．

例7發(fā)現(xiàn)：中心對(duì)稱圖形，過(guò)中心的任何一條直線都可以將其分割成面積相等的兩部分．圖－1探索下列問(wèn)題：我們知道：由于圓是中心對(duì)稱圖形，所以過(guò)圓21圖—2mmmmn圖—3（2）一條豎直方向的直線m以及任意的直線n，在由左向右平移的過(guò)程中，將正六邊形分成左右兩部分，其面積分別記為S1和S2．1請(qǐng)你在圖－2中相應(yīng)圖形下方的橫線上，分別填寫S1與S2的數(shù)量關(guān)系式（用“＜”，“＝”，“＞”連接）；2請(qǐng)你在圖12－3中分別畫出反映S1與S2三種大小關(guān)系的直線n，并在相應(yīng)圖形下方的橫線上，分別填寫S1與S2的數(shù)量關(guān)系式（用“＜”，“＝”，“＞”連接）．S1＜S2S1＝S2S1＞S2S1＜S2S1＝S2S1＞S2猜想：任意方向的直線在由左向右平移的過(guò)程中都可以將中心對(duì)稱圖形分割的兩部分面積，可以產(chǎn)生由小于到等于再到大于的變化過(guò)程。圖—2mmmmn圖—3（2）一條豎直方向的直線m以及任意的直22（3）是否存在一條直線，將一個(gè)任意的平面圖形（如圖－4）分割成面積相等的兩部分？請(qǐng)簡(jiǎn)略說(shuō)出理由．圖－4S1＜S2S1＞S2S1＝S2猜想：任意方向的直線在由左向右平移的過(guò)程中都可以將中心對(duì)稱圖形分割的兩部分面積，可以產(chǎn)生由小于到等于再到大于的變化過(guò)程。（3）是否存在一條直線，將一個(gè)任意的平面圖形（如圖－4）分割23三、在反思、評(píng)價(jià)和引申中培養(yǎng)合情推理能力

對(duì)學(xué)生合情推理的能力的培養(yǎng)與提高離不開學(xué)生對(duì)其“提出猜想——檢驗(yàn)”；“修正猜想——驗(yàn)證、證明”這一學(xué)習(xí)過(guò)程的反思。無(wú)論是提出猜想的過(guò)程、修正猜想還是驗(yàn)證猜想的過(guò)程都必須進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆此?，通過(guò)反思可以讓學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)猜想的提出必須要有合理性且充滿著探索性和創(chuàng)造性，感受驗(yàn)證和證明的必要。反思也是提高學(xué)生提出猜想的質(zhì)量，修正猜想的能力和驗(yàn)證猜想的能力必不可少的重要一環(huán)，同時(shí)也是學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考的必要條件。三、在反思、評(píng)價(jià)和引申中培養(yǎng)合情推理能力對(duì)學(xué)生合情推理的能24

平常我們應(yīng)多要求學(xué)生在形成結(jié)論后，及時(shí)回顧和重新審視解決問(wèn)題的全過(guò)程，如：在得出“結(jié)論的特征”后，教師可適當(dāng)反思：剛才我們是怎樣發(fā)現(xiàn)規(guī)律的？學(xué)生可能會(huì)說(shuō)出探究問(wèn)題時(shí)的過(guò)程“先……再……”；也可能說(shuō)出自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中聽取了哪些同學(xué)的意見(jiàn)，受到了哪些啟發(fā)；聰明的學(xué)生就會(huì)能根據(jù)所學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行質(zhì)疑，尋找新的思路、方法。在引導(dǎo)學(xué)生自我認(rèn)知的過(guò)程中，重建學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使其與原有知識(shí)的邏輯聯(lián)系更明晰，使某些“技巧”上升為“方法”，使一些有意義的經(jīng)驗(yàn)、方法、思想得到及時(shí)的提取。

平常我們應(yīng)多要求學(xué)生在形成結(jié)論后，及時(shí)回顧和重新審視解決25同時(shí)，在學(xué)生進(jìn)行合情推理的過(guò)程中教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者和指導(dǎo)者，必須對(duì)學(xué)生的合情推理進(jìn)行積極地評(píng)價(jià)，尤其對(duì)學(xué)生的認(rèn)識(shí)體會(huì)教師要進(jìn)行及時(shí)的、有效的分析和概括，幫助學(xué)生對(duì)解決問(wèn)題的方法進(jìn)行提煉和哲學(xué)思考。

同時(shí)，在學(xué)生進(jìn)行合情推理的過(guò)程中教師作為學(xué)生學(xué)習(xí)的合作者和指26謝謝大家！謝謝大家！27淺談合情推理能力培養(yǎng)一中分校史志剛淺談合情推理能力培養(yǎng)一中分校史志剛28

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，“經(jīng)歷觀察、試驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力”?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中指出：學(xué)生通過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)29何謂合情推理？所謂合情推理就是從具體的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、類比、聯(lián)想、歸納、猜想等手段而進(jìn)行的一種推理．這種推理的途徑是從觀察、實(shí)驗(yàn)入手，通過(guò)類比而產(chǎn)生聯(lián)想，或通過(guò)歸納而作出猜想．這就是說(shuō)，合情推理的條件與結(jié)論之間是以聯(lián)想或猜想作為橋梁的。歸納推理、類比推理、統(tǒng)計(jì)推理是其三種重要形式。何謂合情推理？所謂合情推理就是從具體的事實(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)觀察30合情推理與演繹推理的關(guān)系?？茖W(xué)結(jié)論(包括數(shù)學(xué)的定理,法則,公式等)發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對(duì)事物的觀察,比較,歸納,類比……即通過(guò)合情推理提出猜想,然后再通過(guò)演繹推理證明猜想正確或錯(cuò)誤.長(zhǎng)期以來(lái),中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)一直強(qiáng)調(diào)教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性,過(guò)分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動(dòng)活潑的合情推理,使人們合情推理與演繹推理的關(guān)系。科學(xué)結(jié)論(包括數(shù)學(xué)31誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué).事實(shí)上,數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn),除演繹推理外,合情推理也起重要作用,如哥德巴赫猜想,費(fèi)爾馬大定理,四色問(wèn)題等的發(fā)現(xiàn).其它學(xué)科的一些重大發(fā)現(xiàn)也是科學(xué)家通過(guò)合情推理,提出猜想,假說(shuō)和假設(shè),再經(jīng)過(guò)演繹推理或?qū)嶒?yàn)得到的.如牛頓通過(guò)蘋果落地而產(chǎn)生靈感,經(jīng)過(guò)合情推理,提出萬(wàn)有引力的猜想,后來(lái)通過(guò)庫(kù)侖的紐秤實(shí)驗(yàn)證實(shí).合情推理與演繹推理是相輔相成的.

誤認(rèn)為數(shù)學(xué)就是一門純粹的演繹科學(xué).事實(shí)上,數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一32發(fā)展學(xué)生合情推理能力的意義？合情推理的核心是新的發(fā)現(xiàn)，即創(chuàng)新性。培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力是其目的所在。這種創(chuàng)新性主要來(lái)源于合情推理過(guò)程中的直覺(jué)和靈感．直覺(jué)是一種思維形式，它是在豐富的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，在短時(shí)間內(nèi)直觀地把握事物的本質(zhì)、瞬間做出判斷的思維形式．在合情推理的過(guò)程中，無(wú)論是類比聯(lián)想，還是歸納聯(lián)想，往往要借助于直覺(jué)思維．發(fā)展學(xué)生合情推理能力的意義？合情推理的核心是新的發(fā)現(xiàn)，即創(chuàng)新33靈感在合情推理中，也是一種重要的思維形式．靈感是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期思維后的瞬間頓悟，是思維的信息迅速轉(zhuǎn)化和急劇重組，形成新的信息系統(tǒng)，從而使思維出現(xiàn)新的突破．例如，俄國(guó)化學(xué)家門捷列夫給出的元素周期表，就“完成了科學(xué)史上的一個(gè)勛業(yè)”．前蘇聯(lián)科學(xué)史學(xué)家凱德洛夫曾經(jīng)詳盡的研究了門捷列夫的發(fā)現(xiàn)過(guò)程．靈感在合情推理中，也是一種重要的思維形式．靈感是經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期思維34據(jù)凱德洛夫介紹，門捷列夫的第一張?jiān)刂芷诒沓霈F(xiàn)于1869年2月17日．雖然在此以前，門捷列夫曾經(jīng)從各個(gè)方面研究過(guò)元素及其他化合物的各種相互關(guān)系，但總不得要領(lǐng)．發(fā)現(xiàn)周期律的決定性觀念是在很短的時(shí)間里產(chǎn)生的，那一天，門捷列夫動(dòng)身離開彼德堡去辦與周期律毫不相干的事情，就在一切準(zhǔn)備就緒，提了箱子要上火車之際，一個(gè)天才的猜想在他腦海里突然閃現(xiàn)，于是，在這種緊張的“思索時(shí)間不足”之中誕生了偉大的發(fā)現(xiàn)．門捷列夫當(dāng)天就把元素周期表送往印刷廠發(fā)排，這是一個(gè)直覺(jué)閃現(xiàn)和頓悟的典型事例．據(jù)凱德洛夫介紹，門捷列夫的第一張?jiān)刂芷诒沓霈F(xiàn)于1869年235由此可見(jiàn)，靈感的出現(xiàn)往往會(huì)帶來(lái)一種嶄新的思想、方法，從而使思維結(jié)果具有創(chuàng)新性．愛(ài)因斯坦曾經(jīng)宣稱“我相信直覺(jué)和靈感”．許多發(fā)明和創(chuàng)造的事實(shí)都證實(shí)了直覺(jué)和靈感在其創(chuàng)造過(guò)程中的決定作用．這就更加肯定了合情推理的核心是創(chuàng)造性的這一特征。發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)的本領(lǐng)，是現(xiàn)階段教育的核心。也與我國(guó)現(xiàn)階段提出的發(fā)展創(chuàng)新型國(guó)家，發(fā)展創(chuàng)新性人才的國(guó)策相吻合由此可見(jiàn)，靈感的出現(xiàn)往往會(huì)帶來(lái)一種嶄新的思想、方法，從而使思36如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力？能力的發(fā)展決不等同于知識(shí)與技能的獲得.能力的形成是一個(gè)緩慢的過(guò)程,有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律,它不是學(xué)生“懂”了,也不是學(xué)生“會(huì)”了,而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等.這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動(dòng)中才能得以進(jìn)行,因而教學(xué)活動(dòng)必須給學(xué)生提供探索交流的空間,組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程”,并把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)融合在這樣的“過(guò)程”之中.任何試圖把能力“傳授”給學(xué)生,試圖把能力培養(yǎng)“畢其功于一役”的做法,都不可能真正取得好的效果。如何培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力？能力的發(fā)展決不等同于知識(shí)與技能的37首先、為學(xué)生的合情推理創(chuàng)設(shè)空間波利亞說(shuō)：“有效地應(yīng)用合情推理是一種實(shí)際技能”，“要通過(guò)模仿和實(shí)踐來(lái)學(xué)習(xí)它，在實(shí)踐中發(fā)展合情推理能力”，因此，教師要充分發(fā)揮其主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生參與教學(xué)。問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè)是學(xué)生參與學(xué)習(xí)的前提。把學(xué)科的內(nèi)容隱入情境，提供給學(xué)生足以探索的數(shù)學(xué)材料，創(chuàng)設(shè)具有一定合理自由度的思維空間，要突出問(wèn)題（應(yīng)有一定的難度和開放性），把問(wèn)題放在“需要”與“認(rèn)知結(jié)構(gòu)”矛盾的風(fēng)口浪尖。不僅要?jiǎng)?chuàng)設(shè)引入問(wèn)題的情境，也要?jiǎng)?chuàng)設(shè)好每個(gè)環(huán)節(jié)的情境。情境的創(chuàng)設(shè)應(yīng)滿足：a.可能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)；b.一定的趣味性；C.便于學(xué)生參與，但要防止讓學(xué)生看了書上的結(jié)論一語(yǔ)點(diǎn)破。如首先、為學(xué)生的合情推理創(chuàng)設(shè)空間波利亞說(shuō)：“有效地應(yīng)用合情推38學(xué)習(xí)“有理數(shù)乘法運(yùn)算定律”時(shí)，可以聯(lián)系學(xué)生原有“學(xué)習(xí)加法運(yùn)算定律”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，利用類比推理創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境

例1學(xué)習(xí)“車輪為什么是圓形”時(shí)為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個(gè)操作情境：可以提供圖釘、鉛筆、棉線等材料，讓學(xué)生在自主探索如何畫圓時(shí)，初步發(fā)現(xiàn)圓的基本性質(zhì)和概念。

例2學(xué)習(xí)“有理數(shù)乘法運(yùn)算定律”時(shí)，可以聯(lián)系學(xué)生原有“學(xué)習(xí)加法運(yùn)算39再以多媒體動(dòng)畫展示兒童玩風(fēng)車的情境。同時(shí),給學(xué)生提出諸如“風(fēng)車旋轉(zhuǎn)時(shí)所形成的是什么圖形”、“為什么這些圖形的大小各有不同”等問(wèn)題。學(xué)生在觀察中發(fā)現(xiàn),這些風(fēng)車盡管在顏色、形狀和大小等方面各有不同,但是,當(dāng)它們?cè)陲L(fēng)力的作用下快速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),所產(chǎn)生的視覺(jué)效果卻有著相似性,即“變成”了一個(gè)個(gè)色彩斑斕的“圓”。在交流與探究中,學(xué)生還發(fā)現(xiàn)了“圓”的大小與風(fēng)車葉片長(zhǎng)度之間的關(guān)系?？梢?jiàn),這種動(dòng)態(tài)的視覺(jué)效果不僅增強(qiáng)了情境的趣味性,而且也給學(xué)生提供了一個(gè)深入感知“圓”的基本特征的經(jīng)驗(yàn)平臺(tái)。在隨后的學(xué)習(xí)活動(dòng)中,學(xué)生通過(guò)對(duì)折(事先準(zhǔn)備的)圓形紙片,進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)了“圓”的基本要素———圓心和半徑以及“圓”的基本特征與對(duì)稱性。再以多媒體動(dòng)畫展示兒童玩風(fēng)車的情境。同時(shí),給學(xué)生提出諸如“40二、把合情推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中日本的著名教育家米山國(guó)藏曾說(shuō)：“我們搞了這么多年的數(shù)學(xué)教育，發(fā)現(xiàn)學(xué)生們?cè)诔踔?、高中等接受的?shù)學(xué)知識(shí)，出校不到一兩年，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，惟有深深銘記于頭腦中的數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)思維的方法、研究方法、推理方法卻隨時(shí)發(fā)生作用，使他們受益終生”。也正因?yàn)槿绱耍覀冊(cè)诓煌虒W(xué)時(shí)如果能注意對(duì)學(xué)生合情推理能力培養(yǎng)，學(xué)生會(huì)因此積累一些解決問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)。二、把合情推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中日本的41數(shù)學(xué)中的法則、性質(zhì)、公式或辨析易混概念等教學(xué)時(shí)，我們可以有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所掌握的信息，對(duì)一定條件下可能產(chǎn)生的結(jié)論，用合理推理的方法先進(jìn)行合理的猜測(cè)，形成假說(shuō)、猜想，然后再予以驗(yàn)證，從而得出法則、性質(zhì)、公式等知識(shí)。

1、發(fā)現(xiàn)規(guī)律性知識(shí)時(shí)

數(shù)學(xué)中的法則、性質(zhì)、公式或辨析易混概念等教學(xué)時(shí)，我們可以有意42

例3“平方差公式”的教學(xué)可設(shè)置如下的問(wèn)題串(見(jiàn)《標(biāo)準(zhǔn)》第93～94頁(yè)):

(1)計(jì)算并觀察下列每組算式

(2)已知25×25=625,那么24×26=_________.

(3)你能舉出一個(gè)類似的例子嗎？

(4)從上述過(guò)程,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律你能用語(yǔ)言敘述這個(gè)規(guī)律嗎你能用代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律嗎？

(5)你能證明自己所得到的規(guī)律嗎？

8×8=64{7×9=635×5=254×6=24{12×12=144{11×13=143在這樣的過(guò)程中,學(xué)生從對(duì)具體算式的觀察,比較中,通過(guò)合情推理(歸納)提出猜想,進(jìn)而用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)——若a×a=m,則(a-1)×(a+1)=m-1,然后用多項(xiàng)式乘法法則證明猜想是正確的.例3“平方差公式”的教學(xué)可設(shè)置如下的問(wèn)題串(見(jiàn)《標(biāo)準(zhǔn)43

例4觀察算式:34+43=77,51+15=66,26+62=88,你發(fā)現(xiàn)了什么?

[可能的猜想:個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字互換前后的兩個(gè)兩位數(shù)的和是個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字相同的一個(gè)兩位數(shù);所得的兩位數(shù)能被11整除……]驗(yàn)證:74+47=121,原來(lái)的猜想成立嗎?

再繼續(xù)驗(yàn)證,結(jié)論仍然成立嗎?

[以上是進(jìn)行歸納推理(合情推理)的過(guò)程]

問(wèn)題:能否證明結(jié)論是正確的呢?

[方法一:對(duì)所有的兩位數(shù)一一加以驗(yàn)證,但這既繁復(fù)又費(fèi)時(shí);方法二:若a,b表示一個(gè)兩位數(shù)兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字,則(a×10+b)+(b×10+a)=11a+11b=11×(a+b),于是"所得的兩位數(shù)能被11整除"的猜想得到證實(shí)]

這樣的過(guò)程,是一個(gè)經(jīng)歷觀察,猜想,歸納,證明的過(guò)程,即既有合情推理又有演繹推理的過(guò)程.例4觀察算式:34+43=77,51+15=66,244

2、預(yù)測(cè)可能性問(wèn)題時(shí)

例5“體驗(yàn)事件發(fā)生的可能性，游戲規(guī)則的公平性，計(jì)算一些簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性?！边@是《標(biāo)準(zhǔn)》的具體目標(biāo)之一。學(xué)生在日常生活、游戲中，的確需要對(duì)一些可能發(fā)生的事件，作出判斷和合情推理。在兩方球隊(duì)比賽時(shí)，預(yù)測(cè)此場(chǎng)比賽誰(shuí)獲勝的可能性大，并闡述理由。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)兩支球隊(duì)以往比賽的勝負(fù)情況或當(dāng)時(shí)賽場(chǎng)的情況等方面作出假設(shè)，提醒學(xué)生利用類比、歸納等多種方法進(jìn)行猜想，從而得出合情推理的結(jié)果。2、預(yù)測(cè)可能性問(wèn)題時(shí)例5“體驗(yàn)事件發(fā)生的可45

例6兩個(gè)人握一次手,若每?jī)扇宋找淮问?則三個(gè)人共握幾次手？n個(gè)人共握多少次手呢？(通過(guò)合情推理探索規(guī)律)

這與“由上海開往北京的1462次列車途中?？?3個(gè)站(不包括上海和北京),這次列車共發(fā)售多少種不同的車票”這樣的問(wèn)題,有什么聯(lián)系呢？(類比)

例6兩個(gè)人握一次手,若每?jī)扇宋找淮问?則三個(gè)人共握幾46

3、實(shí)驗(yàn)探究問(wèn)題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)要探究的問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手操作，計(jì)算初步形成假說(shuō)、猜想，但此時(shí)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解僅停留在猜測(cè)階段，沒(méi)有真正的內(nèi)化。我們應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)造條件，要求學(xué)生“做出來(lái)看一看”，這也是數(shù)學(xué)課在對(duì)猜想進(jìn)行推理證明前所進(jìn)行的必要步驟。教師在實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，應(yīng)起到畫龍點(diǎn)睛的作用，幫助學(xué)生用類比、特殊化等合性推理的方法選擇特例或設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)猜想，并引導(dǎo)學(xué)生用學(xué)科規(guī)范的語(yǔ)言表達(dá)結(jié)論；在逐步形成結(jié)論的過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生真正暴露出合情推理的思維過(guò)程，并使之得到優(yōu)化。3、實(shí)驗(yàn)探究問(wèn)題時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)要探究的問(wèn)題，通過(guò)動(dòng)手47圖－1探索下列問(wèn)題：（1）在圖1給出的四個(gè)正方形中，各畫出一條直線（依次是：水平方向的直線、豎直方向的直線、與水平方向成45°角的直線、任意的直線），將每個(gè)正方形都分割成面積相等的兩部分；我們知道：由于圓是中心對(duì)稱圖形，所以過(guò)圓心的任何一條直線都可以將圓分割成面積相等的兩部分．

例7發(fā)現(xiàn)：中心對(duì)稱圖形，過(guò)中心的任何一條直線都可以將其分割成面積相等的兩部分．圖－1探索下列問(wèn)題：我們知道：由于圓是中心對(duì)稱圖形，所以過(guò)圓48圖—2mmmmn圖—3（2）一條豎直方向的直線m以及任意的直線n，在由左向右平移的過(guò)程