2023年人教版高考數(shù)學總復習第一部分考點指導第十一章計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布第七節(jié)二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布

第七節(jié)二項分布與超幾何分布、正態(tài)分布【考試要求】.通過具體實例，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征，并能解決簡單的實際問題..通過具體實例，了解超幾何分布及其均值，并能解決簡單的實際問題..通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量.通過具體實例，借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征.了解正態(tài)分布的均值、方差及其含義.【高考考情】考點考法：二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布是高考命題的熱點.常以真實社會背景為命題情境，主要考查學生應用相關公式求解實際問題的能力.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現(xiàn)，難度中檔.核心素養(yǎng)：數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算、邏輯推理Q =一知包林理二思碓激話 —o歸納?知識必備.伯努利試驗與二項分布(1)伯努利試驗：只有兩個可能結(jié)果的試驗.2)〃重伯努利試驗①定義：將一個伯努利試驗獨立重復進行〃次所組成的隨機試驗.②特征：(i)同一個伯努利試驗重復做〃次；(ii)各次試驗的結(jié)果相互獨立.(3)二項分布r①概念：在〃重伯努利試驗中，設每次試驗中事件力發(fā)生的概率為HO<KD,用I表示事件4發(fā)生的次數(shù)，則》的分布列為P(X=Q=C；d(l—〃)"T,k=0,1,2,〃.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量I服從二項分布，記作。).②均值與方差：如果p),那么以給=場，〃(為=np{\—p).,注解1由二項分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點分布是一種特殊的二項分布，即n=l時的二項分布..超幾何分布(1)概念：假設一批產(chǎn)品共有川件，其中有〃件次品，從N件產(chǎn)品中隨機抽取〃件(不放回),

「k「n-k用力表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=3=MN一M,4=如勿+1,ctzt+2,…，_r.其中〃，N,"GN*,M^N,nWN,/=max{0,〃-,r=min{〃，的.如果隨機變量l的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量I服從超幾何分布.nM(2)均值：E(X)=-.，注解2超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)從中抽取若干個個體，考察某類個體數(shù)I的概率分布..正態(tài)分布‘"1 (1 (X-“函數(shù)〃")=許-FXGR,其中〃GR,。＞0為參數(shù)，我們稱函數(shù)/'(X)為正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.(2)正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交.②曲線是單峰的，它關于直線三上對稱.③曲線在x=〃處達到峰值 \=.n④曲線與x軸圍成的面積為L⑤在參數(shù)。取固定值時，正態(tài)曲線的位置由〃確定，且隨著上的變化而沿x軸平移，如圖(1)所示.⑥當〃取定值時，正態(tài)曲線的形狀由。確定，。較小時,峰值高，曲線“瘦高”，表示隨機變量I的分布比較集中；。較大時,峰值低，曲線“矮胖”，表示隨機變量才的分布比較分散，如圖(2)所示.圖⑴圖(2)圖⑴圖(2)(3)正態(tài)分布的定義及表示若隨機變量I的概率分布密度函數(shù)為f（x）=TOC\o"1-5"\h\z1 （v "）2一e一一kF—，X6R，則稱隨機變量才服從正態(tài)分布，記為 。2）.（7M2JT 乙。正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值.①P（〃一。W收〃+。）p0.6827.②夕（〃一2朕〃+2。）"0.9545.③夕（〃一3oW底〃+3。）"0.9973.?注解3若I服從正態(tài)分布，即hM〃，吟,要充分利用正態(tài)曲線的關于直線X=〃對稱和曲線與x軸之間的面積為1.智學?變式探源1.選擇性必修三P80習題口2.選擇性必修三P79例61.（改變題型）拋擲一枚骰子，當出現(xiàn)5點或6點時，就說這次試驗成功，在30次試驗中成功次數(shù)才的均值為.2 1 1【解析】由題意知拋擲一枚骰子，出現(xiàn)5點或6點的概率為則有-6（3。，1

=30X-=10.答案：102.（改變數(shù)字和問法）從裝有3個白球、4個紅球的箱子中，隨機取出了3個球，恰好是2個白球、1個紅球的概率是（）4 6 12 36A?詬 B.而C,-D.—【解析】選C.如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題,A.5163BA.5163B-165C.-D.C2cl 19故所求概率為々TA=正.C7 35-慧考?四基自測3.基礎知識4.基本方法5.基本能力6.基本應用,則P（X=3）等于（）3.（二項分布）設隨機變量h?6,；

【解析】選【解析】選A.P(尤=3)=C3_20__5_

=64=16°.(伯努利試驗)甲、乙兩羽毛球運動員之間的訓練，要進行三場比賽，且這三場比賽可看做【解析】選C.假設甲取勝為事件A,設每次甲勝的概率為p,由題意得，事件A發(fā)生的次數(shù)h3(3,p),?R 2g則有1—(1一0”=四，得0=］，則事件力恰好發(fā)生一次的概率為QX-X1-- =—.b44 3 414yzb4.(正態(tài)分布應用)某班有48名同學，一次考試后的數(shù)學成績服從正態(tài)分布，平均分為80,標準差為10,則理論上在80分到90分的人數(shù)是()A.32B.16C.8D.20【解析】選B.因為數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布M80,IO?),所以尸("一80|W10)*0.6827.根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知，位于80分到90分之間的概率是位于70分到90分之間的概率的一半，所以理論上在80分到90分的人數(shù)是:X0.6827X48-16..(對稱性求解正態(tài)分布問題)已知隨機變量X服從正態(tài)分布M3,1),且PQ>2c-l)=P(/c+3),則c=.【解析】因為hM3,1),所以正態(tài)曲線關于直線x=3對稱，且PQ>2c—D=PQ<c+3),.4所以2c—l+c+3=2X3,所以c=g.答案：I、才點櫬究?恰法培優(yōu),V考點一n重伯努利試驗與二項分布|多維探究高考考情：n重伯努利試驗與二項分布是高考命題重點.以實際問題為命題背景，突出考查〃重伯努利試驗與二項分布公式的應用.試題以選擇題、填空題、解答題形式呈現(xiàn)，難度中檔.?角度1〃重伯努利試驗及其概率9 3［典例1］甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標的概率分別為§和4.假設兩人射擊是否擊中目標相互之間沒有影響，若甲射擊4次，則至少有1次未擊中目標的概率為；若兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率為.【解析】記“甲射擊4次，至少有1次未擊中目標”為事件4,則事件4的對立事件7?為“甲射擊4次，全部擊中目標”.由題意可知，射擊4次相當于做了4次獨立重復試驗，故1681.所以/(4)=1一尸(力,)=165所以甲射擊4次，至少有1次未擊中目標的概率為前.O1記“甲射擊4次，恰好擊中目標2次”為事件4,“乙射擊4次，恰好擊中目標3次”為事件2則P(4)=2則P(4)=c43p(8)=cX48272764.由于甲、乙射擊相互獨立,g27故夕(4氏)=尸(4)戶(民)=萬X—.TOC\o"1-5"\h\zZ? o所以兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標2次且乙恰好擊中目標3次的概率為5.O小g65 1合案：81 8，一題多變?nèi)舯纠優(yōu)椤凹僭O每人連續(xù)2次未擊中目標，則終止其射擊”.那么，乙恰好射擊5次后，被終止射擊的概率為多少？【解析】記“乙恰好射擊5次后，被終止射擊”為事件風，“乙第i次射擊未擊中”為事件2,3,4,5),則4=區(qū)〃石3Cd7d^~D2以口以,),且P(〃,)=].由于各事件相互獨立，故尸(4)=尸(4)尸(〃)尸(〃3)—— — — 113 1 1 45P(D2D (+D 2〃+"〃 1)=7x7x7 X(l—Z X-)=X X X X￡U乙d45所以乙恰好射擊5次后，被終止射擊的概率為「西?角度2二項分布［典例2］某省在新高考改革中，明確高考考試科目由語文、數(shù)學、英語3科，及考生在政治、歷史、地理、物理、化學、生物6個科目中自主選擇的3科組成，不分文理科.假設6個自主選擇的科目中每科被選擇的可能性相等，每位學生選擇每個科目互不影響，甲、乙、丙為某中學高一年級的3名學生.(1)求這3名學生都選擇物理的概率；(2)設才為這3名學生中選擇物理的人數(shù)，求才的分布列，并求￡0).【解析】(1)設“這3名學生都選擇物理”為事件4依題意得每位學生選擇物理的概率都為小31 15，故夕(4=5 =[,即這3名學生都選擇物理的概率為[.Z ?)o o(2)1的所有可能取值為0,1,2,3,由題意知h43,行，3)=c：@3⑥°=1,m=i)=ct2W=1.Pg2)=q◎1@2K，m=3)=c([I)°[I]3=1-所以x的分布列為X0123p]_8383818] 3 3 13E{X}=0X-+1X-+2X-+3X-=-.o o o oZ.〃重伯努利試驗概率求解的策略(1)首先判斷問題中涉及的試驗是否為〃重伯努利試驗，判斷時注意各次試驗之間是否相互獨立，并且每次試驗的結(jié)果是否只有兩種，在任何一次試驗中，某一事件發(fā)生的概率是否都相等，全部滿足〃重伯努利試驗的要求才能用相關公式求解.(2)解此類題時常用互斥事件概率加法公式，相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公—(X式.k.概率模型滿足公式P(X=〃)=C0*(1一夕)1的三個條件：n(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.?多維訓練TOC\o"1-5"\h\z1.設才?6(4,p),其中g<瓜1,且.(1=2)=捺，則p(X=3)=( )8 16 8 32A R f)81 81 27 812°8 °4【解析】選D.因為h4(4,p),所以P(X=2)=qp2(l—p)2=—,所以/(I一0)'=所.1 9 2因為5<P<1，所以。(1—p)=g,所以。=不，z y o/ 、 '3/M ⑵ 3 1 32P(X=3)=qp(1—p)=4x[]Jx-=—.2.為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進入市場前必須進行兩輪核輻射檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為:，第二輪檢測不合格的概率為白，兩輪檢測是否合格相互沒有影響.若產(chǎn)品可b 10以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元.已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利I元，則夕(尼-80)=.1 1 3【解析】由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為(1一&)(1--)=彳.易知I的所有可能取值為6 10 4一320,-200,-80,40,160.設f表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù),所以—窠(曠〃所以P(X=_80)=F(f=2)=cJ|)2. 2=^1戶《=40)=尸(f=3)”83(丁系，/g6o)=仆=4)”鼠?犀=露故^-80)=W=-80)+A/=40)+W=160)=.答案.——"2563.(2021?青島模擬)某社區(qū)組織開展“掃黑除惡”宣傳活動，為鼓勵更多的人積極參與到宣傳活動中來，宣傳活動現(xiàn)場設置了抽獎環(huán)節(jié).在盒中裝有9張大小相同的精美卡片，卡片上分別印有“掃黑除惡利國利民”或“普法宣傳人人參與”圖案.抽獎規(guī)則：參加者從盒中抽取卡片兩張，若抽到兩張分別是“普法宣傳人人參與”和“掃黑除惡利國利民”卡即可獲獎,否則，均為不獲獎.卡片用后放回盒子，下一位參加者繼續(xù)重復進行.活動開始后，一位參加者問：“盒中有幾張‘普法宣傳人人參與'卡？”主持人答：“我只知道，從盒中抽取兩張都是‘掃黑除惡利國利民'卡的概率是:(1)求抽獎獲獎的概率；(2)為了增加抽獎的趣味性，規(guī)定每個抽獎者先從裝有9張卡片的盒中隨機抽出1張不放回，再用剩下8張卡片按照之前的抽獎規(guī)則進行抽獎，現(xiàn)有甲、乙、丙三人依次抽獎，用X表示獲獎的人數(shù)，求X的分布列和均值.dI【解析】(D設“掃黑除惡利國利民”卡有n張，由才=-,得n=4,故“普法宣傳人人參與”卡有5張，抽獎者獲獎的概率為之二=§.(2)在新規(guī)則下，每個抽獎者獲獎的概率為GX=+=x-L=-,所以X?B3,:,(5、k⑷3—k即P(X=k)=q?IgI(k=0,1,2,3),X的分布列為X0123P64801001257292432437295 5所以E(X)=3X-=-.yo某公司招聘員工，先由兩位專家面試，若兩位專家都同意通過，則視作通過初審予以錄用；若這兩位專家都未同意通過，則視作未通過初審不予錄用；當這兩位專家意見不一致時，再由第三位專家進行復審，若能通過復審則予以錄用，否則不予錄用.設應聘人員獲得每位初1 3審專家通過的概率均為萬，復審能通過的概率為歷，各專家評審的結(jié)果相互獨立.(D求某應聘人員被錄用的概率；(2)若4人應聘，設X為被錄用的人數(shù)，試求隨機變量X的分布列.【解析】設“兩位專家都同意通過”為事件A,“只有一位專家同意通過”為事件B,“通過復審”為事件C.(1)設“某應聘人員被錄用”為事件D,則D=AUBC.因為P(A)=T,/、 1(n1 /、3P(B)=2X-X1—-=-,P(C)=—,乙、乙,乙 U2所以P(D)=P(AUBC)=P(A)+P(B)P(C)=e.(2)根據(jù)題意，X=0,1,2,3,4,且X?B(4,|),Ai表示“應聘的4人中恰有i人被錄用"(i=0,1,2,3,4).° r3、4 81因為p(Ao)=qx?=—,

P(A,)=f42 ⑶P(A,)=f42 ⑶3 216X5X?=625P(Aj=qX同216625p(A：,)=qx(|『x|二券'/A、'僅[4⑶0 16p(A'=qxgxg=—,所以X的分布列為X0]234P816252166252166259662516625/考點二超幾何分布講練互動[典例3](1)一個袋子中有4個紅球，3個黑球，小明從袋中隨機取球，設取到一個紅球得2TOC\o"1-5"\h\z分，取到一個黑球得1分，從袋中任取4個球，則小明得分大于6分的概率是( )13 14 18 22A'35B'35C'35D'35【解析】選4記得分為X,則X=5,6,7,8., 、64 12 , 、。。 1P(X=7) —=—；P(X=8)=—;-=—.G35 C,35、 ， 、，， 、12,1 13所以P(X>6)=P(X=7)+P(X=8)=u+77=77.(2)某大學生志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學.在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院.現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同).①求選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率;②設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列及期望.則P(A)=【解析】①設“選出的則P(A)=4960,所以選出的3名同學是來自互不相同的學院的概率為正.60②隨機變量X的所有可能值為0,1,2,3.P(X=k)= -5 (k=0,1,293).010故p(x=o)=^t^-=-,p(x=i)=A-5-=-,Cob 。 2/ 、。。 3 / 、&。 1P(X=2)=——=—,P(X=3)=—5—=—.求超幾何分布的分布列及期望的步驟，對點訓練1.（多選題）袋中有除顏色外完全相同的3個白球和2個紅球，從中任取2個球，則下列正確的是（）A.都不是白球的概率為《3日恰有1個白球的概率為三C.至少有1個白球的概率為上7D.至多有1個白球的概率為正d1 _ dd 3 .【解析】選］被p(都不是白球)=方=—,p(恰有1個白球)=”■=二，p侄少有1個4C+4 9 C：+(：61. 7白球)=-^-=75，p(至多有1個白球)=-^-=歷?2.為推動羽毛球運動的發(fā)展，某羽毛球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(1)設A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列，并求E(X).【解析】⑴由已知，有p(析,V'=郎.以 35所以事件A發(fā)生的概率為4.35(2)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(X=k)=y—(k=l,2,3,4).1 、《。 3p(x=1)=-=Ii>P(X=2)=-=7,,、44 3 . 、Cd1P(X=3)=~cT=7'P(X=4)=~dT=n-所以隨機變量X的分布列為X1234p1143737114si/、 1 , 3 . 3 , 1 5所以E(X)=1Xn+2Xy+3Xy+4X—=5.(另法：E(X)=笠^=|)

教師專用教師專用【加練備選】某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語，2人只會英語，3人既會法語又會英語，現(xiàn)選派3人到法國的學校交流訪問.求:(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率;47,(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數(shù)X47,【解析】(1)事件A"選派的三人中恰有2人會法語”的概率為P(A)=(2)X的取值為0,1,2,3.則TOC\o"1-5"\h\z/ 、。 4 / 、《《 18P(X=0)=k=藪，P(X=1)=~—=—,, \。。 12 , \4 1P(X=2)=~~ =77?P(X=3) .G 35 C, 35所以分布列為X0123P43518351235135TOC\o"1-5"\h\z,、 18 12 1 9E(X)=1X赤+2X-+3X-=-./考點三正態(tài)分布|講練互動[典例4](1)(多選題)(2021?泰安模擬)“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術的研究、應用與推廣，發(fā)明了“三系法”釉型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級雜交稻技術體系，為我國糧食安全、農(nóng)業(yè)科學發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻.某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高X(單位：c血服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)為f(x)=7=?e一上竦蟲一，x2(-8,+8),則下列說法正確的是()10^/2n 200A.該地水稻的平均株高為100cmB.該地水稻株高的方差為10cmC.隨機測量一株水稻，其株高在120切以上的概率比株高在70c加以下的概率大D.隨機測量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之間的概率一樣大

【解析】選4C【解析】選4C正態(tài)分布密度函數(shù)為f(x)=(x—u)2,XG(—8,+00),由題意知u=100,。2=100,所以該地水稻的平均株高為100cm,方差為100,故4正確,6錯誤；因為正態(tài)分布密度曲線關于直線x=100對稱，所以P(X>120)=P(XV80)>P(XV70),故。正確；P(100<X<110)=P(90<X<100)>P(80<X<90),故〃錯誤.(2)為了解高三復習備考情況，其校組織了一次階段考試.若高三全體考生的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布N(100,17.5%已知成績在117.5分以上(不含117.5分)的學生有80人，則此次參加考試的學生成績低于82.5分的概率為；如果成績大于135分的為特別優(yōu)秀，那么本次數(shù)學考試成績特別優(yōu)秀的大約有人.(若X?N(u,。與，則P(u-oWXW□+。)-0.68,P(u—2。WXWU+2。)-0.96)【解析】因為數(shù)學成績X服從正態(tài)分布N(100,17.5?),則P(100-17.5^X^100+17.5)=P(82.5WXW117.5)=0.68,所以此次參加考試的學生成績低于82.5分的概率P(X<82.5)=P(X<82.5)=1-P(82.5^X^117.5)21-0.68? =0.16.又P(100-17.5X2這XW100+17.5X2)=P(65WXW135)=0.96,所以數(shù)學成績特別優(yōu)秀的概率P(X〉135)概率P(X〉135)=l-P(65WXW135)21-0.96% =0.02.又P(X<82.5)=P(X>117.5)=0.16,則本次考試數(shù)學成績特別優(yōu)秀的人數(shù)大約是就X0.02=10.答案：0.1610教師專用必正態(tài)分布下兩類常見的概率計算(1)利用3。原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的u,。進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(u—。，u+。)，(u—2O,P+2O),(U—30,口+3。)中的哪一個.(2)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線X=u對稱，及曲線與x軸之間的面積為L注意下面結(jié)論的活用：①對任意的a,有P(X