球面距離計(jì)算公式的推導(dǎo)及舉例

(1)(2)(3)sin(1)(2)(3)sina'sina'_a'sina sina<牛，故只需證明函數(shù)f(X)_sinXf'(x)_XCOsX-sinX_cosX(X5X)<0,由（2）式知a'>a.由于0<a<a'?.?當(dāng)xg0,二時(shí)，有tanx>x)/I2丿?f（X）在由（3）式不難得到L-<1，即L<l?故大圓劣弧最短。球面距離的計(jì)算及其計(jì)算公式在球面上，不在同一直徑上的兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣派的長(zhǎng)度，我們把這段抓長(zhǎng)叫做球面上這兩點(diǎn)間的球面距離.（也叫球面上的短程線或測(cè)地線）如圖1,A、B為球面上不在同一直徑上的兩點(diǎn)，O為圓心O為過(guò)A、B的大圓，0O為過(guò)A、B的任一個(gè)小圓，我們把這兩個(gè)圓畫在同一個(gè)平面內(nèi).（見(jiàn)圖1）設(shè)ZAOB二2a，ZAO'B二2a'，球半徑為R，半徑為r.則有AB大圓弧長(zhǎng)L=2R，L2aRaRAB小圓弧長(zhǎng)心2a'r = =-l2ararRsina但AB二2Rsina二2rsma，即一= rsinaLa將（2）代入（1）得丁=-la球面距離公式：設(shè)-個(gè)球面的半徑為R，球面上有兩點(diǎn)A（a1，卩1）、B（a2,卩Qi其中a1，a2為點(diǎn)的經(jīng)度數(shù)，0J02為點(diǎn)的緯度數(shù)，過(guò)A、B兩點(diǎn)的大圓劣弧所對(duì)的圓心角為。，則有0_arccoscos0+0_arccoscos0+sin0-sin0]（弧度）A、B間的球面距離為：L_R0_Rarccos[cos(a-a)cos0cos0+sin0?sin0]121212證明：如圖1，0O與。O分別為過(guò)A、B的緯度圈，過(guò)A、C的大圓，過(guò)B、D的大圓分別為A、12B的經(jīng)度圈’而經(jīng)度圈與緯度圈所在的平面互相垂直，作AE丄面O2BC，垂足E位于O2C上,連結(jié)EB、TOC\o"1-5"\h\zAB則AE2_OO2_(OO一OO》_(Rsin0一Rsin0》_R2Qin0-sin0》12 1 2 1 2 1 2在AOBE中，由余弦定理，得：BE2_OE2+OB2+2OE?OBcos(a-a)2 2 2 22 12_OA2+OB2—2OA?OBcosC—a)1 2 1 2 1 2_(Rcos0》+(Rcos0》一2Rcos0?Rcos0?cos(a—a)121212

=R2[los2P+cos2P—2cosP-cosP-cosCx—a121211故AB2=AE2+BE2=R2[2—2sinPsinP—2cosPcosP-cosCx—a}121212又AB2=2Rsin糾2又AB2=2Rsin糾2丿=4R2sin2?=2R26—COS。），比較上述兩式，化簡(jiǎn)整理得:cos0=cos(acos卩2+sinP1sin卩2,從而可證得關(guān)于0與L的兩個(gè)式子.計(jì)算球面距離的三種類型現(xiàn)行課本中，介紹了球面距離的概念，這方面的習(xí)題很多，同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)普遍感到困難.下面給出這類習(xí)題解答的示范，以供同學(xué)們參考.位于同一緯度線上兩點(diǎn)的球面距離例1已知A，B兩地都位于北緯45。，又分別位于東經(jīng)30。和60。，設(shè)地球半徑為R，求A，B的球面距離.分析：要求兩點(diǎn)A，B的球面距離，過(guò)A，B作大圓，根據(jù)弧長(zhǎng)公式，關(guān)鍵要求圓心角ZAOB的大?。ㄒ?jiàn)圖1）,而要求/AOB往往首先要求弦AB的長(zhǎng)，即要求兩點(diǎn)的球面距離，往往要先求這兩點(diǎn)的直線距離.解：作出直觀圖（見(jiàn)圖2），設(shè)O為球心，O］為北緯45。圈的圓心，連結(jié)OA，OB，O1A11OB，AB.由于地軸NS丄平面AOB.ZOAO與ZOBO為緯度45。，ZAOB為二面角A-OO-B11的平面角??：ZAOB=60。—30。=30。（經(jīng)度差）.1Rt△OAO中,OA=OAcosZOAO=R?cos45。衛(wèi)R2△OAB中，由余弦定理，AB2=OA2+OB2—2OA-OBcosZAOB111111運(yùn)r吃r?亦30。=R2.222―、.;3TOC\o"1-5"\h\zR2+R2— R2OA2+OB2—AB2 22OA-OB△OAB中，由余弦定理：cos2OA-OB2R2兀R 7.??ZAOB沁21。..??AB的球面距離約為?21= 兀R.180 60位于同一經(jīng)線上兩點(diǎn)的球面距離例2求東經(jīng)57。線上，緯度分別為北緯68。和38。的兩地A，B的球面距離.（設(shè)地球半徑為R）.解：經(jīng)過(guò)A、B兩地的大圓就是已知經(jīng)線.ZAOB=6-38。=30。，AB=嘗環(huán)

位于不同經(jīng)線，不同緯線上兩點(diǎn)的球面距離例3A地位于北緯30。,東經(jīng)60。,B地位于北緯60。,東經(jīng)90。,求A,B兩地之間的球面距離.(見(jiàn)圖4)解：設(shè)O為球心，O,O分別為北緯30。和北緯60。圈的圓心，連結(jié)OA,OB,12AB.\Rt△OOA中，由緯度為30。知ZOAO=30。,11OO=OAsinZOAO=Rsin30。=丄RAO=OAcosZOAO=Rcos30AO=OAcosZOAO=Rcos30。i iRt△OOB中，ZOBO=60°,22OO=R-sin60°2OB=R-cos60°=R???OO=OO-OO=乜R-OO=R-sin60°22 2'i2 2i2 2 2注意到OA與OB是異面直線，它們的公垂線為OO，所成的角為經(jīng)度差90°-60°=30°，利用異面直1212線上兩點(diǎn)間的距離公式.AB2=OA2+OB2+OO2一2OA-OBcos