【新教材精創(chuàng)】3-1-2 函數(shù)的表示法 教學(xué)設(shè)計(jì)（2）-人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)

3.1.2函數(shù)的表示法課本從引進(jìn)函數(shù)概念開始就比較注重函數(shù)的不同表示方法：解析法，圖象法，列表法．函數(shù)的不同表示方法能豐富對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)，幫助理解抽象的函數(shù)概念．特別是在信息技術(shù)環(huán)境下，可以使函數(shù)在形與數(shù)兩方面的結(jié)合得到更充分的表現(xiàn)，使學(xué)生通過函數(shù)的學(xué)習(xí)更好地體會(huì)數(shù)形結(jié)合這種重要的數(shù)學(xué)思想方法．因此，在研究函數(shù)時(shí)，要充分發(fā)揮圖象的直觀作用．在研究圖象時(shí)，又要注意代數(shù)刻畫以求思考和表述的精確性．課本將映射作為函數(shù)的一種推廣，這與傳統(tǒng)的處理方式有了邏輯順序上的變化．這樣處理，主要是想較好地銜接初中的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生將更多的精力集中理解函數(shù)的概念，同時(shí)，也體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程．課程目標(biāo)1、明確函數(shù)的三種表示方法；2、在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)；3、通過具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：函數(shù)解析法及能由條件求出解析式；2.邏輯推理：由條件求函數(shù)解析式；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：由函數(shù)解析式求值及函數(shù)解析式的計(jì)算；4.數(shù)據(jù)分析：利用圖像表示函數(shù)；5.數(shù)學(xué)建模：由實(shí)際問題構(gòu)建合理的函數(shù)模型。重點(diǎn)：函數(shù)的三種表示方法，分段函數(shù)的概念.難點(diǎn)：根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)，什么才算“恰當(dāng)”？分段函數(shù)的表示及其圖象．教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用誘思探究式教學(xué)，精講多練。教學(xué)工具：多媒體。情景導(dǎo)入初中已經(jīng)學(xué)過函數(shù)的三種表示法：列表法、圖像法、解析法，那么這三種表示法定義是？?jī)?yōu)缺點(diǎn)是？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本67-68頁，思考并完成以下問題1.表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法有幾種？分別是什么？2.函數(shù)的各種表示法各有什么特點(diǎn)？3.什么是分段函數(shù)？分段函數(shù)是一個(gè)還是幾個(gè)函數(shù)？4.怎樣求分段函數(shù)的值？如何畫分段函數(shù)的圖象？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。新知探究1．函數(shù)的表示法列表法圖像法解析法定義用表格的形式把兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系表示出來的方法用圖像把兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系表示出來的方法一個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用自變量的解析式表示出來的方法優(yōu)點(diǎn)不必通過計(jì)算就能知道兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比較直觀可以直觀地表示函數(shù)的局部變化規(guī)律，進(jìn)而可以預(yù)測(cè)它的整體趨勢(shì)能叫便利地通過計(jì)算等手段研究函數(shù)性質(zhì)缺點(diǎn)只能表示有限個(gè)元素的函數(shù)關(guān)系有些函數(shù)的圖像難以精確作出一些實(shí)際問題難以找到它的解析式2.分段函數(shù)(1)分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．[點(diǎn)睛](1)分段函數(shù)雖然由幾部分構(gòu)成，但它仍是一個(gè)函數(shù)而不是幾個(gè)函數(shù)．(2)分段函數(shù)的“段”可以是等長(zhǎng)的，也可以是不等長(zhǎng)的．如y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，－2≤x≤0，,x，0＜x≤3，))其“段”是不等長(zhǎng)的．四、典例分析、舉一反三題型一函數(shù)的定義例1某種筆記本的單價(jià)是5元，買x(x∈{1，2，3，4，5})個(gè)筆記本需要y元．試用三種表示法表示函數(shù)y=f(x)．【解析】這個(gè)函數(shù)的定義域是數(shù)集{1，2，3，4，5}.用解析法可將函數(shù)y=f（x）表示為y=5x,x∈{1，2，3，4，5}用列表法可將函數(shù)y=f(x)表示為用圖像法可將函數(shù)y=f(x)表示為解題技巧：（表示函數(shù)的注意事項(xiàng)）1.函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)等等，注意判斷一個(gè)圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2.解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3.圖象法：是否連線；4.列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征．跟蹤訓(xùn)練一x123g(x)3211．已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出．x123f(x)211則f(g(1))的值為________；當(dāng)g(f(x))＝2時(shí)，x＝________.【答案】11【解析】由于函數(shù)關(guān)系是用表格形式給出的，知g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2，∴x＝1.題型二分段函數(shù)求值例2已知函數(shù)f(x)＝(1)求ffx的值；(2)若f(x)＝13，求【答案】(1)eq\f(4,13)(2)±eq\r(2)【解析】(1)因?yàn)閒eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－1))－2＝－eq\f(3,2)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))2)＝eq\f(4,13).(2)f(x)＝eq\f(1,3)，若|x|≤1，則|x－1|－2＝eq\f(1,3)，得x＝eq\f(10,3)或x＝－eq\f(4,3).因?yàn)閨x|≤1，所以x的值不存在；若|x|>1，則eq\f(1,1＋x2)＝eq\f(1,3)，得x＝±eq\r(2)，符合|x|＞1.所以若f(x)＝eq\f(1,3)，x的值為±eq\r(2).解題技巧：(分段函數(shù)求值問題)1.求分段函數(shù)的函數(shù)值的方法（1）確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間.（2）代入該段的解析式求值，直到求出值為止.當(dāng)出現(xiàn)f(f(x0))2.求某條件下自變量的值的方法先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后相應(yīng)求出自變量的值，切記代入檢驗(yàn).跟蹤訓(xùn)練二1.【答案】－eq\r(6)或10【解析】解析：當(dāng)x0≤2時(shí)，f(x0)＝xeq\o\al(2,0)＋2＝8，即xeq\o\al(2,0)＝6，∴x0＝－eq\r(6)或x0＝eq\r(6)(舍去)；當(dāng)x0>2時(shí)，f(x0)＝eq\f(4,5)x0，∴x0＝10.綜上可知，x0＝－eq\r(6)或x0＝10.題型三求函數(shù)解析式例3(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求f(x(2)已知f(x)是二次函數(shù),且滿足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式;(3)已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,求f(x).【答案】見解析【解析】(1)(方法一)令x+1=t,則x=t-1.將x=t-1代入f(x+1)=x2-3得f(t)=t-12-3(t-1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=(方法二)∵f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x+1-5x-5+6=x+12-5(x+1)+6,∴f(x)=(2)設(shè)所求的二次函數(shù)為f(x)=ax2+bx+c(a≠0)∵f(0)=1,∴c=1,則f(x)=ax2+bx+1.∵f(x+1)-f(x)=2x對(duì)任意的x∈R都成立∴ax+12+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=即2ax+a+b=2x,由恒等式的性質(zhì),得2a=2,a+b=0,∴a=1,b=-1.∴所求二次函數(shù)為f(3)∵對(duì)于任意的x都有f(x)+2f(-x)=3x-2,∴將x替換為-x,得f(-x)+2f(x)=-3x-2,聯(lián)立方程組消去f(-x),可得f(x)=-3x-23解題技巧：（求函數(shù)解析式的四種常用方法）1.直接法(代入法):已知f(x)的解析式,求f(g(x))的解析式,直接將g(x)代入即可.2.待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型,可用待定系數(shù)法求解,即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式,再根據(jù)條件列方程(或方程組),通過解方程(組)求出待定系數(shù),進(jìn)而求出函數(shù)解析式.3.換元法(有時(shí)可用“配湊法”):已知函數(shù)f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”),即令g(x)=t,反解出x,然后代入f(g(x))中求出f(t),從而求出f(x).4.解方程組法或消元法:在已知式子中,含有關(guān)于兩個(gè)不同變量的函數(shù),而這兩個(gè)變量有著某種關(guān)系,這時(shí)就要依據(jù)兩個(gè)變量的關(guān)系,建立一個(gè)新的關(guān)于兩個(gè)變量的式子,由兩個(gè)式子建立方程組,通過解方程組消去一個(gè)變量,得到目標(biāo)變量的解析式,這種方法叫做解方程組法或消元法.跟蹤訓(xùn)練三1.已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式;

2.已知f(x+1)=x+2x,求f(x)的解析式;3.設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(x)+2f1x=x(x≠0),求f(x)【答案】見解析【解析】(1)∵f(x)為一次函數(shù),∴可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0).∵f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=2x-1.∴a2=2故f(x)=2x+1-2或f(x)=-2x+1+2.(2)(方法一)f(x+1)=(x)2+2x+1-1=(x+1)2-1,其中x+1≥1,故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.(方法二)令x+1=t,則x=(t-1)2,且t≥1,函數(shù)f(x+1)=x+2x可化為f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x2-1,其中x≥1.(3)因?yàn)閷?duì)任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f1x=x成立所以對(duì)于1x∈R,且1x≠0,有f1x+2f(x)=1②×2-①得,f(x)=13題型四函數(shù)的圖像及應(yīng)用例41.函數(shù)f(x)＝|x－1|的圖象是()2.給定函數(shù)fx=x+1,g(1)在同一直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)fx（2）?x∈R,用Mx表示【答案】1.B2.見解析【解析】1.法一：函數(shù)的解析式可化為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1，,1－x，x＜1.))畫出此分段函數(shù)的圖象，故選B.法二：由f(－1)＝2，知圖象過點(diǎn)(－1,2)，排除A、C、D，故選B.2.（1）同一直角坐標(biāo)系中函數(shù)fx（2）結(jié)合Mx的定義，可得函數(shù)M由x+12=x+1,得由圖易知Mx的解析式為Mx解題方法（函數(shù)圖像問題處理措施）（1）若y=f（x）是已學(xué)過的基本初等函數(shù)，則描出圖象上的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，直接畫出圖象即可，有些可能需要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍.（2）若y=f（x）不是所學(xué)過的基本初等函數(shù)之一，則要按：①列表；②描點(diǎn)；③連線三個(gè)基本步驟作出y=f（x）的圖象.（3）作分段函數(shù)的圖象時(shí)，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時(shí)，先不管定義域的限制，作出其圖象，再保留定義域內(nèi)的一段圖象即可，作圖時(shí)要特別注意接點(diǎn)處點(diǎn)的虛實(shí)，保證不重不漏.跟蹤訓(xùn)練四1．已知函數(shù)f(x)的圖象如右圖所示，則f(x)的解析式是________．2．若定義運(yùn)算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a＜b.))則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域?yàn)開_______．【答案】1.f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，－1≤x＜0，,－x，0≤x≤1))2.(－∞，1]【解析】1.由圖可知，圖象是由兩條線段組成，當(dāng)－1≤x＜0時(shí)，設(shè)f(x)＝ax＋b，將(－1,0)，(0,1)代入解析式，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a＋b＝0，,b＝1.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))當(dāng)0≤x≤1時(shí)，設(shè)f(x)＝kx，將(1，－1)代入，則k＝－1.2.由題意得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,x，x＜1，))畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(－∞，1]．題型五函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用例5下表是某校高一（1）班三位同學(xué)在高一學(xué)年度幾次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)及班級(jí)及班級(jí)平均分表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次王偉988791928895張城907688758680趙磊686573727582班平均分88．278．385．480．375．782．6請(qǐng)你對(duì)這三們同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個(gè)分析．【答案】見解析【解析】從表可以知道每位同學(xué)在每次測(cè)試中的成績(jī)，但不太容易分析每位同學(xué)的成績(jī)變化情況。如果將每位同學(xué)的“成績(jī)”與“測(cè)試序號(hào)”之間的函數(shù)關(guān)系分別用圖象（均為6個(gè)離散的點(diǎn)）表示出來，如圖3.1-6，那么就能直觀地看到每位同學(xué)成績(jī)變化的情況，這對(duì)我們的分析很有幫助.從圖3.1-6可以看到，王偉同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)始終高于班級(jí)平均水平，學(xué)習(xí)情況