數(shù)據(jù)處理與表征的新概念

數(shù)據(jù)處理與表征的新概念史錦順中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第27研究所鄭州450005摘要提出測(cè)量數(shù)據(jù)擬合計(jì)算中的一個(gè)技巧——對(duì)稱編號(hào)，給出簡(jiǎn)化擬合計(jì)算的實(shí)例。說(shuō)明誤差偏差計(jì)算中取標(biāo)準(zhǔn)值的原則。指出：統(tǒng)計(jì)測(cè)量不能剔除粗差?；谖⑿≌`差準(zhǔn)則，給出測(cè)量數(shù)據(jù)有效數(shù)字的新定義。關(guān)鍵詞常規(guī)測(cè)量統(tǒng)計(jì)測(cè)量貝塞爾公式不確定度準(zhǔn)確度1必要測(cè)量與重復(fù)測(cè)量一定的質(zhì)表現(xiàn)為一定的量，我們?nèi)粘Ｉ罟ぷ鞫茧x不開測(cè)量與計(jì)算。日常生活中的測(cè)量，誤差?？珊雎?。科學(xué)與技術(shù)中的物理量測(cè)量就不同了，測(cè)量?jī)x器誤差或物理量值的變化，通常不能忽略了事。要知道物理量的大小，必須進(jìn)行至少一次測(cè)量，這叫做必要測(cè)量。要知道物理量在一定間隔時(shí)間的變化，必須進(jìn)行至少二次測(cè)量，這兩次測(cè)量也是必要測(cè)量。生活中只進(jìn)行必要測(cè)量就夠了，但技術(shù)測(cè)量，包括常規(guī)測(cè)量測(cè)量與統(tǒng)計(jì)測(cè)量，要進(jìn)行多次測(cè)量。除必要測(cè)量以外的測(cè)量稱重復(fù)測(cè)量（有的計(jì)量學(xué)書上稱為多余測(cè)量，似不妥當(dāng)，并不是“多余”）?？茖W(xué)的測(cè)量，應(yīng)該包括必要測(cè)量與重復(fù)測(cè)量。科學(xué)技術(shù)工作者要養(yǎng)成習(xí)慣，凡測(cè)量，都要包含重復(fù)測(cè)量。最少測(cè)3次，通常測(cè)10次，有些則要求測(cè)量上百次。例如頻率穩(wěn)定度的測(cè)量，秒以下采樣時(shí)，國(guó)際慣例，采樣次數(shù)是100。測(cè)量晶振日老化率，通常測(cè)量7周天。為知一天的變化量，間隔一天測(cè)2次，這是必要測(cè)量，其余測(cè)量是重復(fù)測(cè)量。2多次測(cè)量取平均值的意義定理表征量值的最佳值是測(cè)得值的平均值。設(shè)對(duì)一個(gè)物理量測(cè)量了N次，共有N個(gè)測(cè)得值：A『A2，……AN。找一個(gè)值B，使其與各值差的平方和為最小。做函數(shù)：Q=兜（A-B2ii=1注意，這里B是我們要尋找的量，是變量。令竺=0dB有-2尤（A-B）=0ii=11La-NB=0ii=1得BIA.⑴i=1由以上推導(dǎo)過(guò)程，知B是最佳估值；由表達(dá)式（1），知B是平均值；故知平均值是最佳估值。定理得證。對(duì)量值進(jìn)行多次測(cè)量取平均值有下列好處：（1）常規(guī)測(cè)量可以減小隨機(jī)誤差；（2）可以避免差錯(cuò)在統(tǒng)計(jì)測(cè)量的情況下，平均操作是取得統(tǒng)計(jì)平均值。平均值是期望值的最佳估值。3數(shù)據(jù)擬合的技巧對(duì)變化可略的量，進(jìn)行多次測(cè)量，取平均值，是常數(shù)擬合。如上節(jié)所述。對(duì)變化的量，進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，是函數(shù)擬合。此函數(shù)通常取多項(xiàng)式函數(shù)。依多項(xiàng)式的階數(shù)，稱一階擬合（線性擬合）、二階擬合、三階擬合……。（1）零階擬合前述對(duì)常量的擬合，可以看作對(duì)函數(shù)"B的擬合，是零階擬合。其結(jié)果是B=1項(xiàng)Ni

i=1（2）一階擬合對(duì)應(yīng)等間隔的自變量X1、x2、……xN，測(cè)得值為y1、y2、……yN，測(cè)得值大致呈直線。

擬合一條直線，使測(cè)得值與線的差的平方和最小。設(shè)直線為：y=B+kx作函數(shù)：Q=丈（y-B—kx*

iii=1這里是選曲線，B、k是變量。令迪=0dB-2尤(y—B—kx)=0i=1-2尤(y.—B—kx)^=0i=1整理（2）（3）NB+k=?.（2）（3）i=1i=1B?+k乙2=&xi=1i=1i=1由聯(lián)立方程（2）（3）求解，是經(jīng)典解法。易見這是未知量B、k的線性方程組，其解為:[Zyt[Zytpxf[-[XxjXy.x.i=1N[ZyX]—[Xy丫Xx

CiiJl"人.'x2i=1如此常規(guī)求解，一階擬合的解，表達(dá)式與計(jì)算已很繁，二階以上的解與計(jì)算更繁。這里介紹一種簡(jiǎn)化方法。這種方法的核心是對(duì)稱編號(hào)。函數(shù)擬合的前提是自變量無(wú)誤差，而函數(shù)有誤差或有隨機(jī)變化。把自變量等間隔地分成N段，則可表為：x.=id

通常的編號(hào)方法是i從1到N?，F(xiàn)推薦對(duì)稱編號(hào)，i從-n到+n。則必有:定理等間隔劃分的自變量，對(duì)稱編號(hào)時(shí)，自變量的奇次方之和為零。證明對(duì)稱編號(hào)時(shí)，由于-1的奇次方是-1，i為正值時(shí)自變量各奇次方值，必有絕對(duì)值相等而正負(fù)號(hào)相反的值與其對(duì)應(yīng)，相消了，故求和結(jié)果為零。聯(lián)立方程（2）（3）變?yōu)?NB=?

i

i=-nk?2=￡聯(lián)立方程（2）（3）變?yōu)?NB=?

i

i=-nk?2=￡i=-ni=-n易得解為B=1?Nii=-nXk=i=n乙2i

i=n(3)2階擬合&ii=n”d乙2i=-n模型y=B+kx+ax2作函數(shù)Q=￡G+kx+ax2-y(5)(6)(7)(8)(9)i=-n孚=0;dk籍=0;dai=-ni=-ni=-n(10)(11)(12)由于對(duì)稱編號(hào)，i=-ni=-ni=-n(10)(11)(12)NB+a乙2心i=-ni=-nk乙2i=-ni=-nB+aEx：=工叩：由（10）至（12）,解得:^]Ly^-f]Lx2^]Ly^-f]Lx2丫X——、i--nXx4)」Xii--nN"i--n\x2i--ni)\y.x2八；“)1--n2(13)(14)X”iik—i-nXx2ii--n\X2ii--n八.*N件x(14)\X2ii--n八.*N件x：j」Xi--n\x2i--ni)]，)i--n2(15)注意到x.=泌且有公式:iXi2-1n(n+1)2n+1)i-1Xi4-1n(n+1)2n+1)(n2+3n-)30i-1由此，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化（13）（14）（15）各式。在以后刊出的測(cè)速文中有具體結(jié)果。4誤差與偏差表達(dá)的標(biāo)準(zhǔn)值問(wèn)題誤差與偏差的表達(dá)中，都有以什么值當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)的問(wèn)題。早期曾把量值分為兩類：表類和源類。表類，如螺旋測(cè)微器、電壓表等的示值。示值就是測(cè)得值。以被測(cè)量的實(shí)際值為標(biāo)準(zhǔn)。例如，物理量的實(shí)際值為A，表的示值即測(cè)得值為Am，實(shí)際值A(chǔ)做標(biāo)準(zhǔn)。誤差為△A=A-Amm源類，如標(biāo)準(zhǔn)頻率源之頻率，標(biāo)準(zhǔn)電池之電壓等，在同一名義值下，在不同時(shí)刻，給出不同的量值。以標(biāo)稱值為標(biāo)準(zhǔn)。如標(biāo)稱值為A。，而實(shí)際輸出值為Aj,標(biāo)稱值A(chǔ)。做標(biāo)準(zhǔn)。偏差為△A=A—A11o這種表達(dá)方法，運(yùn)用方便，下稱第1種方法。特別是在各類頻率源的表達(dá)中，幾乎占統(tǒng)治地位。缺點(diǎn)是這樣做的理由論述不夠，當(dāng)今雖靠習(xí)慣支撐著，卻被指責(zé)違反規(guī)定。上世紀(jì)末期，出現(xiàn)了新的規(guī)定，不分表類源類，一律以物理量的實(shí)際值為標(biāo)準(zhǔn)。下稱第2種方法。這種作法，似乎很理直氣壯，這是以客觀物理量為標(biāo)準(zhǔn)呀，誰(shuí)好反對(duì)？舉個(gè)實(shí)際例子。例如5MHz晶振，實(shí)測(cè)頻率為5000000.5Hz，按第1種方式：A=A—Ao=5000000.1Hz-5MHz=+0.5Hz5MHz是標(biāo)稱值，視為無(wú)限精確值。該晶振頻率偏高，或說(shuō)頻率偏高+1.0X10-7；按第2種方式：A=Ao—A=5MHz—5000000.1Hz=—0.5Hz該晶振頻率的標(biāo)稱值偏低0.5Hz，或說(shuō)標(biāo)稱值偏低1.0X10-7。這種說(shuō)法不當(dāng)，5MHz的晶振可能有千萬(wàn)臺(tái)，標(biāo)稱值是固定的常量，怎么說(shuō)標(biāo)稱值高了還是低了。差異性是晶振的實(shí)際頻率造成的，考察的是實(shí)際頻率，它是被比較的，它不該做標(biāo)準(zhǔn)。在實(shí)際應(yīng)用中，晶振大量應(yīng)用于時(shí)鐘，鐘的計(jì)時(shí)量與頻率成正比，這里的頻率指的是頻率實(shí)際值，用標(biāo)稱值高低的說(shuō)法就很不順。是不是用第1種說(shuō)法，即分表類、源類好呢？不，這樣分類缺少抵抗力，也未涉及問(wèn)題本質(zhì)。第3種方法是區(qū)分常規(guī)測(cè)量與統(tǒng)計(jì)測(cè)量。這是本書測(cè)量分類說(shuō)的自然引申。常規(guī)測(cè)量，以物理量的實(shí)際值為標(biāo)準(zhǔn)；統(tǒng)計(jì)測(cè)量，以標(biāo)稱值為標(biāo)準(zhǔn)。例如用計(jì)數(shù)式頻率計(jì)測(cè)量頻率。按第1種方式，先要認(rèn)定這是表類還是源類，表面上看計(jì)數(shù)式頻率計(jì)給出示值，似乎是表類，現(xiàn)用計(jì)數(shù)式頻率計(jì)測(cè)晶振，晶振又是源類，這個(gè)問(wèn)題按第1種方式是說(shuō)不清的。按第2種方式，要以晶振實(shí)際輸出值為準(zhǔn)，而晶振實(shí)際輸出值可能是變化的，標(biāo)準(zhǔn)有多個(gè)，這不好。按第3種方式，先要區(qū)分是常規(guī)測(cè)量還是統(tǒng)計(jì)測(cè)量。如果計(jì)數(shù)式頻率計(jì)內(nèi)標(biāo)晶振指標(biāo)遠(yuǎn)高于被測(cè)晶振，這是通常情況，在分辨力足夠的條件下，測(cè)量誤差可略，測(cè)得的值都是真值（實(shí)際值），這是統(tǒng)計(jì)測(cè)量，是統(tǒng)計(jì)問(wèn)題，表達(dá)偏差要用標(biāo)稱值做標(biāo)準(zhǔn)。如果計(jì)數(shù)式頻率計(jì)內(nèi)標(biāo)晶振指標(biāo)遠(yuǎn)低于被測(cè)品振，這不是通常情況，可能是在檢查頻率計(jì)本身，測(cè)得值的變化與偏離，反映的是測(cè)量誤差，這是常規(guī)測(cè)量問(wèn)題，量值標(biāo)準(zhǔn)要用被測(cè)量的真值，那就是被測(cè)晶振的標(biāo)稱值。在檢定工作的實(shí)踐中，以高指標(biāo)的頻率合成器為標(biāo)準(zhǔn)，用被檢頻率計(jì)測(cè)量頻率合成器的各種頻率輸出，這是典型的測(cè)量問(wèn)題。對(duì)該頻率計(jì)來(lái)說(shuō)，頻率合成器的頻率示值就是真值，頻率計(jì)測(cè)得值與其差就是該頻率計(jì)的誤差。筆者曾用此法檢查出一種型號(hào)的集成式頻率計(jì)（其晶振電路缺少隔離級(jí)）的頻率牽引現(xiàn)象。將測(cè)量分為常規(guī)測(cè)量與統(tǒng)計(jì)測(cè)量，也順便解決了表達(dá)誤差偏差時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)值問(wèn)題。5統(tǒng)計(jì)測(cè)量不能剔除粗差粗差是測(cè)量數(shù)據(jù)中的超常數(shù)據(jù)的誤差，其絕對(duì)值過(guò)大。是不是粗差，有幾種判別方法，最常用的是3。法。這種粗差判別法說(shuō)：凡大于3。的誤差是粗差，產(chǎn)生粗差的數(shù)據(jù)是異常數(shù)據(jù)，異常數(shù)據(jù)剔除。處理過(guò)程：全體數(shù)據(jù)計(jì)算J1，誤差大于3。1的數(shù)據(jù)剔除；用其余數(shù)據(jù)再算。2,誤差大于3。2的數(shù)據(jù)剔除……。筆者認(rèn)為粗差剔除雖然可以用于常規(guī)測(cè)量，但用時(shí)要慎重，更不應(yīng)遞進(jìn)式舍棄；要尋找數(shù)據(jù)分散的原因，不該剔除了事。筆者在這里提出的是一個(gè)新觀點(diǎn)：在統(tǒng)計(jì)測(cè)量中，不能剔除粗差。常規(guī)測(cè)量，是經(jīng)典的測(cè)量。被測(cè)量的量值是客觀存在，是唯一的、不變的。測(cè)量出的數(shù)據(jù)是人的認(rèn)識(shí)，認(rèn)識(shí)有準(zhǔn)確與不大準(zhǔn)確之分。不大準(zhǔn)確是正常的；而太不準(zhǔn)確，那是錯(cuò)誤，錯(cuò)誤該去掉。因而對(duì)常規(guī)測(cè)量，剔除粗差相當(dāng)于去掉錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。但對(duì)統(tǒng)計(jì)測(cè)量，性質(zhì)就變了。在統(tǒng)計(jì)測(cè)量中，測(cè)量誤差可略，測(cè)得值個(gè)個(gè)是真值，真值是不能去的。真值不可拋，不能舍棄異常值。要分析產(chǎn)生異常值的原因。找出原因，改正，直到不出現(xiàn)異常值。也許一時(shí)找不到原因，異常值仍出現(xiàn)，那只有把此異常值統(tǒng)計(jì)入被測(cè)量的特性中。異常值的出現(xiàn)，有兩種可能，一種是測(cè)量?jī)x器等測(cè)量過(guò)程的問(wèn)題，另一種是被測(cè)量有異常變化。測(cè)量通常是保證措施，必須保險(xiǎn)，不能漏掉該查出的問(wèn)題，故不可舍棄異常值。頻率測(cè)量通常是統(tǒng)計(jì)測(cè)量（研制與檢驗(yàn)頻率計(jì)的測(cè)量是常規(guī)測(cè)量）。頻率穩(wěn)定度表征頻率源的頻率穩(wěn)定性。測(cè)量頻率穩(wěn)定度，要求測(cè)量設(shè)備（包括參考源、比較系統(tǒng)、計(jì)算系統(tǒng)等）的頻率變化遠(yuǎn)小于被測(cè)頻率的變化。當(dāng)今通行的阿侖方差，其測(cè)量與計(jì)算是不舍棄異常值的。不剔除異常值這一條，在頻率穩(wěn)定度測(cè)量中，已實(shí)行三十多年了。這里，將其上升為規(guī)則。6微小誤差準(zhǔn)則誤差、偏差（或誤差范圍、偏差范圍）都是統(tǒng)計(jì)類量，當(dāng)甲誤差比乙誤差大一個(gè)量級(jí)時(shí)，稱乙誤差為微小誤差，微小誤差可略。很顯然，誤差與誤差范圍是不同的。但在一般表達(dá)中，常常用誤差來(lái)代表誤差范圍。應(yīng)明確，這僅僅是用語(yǔ)的簡(jiǎn)化，切不可混淆我們的理解。在一次測(cè)量的一組操作中，測(cè)得值N個(gè)，誤差就大大小小有N個(gè)值，而誤差范圍只有一個(gè)。微小誤差可略，可以推廣為微小誤差范圍可略。這在測(cè)量理論與實(shí)踐中，在計(jì)量體系中，都是常常應(yīng)用的。微小誤差可略，表征測(cè)量結(jié)果的數(shù)據(jù)，就不必寫得過(guò)長(zhǎng)，只保留有效數(shù)字。微小誤差范圍可略，計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)、計(jì)量?jī)x器，便可劃分等級(jí)，上一等計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)成為下一等測(cè)量?jī)x器的量值標(biāo)準(zhǔn)一一即相對(duì)真值。微小，是比較而言的，是相對(duì)某特定量來(lái)說(shuō)的。要注意微小誤差、微小誤差范圍的相對(duì)性。微小誤差準(zhǔn)則：凡是對(duì)總誤差值的構(gòu)成作用小于總誤差1/20（或1/10）的誤差，稱微小誤差，微小誤差可略。小于總誤差的1/20，這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)比較高，可用于標(biāo)準(zhǔn)和重要的工程中；一般測(cè)量，此值可取為1/10。6有效數(shù)字的新概念有效數(shù)字與精度密切相關(guān)。沒有精度的概念，就談不上有效數(shù)字。精度決定有效數(shù)字。許多講測(cè)量理論的書，擺錯(cuò)了有效數(shù)字與精度的位置。有效數(shù)字取決于精度，但不能說(shuō)有效數(shù)字決定精度?！稊?shù)學(xué)小辭典》［4］上說(shuō)：“對(duì)于實(shí)數(shù)X，如果它的近似數(shù)是X*，當(dāng)X*的絕對(duì)誤差最多不超過(guò)左邊第一個(gè)非零數(shù)字算起第K位上的半個(gè)單位，這時(shí)我們說(shuō)近似數(shù)X*有K個(gè)有效數(shù)字，并把左邊第一個(gè)非零數(shù)字算起到第K位止的這K個(gè)數(shù)字都叫做近似數(shù)X*的有效數(shù)字”。這個(gè)定義只表明保留的數(shù)字是按4舍5入法處理的。有效數(shù)字理論的主要應(yīng)用場(chǎng)合是測(cè)量的實(shí)踐，其基本任務(wù)是正確表達(dá)測(cè)量結(jié)果。上述定義能完成這個(gè)任務(wù)嗎？測(cè)量結(jié)果的計(jì)算中可能遇到取常數(shù)近似值的問(wèn)題，例如n、巨的近似取值問(wèn)題。取近似值有誤差，但要注意，這里的“誤差”一詞可不是測(cè)量意義下的誤差，而是取近似數(shù)這一項(xiàng)的誤差，是整個(gè)測(cè)量結(jié)果誤差的極小的一部分。定義有效數(shù)字有兩條思路：第一種，描述有效數(shù)字誤差有多大；第二種，為保證精度，應(yīng)如何取有效數(shù)字。教科書上的思路是第一種，出了許多問(wèn)題。例如一本計(jì)量學(xué)專著［5］上有大段話，說(shuō)明如何從有效數(shù)字?jǐn)喽ň龋@是不對(duì)的。讓我們沿著第二種思路，重來(lái)。有效數(shù)字概念的理論基礎(chǔ)是微小誤差準(zhǔn)則。這個(gè)準(zhǔn)則說(shuō)：凡是對(duì)總誤差值的構(gòu)成作用小于總誤差1/20（或1/10）的誤差，稱微小誤差，微小誤差可略。1/20這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)比較高，可用于標(biāo)準(zhǔn)和重要的工程中；一般測(cè)量，此值可取為1/10。一個(gè)數(shù)據(jù)，位數(shù)取得過(guò)多，多寫了無(wú)用的尾數(shù)，麻煩，不該；位數(shù)取少了，影響精度，更不可。合適地取數(shù)據(jù)的位數(shù)，就是有效數(shù)字理論的任務(wù)。測(cè)量有誤差，微小誤差可略。誤差使數(shù)據(jù)分為肯定位、隨機(jī)位與多余位?？隙ㄎ辉谇?，隨機(jī)位在后，多余位是尾部?？隙ㄎ弧㈦S機(jī)位上的數(shù)字，對(duì)測(cè)量結(jié)果有意義，統(tǒng)稱有效數(shù)字，多余位上的數(shù)字對(duì)表達(dá)測(cè)量結(jié)果無(wú)意義，是無(wú)效數(shù)字。保留有效數(shù)字，舍棄或進(jìn)位多余位上的數(shù)字，這稱有效數(shù)字處理。去掉多余位上的數(shù)字，本文簡(jiǎn)稱為截位。舍棄或進(jìn)位多余數(shù)字產(chǎn)生的誤差稱截位誤差（舍進(jìn)誤差）。截位誤差必須是微小誤差。由微小誤差準(zhǔn)則，微小誤差可略，因而這種截位是合理的。截位的方法是：被截位上的數(shù)小于5,舍棄；大于5,進(jìn)位，即上位加1；被截位恰為5時(shí)，上位是奇數(shù)時(shí)進(jìn)位，上位是偶數(shù)時(shí)舍棄。截位誤差小于或等于最低保留位上單位的二分之一，它應(yīng)是微小誤差（比較標(biāo)準(zhǔn)是數(shù)據(jù)自身的誤差）。有些數(shù)，例如n、根號(hào)2這些數(shù)自身無(wú)誤差可言，取近似值時(shí)，要根據(jù)計(jì)算結(jié)果精度對(duì)其要求處理：截位誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響量，應(yīng)是微小誤差。誤差量本身該取幾位有效數(shù)字，是個(gè)重要問(wèn)題，是決定數(shù)據(jù)有效數(shù)字位數(shù)的關(guān)鍵。誤差量也是量，也要做有效數(shù)字處理。誤差量的截位誤差應(yīng)是微小誤差，比較標(biāo)準(zhǔn)是誤差自身。舉幾個(gè)極端情況，計(jì)算一下便知：誤差取兩位即可。例如，誤差計(jì)算結(jié)果是1.050，從左數(shù)第3位起截去，截位誤差為0.05，即為誤差自身的1/20。這是誤差取兩位時(shí)的最大截位誤差，即極限情況。由此可見，誤差取兩位足夠，取三位就顯得多了。那么誤差取一位行嗎？如果誤差量第一位數(shù)字是5或大于5,則取一位的最大誤差是1/10，這時(shí)取一位可以；但第一位數(shù)字是4或小于4,若取一位，則截位誤差不能保證小于1/10，故必須取兩位。這樣，一般情況下，誤差取兩位。非精密測(cè)量，