【全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)】八年級：第五講 恒等式的證明

第五講恒等式的證明代數(shù)式的恒等變形是初中代數(shù)的重要內(nèi)容，它涉及的基礎(chǔ)知識較多，主要有整式、分式與根式的基本概念及運(yùn)算法則，因式分解的知識與技能技巧等等，因此代數(shù)式的恒等變形是學(xué)好初中代數(shù)必備的基本功之一．本講主要介紹恒等式的證明．首先復(fù)習(xí)一下基本知識，然后進(jìn)行例題分析．兩個(gè)代數(shù)式，如果對于字母在允許范圍內(nèi)的一切取值，它們的值都相等，則稱這兩個(gè)代數(shù)式恒等．把一個(gè)代數(shù)式變換成另一個(gè)與它恒等的代數(shù)式叫作代數(shù)式的恒等變形．恒等式的證明，就是通過恒等變形證明等號兩邊的代數(shù)式相等．證明恒等式，沒有統(tǒng)一的方法，需要根據(jù)具體問題，采用不同的變形技巧，使證明過程盡量簡捷．一般可以把恒等式的證明分為兩類：一類是無附加條件的恒等式證明；另一類是有附加條件的恒等式的證明．對于后者，同學(xué)們要善于利用附加條件，使證明簡化．下面結(jié)合例題介紹恒等式證明中的一些常用方法與技巧．1．由繁到簡和相向趨進(jìn)恒等式證明最基本的思路是“由繁到簡”(即由等式較繁的一邊向另一邊推導(dǎo))和“相向趨進(jìn)”(即將等式兩邊同時(shí)轉(zhuǎn)化為同一形式)．例1已知x+y+z二xyz,證明：x(1-y2)(1-z2)+y(1-x2)(1-z2)+z(1-x2)(1-y2)=4xyz．分析將左邊展開，利用條件x+y+z=xyz,將等式左邊化簡成右邊.證因?yàn)閤+y+z=xyz，所以左邊=x(l-z2-y2-y2z2)+y(l-z2-x2+x2z2)+(l-y2-x2+x2y2)=(x+y+z)-xz2-xy2+xy2z2-yz2+yx2+yx2z2-zy2-zx2+zx2y2=xyz-xy(y+x)-xz(x+z)-yz(y+z)+xyz(xy+yz+zx)=xyz-xy(xyz-z)-xz(xyz-y)-yz(xyz-x)+xyz(xy+yz+zx)=xyz+xyz+xyz+xyz=4xyz二右邊.說明本例的證明思路就是“由繁到簡”．例2已知1989x2=1991y2=1993z2,x>0,y>0,z>0,且-1-+1+1=1.求證xyz719S9x+1991y+1993z=71爾++71993.

證令1989x2=1991y2=1993z2=k(k>0)，則kkk1989^=-,1991y=-,1993e=-xyz因^-+-+-=1,所以xyz^1989x+1991y+1993z=￡—+—+—=JS?又因?yàn)樗运运运訨l死寒+1991y+19遂=71989+71991+^993.說明本例的證明思路是“相向趨進(jìn)”，在證明方法上，通過設(shè)參數(shù)k,使左右兩邊同時(shí)變形為同一形式，從而使等式成立.2．比較法比較法利用的是：若-b"則“b〔比差法）；或若春=1,則.a=b（比商法）.這也是證明恒等式的重要思路之一.例3求證：ab-j2，(c+a)(c+b)'a￡-bcab-j2，(c+a)(c+b)'(a+b)(a+?(b+c.)(b+或分析用比差法證明左-右=0．本例中，-be(a+b)(a+c)b2--be(a+b)(a+c)b2-：ta(b+頑b+aj這個(gè)式子具有如下特征：如果取出它的第一項(xiàng)，把其中的字母輪換，即以b代a,c代b,a代c,則可得出第二項(xiàng)；若對第二項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，則可得出第三項(xiàng)；對第三項(xiàng)的字母實(shí)行上述輪換，可得出第一項(xiàng)．具有這種特性的式子叫作輪換式．利用這種特性,可使輪換式的運(yùn)算簡化．證因?yàn)閍'-bfe『+日u?ac-b負(fù)迪+b)(a+u)(a+b)(a+c)所以b':-cabafb+c^(b+a)b+cb+ac2-abc.b毬:+或矜+b)?c-.+ab+：c'i所以a2a2-be(a+b)'^a+cjbs-ca(b+c)(b+a:)=0.rb

+

a+cb+c：=0.說明本例若采用通分化簡的方法將很繁．像這種把一個(gè)分式分解成幾個(gè)部分分式和的形式,是分式恒等變形中的常用技巧．例4iitp=-,^=^~—-r=—7—-具尹日+比b+匚；c+a全不為零．證明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)．<<a-b1+^<<a-b1+^I+ITb2aa+bl_p=l“三a+baba+b同理2bb+c]-2bb+c]-q=b^l-r=2ac+a所以左_心+p).0+q)Cl+J若二〔1叩)(1-q)〔1￡2日*空b*2c

a十bb+u匚十旦=i'?2b*爼.2包_?a-i-bb+p￡+a所以(l+p)(l+q)(l+r)=(l-p)(l-q)(l-r).說明本例采用的是比商法．3.分析法與綜合法根據(jù)推理過程的方向不同，恒等式的證明方法又可分為分析法與綜合法.分析法是從要求證的結(jié)論出發(fā)，尋求在什么情況下結(jié)論是正確的，這樣一步一步逆向推導(dǎo)，尋求結(jié)論成立的條件，一旦條件成立就可斷言結(jié)論正確，即所謂“執(zhí)果索因”.而綜合法正好相反，它是“由因?qū)Ч保磸囊阎獥l件出發(fā)順向推理，得到所求結(jié)論.邈14+1=1,則a2+b2+^=G+b-cS2.L3bC證要證a2+b2+c2=(a+b-c)2,只要證斗=丄〔因?yàn)?b,匚都不為零：Hab上即只要證即只要證只要證只要證:十蘆？，a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，ab=ac+bc，c(a+b)=ab，這最后的等式正好是題設(shè)，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式成立.說明本題采用的方法是典型的分析法.例6已知a4+b4+c4+d4=4abcd,且a,b,c,d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d.證由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0,(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0,所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0．因?yàn)?巾2)2三0,(c2-d2)2±0,(ab-cd)2±0,所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0,所以(a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)=0.又因?yàn)閍,b,c,d都為正數(shù)，所以a+bH0,c+dH0,所以a=b,c=d.所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0,所以a=c.故a=b=c=d成立.說明本題采用的方法是綜合法.4.其他證明方法與技巧求證：8a+9b+5c=0.a-b-c)_a)上‘.人」a+b=k(a-b),b+c=2k(b-c),(c+a)=3k(c-a).所以6(a+b)=6k(a-b),3(b+c)=6k(b-c),2(c+a)=6k(c-a).以上三式相加，得

6(a+b)+3(b+c)+2(c+a)=6k(a-b+b-c+c-a)，即8a+9b+5c=0．說明本題證明中用到了“遇連比設(shè)為k”的設(shè)參數(shù)法，前面的例2用的也是類似方法．這種設(shè)參數(shù)法也是恒等式證明中的常用技巧．例8已知a+b+c=O，求證2(a4+b4+c4)—(a2+bg+c2)2.分析與證明用比差法，注意利用a+b+c=0的條件.左-右=2(a4+b4+c4)-d+bz+c?)2=a4+b4+c4-2a2b2-2b2c2-2c2a2=(a2-b2-c2)2-4b2c2=(a2-b2-c2+2bc)(a2-b2-c2-2bc)=[a2-(b-c)2][a2-(b+c)2](a-b+c)(a+b-c)(a-b-c)(a+b+c)=O.所以等式成立.說明本題證明過程中主要是進(jìn)行因式分解．分析本題的兩個(gè)已知條件中，包含字母a,x,y和z,而在求證的結(jié)論中，卻只包含a，x和z，因此可以從消去y著手，得到如下證法.證由已知①乂②得/=t'a-胡，即①乂②得/=t'a-胡，即所以z=-z--；即XX說明本題利用的是“消元”法，它是證明條件等式的常用方法．例10證明：(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．分析與證明此題看起來很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，可以使用換元法．令y+z-2x二a,①z+x-2y二b，②x+y-2z=c，③則要證的等式變?yōu)閍3+b3+c3=3abc．聯(lián)想到乘法公式：a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)，所以將①，②，③相加有a+b+c=y+z-2x+z+x-2y+x+y-2z=0,所以a3+b3+c3-3abc=0,所以(y+z-2x)3+(z+x-2y)3+(x+y-2z)3=3(y+z-2x)(z+x-2y)(x+y-2z)．說明由本例可以看出,換元法也可以在恒等式證明中發(fā)揮效力．例11設(shè)x,y,z為互不相等的非零實(shí)數(shù)，且111耳+—=y+—=z+—ayzx求證：乂2丫2乙2=1.

分析本題X,y,z具有輪換對稱的特點(diǎn)，我們不妨先看二元的情形，即亠y為互不相孝的非零實(shí)數(shù)，^+-=y+-,求證丘護(hù)y逐=1.因?yàn)锳x-+—=y+,易旌出s-y,故｛x-y)=y5?"'■-yy-煞又因?yàn)橥進(jìn)y,.聽以所以X2y2=l.三元與二元的結(jié)構(gòu)類似.證由已知有監(jiān)-y監(jiān)-yzx=—,②y-￡xy啟.③z蟲①X②X③得xyz=1.說明這種欲進(jìn)先退的解題策略經(jīng)常用于探索解決問題的思路中.總之,從上面的例題中可以看出,恒等式證明的關(guān)鍵是代數(shù)式的變形技能.同學(xué)們要在明確變形目的的基礎(chǔ)上,深刻體會例題中的常用變形技能與方法,這對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常重要.練習(xí)五已知(c-a)2-4(a-b)(b-c)=0，求證：2b=a+c.證明：(X+y+z)3Xyz-(yz+zX+Xy)3=Xyz(X3+y3+z3)-(y3z3+z3X3+X3y3).求證：b-c.(ab-c.(a-b)(a一上)a-b