數(shù)學(xué)高考練習(xí)第9講外接球、內(nèi)切球、棱切球問題（解析版）

第9講外接球、內(nèi)切球、棱切球問題一、單選題（2022?河南?平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在三棱錐中，平面的，平面ABC,PAYPB,AB=BC=AC=4,則該三棱錐外接球的表面積是（）【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，找到外接球的球心位置，求出外接球半徑，進(jìn)而求出表面積.【詳解】如圖所示：其中。為48的中點(diǎn)，。為aABC外接圓的圓心，?.?AB=BC=AC=4,在C￡>上，iLOD=-CD=-x>/42-22^3 3 3OC=OA=OB=-CD=—.3 3vAB=BC=AC=4,。為AB的中點(diǎn)，.-.CD1AB,,平面MBJ■平面ABC,平面R4BC平面=CDu平面A8C,\CDA平面出8.又D4,DB,OPu平面出8,CDIDA,CD工DB,CD工DP.在中，PA1PB.。為A8的中點(diǎn)，:.DA=DB=DP.OA=OB=OP=JAD2+OD?=3O即為三棱錐P-ABC外接球的球心，且外接球半徑R=迪647T"V647T"V該三棱錐夕卜接球的表面積S=4兀R?=4tcx故選：B【點(diǎn)睛】三棱錐的外接球問題，要選擇一個特殊的平面，找到球心在這個平面的投影，然后找到球心的位置，利用半徑，設(shè)出未知數(shù)，列出方程，求出半徑，進(jìn)而求出表面積或體積.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））直角aABC中，AB=2,BC=1,O是斜邊AC上的一動點(diǎn)，沿將翻折到使二面角A'-BD-C為直二面角，當(dāng)線段A'C的長度最小時，四面體A8CD的外接球的表面積為（）131 r14〃 八131 12乃A.B.C. D. 4 3 3 5【答案】D【解析】【分析】作 CM±BD,NH//CM,CN〃MH、設(shè)Z_AbD=3、則有AC?=5-2sin2。，從而求解即可.【詳解】作A7/_L3￡>,CMLED,NH//CM,CN//MH,設(shè)N4'BZ)=，，A'H=2sin0,CM=cos0,CN=MH=2cos^—sin^.在RtZ\A'〃N中，A'N2=A'H2+HN2,在R/aAMT中，A'C2=A'N2+CN2,A'C2=A'N2+CN2=A'H2+HN2+CN2=(2s\n0)2+cos2O+(2cos0-sine)2=5-2sin20.TT當(dāng)叫”"'C最小?設(shè)△BCD,VA'8。的外接圓半徑分別為彳，r29_CDX_^2-_Vio、_A7) 32_2>/io._Vio八~sinZCfiD~^2~~ =~6~，"sinZA'BD~ ~3"=丁TOC\o"1-5"\h\zV Tn八瓦?"八Vio 2 2& “ I,(1gY x/2BD= sin/BCD= x-=■= ,OE—Ar,——BD=—?3 3 75 3 2 V<2 ) 6R2=O.B2+OO；=O,B2+O.E21 1 ' 2 9186, 714?1-S外接球=4ttR-=4^-x-=—.故選:D.3.(2022?江西?模擬預(yù)測(文))如圖所示幾何體48CDE/，底面ABC。為矩形，A8=4,BC=2,△AOE與A8CF是等邊三角形，EFHAB,AB=2EF,則該幾何體的外接球的表面積為()【答案】C【解析】【分析】找到球心及球心在平面A8C。上的投影，根據(jù)題干信息得到各邊長，設(shè)出8=x,利用半徑列出方程，求出x,進(jìn)而求出半徑，外接球表面積.【詳解】連接AC,8。交于點(diǎn)O,過。點(diǎn)作0(9」平面ABCC,交EF與M.因為四邊形A8CO為長方形，所以外接球的球心在。用直線上，設(shè)O'為外接球的球心，取AO,BC的中點(diǎn)分別為G,H,連接EG,FH,因為EF"AB,AB//GH,可得所〃G4,因為△8FC,△￡&￡）為等邊三角形，所以切_LBC,因為BCLG”,EHCGH=H,所以BCL平面EFHG,因為AB=4=2防，所以AO=^，EF=2,所以￡M=1,EO'=AO'=R,因為尸”=G，所以E尸到平面A8CO的距離為〃=&,設(shè)O（7=x,則MO'=&土x，所以AO"=AO2+OO",EO'2=EM2+MCf2,所以/+5=1+（啦±x『，即5+》2=1+2—2岳+X?,解得:x=孝，所以R?=AO"uACf+oo"=5+-=—,22所以4兀/?2=22兀.【點(diǎn)睛】立體幾何中的外接球問題，要能畫出圖形，找到球心和球心在某些特殊平面上的投影，利用半徑建立方程，求出半徑，再求解表面積或體積.（2022?河南?高三階段練習(xí)（理））在三棱錐尸-MC中，aABC是邊長為4石的等邊三角形，E4=PC=4,二面角P-AC-B是150。，則三棱錐尸-ABC外接球的表面積是（）A.16（ll-45/3）7t B.4（ll-4>/3）7rC.4（ll+4x/3）n D.2（ll+4>/3）7t【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意畫出簡圖，通過作圖分析出幾何體外接球的球心位置，算出半徑，即可求出表面積.【詳解】如圖，作PE_L平面A8C,垂足為￡,連接8E,記BEcAC=￡>,連接PD.由題意可得。為AC的中點(diǎn).在中，PA=PC=4,。為AC的中點(diǎn)，..PDYAC因為4c=4石，所以A￡?=2>/5,則PD=JPA2-AD2=7甲-(26尸=2.因為二面角P-AC-B是150。，所以NPDE=30。，所以PE=1,DE=y/3.因為aABC是邊氏為46的等邊一角形，耳。為AC的中點(diǎn)，所以80=6.設(shè)。1為aABC外接圓的圓心，則?8=2?。=4.設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為O,因為qp2=0E+p￡；2=(>/i+2y+12=8+4&<16,所以O(shè)在平面ABC下方，連接。。，OB,OP,作OHJLPE,垂足為“，則O〃=O1E=G+2,PH=PE+OOx.設(shè)三棱錐P-ABC外接球的半彳仝為R,/？2=O//2+ph" R?=。。；+4~，n，??2 __2'BP" ,r\2/ 2,解得R)=44-16函，[R-=OO[+OtB-^R2=(V3+2)+(1+00,)'故三棱錐P-ABC外接球的表面積是4兀片=16(11-46)兀.故選：A.71(2022?湖南?長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測)已知三棱錐S-A8C中，ZBAC=~,SBLAB,5C1AC,SB=SC=3,,三棱錐S-ABC體積為生叵，則三棱錐S—ABC外接球的表面積為3()5Tt【答案】C205Tt【答案】C20兀25兀D.1007T【解析】【分析】觀察ASBA、ASCA均為直角三角形，得到點(diǎn)P為三棱錐S-48C外接球的球心，且棱錐P一A8C為正三棱錐，可以通過設(shè)高|PO|結(jié)合匕“pc求得底面正AABC的邊長”，從而得到外接球半徑|以|,最后求得表面積.【詳解】解：如圖，取SA中點(diǎn)P,SBYAB,SCIAC,則△SBA,ASCA均為直角三角形，PA=PB=PC=PS,即點(diǎn)?為三棱錐S-4BC外接球球心，即為外接球半徑,JT又SB=SC,故AB=AC且NB4C=-=4ABC為等邊三角形又必=P8=PC=三棱錐P-A8C為正三棱錐；作POL平面ABC,垂足為O,連接04則。為△A8C的外心，設(shè)正三角形A8C的邊長為a,則04=348=里，SA2=AB2+SB2=a2+323 3BPPA2=-(aBPPA2=-(a2+9),4V/外接球表面積為1+9)兀故排除A：.,-0<a2<27.故排除D：若.+9)兀=20n,則/="，代入方程不成立,故排除B；若(6+9)兀=25兀，則/=16,代入方程成立，所以C正確,故選：C（2022?河南?洛寧縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正四面體ABCO中,點(diǎn)N,M分別為aABC和的重心，P為線段CM上一點(diǎn).（）A.AP+BP的最小為2B.若OP_L平面ABC,^\CP=—CM4C.若OP,平面A8C,則三棱錐P—A8C外接球的表面積為竽2D.若尸為線段EN的中點(diǎn)，且￡>P〃MF,則【答案】D【解析】【分析】A選項由線面垂直證得CMLBM,CM1AM,進(jìn)而由點(diǎn)P與點(diǎn)M而合時即可判斷；B選項3利用內(nèi)切球求得OP=：ON即可判斷：C選項找到球心，由勾股定理求得半徑，即可判斷:D選項由空間向量的線性運(yùn)算即可判斷.【詳解】易得。E_LAB,CE_LAB,又￡>EcCE=E，則AB面CDE,又CMu面，則AB1CM,同理可得CMJ.BO,ABr\BD=B,則CMJ_平面A8〃，乂 u平面abd,所以CM_L8M,CMLAM.則當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合時，AP+8P取得最小值，又AM=BM=DM/DE=<亞丁=空,則最小值為4M+8M=迪，A錯誤.3 3 3

DD在正四面體ABC。中，因為。尸，平面ABC,易得P在DV上，所以O(shè)NcCA/=P,又點(diǎn)N,M也是aABC和△48。的內(nèi)心，則點(diǎn)P為正四面體A8CO內(nèi)切球的球心.cn=2cE=2亙，DN=^CD2-CN2=—.設(shè)3 3 3正四面體4BCO內(nèi)切球的半徑為r,因為VD-ABC=VP-ABC+VP-ABO+VP-BCD+VP-ACD，所以；Saabc.DN= .r+^SAAflD-r+^5ABCD-r+^SA4CD解得r=NP=2^=亞，^DP=-DN,故而=3兩'，B錯誤.4 6 4 4設(shè)三棱錐P-ABC外接球的球心為O,半徑為R,易得球心0在直線DN匕且ONINC,則R2=OC-=CN2+(OP-NP)2,解得r=婭，故三棱錐尸一A8C外接球的表面積為4萬片=%，C錯誤.TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2若廣為線段EN的中點(diǎn)，則歷=:EN=』EC,2 6MF=ME+-EC^-DE+-W+-DC=-DE+-DC=-DM+-DC.6 3 6 6 6 6 4 6設(shè)麗=4祝，則而=麗+2祝=麗+/而+2反=(1-/1)的+/1覺.因為。/>〃叱，所以設(shè)礪=〃而，則，-=(1-2)^,解得，7=卻，62=|所以設(shè)礪=〃而，則，-=(1-2)^,解得，7=卻，6〃=-，12故選：D.（2022?全國?高一單元測試）已知在矩形ABCD中，將△ABO沿對角線80所在的直線進(jìn)行翻折，在三棱錐A-BCO中，一定不成立的是（）A.NADC為銳角AC1BDCD1.平面D.三棱錐A-BCD外接球的體積不變【答案】C【解析】【分析】A由翻折過程中AO+CO>AC,結(jié)合余弦定理即可判斷；B當(dāng)AB=A￡>時應(yīng)用線面垂直的判定及性質(zhì)可判斷；C應(yīng)用反證法，由CDL平面/3￡>"]■得CDLBO仃矛盾：DIIIAO=BO=CO=DO,根據(jù)球體體積公式判斷.【詳解】在矩形ABCO中，設(shè)AB=m、A￡）=〃，連接AC交BD于點(diǎn)0,翻折后AO+CO=y/r^+n2>AC，4'(4)AD2+CD2-AC2m2+n2-AC2ncosZADC= = >0,2xADxCD 2mn/ADC一定為銳角，A成立，當(dāng)機(jī)=〃時，BD1AO、BD1CO,AOnCO=O,8。JL平面AOC,又ACu平面AOC,ACA.BD,B成立，若8_1_平面4如，B￡>u平面ABD,則C￡>_L8。，所以NBQ為宜角，與CDtjBD?定不垂直矛盾，C不成立，；AO=BO=CO=DO,...點(diǎn)。為三棱錐A-8c。外接球的球心，外接球的直徑為而幣7,???在翻折過程中外接球的體積不變，D成立.故選：C.

（2022?全國?模擬預(yù)測）己知四邊形A8CD為菱形，且ZABC=120,現(xiàn)將△ABO沿30折起至△依￡>,并使得M與平面8CO所成角的余弦值為巫，此時三棱錐P-88外接球的3體積為86］，則該三棱錐的表面積為（）B.1B.165/3D.16x/6C.12>/6【答案】B【解析】【分析】設(shè)AB=a,在：棱錐P-BCD中，取B￡）的中點(diǎn)E,連接CE,過點(diǎn)尸在平面PCE內(nèi)作PO，CE.垂足為點(diǎn)0,連接08,推導(dǎo)出點(diǎn)。為正△BCD的中心,可得出三棱錐P-BCD是邊長為a的正四面體，可求得該正四面體外接球半徑，結(jié)合球體體枳公式可求得。的值，由此可求得正四面體P8CE）的表面積.【詳解】在菱形A8C0中，NABC=120,設(shè)相="，則△AB0和△8CO均為邊長為a的正三角形.將△AB。折起后，PB=PD=a,取8。的中點(diǎn)E,連接CE、PE,如圖.因為PB=PD=BC=CD,則CEJ.8O,PELBD,又因為CEcPE=E,平面PCE,過點(diǎn)「在平面PCE內(nèi)作POLCE,垂足為點(diǎn)。，連接。8,POu平面PCE,則BDLPO.又因為PO_LCE,CE[}BD=E,r.PO_L平面BCD,?.?O8u平面BCD,..PO1.OB,所以，直線PB與平面BCD所成角為NP80,在RtZXPQB中，cosZPBO=—=—,所以08=立“，PO=ylPB2-OB2=—a.PB3 3 3在RIaPOE中，PE=—a,PO=—a,所以O(shè)E=《PE?-PO,=迫。,則OE=gCE,2 3 6 3因此點(diǎn)。為正△BCD的中心，所以三棱錐尸-BCD是棱長為。的正四面體.將正四面體PBCD補(bǔ)成正方體PMCN-GBHD,則正方體PMCN-GBHD的棱長為立?“，2 22 2 4三棱錐P-BCD外接球的體積為丫=2兀R'=顯+=8右,解得a=4,3 8因此，正四面體PBCD的表面積為4x3x42=1664故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的：（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.（2022?廣東佛山?三模）已知四棱錐P-ABCO中，底面ABC。是邊長為4的正方形，平面PA8，平面ABC。，且△PAB為等邊三角形，則該四棱錐的外接球的表面積為（）112B.112B.——n3256

D. n3C.32C.32萬3【答案】B【解析】【分析】取側(cè)面和底面正方形ABCD的外接圓的圓心分別為。「。2，分別過。1,O?作兩個平面的垂線交于點(diǎn)O,得到點(diǎn)。即為該球的球心，取線段AB的中點(diǎn)E,得到四邊形?！?。?。為矩形，分別求得OR，。/，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，即可求解.【詳解】如圖所示，在四棱錐P-A8CD中，取側(cè)面△P45和底面正方形ABCD的外接圓的圓心分別為q,O2,分別過。1,。2作兩個平面的垂線交于點(diǎn)。則由外接球的性質(zhì)知，點(diǎn)。即為該球的球心，取線段AB的中點(diǎn)E,連02E,O2D,OD,則四邊形。￡。2。為矩形,在等邊△「相中，可得PE=2>5，則qe=2叵，即。。2=孚，在正方形ABC。中，因為A8=4,可得。2。=20,22在直角A。。：。中，可得DO? ,即箝=二，所以四棱錐P-ABCD外接球的衣面積為S=4乃片=嚀.故選:B.（2022?吉林吉林?模擬預(yù)測（文））半正多面體（semiregularsolid'）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.二十四等邊體就是一種半多正多面體.如圖，棱長為夜的正方體截去八個一樣的四面體，就得到二十四等邊體,則下列說法錯誤的是（）A.該幾何體外接球的表面積為4兀B.該幾何體外接球的體積為7C.該幾何體的體積與原正方體的體積比為2：3D.該幾何體的表面積比原正方體的表面積小【答案】C【解析】【分析】由題意求該幾何體的體積與表面積，由外接球的半徑求體積與表面積，對選項逐一判斷【詳解】由題意得該幾何體外接球的球心為原正方體的中心，故外接球半徑為1,外接球的表面積為，,一,47c4兀，體積為了，故A,B正確對■于C,該幾何體的體積V=匕卜：方體-8%而體=（a）*-8xgx；x（￥）3=~~~,正方體體積為2/，故該幾何體的體積與原正方體的體積比為5:6,故C錯誤，對于D,該幾何體有6個面為正方形，8個面為等邊三角形=6xl2+8x-^-xl=6+2^3<12,故D正確故選：C11.（2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測（理））直角“IBC中AB=2,BC=1,D是斜邊AC上的一動點(diǎn)，沿8。將△A3。翻折到VABO,使二面角A'-3D-C為直二面角，當(dāng)線段A'C的長度最小時，四面體ABCD的外接球的表面積為（）13乃 21萬 -，13% c14%A. B. C. D. 4 5 3 3【答案】D【解析】【分析】如圖，過點(diǎn)A'作A'”_L8￡）交8。延長線于“，過點(diǎn)C作CML3。交8。于M,再作NH//CM,CN//MH.使得CN與HN交于點(diǎn)N,設(shè)4$￡）=6,進(jìn)而得AH=2sin0,BW=2cos^,BM=sin0,CMcos0,MH-2cos0—sin0,故AC=j5-2sin2eS當(dāng)且僅當(dāng)。=?時等號成立，再根據(jù)題意，以//為坐標(biāo)原點(diǎn)，以而，麗,畫的方向為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)四間體488的外接球的球心為O（x,y,z）,進(jìn)而利用坐標(biāo)法求球心坐標(biāo)，進(jìn)而求出四面體外接球的半徑，表面積.【詳解】解：根據(jù)題意，圖I的直角三角形沿BD將△他。翻折到VABZ）使二面角A—SD-C為直二面角，所以，過點(diǎn)4作交BO延長線于“，過點(diǎn)C作CM_L6O交BOfM,再作NH〃CM,CN//MH,使得CN與HN交于息N,所以，由二面角A'-BD-C為直二面角可得CM

jr設(shè)ZAB￡>=e,即ZA'8O=e,則NCBO=5-e,因為AB=2,BC=1,所以AB=2,BC=1,所以，在Rt^ABR中,A”=2sin"B4=2cos。，在RtZXBCAf中，BM=cos(]—9)=sin"CM=sin(/—e]=cos。,所以MH=BH—BM=2cos6?-sin0,所以AC=>]a'H2+MH2+CM2=V5-4sin6>cos6?=j5—2sin26>g>當(dāng)且僅當(dāng)26=工，即9=2時等號成立，TOC\o"1-5"\h\z2 4此時，AH=4i,BH=0BM=—fCM=—,A/H=—,2 2 2jr在圖1中，由于夕=:，即3。為角8的角平分線，所以黑=黑=2,即叵，DCBC 3所以AO=短，所以，dh=^Ad2-Ah2=^,3 3由題知，兩兩垂直，故以H為坐標(biāo)原點(diǎn)，以麗，麗，血的方向為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，所以，設(shè)四面體ABC0的外接球的球心為O(x,y,z),即,解得y=X=Z=延，即。(半半6 3 13即,解得y=X=Z=延，即。(半半6 3 13 6 3JX=Z-V2x+1=-V2y,也x+&y=23 9所以四面體48CD的外接球的半徑為六=/+y2+卜-0丫=，,所以四面體A88的外接球的表面枳為S=4"爐=三

故選:D【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何折疊問題中的距離最值問題，兒何體的外接內(nèi)切問題，考查空間想象能力，運(yùn)算求解能力，是難題,本題解您的關(guān)鍵在于由二面角4-C為直二面角構(gòu)造輔助線（過點(diǎn)4作AH上BD交8。延長線于H,過點(diǎn)C作CM1B0交8。于M，再作NH〃。/,CN〃M〃，使得CN與"N交于點(diǎn)N）,進(jìn)而通過NAB￡>=6表示A'C,空間幾何體的外接球的半徑的求解利用坐標(biāo)法求解即可.（2022?新疆昌吉?二模（文））在三棱錐P-ABC中，PA=PC=6,且cosNBAC=g,AB=AC=4f>,二面角P-AC-8的大小為120。，則三棱錐P-ABC的外接球體積為（）A.必^乃 B.10兀 C.9萬 D.（4+26卜【答案】A【解析】【分析】本題結(jié)合球的基本性質(zhì)可知：過三棱錐其中兩個面的三角形的外接圓圓心，作該面的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為三棱錐的球心，結(jié)合三角形的相關(guān)知識分析求得三棱錐P-ABC的外接球的半徑.【詳解】如圖。I、R分別為RS附C、AABC的外接圓圓心，作。O|J?平面出8,OO2，平面A8C,則0為三棱錐P-ABC的外接球的球心.正 …八AB正 …八AB2+AC2-BC2，上△ABC中，cosZBAC= 2AB.AC，即L處回W

3 2&R，可得：8c=2&-由正弦定理可得：2。代』=3,即。小|,又.普為線段AC的中點(diǎn)'則可得?！缸?。入AU。⑼；C，二面角P—AC—8的大小的平面角即為/O2O,P=120°,則/QOQ=30Pop=也不-。.=*,O0=i.，三校錐尸-ABC的外接球的半徑R={OO；+OW=叵則三棱錐P-ABC的外接球體積為仁g則三棱錐P-ABC的外接球體積為仁g5回兀3故選：A.（2022?遼寧?大連市普蘭店區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，在三棱錐。-ABC中，/ToZDAC=ZBCA=/BCD=90。，。0=加，45=3,且直線48與0。所成角的余弦值為衛(wèi),19則該三棱錐的外接球的體積為（）B.75萬~4~CB.75萬~4~C125乃, 6651D.亍【答案】C【解析】【分析】由題意，將三棱錐。-ABC放入對應(yīng)的長方體中，根據(jù)已知條件建立關(guān)于長方體的長、寬、高的邊長。，江，的方程組，求解得"+從+°2=25,進(jìn)而可得外接球的直徑即為長方體的體對角線長，從而根據(jù)球的體積公式即可求解.【詳解】解：由題意知ACJ_BC,DC1BC,則BCJ■平面ACC,所以8CLAO,又A0J.AC,ACn8C=C，所以平面A8C,將三棱錐?！狝BC放入對應(yīng)的長方體中，如圖：DD易知EB〃Z）C,所以/4BE為直線A8與。。所成的角，所以AE?=A^+B爐一2AR8E.COSZABE，解得4E=后.設(shè)長方體的長、寬、高分別為“，b,c,則/+//=9,a2+c2=22<b2+c2=\9>三式相加得/+b2+c2=25,所以長方體的外接球的半徑為J"。+>+/=5,2 2所以該三棱錐的外接球的體積為丫=1萬（g）=等.故選：C.（2022?全國?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)P、A、B、。是球O的球面上的四個點(diǎn)，PA,PB、PC兩兩垂直且長度均為26，M是AP的中點(diǎn)，記過點(diǎn)M與平面ABC平行的平面a,則球。被平面a截得的截面面積等于（）TOC\o"1-5"\h\z9 5A.5兀 B.4兀 C.—兀 D.—n4 4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)以、PB、PC兩兩垂直且長度均為2石可求球O的半徑.連接OP,交平面A8C于點(diǎn)E,交平面a于點(diǎn)凡根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可求OE、PE、PF,從而可求OF,于是可求截面圓的半徑和面積.【詳解】,：PA.PB、尸C兩兩垂直且長度均為26,球。為棱氏是2曲的正方體的外接球，設(shè)球的半彳仝為R,則R=gxGx2石=3.連接。尸，交平面48c于點(diǎn)E,交平面a于點(diǎn)尸，則。P為正方體體對角線的一半，則易證QP，平面ABC,則QPJ■平面a,OP=3,易知△A8C為等邊三角形，E為AABC的中心，CE=2x@x2#=2&,32OE=\oc2-CE，=舊-（2揚(yáng)2=1,pe=OP-OE=3-\=2>；歷是AP的中點(diǎn)，平面ABC〃平面a,/.PF=-PE=1,OF=2,2即球心O到平面a的距離為2,截面圓的半徑r=）9-4=e,二.截面面積為5兀.故選：A.（2022?四川成都?三模（理））已知三棱臺A8C-AgG的六個頂點(diǎn)都在球。的球面上，e=84=CG=Ji6,aAbc和"bg分別是邊長為g和26的正三角形，則球o的體積為（）.a327r 20逐兀 「水 八4071071A. B. C.367t D. 3 3 3【答案】B【解析】【分析】分別求出正三楂臺ABC-A4G的上下兩個底面的外接圓的半徑，然后由球的性質(zhì)得：OO,2+\=R2,(3-00,)2+4=R2,解出R,即可求得球。的體積.【詳解】設(shè)點(diǎn)。2，01分別足正△A4G，"BC的中心，球的半徑為R,且。-02,0三點(diǎn)共線,正：.棱臺ABC-ABG的高為。。2,在等邊aABC中，由AB=JL由正弦定理可得：ccAABgr1-sin60。一行一，得AQ=1，在等邊786中，由44=26，由正弦定理可~22Ao=^^=也得：外2-sin60。-73，得A°2=2,如下圖，過點(diǎn)a作AN，A02,則在三角形A^NTAN=1,AA=所，所以A7V=aQ=J10—l=3,所以正三棱臺ABC-的高為3,在R〃kOO|A中,OO：+《*=*,即OO：+1=R2,在RtZkOOzA中，OO22+02A^=R2,即（3-。&）2+4=/?2,兩式解得：R=y[5,所以球。的體積為：卜=2]*=型叵.3 3故選：B.Bi（2022?四川省宜賓市第四中學(xué)校三模（理））函數(shù)/（》）=1罌設(shè)球。的半徑為/（x）cos0-?）,則（）A.球。的表面積隨x增大而增大 B.球。的體積隨x增大而減小47r 4/rC.球。的表面積最小值為號 D,球。的體積最大值為空e~ 3e3【答案】D【解析】【分析】設(shè)函數(shù)，=sin2x,xw（09,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，從而判斷〃力=1察（0vx<5）的單調(diào)性，進(jìn)而判斷球。的半徑/（x）cos［的單調(diào)性，由此可判斷A,B,結(jié)合單調(diào)性可求得球的表面積以及體積的最值，判斷CQ.【詳解】7T令，=sin2x,光￡（0,萬）,則rw（O,l）,TOC\o"1-5"\h\z故函數(shù)g（f）==/￡（0,1）,屋"）==>0,e e即g⑴=:/€（0,1）為單調(diào)增函數(shù)，e而￡=國112工,工€（0,當(dāng)在（0；）上遞增，在（二,當(dāng)上遞減,2 4 42故〃力=噤［。—<弓在（0,勺上遞增，在6，勺上遞減，

e1乙）4 42.又丫=??（》-少在（0。）上遞增，在（；；）上遞減，4 4 42且/（*）=三2（0<*<3是正值,y=cos（x-：）也是正值,故y=f（x）cos（x-?）任（0,：）上遞增，在（：，］）上遞減，即球O的半徑/（x）cos（x-?）在（0日）上遞增，在（：，/上遞減，故A,B錯誤；由以上分析可知當(dāng)X=；時，球O的半徑f（x）cosx-?取到最大值為二g.cosO=J，TOC\o"1-5"\h\z\ 、） sin— Pe21 47r故球。的表面積最大值為4兀x3=與，無最小值，故C錯誤；ee?47r1 47r同時球。的體積最大值為胃xj=茅，故D正確；故選：D【點(diǎn)睛】本題將球的相關(guān)計算和導(dǎo)數(shù)綜合在一起考查，綜合性較強(qiáng)，考查綜合分析，解決問題的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及能力，解答的關(guān)鍵是要判斷球的半徑的變化規(guī)律，也就是要結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性.二、多選題（2022?河北衡水?高三階段練習(xí)）已知在平行四邊形ABC。中，AB=3,4）=2,44=60。，把a(bǔ)ABO沿折起使得4點(diǎn)變?yōu)?,則（）A.BD=>fiB.三棱錐A'-8c。體積的最大值為更2C.當(dāng)A'C=8O時，三棱錐A-BC3的外接球的半徑為典2D.當(dāng)A，C=8。時，ZA'BC=60°【答案】ACD【解析】【分析】A選項，利用余弦定理進(jìn)行求解；B選項，先得到當(dāng)平面45。L平面B8時，三棱錐A'-BCD的體積最大，利用等體積法求出點(diǎn)4到平面8C。的距離，從而求出最大體積；C選項，對棱相等的三棱錐可補(bǔ)形為長方體，求出長方體的體對角線的一半即為外接球半徑,設(shè)出長方體的長寬高，列出方程組，進(jìn)行求解：D選項，由余弦定理進(jìn)行求解.【詳解】對于選項A,由余弦定理得BI）:nAZy+ABZ-ZAZhABcosAuZ'+SZ-ZxZxScosbO。：？，:.BD=yH,故選項A正確：為「選項B,當(dāng)平面480,平面BCO時，二棱錐A-BCD的體枳最大，設(shè)此時點(diǎn)A'到平面BCD的距離為h,則;x2x3xsin60o=gx〃x?,解得：〃=通7；.三棱錐A'—8CD體積的最大值V=1x延Llx2x3xsin60o=9,3 7 2 14故選項B錯誤；時「選項C,當(dāng)A，C=BO時，把三棱錐A'-BCD補(bǔ)成一個長方體，三棱錐的外接球就是長方體的外接球，設(shè)長方體的三條棱長分別為x,y,z,外接球的半徑為R,x2+y2=22則，x2+z2=32,y2+z2=l：.（2R^=x2+y2+z2=\0,解得R=巫，故選項C正確；2224q2_7 1對于選項D,由cosNA'BCn"?--= 且0<N/T8c（萬，得NA'BC=60°,故選項D2x2x3 2正確.H故選：ACD【點(diǎn)睛】對于對棱相等的三棱錐的外接球問題，要將此三棱錐的棱長對應(yīng)某一個長方體的面對角線,此時長方體的外接球即為次三棱錐的外接球.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知梯形ABC。，AB=AD=-BC^\,ADIIBC,AD±AB,2P是線段BC上的動點(diǎn)；將△ABO沿著8。所在的直線翻折成四面體ABC￡>,翻折的過程中下列選項中正確的是（）A.不論何時，80與A'C都不可能垂直B.存在某個位置，使得平面A'BCC.直線A7>與平面88所成角存在最大值D.四面體ABCZ）的外接球的表面積的最小值為4萬【答案】AD【解析】【分析】利用反證法可判斷AB選項的正誤；分別取8￡>、BC的中點(diǎn)。、M,連接QM、A'O,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OM所在直線分別為x、N軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷C選項的正誤：設(shè)四面體A'8。的外接球心為Q[0,5>,z）求出四面體A'BCD外接球半徑的最小值，可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，在梯形ABC。中，AB=AD=-BC=\,AD//BC,AD±AB,2BD=>]AB2+AD2=72>且NABO=7,則NCB￡>=：,因為BC=2,由余弦定理可得CD2=BC2+BD2-2BCBDcos-=2,4.-.BD2+CD2=BC2,：.BD±CD,若BOLA'C,且ACnCD=C,.?.30,平面ACC，TT?.?AOu平面A'CO，事實上NA7）8=1,矛盾，4故不論何時，8。與A'C都不可能垂直，A選項正確；對于B選項，若A'￡）_L平面A'BC,4Cu平面4BC,則A'OLA'C,所以，A'C=^CDr-AHJr=1,而A'8=l,BC=2,即A'B+A'C=BC,則A、B、C無法構(gòu)成三角形，不合乎題意，B選項錯誤；對于C選項，分別取B。、8c的中點(diǎn)。、M,連接。M、A'O,則OM〃CD,

\CD1BD,OM//CD,則BD10M..A'B=AD,。為8。的中點(diǎn)，則A'O_LBD,?：A!O[}OM=O,故8。J.平面A'OM,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，08、OM所d'［線分別為X、y軸建、7：如卜圖所示的空間直角坐標(biāo)系,、B設(shè)三棱錐A-8CE＞的球心為號,z與o,o]、、B設(shè)三棱錐A-8CE＞的球心為號,z與o,o]、D由|B0=|AQ|可得=1+Z2,解得z=-COS。&sin6, 7T設(shè)三棱錐4-BCD的外接球半價為r，則r=ViTF21，當(dāng)且僅當(dāng)。=1時，等號成立,因此，四面體ABCD的外接球的表面積的最小值為4*D選項正確.對于C選項，設(shè)方=4麗=2（0,-夜,0）=（0）,前=前=麗+麗7=（&尢一而,0）+-立也cos。,巫sin6?

22 2-^-,^-cos0-42A,^-sin0易知平面BCD易知平面BCD的一個法向量為n=（0,0,1）,sin。 sin。 立sin。= ,< 1 =―,血，J4J--22(l+cose)+l立1+cosO[(1+cos。)-+1^4-(1+cos0)-，2sin2(9 2-2cos26> 2(cos6>+1)、 4小，、而 7= 5—=- =2 G(O,1),4-(l+cose)~3-2cos0-cos-0cos0+3 cosO+3&sin。即當(dāng)0<。</時，/, 二無最大值,進(jìn)而可知直線4尸與平面BCD所成角對使^4-(1+cos(9)'值，C選項錯誤.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：(1)定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的；(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.(2022?遼寧?模擬預(yù)測)在三棱錐M-ABC中，底面ABC是等邊三角形，MC=4,點(diǎn)H為的垂心，且A"_L側(cè)面則下列說法正確的是()BC±AMMCJ"平面AB"MA,MB,MC互不相等D.當(dāng)三棱錐M-ABC的體積最大時，其外接球的體積為36岳【答案】AB【解析】【分析】對于A,延長MH交BC于點(diǎn)D,連接AC,由線面垂直的性質(zhì)可判斷：對于B,連接并延長交MC于點(diǎn)￡,連接4E,由線面垂直的判定可判斷；對于C,過M作MO1.A0,垂足為O,則MO_L平面4BC,延長CO交A8于點(diǎn)F,連接MF,可得M4=M8=MC,由此可判斷；對于D,由三棱錐用-ABC為正三棱錐，得時，△MBC的面積最大，MAL平面M8C時，一棱錐M-ABC的體積最大，將：:棱錐A-MBC補(bǔ)成正方體AEFG-MBDC,求得三棱錐A-MBC的外接球半徑R,由球體的體積公式計算可判斷.【詳解】解：對于A,如圖，延長交BC于點(diǎn)。，連接AC,

M因為，為△M8C的垂心，則8C_LM￡),又 BCu平面M8C,所以BC_LAH,又AHcMD=H，所以BC_L平面MA。，又A”u平面AMO,所以BC_LAM,A項正確；對于B,因為8CJ_AO,乂aABC為等邊三角形，所以。為BC的中點(diǎn)，連接8〃并延長交MC于點(diǎn)E,連接AE,則BELA/C,因為AHL平面MBC,MCu平面MBC,所以A//_LA/C,又A〃nBE="，所以MCL平面A8H,B項正確；對于C,因為A8i平面A8E,所以A8AMC,過M作MOJ_AO,垂足為O,則例O_L平面ABC,又ABi平面A8C,所以MOLAB,延長CO交AB于點(diǎn)凡連接M兄因為MOcMC=M,所以AB_L平面MCF,因為MF,C/u平面MCF,則M/_LAB，CF1AB.得M4=M8，所以M4=A/B=MC,C項錯誤；對于D,因為三棱錐A7-ABC為正三棱錐，當(dāng)MB_LMC時，△M8C的面積最大，“1M4工平面一例8c時，三棱錐M-ABC的體積最大，將三棱錐A-M8C補(bǔ)成正方體AEFG-MBDC.此時正方體AEFG-MBDC的體對角線長即為三棱錐A-M8C的外接球的宜衿，設(shè)三棱錐A-A必。的外接球直徑為2R,則2R=，M42+MB?+A/C」=4G，即火=2百，因此三棱錐M-ABC的外接球的體積V=等^=yx（2x/3）3=32&,D項錯誤.故選：AB.三、雙空題（2022?山東?煙臺二中模擬預(yù)測）已知等邊aABC的邊長為2,將其繞著8c邊旋轉(zhuǎn)角度凡使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到A'位置.記四面體4'ABC的內(nèi)切球半徑和外接球半徑依次為r,R,當(dāng)四面體A/8C的表面積最大時，A'A=,3=.【答案】 2& 2-6##-豆+2【解析】【分析】先判斷出當(dāng)NA'BA=］時四面體A'ABC的表面積最大，即可求得AA=2&;先求出表面積,再得到A'A的中點(diǎn)。為四面體AABC的外接球球心，即可求得R,再求出四面體的體枳，由丫=；.（4+20/■即可求得r,即可求解.【詳解】A!TT易得aABCaA'BC的面積為定值，又aWmaACA',顯然當(dāng)NA'BA=一時，此時2i.ABA'^ACA'面積最大，即四面體A'ABC的表面積最大，此時A'A=2啦;當(dāng)四面體A'ABC的表面積最大時，易知四面體AABC的表面積最大值為1x22x—x2+-x2x2x2=4+2>/3.設(shè)A'A的中點(diǎn)為。，2 2 2易知。8=。。=：44',.?.OB=OC=OA=Q4'=&,即。為四面體A'ABC的外接球球心,，四面體A'ABC的外接球半彳仝/?=&,

'：OB=OC=W且BC=2,?*.BC2=OB2+OC2,：.4BOC=g由OC_LOB,OC_LA4',O8,A4'u平面AAB,O8cA4'=O,可得OCJ"平面A'AB，.?.四面體AA8C的體積為丫=、5八八屋0。=述*2國…學(xué)y平3*2國…學(xué)y平乂丫=§^D-ABC"十耳Sqy/C.-§S0_"8"+§^D-AAfC解得r=4^,2+J3,??5=事=2-6故答案為：2&;2-5/3.(2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校高三階段練習(xí)(理))正方體ABCQ-ABCQ的棱長為2,動點(diǎn)P在對角線上，過點(diǎn)P作垂直于的平面a,記平面a截正方體得到的截面多邊形(含三角形)的周長為y=/(x),設(shè)BP=x,xe(0,23).(1)下列說法中，正確的編號為.①截面多邊形可能為四邊形；②f冷=3五;③函數(shù)/")的圖象關(guān)于》=石對稱.(2)當(dāng)x=6時，三棱錐P-ABC的外接球的表面積為.【答案】 ②③％r【解析】【分析】(I)連接A環(huán)片CAC,證明平面做C,探討x取值范|1；|所為應(yīng)截面形狀及〃x)的表達(dá)式即可求解作答.(2)點(diǎn)P為中點(diǎn)，利用球面的性質(zhì)求出三棱錐P-ABC的外接球半徑即可計算作答.【詳解】(1)在正方體A8CO-A4GA中，連接4綜BC，AC,8。，如圖，BDlAC,DDt_L平面ABCD,ACu平面ABCD,則DD、1AC,BD^\DDX=D,BD,DDtu平面B。。，因此，4cL平面B。。，BRu平面8。。，AC1BDt,同理Aq_LB。，而AB|ri4C=A,A81,ACu平面ABC，則BRL平面AB,C,連接AR,G。，A。，同理B""L平面4G。，又PwBD、,Pwa，BDJa,當(dāng)平面A8c為平面a時，憶《1c=；,亨(2&)%=：?W=g,解得x=2叵，3當(dāng)平面AG。為平面a時，》=華，"'lO<x4逆或型Vx<2w時，平面(與正方體A8CO-A4GR共點(diǎn):的三個面相交，截3 3面為三角形，當(dāng)0<xW這時，平面。截正方體ABCO-ABCA所得截面為正△EFG,令BE=t,3由Vr-efg=；S^efg，x=~BE，得：^-(y/2t)2.x= ,解得t=>j3x,則f(x)=3\flt=3限x,當(dāng)時，同理得以x)=3瓜Q&-x),當(dāng)亞<x(生叵時，平面a與正方體ABC。-A&GA的六個面相交，截面為六邊形3 3MNTQRS,令4歷二〃(。<〃<2),\N\NT=QR=MS=?4,TQ=RS=MN=6Q-u),有f(x)=60,因此，平面。截正方體ABC。-ASGA所得截面為三角形或六邊形，①不正確；35/6x,0<xW 3fM=</(—)=fM=</(—)=3>/2,②正確;3 33瘋2癢x),華4x<顯然xw(0,2石)，有丁(26-x)=/(x)恒成立，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于*=道對稱，③正確.(2)當(dāng)x=G時，點(diǎn)P為8。中點(diǎn)，令A(yù)CnSQ=O,連PO,顯然尸0,平面ABC,三棱錐P-ABC的外接球截平面ABC所得小圓圓心為點(diǎn)O,此小圓半徑為V2，則有三棱錐P-A8C的外接球球心在宜線P。上，設(shè)球半徑為r,而PO=1,球心到平面A8C的距離d=|r-l|,于是有：產(chǎn)=1+(0)2,即產(chǎn)=(.1)2+2,解得2r=3,所以三棱錐P-ABC的外接球的表面積為41產(chǎn)=〃(2r)2=9〃.故答案為：②③；9萬【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：幾何體的外接球的表面積、體積計算問題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置或者球半徑是解題的關(guān)鍵.(2022?江蘇連云港?模擬預(yù)測)在四棱錐尸-"CQ中，底面ABC。是矩形，側(cè)面附8是等邊三角形，側(cè)面底面ABC。，AB=26,若四棱錐P-A8C￡)存在內(nèi)切球，則內(nèi)切球的體積為,此時四棱錐P-ABCD的體積為.【答案】 86【解析】【分析】過點(diǎn)尸作出四棱錐P-A8CD的內(nèi)切球截面大圓，確定球半徑表達(dá)式，再借助四棱錐體枳求出球半徑計算作答.【詳解】取A8中點(diǎn)M,CD中點(diǎn)N,連接PM,PN,MN,如圖，因4PAB是正三角形，則RW_L,乂ABCD是矩形，有MV_LAB,而平面PA8_L平面ABCD,平面PABc平面ABCD=A5,尸例u平面PAB,MVu平面ABCD，因此PAfJ_平面ABCD,MNJ■平面E4B，又ADUMNUBC,則A￡)_L平面力$,BCJ"平面 即有AD_LPA,BC_LP8,PMcMN=M,PM,MNu平面PMN,有A8_L平面EMV,PNu平面PMN,AB1PN,而AB〃C。，則CDJ.PN,顯然aPAOmaPBC,由球的對稱性及四棱錐P-ABC￡>的特征知，平面加截四棱錐ABC。的內(nèi)切球。得截面大圓，此圓是RtZXPMN的內(nèi)切圓，切MN,分別于E,F,有四邊形O￡MF為正方形，令A(yù)D=X,而PM=3,PAf=V7+9-則球半徑廠=加『=3。+3->/.2+9),四棱錐產(chǎn)一ABC3的表面積為S=S?.?+25PAn+S.?rn+S二=3G+4限+百心+9,由V-8=；rS=；SMc/＞PM得：*+3-&+9).而3+4〃+&+9)=2任.3,整理得：6x(3+4x+Vx2+9)=12x-(x+3+Vx2+9)?即2x-3=&+9，解得x=4,因此，r=l,內(nèi)切球的體積丫=亨，=與，四棱錐P-ABC。體積匕＞_他?,=86.故答案為：；8-75【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：一個多面體的表面積為s,如果這個多面體有半徑為/■的內(nèi)切球，則此多面體的體積V滿足：V=1sr.(2022?全國?高三專題練習(xí))定義：若A,B,C,。為球面上四點(diǎn)，E,尸分別是48,C。的中點(diǎn)，則把以E尸為直徑的球稱為AB,C。的“伴隨球”?已知A,B,C,。是半徑為2的球面上四點(diǎn)，AB=CD=2。則AB,8的“伴隨球”的直徑取值范圍為:若A,B,C,。不共面，則四面體A8CD體積的最大值為.【答案】(0,2] 4【解析】【分析】設(shè)。為48,C,。所在球面的球心，則由題可知E、F均是以。為球心，1為半徑的球面上的2點(diǎn)，據(jù)此即可求出EF范圍；根據(jù)乙伙"=2匕"￡=§S”7?「d(d為點(diǎn)A到平面COE距離，),求出\CD￡,J的最大值即可得體積最大值.【詳解】解：設(shè)。為A,B,C,。所在球面的球心，\OA=OC=2.?；AB=CD=25且E,尸分別是A8,C￡＞的中點(diǎn)，：.OEVAB,OELCD,且4E=CF=5..OE=OF=1,則E、F均是以O(shè)為球心，1為半徑的球面上的點(diǎn)，若以EF為直徑作球，則0<EFWOE+OF=2,即AB.CO的伴隨球的直徑取值范圍是（0,2］：__ 2,?aE是AB1I，點(diǎn)?*0-^A-BCD=2匕一CDE=§S^CDE,dfd為點(diǎn)A到平面CQE距離，d,、AE=6,又〃為點(diǎn)E到6距離，2,當(dāng)且僅當(dāng)￡,O,F三點(diǎn)共線，旦A3_L8時，等號成立.故答案為：（0,2］：4.【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定E和F的軌跡,數(shù)形結(jié)合可得EF的范圍；根據(jù)E是AB中點(diǎn)，則A與8到平面CDE的距離相等，據(jù)此將三棱錐A-BCD的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐A-CDE體積的2倍，再數(shù)形結(jié)合即可求得最值.對空間想象能力的要求很高，屬于難題.四、填空題（2022?重慶?高二期末）如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=AC=BC=BD=CD,二面角A-BC-。的余弦值為-g,若三棱錐A-BCO的體積為g,則三棱錐A-8CO外接球的表面積為.【答案】47t【解析】【分析】取8c的中點(diǎn)E,連接AE,DE，過點(diǎn)4作AH_L￡>E,垂足為“，設(shè)43=2”，利用三角形的邊角關(guān)系求出AH，利用錐體的體積公式求出。的值，確定三棱錐外接球的球心，求解外接球的半徑，由表面積公式求解即可.【詳解】取BC的中點(diǎn)E,連接AE,DE,過點(diǎn)A作A〃_L￡)E，交OE的延長線于點(diǎn)〃，所以NA￡D為二面角A-BC-。的平面角，設(shè)AB—2a>則AE=DE=6a?cos^AED―――,TOC\o"1-5"\h\z所以sinZAEH=sinZAED= ,3所以44=偵a,EH=-AE=—a,3 3 3因為三棱錐A-BCD的體積為；，所以且x(2a)2x3色a=j，解得：a=^-.EH=立~,34 3 3 2 6設(shè)△BCD外接圓的圓心為01三棱錐A-BC。外接球的球心為。，連接OO'.0C,O'C,過點(diǎn)。作 于點(diǎn)F,則O'C=O'O=2oe=邁，O'E=-DE=—,OrH=OF,3 3 3 6OA=OC,設(shè)O<y=FH=h,貝IJ4F=A4一F"=拽一〃，OF=O'H=O'E+EH=—,由3 3勾股定理得：/+（乎）=［羊一〃+半），解得：八邛，所以三棱錐A—BCD外接球的半徑R滿足R2=o,o2+092=1，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為4nR2=4兀.故答案為；47t.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的外接球問題，棱錐的體積公式的理解與應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線匕由此結(jié)論可以找到外接球的球心，（2022?河南?高三開學(xué)考試（理））如圖，在aABC中，BC=2AC,ZACB=120°,CQ是ZAC8的角平分線，沿CD將△AC。折起到△A'C￡＞的位置，使得平面A'CDJ"平面BCD.若A'B=643,則三棱錐A-BCD外接球的表面積是.【答案】1287t【解析】【分析】先利用角平分線及4'8=66求出各邊長，進(jìn)而找到球心及球心在平面8C。上的投影,利用半徑相等列出方程，求出半徑，進(jìn)而求出外接球表面積.【詳解】過點(diǎn)4'作A'EJLCD,連接8E.設(shè)AC=2。，則AE=AC?sin60。=百a,CE=AC-cos60°=a>BC=4a.在aBCE中，由余弦定理可得B￡=J（4a）2+a2-2x4/xg=底.因為平面AC。，平面BCD,交線為CD,所以A'E_L平面BCD,因為BEU平面8CD,所以A'E±BE,則48=J3a2+\3a2=4a=6B解得：a=空,從而AC=4C=3G.在aABC中，由余弦定理可得2AB=小可+倒廚-2x36x66x(-g)=3⑨.因為CO是NAC8的角平分線，所以NA8=NBC￡>=60。，由正弦定理得：———=———，———=———.而sinNACO=sin/BCD,所以sinZADCsinZACDsinZBDCsinZBCDA'D=AD=42i，BD=2后.因為AC?+CO?-2AC-CDcos600=AO),且CD2+BC2-2CD-BCcos60°=BD2.所以CC=2且.設(shè)△BCD外接圓的圓心為O',半徑為r,則r 空『2近，點(diǎn)0到直線CD的距離］=、/-仕c。］=5.設(shè)三棱錐2sin60° V(2 )A-88外接球的球心為O,半徑為凡則於=00'2+，=0，爐+（4￡-。0，）2,即R2=OO"+28=獨(dú)一6+52+(--OO,|,解得：K=32,故三楂錐A'—BC。外接球的表面積是4兀店=128兀.【點(diǎn)睛】三棱錐的外接球問題，需要先找到球心在一個平面上的投影，即三角形的外心，進(jìn)而利用半徑相等列出等量關(guān)系，求出答案.（2022?重慶?模擬預(yù)測）在三棱錐P—ABC中，AB=BC=4,PC=8,異面直線B4,BC所成角為ABA.PA,AB1BC,則該三棱錐外接球的表面積為.【答案】80?！窘馕觥俊痉治觥孔鞒鲚o助線，找到球心的位置，求出半徑，利用外接球表面積公式進(jìn)行求解，注意存在兩種情況，需要分類討論..【詳解】過點(diǎn)A作AC〃BC,過點(diǎn)C作CQ〃A8,A。與CO相交于點(diǎn)。，連接尸C,因為4BLBC,所以AOLC。，乂AB=BC=4,所以四邊形A8CO為正方形，所以C￡>=A￡>=4,異面直線JT，冗用,BC所成角為/印所以NPAO=§或3,因為A8LBC,所以A8LAO,又因為PAr>AD=A,所以48_1_平面附。，因為尸Du平面用力，所以ABJ_尸力，故C￡）J_P￡）,因為PC=8,由勾股定理得：PD=y/82-42=4^-當(dāng)NP4D=?時，如圖，在aBW中，由余弦定理得：cosNPAD=尸四二巾=』解3 2PAAD2得：PA=8,則PD?+AD?=RV,所以/|大|為ADr>AB=A,所以尸DJ_平面4BCD,取P8中點(diǎn)O,對角線4C,8。相交于點(diǎn)E,則￡為8。中點(diǎn)，連接OE,則OE〃P￡）,所以O(shè)E_L平面48co，則點(diǎn)O即為該三棱錐外接球的球心，其中OE=；PO=2百，EB=2&，由勾股定理得：OB=>/12+8=26,即半徑r=2>5，外接球衣面積為4兀產(chǎn)=80兀.當(dāng)NPAO="時，如圖，在△力力中，由余弦定理得：cosZPAD=pa2+ad2-pd~=_1,3 2PAAD2解得；EA=4,則過點(diǎn)P作PMLAO交D4的延長線于點(diǎn)N,則NRW=],故AN=gpA=2,PN=2石，因為ABL平面以。，PNu平面用O,所以AB_LPN,因為A￡）cAB=A,所以PN_L平面ABCO,對角線AC,B。相交于點(diǎn)E,根據(jù)aABC為直角三角形，AC為斜邊，故E為球心O在平面ABC的投影，即OEJ_平面A8CO,過點(diǎn)。作OM1_/W于點(diǎn)M,連接EN,OP,0C,則OM=EMOE=MN,0C=。尸且為外接球半徑，其中NMAE=135。，由余弦定理得：EN=>JAN2+AE2-2AN-AEcosZNAE=2布?設(shè)OE=MN=h,由勾股定理得：PM2+OM2=OE2+EC2.即（2月一6）一+（2遙）一=/+（20）2,解得：〃=2豆，代入上式，解得0P=2有，即半徑r=2/,外接球表面積為4+=80兀.故答案為：80ti【點(diǎn)睛】對于求解立體幾何的外接球問題，需要先找到球心的位置，結(jié)合立體幾何的特征來求解，比如棱柱和圓柱的外接球球心在其中心位置，而稍微難一些的棱柱的外接球問題，需要先找到一個特殊的平面，找到球心在這個平面的投影，再找到球心的位置，結(jié)合題干條件求出半徑即可.（2022?全國?高三專題練習(xí)）三棱錐A-8C。中，aABC為邊長為3的等邊三角形，BC1CD,CO=而，且面ABCJ■面BC。，則三棱錐A-BCO的外接球的體積為【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得出。平面ABC,進(jìn)而找到三角形ABC的外心。與三角形8C。的外心。2,然后過。作平面A8C的垂線，過02作平面BCD的垂線，兩條垂線的交點(diǎn)即為外接球心，最后解出答案.【詳解】如圖，因為平面ACC_L平面A8C,且交于8C,而。CLBC,所以￡>CJ?平面A8C,取正三角形A8C的外心（也為重心）。/,過。引平面ABC的垂線，取直角三角形BCQ的外心。，則0/為BD中點(diǎn)，過02引平面BCD的垂線，設(shè)兩條垂線交于O,則O為三棱錐的A-BCD的外接球心.

取BC中點(diǎn)。，連接因為。印。分別為B2BC的中點(diǎn)，所以且所以。2。,平面ABC,因為OOi^l?平面ABC,所以易知AO?。：點(diǎn)共線，且ADLBC,又因為平面AC。，平面4BC,且交于BC,所以A3,平面BCQ,而。。2,平面BCD,所以O(shè)/ZV/OO2，于是四邊形O。。。?足矩形，且OOt=O2D=-DC=-連接AO,在正三角形A8C中，其邊長為3,所以AD=邁,AQ=2aO=G，2 13由勾股定理：外接球半徑AO=J4Q：+OO：=啟+3=?,所以外接球體積1)故答案為：――兀.6【點(diǎn)睛】多面體外接球心比較常見的一種找法是選取多面體的兩個特殊面（通常為等邊三角形、等腰三角形和直角三角形），然后找到兩個面的外心，進(jìn)而通過外心引各自所在面的垂線，垂線的交點(diǎn)即為球心，然后構(gòu)造幾何圖形求出外接球半徑即可，本題比較典型，可以作為范題進(jìn)行總結(jié).（2022?江蘇?高三專題練習(xí)）在長方體ABC。-A4GA中，AB=CC、=曰BC=1,點(diǎn)M在正方形COD?內(nèi)，GM_L平面ACM,則三棱錐M-AC6的外接球表面積為.【答案】Ibr【解析】先由GM_L平面ACM,得出點(diǎn)M為正方形CORG對角線的交點(diǎn)，再由正方體中△〃??；是等腰直角：.角形，設(shè)E是CCJi點(diǎn)，則E是△MCG的外心，取尸是B耳中點(diǎn)，則三棱錐的外接球的球心。在直線E尸上，計算出A尸和CF后得。在EF的延長線上，求得球半徑后可得表面積.【詳解】解：如圖所示：

?.?CMJ.平面ACM,連接C",又CDDG為正方形,點(diǎn)M為正方形CDD￡對角線的交點(diǎn)，則△MCG是等腰直角三角形，M是直角頂立，設(shè)E是CC,中點(diǎn)，則E是△MCG的外心，取尸是8片中點(diǎn)，則所〃8C,而8CJ■平面OCCQ,A三棱錐M-ACG的外接球的球心。在直線EF上,.?.。在￡尸的延長線上，設(shè)。尸=》，則由OA=OC得（萼]+x2=（x+i）2+（q],解得x=；,故答案為：Ibr.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求球的表面積，關(guān)鍵是確定球心位置求得球半徑.利用三棱錐的性質(zhì)可得球心位置，三棱錐外接球心一定在過各面外心且與該面垂直的直線上.（2022?安徽?合肥市第八中學(xué)模擬預(yù)測（文））在三棱錐S-ABC中，NSAC=NSBC=],NAC8=年,AC=8C=1.若三棱錐S-ABC的體積為1,則該三棱錐外

接球的表面積為.【答案】52?【解析】【分析】由條件可知aASC和4BSC為以SC為斜邊的直角三角形，則SC的中點(diǎn)。為外接球的球心.過S做S"J"平面ABC,垂足為H,由三棱錐的體積可求出高S4=46,根據(jù)三角形全等可證明”在.NA8C的用平分線上，即NHC4=60。，由線面垂直的定理可知AC_LH4,從而可計算C〃=2,勾股可知SC的長，從而計算外接球的半徑和表面積.【詳解】7T因為nsac=nsbc=],所以aASC和aBSC為以sc為斜邊的直角三角形，則sc的中點(diǎn)o到各個頂點(diǎn)的距離都相等，則。為外接球的球心.即sc為直徑.過S做S〃_L平面ABC,垂足為H,連結(jié)，8，HA，則匕/=！xSHxLlxlx3=1,解得：SH=46.3—/loL3 2 2TT■：AC^BC=\,ZSAC=^SBC=-,SC=SC,:YSAC充SBC,則SA=SB2AH,BH分別為SA,SB在平面ABC內(nèi)的射影，所以有AH=BH，乂AC=BC, 為公共邊，所以 則NHC4=N4C8,所以“在NA8C的角平分線上，N〃C4=60"，AC±SA,AC1SH.SAnS"=S，所以有AC_L平面S〃4,AHu平面SH4,則有AC_L"4,因為AC=1,ZHCA=60°.所以CH=2,則SC=/SH。+CH?=2月,則R=而故外接球的表面積為S=4萬代=52].C故答案為：52萬（2022?浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）在三棱錐O-ABC中，“A鉆是邊長為2的正三角形，且平面￡>AB_L底面ABC,BC=4,Zfi4c=60%則該三棱錐的外接球表面積為

【答案】68%【答案】68%

~3~【解析】【詳解】如國，。是三極錐ABC外接球的球心，。|是aABC外接網(wǎng)的圓心，由球的性質(zhì)可得。。1平面48。；又???平面八4B_L平面ABC,取AB的中點(diǎn)M,連接又?.?△ABD是邊長為2的等邊三角形，故ZW_LAB且OM=石，又平面D4Bc平面ABC=AB.DMu平面￡)A3*..DM_L平面ABC,\DM//OO,,連結(jié)QM過。點(diǎn)作ON〃O、M所以四邊形QMNO是平行四邊形，\MN=OO、Q、M=ON；在“BC中，BC=^BAC60-由正弦定理可得2/=而嬴=焉=爰即:4°'A=?忑設(shè)三棱錐D-ABC外接球的半徑為R\MN=■八4\MN=在放aAQQ中，AO=R,AO]=-j=故oq=v3在△ARB中，?且〃是A8的中點(diǎn)，故161, 4 /1616在RNAO】M中，AM=-AB=1,AO、=-j=故QM=J—-1=在用aDVO中，OD=RQN=事故。N=^R2-yQDN+MN=DM所以三棱錐力-MC外接球的表面積為5=4p/?2=4p?y等故答案為：等=3-25/3?=3-25/3?+若（2022?云南曲靖?二模（文））已知三棱錐P-ABC三條側(cè)棱F,PB,尸C兩兩互相垂直,且PA=PB=PC=2,M,N分別為該三棱錐的內(nèi)切球和外接球上的動點(diǎn)，則M,N兩點(diǎn)間距離的最小值為【答案】--2##-2+^【解析】【分析】將二棱錐P-ABC補(bǔ)成正方體APB。-AC8Q,計算出內(nèi)切球的半徑以及點(diǎn)尸到平面ABC的距離，即可求得M、N兩點(diǎn)間距離的最小值.【詳解】由已知可將該上棱錐補(bǔ)成正方體4尸連接「A，如圖所示.設(shè)三棱錐P-ABC的內(nèi)切球球心為。1,外接球球心為。2,內(nèi)切球勺平面A5C的切點(diǎn)為G,易知?？诔?、G三點(diǎn)均在巴，在正方體 中，DD,L^APBD,ABu平面APBD,，AB，OR,因為四邊形為正方形，則AfiJLPD,vDD,[}PD=P, AB_L平面PDDt,?./。（=平面「力。，則尸。LAB,同理可證PRJ.AC,?.?ABoAC=A,J.PRJ?平面ABC,設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，外接球的半徑為R,則R五萬百=6.由等體積法可得3(Sjcp+S.RCP+SJBP+S&ABC)r=—S扒BP-PC,r S^abp?PC = 2x2 ?_6Smcp+S4bcp+Smbp+Smbc2x3+--x^2\/2)2 3由等體積法可得1S"PG=g$兇1PPC,得PG=*【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是將三棱錐置入正方體中，數(shù)形結(jié)合得到外接球和內(nèi)切球半徑,是一道有一定難度的題.(2022?河南?商丘市第一高級中學(xué)高一期中)已知正三棱錐S-ABC,SA=SB=SC=2^,AB=3,球。與三棱錐S—ABC的所有棱相切，則球。的表面積為.【答案】(19-8^)7t##197t-8x/37t【解析】【分析】畫出圖形，找到棱切球的球心，列出方程，求出半徑，求出表面積【詳解】取等邊AABC的中心E,連接SE,則SEL平面ABC,連接AE并延長，交BC于點(diǎn)D,則。為8c中點(diǎn)，且ADLBC,在SE上找到棱切球的球心。，連接。￡),則即為棱切球的半徑，過點(diǎn)O作OFLS47點(diǎn)F,則OF也是棱切球的半徑，設(shè)O￡>=O尸=R,因為sa=sb=sc=2G,ab=3,所以求得ao=^^,ae=G,oe=3,2 2由勾股定理得：SE=V12^3=3,且NA5E=30°,設(shè)。E=〃，OD=Joe，+ED2=收+；,SO=3-/i,OF=g(3-〃)，由題意得：舊+；=；(3叫,解得：人=6-1或-"6,當(dāng)八g時,2+鴻—26此時球。的表面積為Q9-8技兀；當(dāng)棱切球的半徑最大時，切點(diǎn)為4,B,C,由于NASE=30。，SA=SB=SC=20可求得最大半徑R=2百tan30。=2,I— ,)319r~而當(dāng)人=一百一1時，/?-=A【答案】10萬或26萬【解析】【答案】10萬或26萬【解析】【分析】。為BC中點(diǎn)，連接皿尸￡>,根據(jù)已知條件可知P-ABC外接球的球心。在這。垂直于面ABC的直線匕并求得P到面ABC的山離，應(yīng)用線面垂直、面面.垂宜判定可得面一48。，面以￡),則有P在面ABC上的射影落在直線AO上，進(jìn)而可得N/HD=45。、4%。=135。兩種情況，分別求出外接球半徑，即可求其表面積.【詳解】由ABLAC,AB=AC=2,則△ABC為等腰直角三角形，若。為8c中點(diǎn)，連接則AD_LBC,且。為面ABC的外接圓圓心，所以P-ABC外接球的球心。在過。垂直于面ABC的丸線上，44髭然不成立，故〃=—75-1舍去，綜上：球。的表面積為(19-84)兀故答案為：(19-8/)?！军c(diǎn)睛】對于立體幾何中內(nèi)切球，外接球或棱切球問題，要畫出圖形，找到球心和球心在一些特殊平面的投影，利用半徑列出方程，求出半徑，從而求出體積或表面積.(2022?全國?模擬預(yù)測)已知三棱錐P-ABC的四個頂點(diǎn)在球。的表面上，AB1AC,PA1BC,AB=AC^2,PA=\.若三棱錐P-ABC的體積為之，則球。的表面積為由：極錐P-ABC的體積為也，1LSasc=2,故尸到面A8C的距離d="，3 2又FA_LBC,E4cA￡)=A,則8cl.面PAO,又BCu面ABC,所以面48(7_1面皿)，且面A8CD面加=4),則尸在面ABC上的射影落在直線AO上，乂出=1,則/24￡>=45?；?40=135。，若外接球的半徑為R,OD=h,當(dāng)NP4￡)=45。，如下圖示：OP=OA=OB=OC=R,PD=.+(AD-爭=1<&，易知NPD4=45°,則NP￡X9=135。，所以尸DZ+oDZ-Zpo.oncosZPDOuAOZ+off,可得［+同=2,即〃='所以R=y/AD2+OD2=叵，此時外接球表面積為4%正=10萬；2當(dāng)ZE4￡>=135。，如下圖示：OP=OA=OB=OC=R,PD=J"?+(AD+^y-)2=>/5>>/2?易知cosZPDO=sinZPDA= ,所以PZ)2+OO2-2POO￡>cosZP￡)O=AO2+oo2,可得5-&人=2，即6=逑,2所以R=Jm+O》=叵,此時外接球表面積為4萬店=26］；2綜上，外接球表面積為10乃或26乃.故答案為：10萬或26乃【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由底面是等腰直角三角形確定棱錐球心的位置，根據(jù)體積求產(chǎn)到血ABC的即離，結(jié)合月4=1判斷P的位置情況，根據(jù)已知條件求出外接球半徑.（2022?江西撫州?高二階段練習(xí)（理））勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動（如圖甲），利用這一原理，科技人員發(fā)明了轉(zhuǎn)子發(fā)動機(jī).勒洛四面體是以正四面體的四個頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的相交部分圍成的幾何體如圖乙所示，若正四面體ABC。的棱長為2,則下列說法正確的是.①勒洛四面體被平面ABC截得的截面面積是8（7-石）②勒洛四面體ABCD內(nèi)切球的半徑是4-布③勒洛四面體的截面面積的最大值為21-④勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為2-直甲 乙【答案】③@【解析】【分析】求出勒洛四面體A8CO被平面ABC截得的截面面積判斷①，③；求出勒洛四面體ABCD內(nèi)切球的半徑判斷②，④作答.【詳解】觀察幾何體知，勒洛四面體的最大截面是經(jīng)過正四面體ABCD的住意：.個頂點(diǎn)的平面截勒洛四面體而得，勒洛四面體ABC。被平面ABC截得的截面是正aABC及外面拼接上以各邊為弦的三個弓形,弓形弧是以正aABC各頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑且所含圓心角為&T的扇形弧，如圖，

因此，截面面積為：3xlx-AB2-2x^AB2=27t-2x/3.①不正確，③正確:23 4由對稱性知，勒洛四面體ABC。內(nèi)切球球心是正四面體ABCD的內(nèi)切球、外接球球心。，如圖,手，正四面體圖,手，正四面體ABCD的高=QABJOB