高中數(shù)學第二章平面向量25從力做的功到向量的數(shù)量積課件2北師大必修4

2.5

從力做的功到向量的數(shù)量積2.5【知識提煉】1.向量的夾角與投影(1)夾角①定義：已知兩個非零向量a和b，作=a,=b,則_________叫作向量a與b的夾角；②范圍：_______________；∠AOB=θ0°≤θ≤180°【知識提煉】∠AOB=θ0°≤θ≤180°③大小與向量共線、垂直的關(guān)系：θ=0°?a與b_____，180°?a與b_____，90°?a___b.同向反向⊥③大小與向量共線、垂直的關(guān)系：θ=0°?a與b_____，同(2)投影①定義：如圖所示：=a，=b，過點B作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則OB1=__________.__________叫做向量b在a方向上的投影數(shù)量(簡稱投影).|b|cosθ|b|cosθ(2)投影|b|cosθ|b|cosθ②大小與夾角的關(guān)系：|b|正值0負值-|b|②大小與夾角的關(guān)系：|b|正值0負值-|b|2.向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個向量a與b，它們的夾角為θ，我們把_____________叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作_____，即a·b=_____________.|a||b|cosθa·b|a||b|cosθ2.向量的數(shù)量積|a||b|cosθa·b|a||b|co(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上投影__________的乘積，或b的長度____與a在b方向上投影__________的乘積.(3)物理意義：力對物體做功，就是力F與其作用下物體的位移s的數(shù)量積_____.|b|cosθ|b||a|cosθF·s(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上(4)性質(zhì)：①若e是單位向量，則e·a=a·e=__________；②a⊥b?_______；(其中a,b為非零向量);③|a|=④cosθ=_________(|a||b|≠0)；⑤對任意兩個向量a,b,有|a·b|___|a||b|.|a|cosθa·b=0≤(4)性質(zhì)：|a|cosθa·b=0≤(5)運算律：交換律：a·b=_____.結(jié)合律：(λa)·b=_________=_________.分配律：a·(b+c)=__________.b·aλ(a·b)a·(λb)a·b+a·c(5)運算律：b·aλ(a·b)a·(λb)a·b+a·c【即時小測】1.思考下列問題:(1)向量的夾角與直線的傾斜角的范圍相同嗎?提示:不相同.向量的夾角范圍為[0,π],而直線的傾斜角范圍為[0,π).(2)影響數(shù)量積的大小的因素有哪些?提示:影響數(shù)量積的大小的因素有向量的模及其夾角的大小.【即時小測】2.若e1,e2是兩個平行的單位向量,則下面結(jié)果正確的是(

)A.e1·e2=1

B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1D.e1·e2<1【解析】選C.由于e1,e2是兩個平行的單位向量,設其夾角為θ,則|cosθ|=1,所以|e1·e2|=|cosθ|=1.2.若e1,e2是兩個平行的單位向量,則下面結(jié)果正確的是(3.若a·b>0,則a與b的夾角θ的取值范圍是(

)

【解析】選A.因為a·b>0,所以cosθ>0,所以θ∈.3.若a·b>0,則a與b的夾角θ的取值范圍是()4.若e1,e2是夾角為

的單位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,則a·b等于

(

)A.1

B.-4

C.-

D.4.若e1,e2是夾角為的單位向量,且a=2e1+e【解析】選C.a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)==-6|e1|2+|e1||e2|cos+2|e2|2=-6×12+1×1×+2×12=-.【解析】選C.a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)5.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,則a·b=________.【解析】由a∥b,可知a與b的夾角為0或π,故a·b=±30.答案:±305.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,則a·b=____【知識探究】知識點1向量的數(shù)量積觀察如圖所示內(nèi)容,回答下列問題:【知識探究】問題1:向量的數(shù)量積可正、可負、可為零,其決定因素是什么?問題2:向量數(shù)量積a·b中的“·”能否省去?問題1:向量的數(shù)量積可正、可負、可為零,其決定因素是什么?【總結(jié)提升】1.數(shù)量積的寫法及與實數(shù)乘積的區(qū)別兩向量a,b的數(shù)量積也稱作內(nèi)積,寫成a·b,其應與代數(shù)中的a,b的乘積ab區(qū)分開來,其中“·”是一種運算符號,不同于實數(shù)的乘法符號.在向量運算中既不能省略,也不能用“×”代替.【總結(jié)提升】2.數(shù)量積運算的結(jié)果(1)向量線性運算的結(jié)果是一個向量,但兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量.(2)由于0°≤θ≤180°,所以a·b可以為正數(shù)、負數(shù)和零,且當0°≤θ<90°時,a·b>0;當θ=90°時,a·b=0;當90°<θ≤180°時,a·b<0.2.數(shù)量積運算的結(jié)果(3)若a為零向量,則|a|=0,從而a·b=0,故零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(4)a·a=a2=|a|2.(5)兩個單位向量的數(shù)量積等于它們的夾角的余弦值.(3)若a為零向量,則|a|=0,從而a·b=0,故零向量與知識點2數(shù)量積的性質(zhì)及運算律觀察如圖所示內(nèi)容,回答下列問題:問題1:向量的數(shù)量積有什么重要的性質(zhì)?問題2:數(shù)量積與實數(shù)乘積有什么差異?知識點2數(shù)量積的性質(zhì)及運算律【總結(jié)提升】1.數(shù)量積五條性質(zhì)的應用性質(zhì)(1)可以幫助理解數(shù)量積的幾何意義;性質(zhì)(2)可以解決有關(guān)垂直的問題;性質(zhì)(3)可以求向量的長度;性質(zhì)(4)可以求兩向量的夾角;性質(zhì)(5)可以解決有關(guān)不等式的問題,當且僅當a∥b時,等號成立.【總結(jié)提升】2.數(shù)量積運算遵循的運算律及常用公式(1)遵循的運算律:數(shù)量積的運算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律,不適合乘法結(jié)合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).這是由于(a·b)c表示一個與c共線的向量,而a(b·c)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線.2.數(shù)量積運算遵循的運算律及常用公式(2)常用公式及注意點:①(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;②(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2;③(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2.注意:|a|2=a·a,|b|2=b·b.(2)常用公式及注意點:【題型探究】類型一平面向量數(shù)量積的概念及運算【典例】1.|a|=2,向量a與向量b的夾角為120°,則向量a在向量b方向上的射影等于(

)A.2

B.120°C.-1D.由向量b的長度確定2.已知|a|=3,|b|=6,當(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)a與b的夾角是60°時,分別求a·b,a·(a+b).【題型探究】【解題探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么?提示:|a|cosθ.2.a∥b時,兩向量的夾角是多少?提示:若a與b同向,則它們的夾角θ=0°,若a與b反向,則它們的夾角θ=180°.【解題探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么?【解析】1.選C.根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義可知|a|cos120°=2×=-1.2.(1)當a∥b時,若a與b同向,則它們的夾角θ=0°,所以a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18,a·(a+b)=a2+a·b=9+18=27.若a與b反向,則它們的夾角θ=180°,所以a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18,a·(a+b)=a2+a·b=9-18=-9.【解析】1.選C.根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義可知|a|co(2)當a⊥b時,它們的夾角θ=90°,所以a·b=0,a·(a+b)=a2=9.(3)當a與b的夾角是60°時,有a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.a·(a+b)=a2+a·b=18.(2)當a⊥b時,它們的夾角θ=90°,【方法技巧】1.求平面向量數(shù)量積的流程【方法技巧】2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的運算技巧及注意點(1)技巧:類似于實數(shù)多項式的運算,將運算轉(zhuǎn)化為向量a,b的數(shù)量積運算.(2)注意點:①a與b的數(shù)量積不可書寫或認為是ab,②a2=|a|2的應用.2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的運算技巧及注意點【拓展延伸】數(shù)量積運算時的兩個注意點(1)要找準兩向量的夾角.(2)注意向量數(shù)量積的運算律的應用.【拓展延伸】數(shù)量積運算時的兩個注意點【變式訓練】已知正三角形ABC的邊長為1.求:

【變式訓練】已知正三角形ABC的邊長為1.求:【解析】(1)的夾角為60°,所以

(2)因為的夾角為120°,所以

【解析】(1)的夾角為60°,類型二利用數(shù)量積求向量的?！镜淅恳阎獆a|=|b|=5,向量a與b的夾角為.求|a+b|,|a-b|.【解題探究】聯(lián)想到|a|2=a2,要求|a+b|,|a-b|,應先求什么?提示:應求|a+b|2與|a-b|2,進而可知先求a·b.類型二利用數(shù)量積求向量的?！窘馕觥糠椒ㄒ?由題意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×因為|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2×=75,所以|a+b|=5.同理因為|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=25,所以|a-b|=5.【解析】方法一:由題意可得a·b=|a||b|cosθ=5×方法二:由向量線性運算的幾何意義求作菱形ABCD,使AB=AD=5,設

如圖,則

方法二:由向量線性運算的幾何意義求作菱形ABCD,使AB=A【延伸探究】1.(改變問法)本例的條件不變求|3a+b|.【解析】由題意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×因為|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=325.所以|3a+b|=5.【延伸探究】2.(變換條件)本例的已知條件若改為“|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5”,如何求|3a+b|的值?2.(變換條件)本例的已知條件若改為“|a|=|b|=5,且【解析】因為|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2=9×25-12a·b+4×25=325-12a·b,又因為|3a-2b|=5,所以325-12a·b=25,即a·b=25.所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400.所以|3a+b|=20.【解析】因為|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應用a2=|a|2,勿忘記開方.(2)a·a=a2=|a|2或|a|=,此性質(zhì)可用來求向量的模,可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.(3)一些常見的等式應熟記,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2等.【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法【補償訓練】已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=4,|b|=2,求:(1)|a+b|.(2)|3a-4b|.【補償訓練】已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=4,|【解析】a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.(1)因為|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12,所以|a+b|=2.(2)因為|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×16-24×(-4)+16×4=304,所以|3a-4b|=4.【解析】a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°【延伸探究】1.(變換條件)本例條件變?yōu)椤耙阎蛄縜與b的夾角為120°,且|a|=4,|a+b|=2

”,求|b|.【延伸探究】【解析】因為a·b=|a||b|cosθ=4×|b|×cos120°=-2|b|.所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=16-4|b|+|b|2.因為|a+b|=2,即|a+b|2=12,所以16-4|b|+|b|2=12.解得|b|=2.【解析】因為a·b=|a||b|cosθ=4×|b|×cos2.(改變問法)若本例刪去條件“已知向量a與b的夾角為120°,”求|a+b|的取值范圍.【解析】設向量a與b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cosθ=4×2×cosθ=8cosθ.|a+b|2=a2+2a·b+b2=42+2×8cosθ+22=20+16cosθ.因為θ∈[0,π],所以cosθ∈[-1,1],所以|a+b|2∈[4,36],則|a+b|∈[2,6].2.(改變問法)若本例刪去條件“已知向量a與b的夾角為120類型三向量的夾角或垂直【典例】1.已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,則a與b夾角θ=________.2.已知向量a,b,c滿足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7.求a與b的夾角θ.類型三向量的夾角或垂直【解題探究】1.典例1中,若求a與b的夾角θ,還需要什么?提示:需要利用(a-b)·(a+2b)=-29求出a·b.2.要求a與b的夾角θ,關(guān)鍵是先求哪些量?提示:關(guān)鍵是先求a·b.【解題探究】1.典例1中,若求a與b的夾角θ,還需要什么?【解析】1.因為(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2|b|2=1+a·b-32=-31+a·b,所以-31+a·b=-29,所以a·b=2,所以

又因為0≤θ≤π,所以θ=.答案:【解析】1.因為(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2.因為a+b+c=0,所以a+b=-c,所以|a+b|=|c|.所以(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2.所以a·b=

2.因為a+b+c=0,又因為a·b=|a||b|cosθ,所以=3×5×cosθ.即cosθ=,因為θ∈[0,π],所以θ=.又因為a·b=|a||b|cosθ,【延伸探究】典例2中若條件不變,是否存在實數(shù)μ使μa+b與a-2b垂直?存在,求出μ值,不存在,說明理由.【解析】假設存在實數(shù)μ使μa+b與a-2b垂直.可得(μa+b)·(a-2b)=0.即μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.所以9μ-2×25-2μ×解得μ=-.所以存在μ=-,使得μa+b與a-2b垂直.【延伸探究】典例2中若條件不變,是否存在實數(shù)μ使μa+b與a【方法技巧】1.求向量夾角的解題流程及注意事項(1)解題流程:【方法技巧】(2)注意事項在個別含有|a|,|b|與a·b的等量關(guān)系式中,常利用消元思想計算cosθ的值.2.求cosθ的兩種情形(1)求出a·b,|a|,|b|的值代入公式計算.(2)得到a·b,|a|,|b|之間的關(guān)系代入公式計算.(2)注意事項3.兩向量垂直的確定與應用(1)確定:通常利用兩向量垂直的充要條件,即計算a·b是否為0.(2)應用:若a⊥b,則a·b=0可求其中參數(shù)的值.3.兩向量垂直的確定與應用【變式訓練】(2015·重慶高考)若非零向量a,b滿足

且則a與b的夾角為(

)

【解題指南】解答本題可以根據(jù)相互垂直的向量的數(shù)量積為零進行計算,然后求出夾角.【變式訓練】(2015·重慶高考)若非零向量a,b滿足【解析】選A.設a與b的夾角為θ,因為所以

解得cosθ=,因為θ∈[0,π],所以θ=.【解析】選A.設a與b的夾角為θ,【補償訓練】1.已知a,b都是非零向量,且a+3b與7a-5b垂直,a-4b與7a-2b垂直,求a與b的夾角.【解題指南】由(a+3b)·(7a-5b)=0及(a-4b)·(7a-2b)=0建立a·b與b2以及|a|與|b|的等量關(guān)系,可求a與b的夾角.【補償訓練】1.已知a,b都是非零向量,且a+3b與7a-5【解析】由已知得(a+3b)·(7a-5b)=0,即7a2+16a·b-15b2=0①(a-4b)·(7a-2b)=0,即7a2-30a·b+8b2=0②①,②兩式相減得2a·b=b2,所以a·b=b2,代入①,②中任一式得a2=b2,設a,b的夾角為θ,則

因為0°≤θ≤180°,所以θ=60°.【解析】由已知得(a+3b)·(7a-5b)=0,2.設n和m是兩個單位向量,其夾角是60°,求向量a=2m+n與b=2n-3m的夾角.2.設n和m是兩個單位向量,其夾角是60°,求向量a=2m+【解析】m和n是兩個單位向量,其夾角是60°,所以m·n=|m|×|n|×cos60°=,設a=2m+n與b=2n-3m的夾角為α,所以

因為0°≤α≤180°,所以α=120°.即a=2m+n與b=2n-3m的夾角為120°.【解析】m和n是兩個單位向量,其夾角是60°,易錯案例根據(jù)向量的夾角求范圍【典例】設兩個向量e1,e2滿足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夾角為60°,若向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角,求實數(shù)t的取值范圍.易錯案例根據(jù)向量的夾角求范圍【失誤案例】【失誤案例】【錯解分析】分析上面的解析過程,你知道錯在哪里嗎?提示:錯誤的根本原因在于忽視了向量的夾角的取值范圍.(2te1+7e2)·(e1+te2)<0包括了向量2te1+7e2與e1+te2的夾角為π即共線且方向相反的情況,故應排除這種情況.【錯解分析】分析上面的解析過程,你知道錯在哪里嗎?【自我矯正】由向量2te1+7e2與e1+te2的夾角θ為鈍角,得cosθ=即(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,化簡得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-.當夾角為π時,也有(2te1+7e2)·(e1+te2)<0,但此時夾角不是鈍角.【自我矯正】由向量2te1+7e2與e1+te2的夾角θ為鈍設2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,則所以所求實數(shù)t的取值范圍是設2te1+7e2=λ(e1+te2),λ<0,則【防范措施】1.注意向量夾角的取值范圍由公式cosθ=可知若θ為鈍角,則cosθ<0,即a·b<0,同時也應注意向量a,b共線且反向這一情況,要排除掉.如本題,若沒有注意到這一情況,將會造成失分.【防范措施】2.注意問題轉(zhuǎn)換的等價性數(shù)量積的符號同向量夾角的關(guān)系如下:對于非零向量a和b,①a·b=0?a⊥b;②a·b>0?<a,b>為銳角或零角,③a·b<0?<a,b>為鈍角或平角.例如,本例利用2te1+7e2與e1+te2的夾角為鈍角,得等價關(guān)系式.2.注意問題轉(zhuǎn)換的等價性3.注意思考問題的全面性由向量的夾角求參數(shù)的范圍時,務必注意思考問題的全面性,如本例應排除向量2te1+7e2與e1+te2共線且反向的特殊情形,即求出-7<t<-后,應注意排除夾角為平角的情形.3.注意思考問題的全面性2.5

從力做的功到向量的數(shù)量積2.5【知識提煉】1.向量的夾角與投影(1)夾角①定義：已知兩個非零向量a和b，作=a,=b,則_________叫作向量a與b的夾角；②范圍：_______________；∠AOB=θ0°≤θ≤180°【知識提煉】∠AOB=θ0°≤θ≤180°③大小與向量共線、垂直的關(guān)系：θ=0°?a與b_____，180°?a與b_____，90°?a___b.同向反向⊥③大小與向量共線、垂直的關(guān)系：θ=0°?a與b_____，同(2)投影①定義：如圖所示：=a，=b，過點B作BB1垂直于直線OA，垂足為B1，則OB1=__________.__________叫做向量b在a方向上的投影數(shù)量(簡稱投影).|b|cosθ|b|cosθ(2)投影|b|cosθ|b|cosθ②大小與夾角的關(guān)系：|b|正值0負值-|b|②大小與夾角的關(guān)系：|b|正值0負值-|b|2.向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個向量a與b，它們的夾角為θ，我們把_____________叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作_____，即a·b=_____________.|a||b|cosθa·b|a||b|cosθ2.向量的數(shù)量積|a||b|cosθa·b|a||b|co(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上投影__________的乘積，或b的長度____與a在b方向上投影__________的乘積.(3)物理意義：力對物體做功，就是力F與其作用下物體的位移s的數(shù)量積_____.|b|cosθ|b||a|cosθF·s(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a方向上(4)性質(zhì)：①若e是單位向量，則e·a=a·e=__________；②a⊥b?_______；(其中a,b為非零向量);③|a|=④cosθ=_________(|a||b|≠0)；⑤對任意兩個向量a,b,有|a·b|___|a||b|.|a|cosθa·b=0≤(4)性質(zhì)：|a|cosθa·b=0≤(5)運算律：交換律：a·b=_____.結(jié)合律：(λa)·b=_________=_________.分配律：a·(b+c)=__________.b·aλ(a·b)a·(λb)a·b+a·c(5)運算律：b·aλ(a·b)a·(λb)a·b+a·c【即時小測】1.思考下列問題:(1)向量的夾角與直線的傾斜角的范圍相同嗎?提示:不相同.向量的夾角范圍為[0,π],而直線的傾斜角范圍為[0,π).(2)影響數(shù)量積的大小的因素有哪些?提示:影響數(shù)量積的大小的因素有向量的模及其夾角的大小.【即時小測】2.若e1,e2是兩個平行的單位向量,則下面結(jié)果正確的是(

)A.e1·e2=1

B.e1·e2=-1C.|e1·e2|=1D.e1·e2<1【解析】選C.由于e1,e2是兩個平行的單位向量,設其夾角為θ,則|cosθ|=1,所以|e1·e2|=|cosθ|=1.2.若e1,e2是兩個平行的單位向量,則下面結(jié)果正確的是(3.若a·b>0,則a與b的夾角θ的取值范圍是(

)

【解析】選A.因為a·b>0,所以cosθ>0,所以θ∈.3.若a·b>0,則a與b的夾角θ的取值范圍是()4.若e1,e2是夾角為

的單位向量,且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,則a·b等于

(

)A.1

B.-4

C.-

D.4.若e1,e2是夾角為的單位向量,且a=2e1+e【解析】選C.a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)==-6|e1|2+|e1||e2|cos+2|e2|2=-6×12+1×1×+2×12=-.【解析】選C.a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)5.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,則a·b=________.【解析】由a∥b,可知a與b的夾角為0或π,故a·b=±30.答案:±305.已知|a|=5,|b|=6,若a∥b,則a·b=____【知識探究】知識點1向量的數(shù)量積觀察如圖所示內(nèi)容,回答下列問題:【知識探究】問題1:向量的數(shù)量積可正、可負、可為零,其決定因素是什么?問題2:向量數(shù)量積a·b中的“·”能否省去?問題1:向量的數(shù)量積可正、可負、可為零,其決定因素是什么?【總結(jié)提升】1.數(shù)量積的寫法及與實數(shù)乘積的區(qū)別兩向量a,b的數(shù)量積也稱作內(nèi)積,寫成a·b,其應與代數(shù)中的a,b的乘積ab區(qū)分開來,其中“·”是一種運算符號,不同于實數(shù)的乘法符號.在向量運算中既不能省略,也不能用“×”代替.【總結(jié)提升】2.數(shù)量積運算的結(jié)果(1)向量線性運算的結(jié)果是一個向量,但兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量.(2)由于0°≤θ≤180°,所以a·b可以為正數(shù)、負數(shù)和零,且當0°≤θ<90°時,a·b>0;當θ=90°時,a·b=0;當90°<θ≤180°時,a·b<0.2.數(shù)量積運算的結(jié)果(3)若a為零向量,則|a|=0,從而a·b=0,故零向量與任一向量的數(shù)量積為0.(4)a·a=a2=|a|2.(5)兩個單位向量的數(shù)量積等于它們的夾角的余弦值.(3)若a為零向量,則|a|=0,從而a·b=0,故零向量與知識點2數(shù)量積的性質(zhì)及運算律觀察如圖所示內(nèi)容,回答下列問題:問題1:向量的數(shù)量積有什么重要的性質(zhì)?問題2:數(shù)量積與實數(shù)乘積有什么差異?知識點2數(shù)量積的性質(zhì)及運算律【總結(jié)提升】1.數(shù)量積五條性質(zhì)的應用性質(zhì)(1)可以幫助理解數(shù)量積的幾何意義;性質(zhì)(2)可以解決有關(guān)垂直的問題;性質(zhì)(3)可以求向量的長度;性質(zhì)(4)可以求兩向量的夾角;性質(zhì)(5)可以解決有關(guān)不等式的問題,當且僅當a∥b時,等號成立.【總結(jié)提升】2.數(shù)量積運算遵循的運算律及常用公式(1)遵循的運算律:數(shù)量積的運算只適合交換律、分配律及數(shù)乘結(jié)合律,不適合乘法結(jié)合律,即(a·b)c不一定等于a(b·c).這是由于(a·b)c表示一個與c共線的向量,而a(b·c)表示一個與a共線的向量,而c與a不一定共線.2.數(shù)量積運算遵循的運算律及常用公式(2)常用公式及注意點:①(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2;②(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2;③(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2.注意:|a|2=a·a,|b|2=b·b.(2)常用公式及注意點:【題型探究】類型一平面向量數(shù)量積的概念及運算【典例】1.|a|=2,向量a與向量b的夾角為120°,則向量a在向量b方向上的射影等于(

)A.2

B.120°C.-1D.由向量b的長度確定2.已知|a|=3,|b|=6,當(1)a∥b,(2)a⊥b,(3)a與b的夾角是60°時,分別求a·b,a·(a+b).【題型探究】【解題探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么?提示:|a|cosθ.2.a∥b時,兩向量的夾角是多少?提示:若a與b同向,則它們的夾角θ=0°,若a與b反向,則它們的夾角θ=180°.【解題探究】1.向量a在向量b方向上的射影公式是什么?【解析】1.選C.根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義可知|a|cos120°=2×=-1.2.(1)當a∥b時,若a與b同向,則它們的夾角θ=0°,所以a·b=|a||b|cos0°=3×6×1=18,a·(a+b)=a2+a·b=9+18=27.若a與b反向,則它們的夾角θ=180°,所以a·b=|a||b|cos180°=3×6×(-1)=-18,a·(a+b)=a2+a·b=9-18=-9.【解析】1.選C.根據(jù)平面向量數(shù)量積的幾何意義可知|a|co(2)當a⊥b時,它們的夾角θ=90°,所以a·b=0,a·(a+b)=a2=9.(3)當a與b的夾角是60°時,有a·b=|a||b|cos60°=3×6×=9.a·(a+b)=a2+a·b=18.(2)當a⊥b時,它們的夾角θ=90°,【方法技巧】1.求平面向量數(shù)量積的流程【方法技巧】2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的運算技巧及注意點(1)技巧:類似于實數(shù)多項式的運算,將運算轉(zhuǎn)化為向量a,b的數(shù)量積運算.(2)注意點:①a與b的數(shù)量積不可書寫或認為是ab,②a2=|a|2的應用.2.形如(ma+nb)·(ka+lb)的運算技巧及注意點【拓展延伸】數(shù)量積運算時的兩個注意點(1)要找準兩向量的夾角.(2)注意向量數(shù)量積的運算律的應用.【拓展延伸】數(shù)量積運算時的兩個注意點【變式訓練】已知正三角形ABC的邊長為1.求:

【變式訓練】已知正三角形ABC的邊長為1.求:【解析】(1)的夾角為60°,所以

(2)因為的夾角為120°,所以

【解析】(1)的夾角為60°,類型二利用數(shù)量積求向量的模【典例】已知|a|=|b|=5,向量a與b的夾角為.求|a+b|,|a-b|.【解題探究】聯(lián)想到|a|2=a2,要求|a+b|,|a-b|,應先求什么?提示:應求|a+b|2與|a-b|2,進而可知先求a·b.類型二利用數(shù)量積求向量的?！窘馕觥糠椒ㄒ?由題意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×因為|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2×=75,所以|a+b|=5.同理因為|a-b|2=|a|2+|b|2-2a·b=25,所以|a-b|=5.【解析】方法一:由題意可得a·b=|a||b|cosθ=5×方法二:由向量線性運算的幾何意義求作菱形ABCD,使AB=AD=5,設

如圖,則

方法二:由向量線性運算的幾何意義求作菱形ABCD,使AB=A【延伸探究】1.(改變問法)本例的條件不變求|3a+b|.【解析】由題意可得a·b=|a||b|cosθ=5×5×因為|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=325.所以|3a+b|=5.【延伸探究】2.(變換條件)本例的已知條件若改為“|a|=|b|=5,且|3a-2b|=5”,如何求|3a+b|的值?2.(變換條件)本例的已知條件若改為“|a|=|b|=5,且【解析】因為|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b|2=9×25-12a·b+4×25=325-12a·b,又因為|3a-2b|=5,所以325-12a·b=25,即a·b=25.所以|3a+b|2=(3a+b)2=9a2+6a·b+b2=9×25+6×25+25=400.所以|3a+b|=20.【解析】因為|3a-2b|2=9|a|2-12a·b+4|b【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法(1)求模問題一般轉(zhuǎn)化為求模平方,與向量數(shù)量積聯(lián)系,并靈活應用a2=|a|2,勿忘記開方.(2)a·a=a2=|a|2或|a|=,此性質(zhì)可用來求向量的模,可以實現(xiàn)實數(shù)運算與向量運算的相互轉(zhuǎn)化.(3)一些常見的等式應熟記,如(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2等.【方法技巧】求向量的模的常用思路及方法【補償訓練】已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=4,|b|=2,求:(1)|a+b|.(2)|3a-4b|.【補償訓練】已知向量a與b的夾角為120°,且|a|=4,|【解析】a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.(1)因為|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12,所以|a+b|=2.(2)因為|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2=9×16-24×(-4)+16×4=304,所以|3a-4b|=4.【解析】a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°【延伸探究】1.(變換條件)本例條件變?yōu)椤耙阎蛄縜與b的夾角為120°,且|a|=4,|a+b|=2

”,求|b|.【延伸探究】【解析】因為a·b=|a||b|cosθ=4×|b|×cos120°=-2|b|.所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=16-4|b|+|b|2.因為|a+b|=2,即|a+b|2=12,所以16-4|b|+|b|2=12.解得|b|=2.【解析】因為a·b=|a||b|cosθ=4×|b|×cos2.(改變問法)若本例刪去條件“已知向量a與b的夾角為120°,”求|a+b|的取值范圍.【解析】設向量a與b的夾角為θ,則a·b=|a||b|cosθ=4×2×cosθ=8cosθ.|a+b|2=a2+2a·b+b2=42+2×8cosθ+22=20+16cosθ.因為θ∈[0,π],所以cosθ∈[-1,1],所以|a+b|2∈[4,36],則|a+b|∈[2,6].2.(改變問法)若本例刪去條件“已知向量a與b的夾角為120類型三向量的夾角或垂直【典例】1.已知|a|=1,|b|=4,(a-b)·(a+2b)=-29,則a與b夾角θ=________.2.已知向量a,b,c滿足a+b+c=0,且|a|=3,|b|=5,|c|=7.求a與b的夾角θ.類型三向量的夾角或垂直【解題探究】1.典例1中,若求a與b的夾角θ,還需要什么?提示:需要利用(a-b)·(a+2b)=-29求出a·b.2.要求a與b的夾角θ,關(guān)鍵是先求哪些量?提示:關(guān)鍵是先求a·b.【解題探究】1.典例1中,若求a與b的夾角θ,還需要什么?【解析】1.因為(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2|b|2=1+a·b-32=-31+a·b,所以-31+a·b=-29,所以a·b=2,所以

又因為0≤θ≤π,所以θ=.答案:【解析】1.因為(a-b)·(a+2b)=|a|2+a·b-2.因為a+b+c=0,所以a+b=-c,所以|a+b|=|c|.所以(a+b)2=c2,即a2+2a·b+b2=c2.所以a·b=

2.因為a+b+c=0,又因為a·b=|a||b|cosθ,所以=3×5×cosθ.即cosθ=,因為θ∈[0,π],所以θ=.又因為a·b=|a||b|cosθ,【延伸探究】典例2中若條件不變,是否存在實數(shù)μ使μa+b與a-2b垂直?存在,求出μ值,不存在,說明理由.【解析】假設存在實數(shù)μ使μa+b與a-2b垂直.可得(μa+b)·(a-2b)=0.即μa2-2b2-2μa·b+a·b=0.所以9μ-2×25-2μ×解得μ=-.所以存在μ=-,使得μa+b與a-2b垂直.【延伸探究】典例2中若條件不變,是否存在實數(shù)μ使μa+b與a【方法技巧】1.求向量夾角的解題流程及注意事項(1)解題流程:【方法技巧】(2)注意事項在個別含有|a|,|b|與a·b的等量關(guān)系式中,常利用消元思想計算cosθ的值.2.求cosθ的兩種情形(1)求出a·b,|a|,|b|的值代入公式計算.(2)得到a·b,|a|,|b|之間的關(guān)系代入公式計算.(2)注意事項3.兩向量垂直的確定與應用(1)確定:通常利用兩向量垂直的充要條件,即計算a·b是否為0.(2)應用:若a⊥b,則a·b=0可求其中參數(shù)的值.3.兩向量垂直的確定與應用【變式訓練】(2015·重慶高考)若非零向量a,