初數學壓軸題

一．解答題（共19小題）bb1．（2013?揚州）假如10=n，那么b為n的勞格數，記為b=d（n），由定義可知：10=n與b=d（n）所表示的b、n兩個量之間的同一關系．（1）依據勞格數的定義，填空：d（10）=﹣2；，d（10）=（2）勞格數有以下運算性質：若m、n為正數，則d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．依據運算性質，填空：=（a為正數），若d（2）=0.3010，則d（4）=，d（5）=，d（0.08）=；（3）如表中與數x對應的勞格數d（x）有且只有兩個是錯誤的，請找犯錯誤的勞格數，說明原因并更正．x1.5356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b2．（2012?安慶一模）先閱讀以下資料，再解答后邊的問題．一般地，若n4a=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為logab（即logab=n）．如3=81，則4叫做以3為底81的對數，記為log381（即log381=4）．（1）計算以下各對數的值：log4=，log16=，log64=．222（2）察看（1）中三數4、16、64之間知足如何的關系式，log24、log216、log264之間又知足如何的關系式；（3）猜想一般性的結論：logaM+logaN=（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并依據冪的運算法例：am?an=am+n以及對數的含義證明你的猜想．3．（2012?沈陽模擬）認真閱讀資料，此后回答以下問題：a+b）1=a+b，（a+b）我們初中學習了多項式的運算法例，相應的，我們可以計算出多項式的張開式，如：（2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，?下邊我們挨次對（a+b）n張開式的各項系數進一步研究發(fā)現，當n取正整數時可以獨自列成表中的形式：上邊的多項式張開系數表稱為“楊輝三角形”；認真察看“楊輝三角形”，用你發(fā)現的規(guī)律回答以下問題：（1）多項式（a+b）n的張開式是一個幾次幾項式？并展望第三項的系數；（2）請你展望一下多項式（a+b）n張開式的各項系數之和．（3）聯合上述資料，推測出多項式（a+b）n（n取正整數）的張開式的各項系數之和為S，（結果用含字母n的代數式表示）．4．（2009?佛山）閱讀資料：把形如ax2+bx+c的二次三項式（或其一部分）配成完滿平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完滿平方公式的逆寫，即222a±2ab+b=（a±b）．比方：（x﹣1）2+3、（x﹣2）2+2x、（x﹣2）2+x2是x2﹣2x+4的三種不同樣形式的配方（即“余項”分別是常數項、一次項、二次項﹣﹣見橫線上的部分）．請依據閱讀資料解決以下問題：（1）比較上邊的例子，寫出x2﹣4x+2三種不同樣形式的配方；（2）將a2+ab+b2配方（最少兩種形式）；（2223）已知a+b+c﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．5．（2007?東營）依據以下10個乘積，回答以下問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．1）試將以上各乘積分別寫成一個“□2﹣?2”（兩數平方差）的形式，并寫出此中一個的思慮過程；2）將以上10個乘積依據從小到大的次序擺列起來；（3）若用a1b1，a2b2，?，anbn表示n個乘積，此中a1，a2，a3，?，an，b1，b2，b3，?，bn為正數．試由（1）、（2）猜想一個一般性的結論．（不要求證明）26．（2006?浙江）假如一個正整數能表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，那么稱這個正整數為“奇異數”．如：4=202，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“奇異數”（1）28和2012這兩個數是“奇異數”嗎？為何？（2）設兩個連續(xù)偶數為

2k+2

和2k（此中

k取非負整數），由這兩個連續(xù)偶數結構的奇異數是

4的倍數嗎？為何？（3）兩個連續(xù)奇數的平方差（

k取正數）是奇異數嗎？為何？8．（2015?于洪區(qū)一模）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連結AD，以AD為一邊且在AD的右邊作正方形ADEF．1）假如AB=AC，∠BAC=90°，①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的地點關系為，線段CF、BD的數目關系為；②當點D在線段BC的延伸線上時，如圖3，①中的結論能否仍舊建立，并說明原因；2）假如AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB知足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明原因．9．（2015?菏澤）如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC．1）如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連結DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD訂交于點P，∠APD的度數是一個固定的值嗎？假如，懇求出它的度數；若不是，請說明原因．10．（2015?鐵嶺一模）已知：

△ABC中，BD、CE分別是

AC、AB邊上的高，

BQ=AC，點

F在

CE的延伸線上，CF=AB，求證：AF⊥AQ．11．（2013?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一同（圖1）．△ABD不動，（1）若將△ACE繞點A逆時針旋轉，連結DE，M是DE的中點，連結MB、MC（圖2），證明：MB=MC．（2）若將圖1中的CE向上平移，∠CAE不變，連結DE，M是DE的中點，連結MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數目關系．3）在（2）中，若∠CAE的大小改變（圖4），其余條件不變，則（2）中的MB、MC的數目關系還建立嗎？說明原因．12．（2012?昌平區(qū)模擬）（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD；2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，1）中的結論能否仍舊建立？3）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延伸線上的點，且∠EAF=∠BAD，1）中的結論能否仍舊建立？若建立，請證明；若不建立，請寫出它們之間的數目關系，并證明．13．（2011?泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．（1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG；（2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延伸線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明．14．（2005?揚州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，此中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分．）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的地點時，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的地點時，求證：DE=AD﹣BE；3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的地點時，試問DE、AD、BE擁好像何的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題．15．（2012?淮安）閱讀理解如圖1，△ABC中，沿∠BAC的均分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的均分線A1B2折疊，剪掉重復部分；?；將余下部分沿∠BnAnC的均分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，不論折疊多少次，只需最后一次恰巧重合，∠BAC是△ABC的好角．小麗展現了確立∠BAC是△ABC的好角的兩種情況．情況一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的均分線AB1折疊，點B與點C重合；情況二：如圖3，沿∠BAC的均分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的均分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合．研究發(fā)現（1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．2）小麗經過三次折疊發(fā)現了∠BAC是△ABC的好角，請研究∠B與∠C（不如設∠B＞∠C）之間的等量關系．根據以上內容猜想：若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不如設∠B＞∠C）之間的等量關系為．應用提高（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°，發(fā)現60°和105°的兩個角都是此三角形的好角．請你達成，假如一個三角形的最小角是4°，試求出三角形其余兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角．16．（2011?房山區(qū)一模）已知：等邊三角形ABC1）如圖1，P為等邊△ABC外一點，且∠BPC=120°．試猜想線段BP、PC、AP之間的數目關系，并證明你的猜想；2）如圖2，P為等邊△ABC內一點，且∠APD=120°．求證：PA+PD+PC＞BD．17．（2010?丹東）如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（點M的地點改變時，△DMN也隨之整體挪動）．（1）如圖1，當點M在點B左邊時，請你判斷EN與MF好像何的數目關系？點F能否在直線NE上？都請直接寫出結論，不用證明或說明原因；（2）如圖2，當點M在BC上時，其余條件不變，（1）的結論中EN與MF的數目關系能否仍舊建立？若成立，請利用圖2證明；若不建立，請說明原因；（3）若點M在點C右邊時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中EN與MF的數目關系能否仍舊建立？若建立，請直接寫出結論，不用證明或說明原因．18．（2006?西崗區(qū)）如圖，以△ABC的邊AB、AC為直角邊向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中點，請你研究線段DE與AM之間的關系．說明：（1）假如你經歷頻頻研究，沒有找到解決問題的方法，請你把研究過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經歷說明（1）的過程今后，可以從以下①、②中采納一個增補或改換已知條件，達成你的證明．①畫出將△ACM繞某一點順時針旋轉180°后的圖形；②∠BAC=90°（如圖）附帶題：如圖，若以△ABC的邊AB、AC為直角邊，向內作等腰直角△ABE和△ACD，其余條件不變，試一試究線段DE與AM之間的關系．19．（2006?大連）如圖1，Rt△ABC中AB=AC，點D、E是線段AC上兩動點，且AD=EC，AM垂直BD，垂足M，AM的延伸線交BC于點N，直線BD與直線NE訂交于點F．試判斷△DEF的形狀，并加以證明．說明：（1）假如你經歷頻頻研究，沒有找到解決問題的方法，請你把研究過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經歷說明（1）的過程今后，可以從以下①、②中采納一個增補或許改換已知條件，達成你的證明．1、畫出將△BAD沿BA方向平移2、點K在線段BD上，且四邊形

BA長，此后順時針旋轉90°后圖形；AKNC為等腰梯形（AC∥KN，如圖2）．附帶題：如圖3，若點D、E是直線AC上兩動點，其余條件不變，試判斷△DEF的形狀，并說明原因．參照答案與試題分析一．解答題（共19小題）1．（2013?揚州）假如10b=n，那么b為n的勞格數，記為b=d（n），由定義可知：10b=n與b=d（n）所表示的b、n兩個量之間的同一關系．（1）依據勞格數的定義，填空：﹣2；d（10）=1，d（10）=﹣2（2）勞格數有以下運算性質：若m、n為正數，則

d（mn）=d（m）+d（n），d（

）=d（m）﹣d（n）．依據運算性質，填空：=3（a為正數），若d（2）=0.3010，則d（4）=0.6020，d（5）=0.6990，d（0.08）=1.0970；（3）如表中與數x對應的勞格數d（x）有且只有兩個是錯誤的，請找犯錯誤的勞格數，說明原因并更正．x

1.53

5

6

8

9

12

27d（x）

3a﹣b+c

2a﹣b

a+c

1+a﹣b﹣c

3﹣3a﹣3c

4a﹣2b

3﹣b﹣2c6a﹣3b【考點】整式的混淆運算；反證法．【專題】壓軸題．【分析】（1）依據定義可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指數，據此即可求解；（2）依據d（a3）=d（a?a?a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；（3）經過9=32，27=33，可以判斷d（3）能否正確，同理以依據5=10÷2，假定d（5）正確，可以求得d（2）的值，即可經過d（8），d（12）作出判斷．【解答】解：（﹣21）d（10）=1，d（10）=﹣2；故答案為：1，﹣2；（2）==3；由于d（2）=0.3010故d（4）=d（2）+d（2）=0.6020，d（5）=d（10）﹣d（2）=1﹣0.3010=0.6990，﹣2）+d（10﹣2；d（0.08）=d（8×10）=3d（2）=﹣1.0970（3）若d（3）≠2a﹣b，則d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，從而表中有三個勞格數是錯誤的，與題設矛盾，∴d（3）=2a﹣b，d（5）≠a+c，則d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，d（6）=d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，表中也有三個勞格數是錯誤的，與題設矛盾．d（5）=a+c．∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是錯誤的，應糾正為：d（1.5）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，d（12）=d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．【討論】本題察看整式的運算，正確理解規(guī)定的新的運算法例是要點．2．（2012?安慶一模）先閱讀以下資料，再解答后邊的問題．一般地，若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數，記為logab（即logab=n）．如34=81，則4叫做以3為底81的對數，記為log381（即log381=4）．（1）計算以下各對數的值：log4=2，log16=4，log64=6．222（2）察看（1）中三數4、16、64之間知足如何的關系式，log4、log16、log64之間又知足如何的關系式；222（3）猜想一般性的結論：logaM+logaN=loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），并依據冪的運算法例：mnm+n以及對數的含義證明你的猜想．a?a=a【考點】同底數冪的乘法．【專題】壓軸題；新定義．【分析】（1）依據資料表達，聯合2462=4，2=16，2=64即可得出答案；（2）依據（1）的答案可得出log24、log216、log264之間知足的關系式；（3）設logaM=b1，logaN=b2，則ab1=M，ab2=N，分別表示出MN及b1+b2的值，即可得出猜想．【解答】解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；2）log24+log216=log264；3）猜想logaM+logaN=loga（MN）．證明：設logaM=b1，logaN=b2，則ab1b2=M，a=N，故可得MN=ab1b2b1+b2，b1+b2=loga（MN），?a=alogaM+logaN=loga（MN）．【討論】本題察看了同底數冪的乘法運算，題目出得比較奇異，解題思路以資料的形式給出，需要同學們認真閱讀，理解并靈巧運用所給的信息．3．（2012?沈陽模擬）認真閱讀資料，此后回答以下問題：a+b）1=a+b，（a+b）我們初中學習了多項式的運算法例，相應的，我們可以計算出多項式的張開式，如：（2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，?下邊我們挨次對（a+b）n張開式的各項系數進一步研究發(fā)現，當n取正整數時可以獨自列成表中的形式：上邊的多項式張開系數表稱為“楊輝三角形”；認真察看“楊輝三角形”，用你發(fā)現的規(guī)律回答以下問題：（1）多項式（a+b）n的張開式是一個幾次幾項式？并展望第三項的系數；（2）請你展望一下多項式（a+b）n張開式的各項系數之和．（3）聯合上述資料，推測出多項式（a+b）n（n取正整數）的張開式的各項系數之和為S，（結果用含字母n的代數式表示）．【考點】完滿平方公式．【專題】壓軸題；閱讀型；規(guī)律型．【分析】（1）由題意可求合適n=1，2，3，4，?時，多項式（a+b）n的張開式是一個幾次幾項式，第三項的系數是多少，此后找規(guī)律，即可求得答案；2）第一求合適n=1，2，3，4?時，多項式（a+b）n張開式的各項系數之和，即可求得答案；3）聯合（2），即可推測出多項式（a+b）n（n取正整數）的張開式的各項系數之和．【解答】解：（1）∵當n=1時，多項式（a+b）1的張開式是一次二項式，此時第三項的系數為：0=，當n=2時，多項式（a+b）2的張開式是二次三項式，此時第三項的系數為：1=，當n=3時，多項式（a+b）3的張開式是三次四項式，此時第三項的系數為：3=，當n=4時，多項式（a+b）4的張開式是四次五項式，此時第三項的系數為：6=，?∴多項式（a+b）n的張開式是一個n次n+1項式，第三項的系數為：；（2）展望一下多項式（a+b）n張開式的各項系數之和為：2n；（3）∵當n=1時，多項式（a+b）1張開式的各項系數之和為：1+1=2=21，當n=2時，多項式（a+b）2張開式的各項系數之和為：1+2+1=4=22，當n=3時，多項式（a+b）3張開式的各項系數之和為：1+3+3+1=8=23，當n=4時，多項式（a+b）4張開式的各項系數之和為：1+4+6+4+1=16=24，?∴多項式（a+b）n張開式的各項系數之和：S=2n．【討論】本題屬于規(guī)律性、閱讀性題目．本題難度較大，由特別到一般的概括方法的應用是解本題的要點．4．（2009?佛山）閱讀資料：把形如2ax+bx+c的二次三項式（或其一部分）配成完滿平方式的方法叫做配方法．配方法的基本形式是完滿平方公式的逆寫，即222a±2ab+b=（a±b）．22222﹣2x+4的三種不同樣形式的配方（即“余項”分別是常比方：（x﹣1）+3、（x﹣2）+2x、（x﹣2）+x是x數項、一次項、二次項﹣﹣見橫線上的部分）．請依據閱讀資料解決以下問題：1）比較上邊的例子，寫出x2﹣4x+2三種不同樣形式的配方；2）將a2+ab+b2配方（最少兩種形式）；3）已知a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4=0，求a+b+c的值．【考點】完滿平方公式．【專題】壓軸題；閱讀型．【分析】（1）（2）本題察看對完滿平方公式的靈巧應用能力，由題中所給的已知資料可得x2﹣4x+2和a2+ab+b2的配方也可分別常數項、一次項、二次項三種不同樣形式；（3）經過配方后，求得a，b，c的值，再代入代數式求值．【解答】解：（1）x2﹣4x+2的三種配方分別為：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2，x2﹣4x+2=（x+）2﹣（2+4）x，x2﹣4x+2=（x﹣）2﹣x2；2）a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab，a2+ab+b2=（a+b）2+b2；3）a2+b2+c2﹣ab﹣3b﹣2c+4，=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣3b+3）+（c2﹣2c+1），=（a2﹣ab+b2）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣2c+1），222=（a﹣b）+（b﹣2）+（c﹣1）=0，從而有a﹣b=0，b﹣2=0，c﹣1=0，即a=1，b=2，c=1，∴a+b+c=4．【討論】本題察看了依據完滿平方公式：222進行配方的能力．a±2ab+b=（a±b）5．（2007?東營）依據以下10個乘積，回答以下問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．21）試將以上各乘積分別寫成一個“□﹣?”（兩數平方差）的形式，并寫出此中一個的思慮過程；2）將以上10個乘積依據從小到大的次序擺列起來；3）若用a1b1，a2b2，?，anbn表示n個乘積，此中a1，a2，a3，?，an，b1，b2，b3，?，bn為正數．試由1）、（2）猜想一個一般性的結論．（不要求證明）【考點】平方差公式．【專題】壓軸題．【分析】利用兩數的和與這兩數的差的積，就是它們的平方差．如11×29；可想幾加幾等于29，幾減幾等于2﹣92，同理思慮其余的．11，可得20+9和20﹣9，可得11×29=20222222；【解答】解：（1）11×29=20﹣9；12×28=20﹣8；13×27=20﹣722222214×26=20﹣6；15×25=20﹣5；16×24=20﹣4；22222217×23=20﹣3；18×22=20﹣2；19×21=20﹣1；2220×20=20﹣0．（4比方，11×29；假定

分）2211×29=□﹣○，22由于□﹣○=（□+○）（□﹣○）；因此，可以令□﹣○=11，□+○=29．22解得，□=20，○=9．故11×29=20﹣9．（5分）222）這10個乘積依據從小到大的次序挨次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）（3）①若a+b=40，a、b是自然數，則2分）ab≤20=400．（82若a+b=40，則ab≤20=400．（8分）③若a+b=m，a、b是自然數，則ab≤．（9分）④若a+b=m，則ab≤．（9分）若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥≥n|a﹣bn|，a1b1≤a2b2≤a3b3≤≤anbn．（10分）⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=an+bn=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥?≥n﹣|abn|，a1b1≤a2b2≤a3b3≤?≤anbn．（10分）說明：給出結論①或②之一的得（1分）；給出結論③或④之一的得（2分）；給出結論⑤或⑥之一的得（3分）．【討論】本題主要察看了乘法的平方差公式．即兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差，這個公式就叫做乘法的平方差公式．6．（2006?浙江）假如一個正整數能表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，那么稱這個正整數為“奇異數”．如：4=22﹣02，12=42﹣22，20=62﹣42，因此4，12，20都是“奇異數”（1）28和2012這兩個數是“奇異數”嗎？為何？（2）設兩個連續(xù)偶數為2k+2和2k（此中k取非負整數），由這兩個連續(xù)偶數結構的奇異數是4的倍數嗎？為何？3）兩個連續(xù)奇數的平方差（k取正數）是奇異數嗎？為何？【考點】平方差公式．【專題】壓軸題；新定義．【分析】（1）試著把28、2012寫成平方差的形式，解方程即可判斷是不是奇異數；2）化簡兩個連續(xù)偶數為2k+2和2k的差，再判斷；3）設兩個連續(xù)奇數為2k+1和2k﹣1，則（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，即可判斷兩個連續(xù)奇數的平方差不是奇異數．【解答】解：（1）設28和2012都是“奇異數”，設28是x和x﹣2兩數的平方差獲得，x2﹣（x﹣2）2=28，解得：x=8，∴x﹣2=6，28=82﹣62，設2012是y和y﹣2兩數的平方差獲得，22則y﹣（y﹣2）=2012，解得：y=504，y﹣2=502，2012=5042﹣5022，因此28，2012都是奇異數．2）（2k+2）2﹣（2k）2=（2k+2﹣2k）（2k+2+2k）=4（2k+1），∴由2k+2和2k結構的奇異數是4的倍數，且是奇數倍．（3）設兩個連續(xù)奇數為2k+1和2k﹣1，則（2k+1）2﹣（2k﹣1）2=8k=4×2k，即：兩個連續(xù)奇數的平方差是4的倍數，是偶數倍，不知足連續(xù)偶數的奇異數為4的奇數倍這一條件．∴兩個連續(xù)奇數的平方差不是奇異數．【討論】本題第一察看了閱讀能力、研究推理能力．對知識點的察看，主假如平方差公式的靈巧應用．7．（2007?淄博）依據以下10個乘積，回答以下問題：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．21）試將以上各乘積分別寫成一個“□﹣○”（兩數平方差）的形式，并寫出此中一個的思慮過程；2）將以上10個乘積依據從小到大的次序擺列起來；3）試由（1）、（2）猜想一個一般性的結論．（不要求證明）【考點】整式的混淆運算；絕對值．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】（1）依據要求求出兩數的均勻數，再寫成平方差的形式即可．2）減去的數越大，乘積就越小，據此規(guī)律填寫即可．3）依據擺列的次序可得，兩數相差越大，積越?。?22222；【解答】解：（1）11×29=20﹣9；12×28=20﹣8；13×27=20﹣722222214×26=20﹣6；15×25=20﹣5；16×24=20﹣4；22222217×23=20﹣3；18×22=20﹣2；19×21=20﹣1；2220×20=20﹣0比方，11×29；假定

?（4分）2211×29=□﹣○，22由于□﹣○=（□+○）（□﹣○）；因此，可以令□﹣○=11，□+○=29．22解得，□=20，○=9．故11×29=20﹣9．222）這10個乘積依據從小到大的次序挨次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20（3）①若a+b=40，a，b是自然數，則2ab≤20=400．2?（8分）②若a+b=40，則ab≤20=400．③若a+b=m，a，b是自然數，則ab≤．④若a+b=m，則ab≤．⑤若a，b的和為定值，則ab的最大值為．若a1+b1=a2+b2=a3+b3=?=an+bn=40．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥?≥n﹣|abn|，則ab≤ab≤ab≤?≤ab．?（10分）112233nn若a1+b1=a2+b2=a3+b3=?=an+bn=m．且|a1﹣b1|≥|a2﹣b2|≥|a3﹣b3|≥?≥n﹣|abn|，a1b1≤a2b2≤a3b3≤?≤anbn．⑧若a+b=m，a，b差的絕對值越大，則它們的積就越小．說明：給出結論①或②之一的得（1分）；給出結論③、④或⑤之一的得（2分）；給出結論⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．【討論】本題主要察看整式的混淆運算，找出規(guī)律是解答本題的要點．8．（2015?于洪區(qū)一模）如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角，點D為射線BC上一點，連結AD，以AD為一邊且在AD的右邊作正方形ADEF．1）假如AB=AC，∠BAC=90°，①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD所在直線的地點關系為垂直，線段CF、BD的數目關系為相等；②當點D在線段BC的延伸線上時，如圖3，①中的結論能否仍舊建立，并說明原因；2）假如AB≠AC，∠BAC是銳角，點D在線段BC上，當∠ACB知足什么條件時，CF⊥BC（點C、F不重合），并說明原因．【考點】全等三角形的判斷與性質．【專題】壓軸題；開放型．【分析】（1）當點D在BC的延伸線上時①的結論仍建立．由正方形ADEF的性質可推出△DAB≌△FAC，所CF=BD，∠ACF=∠ABD．聯合∠BAC=90°，AB=AC，獲得∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（2）當∠ACB=45°時，過點A作AG⊥AC交CB的延伸線于點G，則∠GAC=90°，可推出∠ACB=∠AGC，因此【解答】證明：（1）①正方形ADEF中，AD=AF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAD=∠CAF，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，CF=BD，∠B=∠ACF，∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD．當點D在BC的延伸線上時①的結論仍建立．由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90度．∵∠BAC=90°，∴∠DAF=∠BAC，∴∠DAB=∠FAC，又∵AB=AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF=BD，∠ACF=∠ABD．∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90度．CF⊥BD．2）當∠ACB=45°時，CF⊥BD（如圖）．原因：過點A作AG⊥AC交CB的延伸線于點G，則∠GAC=90°，∵∠ACB=45°，∠AGC=90°﹣∠ACB，∴∠AGC=90°﹣45°=45°，∴∠ACB=∠AGC=45°，∴AC=AG，∵∠DAG=∠FAC（同角的余角相等），AD=AF，∴△GAD≌△CAF，∴∠ACF=∠AGC=45°，BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，即CF⊥BC．【討論】本題察看三角形全等的判斷和直角三角形的判斷，判斷兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判斷兩個三角形全等，先依據已知條件或求證的結論確立三角形，此后再依據三角形全等的判斷方法，看缺什么條件，再去證什么條件．9．（2015?菏澤）如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點，AD=BC．1）如圖1，過點A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連結DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明；2）如圖2，E是直線BC上一點，且CE=BD，直線AE、CD訂交于點P，∠APD的度數是一個固定的值嗎？假如，懇求出它的度數；若不是，請說明原因．【考點】全等三角形的判斷與性質．【專題】壓軸題．【分析】（1）利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質得出FD=DC，即可判斷三角形的形狀；2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結DF，CF，利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°．【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，原因以下：∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD與△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結DF，CF，如圖，∵AF⊥AD，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC，在△FAD與△DBC中，，∴△FAD≌△DBC（SAS），FD=DC，∴△CDF是等腰三角形，∵△FAD≌△DBC，∴∠FDA=∠DCB，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF是等腰直角三角形，∴∠FCD=45°，AF∥CE，且AF=CE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AE∥CF，∴∠APD=∠FCD=45°．【討論】本題察看了全等三角形的判斷與性質的運用，平行四邊形的判斷及性質的運用，等腰直角三角形的判定及性質的運用．解答時證明三角形全等是要點．10．（2015?鐵嶺一模）已知：△ABC中，BD、CE分別是AC、AB邊上的高，BQ=AC，點F在CE的延伸線上，CF=AB，求證：AF⊥AQ．【考點】全等三角形的判斷與性質．【專題】證明題；壓軸題．【分析】第一證明出∠ABD=∠ACE，再有條件BQ=AC，CF=AB可得△ABQ≌△ACF，從而獲得∠F=∠BAQ，此后再依據∠F+∠FAE=90°，可得∠BAQ+∠FAE═90°，從而證出AF⊥AQ．【解答】證明：∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高，∴∠ADB=90°，∠AEC=90°，∴∠ABQ+∠BAD=90°，∠BAC+∠ACE=90°，∴∠ABD=∠ACE，在△ABQ和△ACF中，∴△ABQ≌△ACF（SAS），∴∠F=∠BAQ，∵∠F+∠FAE=90°，∴∠BAQ+∠FAE═90°，AF⊥AQ．【討論】本題主要察看了全等三角形的判斷與性質，要點是掌握全等三角形的判斷方法，以及全等三角形的性質定理．11．（2013?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，將兩個全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一同（圖1）．△ABD不動，（1）若將△ACE繞點A逆時針旋轉，連結DE，M是DE的中點，連結MB、MC（圖2），證明：MB=MC．（2）若將圖1中的CE向上平移，∠CAE不變，連結DE，M是DE的中點，連結MB、MC（圖3），判斷并直接寫出MB、MC的數目關系．3）在（2）中，若∠CAE的大小改變（圖4），其余條件不變，則（2）中的MB、MC的數目關系還建立嗎？說明原因．【考點】全等三角形的判斷與性質．【專題】證明題；幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）連結AM，依據全等三角形的對應邊相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形對應角相等可得∠BAD=∠CAE，再依據等腰三角形三線合一的性質獲得∠MAD=∠MAE，此后利用“邊角邊”證明△ABM和△ACM全等，依據全等三角形對應邊相等即可得證；（2）延伸DB、AE訂交于E′，延伸EC交AD于F，依據等腰三角形三線合一的性質獲得BD=BE′，此后求出MB∥AE′，再依據兩直線平行，內錯角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，依據兩直線平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，此后求出∠MBC=∠BCM，再依據等角同樣邊即可得證；（3）延伸BM交CE于F，依據兩直線平行，內錯角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，此后利用“角角邊”證明△MDB和△MEF全等，依據全等三角形對應邊相等可得MB=MF，此后依據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明即可．【解答】證明：（1）如圖2，連結AM，由已知得△ABD≌△ACE，AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE，∵MD=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD﹣∠BAD=∠MAE﹣∠CAE，即∠BAM=∠CAM，在△ABM和△ACM中，，∴△ABM≌△ACM（SAS），MB=MC；（2）MB=MC．原因以下：如圖3，延伸DB、AE訂交于E′，延伸EC交AD于F，BD=BE′，CE=CF，M是ED的中點，B是DE′的中點，∴MB∥AE′，∴∠MBC=∠CAE，同理：MC∥AD，∴∠BCM=∠BAD，∵∠BAD=∠CAE，∴∠MBC=∠BCM，∴MB=MC；（3）MB=MC還建立．如圖4，延伸BM交CE于F，CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，又∵M是DE的中點，MD=ME，在△MDB和△MEF中，，∴△MDB≌△MEF（AAS），MB=MF，∵∠ACE=90°，∴∠BCF=90°，MB=MC．【討論】本題察看了全等三角形的判斷與性質，等腰三角形三線合一的性質，等角同樣邊的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，以及三角形的中位線定理，綜合性較強，但難度不大，作協(xié)助線結構出等腰三角形或全等三角形是解題的要點．12．（2012?昌平區(qū)模擬）（1）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD．求證：EF=BE+FD；2）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD，1）中的結論能否仍舊建立？3）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延伸線上的點，且∠EAF=∠BAD，1）中的結論能否仍舊建立？若建立，請證明；若不建立，請寫出它們之間的數目關系，并證明．【考點】全等三角形的判斷與性質．【專題】證明題；壓軸題；研究型．【分析】（1）可經過建立全等三角形來實現線段間的變換．延伸EB到G，使BG=DF，連結AG．目的就是要證明三角形AGE和三角形AEF全等將EF變換成GE，那么這樣EF=BE+DF了，于是證明兩組三角形全等就是解題的要點．三角形ABE和AEF中，只有一條公共邊AE，我們就要經過其余的全等三角形來實現，在三角形ABG和AFD中，已知了一組直角，BG=DF，AB=AD，因此兩三角形全等，那么AG=AF，∠1=∠2，那么∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．由此就組成了三角形ABE和AEF全等的全部條件（SAS），那么就能得出EF=GE了．（2）思路和作協(xié)助線的方法與（1）完滿同樣，只可是證明三角形ABG和ADF全等中，證明∠ABG=∠ADF時，用到的等角的補角相等，其余的都同樣．因此與（1）的結果完滿同樣．（3）依據（1）的思路，我們應當經過全等三角形來實現相等線段的變換．就應當在BE上截取BG，使BG=DF，連結AG．依據（1）的證法，我們可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE﹣BG=BE﹣DF．因此（1）的結論在（3）的條件下是不建立的．【解答】證明：（1）延伸EB到G，使BG=DF，連結AG．∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．AE=AE，∴△AEG≌△AEF．EG=EF．∵EG=BE+BG．EF=BE+FD2）（1）中的結論EF=BE+FD仍舊建立．3）結論EF=BE+FD不建立，應當是EF=BE﹣FD．證明：在BE上截取BG，使BG=DF，連結AG．∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠B=∠ADF．∵AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．AE=AE，∴△AEG≌△AEF．EG=EFEG=BE﹣BGEF=BE﹣FD．【討論】本題察看了三角形全等的判斷和性質；本題中經過全等三角形來實現線段的變換是解題的要點，沒有明確的全等三角形時，要經過協(xié)助線來建立與已知和所求條件有關系全等三角形．13．（2011?泰安）已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB的中點，點E是AB邊上一點．（1）直線BF垂直于直線CE于點F，交CD于點G（如圖1），求證：AE=CG；（2）直線AH垂直于直線CE，垂足為點H，交CD的延伸線于點M（如圖2），找出圖中與BE相等的線段，并證明．【考點】全等三角形的判斷與性質；等腰直角三角形．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）第一依據點D是AB中點，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判斷出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG，（2）依據垂直的定義得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再依據AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出BCE≌△CAM，從而證明出BE=CM．【解答】（1）證明：∵點D是AB中點，AC=BC，ACB=90°，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG，又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°，又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG，在△AEC和△CGB中，∴△AEC≌△CGB（ASA），AE=CG，2）解：BE=CM．證明：∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC，又∵∠ACM=∠CBE=45°，在△BCE和△CAM中，

，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．【討論】本題主要察看了全等三角形的判斷方法以及全等三角形對應邊相等的性質，難度適中．14．（2005?揚州）（本題有3小題，第（1）小題為必答題，滿分5分；第（2）、（3）小題為選答題，此中，第（2）小題滿分3分，第（3）小題滿分6分，請從中任選1小題作答，如兩題都答，以第（2）小題評分．）△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經過點C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）當直線MN繞點C旋轉到圖1的地點時，求證：△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；2）當直線MN繞點C旋轉到圖2的地點時，求證：DE=AD﹣BE；3）當直線MN繞點C旋轉到圖3的地點時，試問DE、AD、BE擁好像何的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．注意：第（2）、（3）小題你選答的是第2小題．【考點】全等三角形的判斷與性質．【專題】證明題；壓軸題；研究型．【分析】（1）依據已知可利用AAS證明①△ADC≌△CEB，由此可證②DE=AD+BE；（2）依據已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB，由此可證DE=AD﹣BE；（3）依據已知可利用AAS證明△ADC≌△CEB，由此可證DE=BE﹣AD．【解答】證明：（1）①∵∠ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠CAD+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∠ACD+∠BCE=90°．∴∠CAD=∠BCE．AC=BC，∴△ADC≌△CEB．∵△ADC≌△CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．解：（2）∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE．又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（3）當MN旋轉到圖3的地點時，AD、DE、BE所知足的等量關系是DE=BE﹣AD（或AD=BE﹣DE，BE=AD+DE等）．∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，AD=CE，CD=BE，DE=CD﹣CE=BE﹣AD．【討論】本題要點察看了三角形全等的判判斷理，一般兩個三角形全等共有四個定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，沒法證明三角形全等，再依據全等三角形對應邊相等得出結論．15．（2012?淮安）閱讀理解如圖1，△ABC中，沿∠BAC的均分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的均分線A1B2折疊，剪掉重復部分；?；將余下部分沿∠BAC的均分線AB折疊，點B與點C重合，不論折疊多少次，只需最nnnn+1n后一次恰巧重合，∠BAC是△ABC的好角．小麗展現了確立∠BAC是△ABC的好角的兩種情況．情況一：如圖2，沿等腰三角形ABC頂角∠BAC的均分線AB1折疊，點B與點C重合；情況二：如圖3，沿∠BAC的均分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠B1A1C的均分線AB折疊，此時點B與點C重合．121研究發(fā)現（1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是不是△ABC的好角？是（填“是”或“不是”）．（2）小麗經過三次折疊發(fā)現了∠BAC是△ABC的好角，請研究∠B與∠C（不如設∠B＞∠C）之間的等量關系．根據以上內容猜想：若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不如設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C．應用提高（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15°、60°、105°，發(fā)現60°和105°的兩個角都是此三角形的好角．請你達成，假如一個三角形的最小角是4°，試求出三角形其余兩個角的度數，使該三角形的三個角均是此三角形的好角．【考點】翻折變換（折疊問題）．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】（1）在小麗展現的情況二中，如圖3，依據依據三角形的外角定理、折疊的性質推知∠B=2∠C；（2）依據折疊的性質、依據三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；依據四邊形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①，依據三角形ABC的內角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用數學概括法，依據小麗展現的三種情況得出結論：∠B=n∠C；3）利用（2）的結論知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；此后三角形內角和定理可以求得其余兩個角的度數可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【解答】解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，經過兩次折疊，∠BAC是△ABC的好角；原因以下：小麗展現的情況二中，如圖3，∵沿∠BAC的均分線AB1折疊，∴∠B=∠AA1B1；又∵將余下部分沿∠B1A1C的均分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．故答案是：是；（2）∠B=3∠C；以以下圖，在△ABC中，沿∠BAC的均分線AB折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿∠BAC111的均分線A1B2折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿∠B2A2C的均分線A2B3折疊，點B2與點C重合，則∠BAC是△ABC的好角．證明以下：∵依據折疊的性質知，∠B=∠AAB，∠C=∠ABC，∠ABC=∠AAB，112211122∴依據三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵依據四邊形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，依據三角形ABC的內角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小麗展現的情況一知，當∠B=∠C時，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展現的情況二知，當∠B=2∠C時，∠BAC是△ABC的好角；由小麗展現的情況三知，當∠B=3∠C時，∠BAC是△ABC的好角；故若經過n次折疊∠BAC是△ABC的好角，則∠B與∠C（不如設∠B＞∠C）之間的等量關系為∠B=n∠C；（3）由（2）知設∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，此中m、n為正整數得4+4n+4mn=180∴假如一個三角形的最小角是4°，三角形其余兩個角的度數是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．【討論】本題察看了翻折變換（折疊問題）．解答本題時，充分利用了三角形內角和定理、三角形外角定理以及折疊的性質．難度較大．16．（2011?房山區(qū)一模）已知：等邊三角形ABC1）如圖1，P為等邊△ABC外一點，且∠BPC=120°．試猜想線段BP、PC、AP之間的數目關系，并證明你的猜想；2）如圖2，P為等邊△ABC內一點，且∠APD=120°．求證：PA+PD+PC＞BD．【考點】等邊三角形的性質；等式的性質；三角形三邊關系；全等三角形的判斷與性質．【專題】證明題；壓軸題．【分析】（1）AP=BP+PC，原因是延伸BP至E，使PE=PC，連結CE，由∠BPC=120°，推出等邊△CPE，獲得CP=PE=CE，∠PCE=60°，依據已知等邊△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，依據三角形全等的判斷推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出結論；（2）在AD外側作等邊△AB′D，由（1）得PB′=AP+PD，依據三角形的三邊關系定理獲得PA+PD+PC＞CB′，再證△AB′C≌△ADB，依據全等三角形的性質推出CB′=BD即可．【解答】猜想：AP=BP+PC，1）證明：延伸BP至E，使PE=PC，連結CE，∵∠BPC=120°，∴∠CPE=60°，又PE=PC，∴△CPE為等邊三角形，∴CP=PE=CE，∠PCE=60°，∵△ABC為等邊三角形，∴AC=BC，∠BCA=60°，∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP，即：∠ACP=∠BCE，∴△ACP≌△BCE（SAS），∴AP=BE，∵BE=BP+PE，∴AP=BP+PC．2）證明：在AD外側作等邊△AB′D，則點P在三角形ADB′外，連結PB'，B'C，∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD，在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，PA+PD+PC＞CB′，∵△AB′D、△ABC是等邊三角形，AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD，即：∠BAD=∠CAB′，∴△AB′C≌△ADB，CB′=BD，PA+PD+PC＞BD．【討論】本題主要察看同樣邊三角形的性質和判斷，全等三角形的性質和判斷，三角形的三邊關系，等式的性質等知識點的理解和掌握，本題是一個拔高的題目，有必定的難度．17．（2010?丹東）如圖，已知等邊三角形ABC中，點D，E，F分別為邊AB，AC，BC的中點，M為直線BC上一動點，△DMN為等邊三角形（點M的地點改變時，△DMN也隨之整體挪動）．（1）如圖1，當點M在點B左邊時，請你判斷EN與MF好像何的數目關系？點F能否在直線NE上？都請直接寫出結論，不用證明或說明原因；（2）如圖2，當點M在BC上時，其余條件不變，（1）的結論中EN與MF的數目關系能否仍舊建立？若成立，請利用圖2證明；若不建立，請說明原因；（3）若點M在點C右邊時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷（1）的結論中EN與MF的數目關系能否仍舊建立？若建立，請直接寫出結論，不用證明或說明原因．【考點】等邊三角形的性質；全等三角形的判斷與性質．【專題】壓軸題；動點型；研究型．【分析】（1）可經過全等三角形來證明EN與MF相等，假如連結DE，DF，那么DE就是三角形ABC的中位線，可得出三角形ADE，BDF，DFE，FEC都是等邊三角形，那么∠DEF=∠DFM=60°，DE=DF，而∠MDN和∠FDE都是60°加上一個∠NDF，因此三角形MDF和EDN就全等了（ASA）．由此可得出EN=MF，∠DNE=∠DMB，已知了BD=DF，DM=DN，因此三角形DBM≌三角形DFN，因此∠DFN=∠DBM=120°，因此∠DFN是三角形DFE的外角因此N，F，E在同向來線上．2）（3）證法同（1）都要證明三角形MDF和EDN全等，證明過程中都要作出三角形的三條中位線，此后依據三條中位線分紅的小等邊三角形的邊和角相等來得出兩三角形全等的條件，因此結論仍舊建立．【解答】解：（1）判斷：EN與MF相等（或EN=MF），點F在直線NE上，2）建立．連結DF，NF，證明△DBM和△DFN全等（AAS），∵△ABC是等邊三角形，AB=AC=BC．又∵D，E，F