控制測(cè)量電子教案：7-5大地線

§7.5大地線我們知道，兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在球面上是兩點(diǎn)間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣一條線呢？經(jīng)研究確認(rèn)為它是一條大地線。7.5.1相對(duì)法截線設(shè)在橢球面上任取兩點(diǎn)A、B，其緯度分別為。過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作法線與短軸交于點(diǎn)，與赤道面分別交于?，F(xiàn)證明將不重合。(7-73)顧及(7-23)式，上式又可寫(xiě)成 (7-73)1故當(dāng)時(shí)，，故不重合，因此（1）橢球面上一點(diǎn)的緯度愈高，法線與旋轉(zhuǎn)軸的交點(diǎn)愈低；（2）緯度不同的兩點(diǎn)，法線必交于旋轉(zhuǎn)軸的不同點(diǎn)；（3）當(dāng)兩點(diǎn)的緯度不同，又不在同一子午圈上時(shí)，這兩點(diǎn)的法線將在空間交錯(cuò)而不相交。因此當(dāng)兩點(diǎn)不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上時(shí)，兩點(diǎn)間就有二條法截線存在。現(xiàn)假定經(jīng)緯儀的縱軸同A，B兩點(diǎn)的法線重合（忽略垂線偏差），如此以兩點(diǎn)為測(cè)站，則經(jīng)緯儀的照準(zhǔn)面就是法截面。用A點(diǎn)照準(zhǔn)B點(diǎn)，則照準(zhǔn)面同橢球面的截線為，叫做A點(diǎn)的正法截線，或B點(diǎn)的反法截線；同理，由B點(diǎn)照準(zhǔn)A點(diǎn)，則照準(zhǔn)面同橢球面的截線為，叫做B點(diǎn)的正法截線，或A點(diǎn)的反法截線。因法線互不相交，故和這兩條法截線不重合。我們把和叫做A、B兩點(diǎn)的相對(duì)法截線。由上式可知，當(dāng)，說(shuō)明，某點(diǎn)的緯度愈高，其法線與短軸的交點(diǎn)愈低，即法截線偏上，而偏下。由此，現(xiàn)將AB方向在不同象限時(shí)，正反法截線的關(guān)系表示為右圖：當(dāng)A、B兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，正反法截線則合二為一，這是一種特殊情況。而通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A、B、C三點(diǎn)處所測(cè)得的角度（各點(diǎn)上正法截線之夾角）將不能構(gòu)成閉合三角形。為克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單一的大地線代替相對(duì)法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。7.5.2大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點(diǎn)間的最短曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測(cè)地線）另有這樣的定義“大地線上每點(diǎn)的密切面（無(wú)限接近三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面）都包含該點(diǎn)的曲線法線”亦即“大地線上各點(diǎn)的主法線與該點(diǎn)的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間的曲面曲線。假如在橢球模型表面A、B兩點(diǎn)之間，畫(huà)出相對(duì)法截線，然后在A、B兩點(diǎn)上各插一個(gè)大頭針，并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細(xì)橡皮筋，并設(shè)橡皮筋和橢球面之間沒(méi)有磨擦力。則橡皮筋形成一條曲線，恰好位于相對(duì)法截線之間，這就是一條大地線，由于橡皮筋處于拉力之下，故它實(shí)際上是兩點(diǎn)的最短線。不在同一子午圈或不在同一平行圈上的兩點(diǎn)的正反法截線是不重合的，它們之間的夾角，在一等三角測(cè)量中可達(dá)千分之四秒，可見(jiàn)此時(shí)是不容忽視的。大地線是兩點(diǎn)間唯一最短線，而且位于相對(duì)法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角為 (7-74)在一等三角測(cè)量中，數(shù)值可達(dá)千分之一二秒，可見(jiàn)在一等或相當(dāng)于一等三角測(cè)量精度的工程三角測(cè)量中是不可忽視的。大地線與法截線長(zhǎng)度之差只有百萬(wàn)分之一毫米，所以在實(shí)際計(jì)算中，這種長(zhǎng)度差異可以忽略不計(jì)。但是，根據(jù)大地線的性質(zhì)可知，在橢球面上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算時(shí)，應(yīng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測(cè)得的方向、距離等應(yīng)歸算到相應(yīng)大地線的方向、距離。7.5.3大地線的微分方程和克萊洛(克萊勞)方程設(shè)P為大地線上任一點(diǎn)，其經(jīng)度為L(zhǎng)，緯度為B，大地方位角為A,當(dāng)大地線增長(zhǎng)dS到P1點(diǎn)時(shí)，則上述各量相應(yīng)變化L+dl,B+dB,A+dA。對(duì)應(yīng)于PP1的過(guò)P點(diǎn)的平行圈變化為PP2,PP1P2為一橢球面直角三角形，由于該三角形無(wú)限小，可視為平面三角形，故(7-75)又(7-76)再過(guò)P和P1分別作子午線的切線，由于P和P1無(wú)限接近，故可視為兩者的切線同交于短軸的延長(zhǎng)線上的T點(diǎn)。由PT和P1T所決定的平面可視為通過(guò)P和P1點(diǎn)切平面，同時(shí)由于P2也無(wú)限接近于P1，所以可視為在切平面上，因此由小扇形TPP2可得（7-79）(7-75)、(7-76)和(7-79)三個(gè)關(guān)系式稱為大地線微分方程，在解決與橢球體有關(guān)的一些測(cè)量計(jì)算中經(jīng)常用到?？巳R洛方程：將(7-75)式代入(7-79)式，得： （7-80）顧及（7-81）兩邊積分得：或（7-82）式中C也叫大地線常數(shù)，該式即為著名的克萊洛方程，也叫克萊洛定理。它表明：在