初三自主招生教學案13：不定方程

不定方程知識梳理:一-11形如x+y=4,x+y+z=3,--=1的方程叫做不定方程，其中前兩個方程又叫做一次不定方程.這些方程的xy解是不確定的，我們通常研究（1）不定方程是否有解？（2）不定方程有多少個解？（3）求不定方程的整數(shù)解或正整數(shù)解.對于二元一次不定方程問題，我們有以下兩個定理：定理1.二元一次不定方程ax+by=c,（1）若其中（a,b）c,則原方程無整數(shù)解；（2）若（a,b）=1,則原方程有整數(shù)解；（3）若（a,b）|c,則可以在方程兩邊同時除以（a,b）,從而使原方程的一次項系數(shù)互質(zhì)，從而轉(zhuǎn)化為（2）的情形.如：方程2x+4y=5沒有整數(shù)解；2x+3y=5有整數(shù)解.定理2.若不定方程ax+by=1有整數(shù)解xx0,則方程ax+by=c有整數(shù)解xcx0,此解稱為特解.方程yy0ycyo方程ax+by=c的所有解（即通解）為xcx0bk（k為整數(shù)）.ycyoak對于非二元一次不定方程問題，常用求解方法有：（1）恒等變形.通過因式分解、配方、換元等方法將方程變形，使之易于求解；（2）構(gòu)造法.先利用恒等式構(gòu)造一些特解，再進一步證明不定方程有無窮多組解；（3）估算法.先縮小方程中某些未知數(shù)的取值范圍，然后再求解.【例題精講】題型一：二元一次不定方程例1.求方程4x+5y=21的整數(shù)解.同步練習：練習1.求方程5x+3y=22的所有正整數(shù)解.練習2.求方程37x+107y=25的整數(shù)解.題型二：多元一次不定方程（組）的整數(shù)解多元一次不定方程的整數(shù)解問題可轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來求解.下面通過例題進行說明.例3.求方程12x+8y+36z=100的所有整數(shù)解.練習3.一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小相同的小球，紅球上標有數(shù)字1,黃球上標有數(shù)字2,藍球上標有數(shù)字3.小明從布袋中摸出10個球，它們上面所標數(shù)字之和等于21,則小明摸出的球中紅球個數(shù)最多為幾個？題型三：其他不定方程例4.求不定方程111的正整數(shù)解.xy2例5.求方程y2+3x2y2=30x2+517的所有正整數(shù)解練習5.求證方程x3+ll3=y3沒有正整數(shù)解.練習6.求方程x2+y2=2x+2y+xy的所有正整數(shù)解.例7.求方程x6+3x3+1=y4的整數(shù)解.練習7.求方程x2+x=y4+y3+y2+y的整數(shù)解.參考答案【例題精講】題型一：二元一次不定方程例1.求方程4x+5y=21的整數(shù)解.解：因為方程4x+5y=1有一組解解：因為方程4x+5y=1有一組解x1,所以方程4x+5y=21有一組解y1x21y21一x5k又因為方程4x+5y=0的所有整數(shù)解為（k為整數(shù)），y4k所以方程4x+5y=21的所有整數(shù)解為所以方程4x+5y=21的所有整數(shù)解為215k214k（k為整數(shù)）.x1.一,一.x15k解析：本題也可直接觀察得到萬程4x+5y=21的一組特解，從而得到4x+5y=21的通解（ky5y54k為整數(shù)）.同步練習：練習1.求方程5x+3y=22的所有正整數(shù)解.解：方程5x+3y=1有一組解為所以方程5x+3y=22所以方程5x+3y=22有一組解為x22y44x3k又因為5x+3y=0的所有整數(shù)解為，k為整數(shù)y5k所以方程5x+3y=22所以方程5x+3y=22的所有整數(shù)解為x3k22,k為整數(shù)y5k44,223k220kc由3k220解得3,所以k=8,原方程的正整數(shù)解為5k440.44k5,然后再求其中的解析：由此題可見，求不定方程的正整數(shù)解的方法是先求不定方程的所有整數(shù)解（通解）,然后再求其中的正整數(shù)解.這通常需要解不等式組求出通解中k的取值范圍.若一次不定方程的特解不易觀察得出，我們可以用輾轉(zhuǎn)相除法求特解.下面通過例題說明這種方法.例2,求方程63x+8y=-23的整數(shù)解.63=8X7+7.解：（1）用x、y中系數(shù)較大者除以較小者.63=8X7+7.(2)用上一步的除數(shù)除以上一步的余數(shù).(2)用上一步的除數(shù)除以上一步的余數(shù).8=7X1+1(3)重復第二步，直到余數(shù)為1為此.(4)逆序?qū)懗?的分解式.1=8—7X1=8—(63—8X7)M=8—63+8>7=8X8—63.(5)寫出原方程的特解和通解.x1、一一x23所以方程63x+8y=1有一組特解，萬程63x+8y=—23有一組特解，所以原萬程的所y8y823有整數(shù)解為x238k,k為整數(shù).y82363k練習2.求方程37x+107y=25的整數(shù)解.解：107=2X37+3337=1>33+433=4>8+1所以1=33-4X8=33-(37—1X33)X8=37X(—8)+33X9=37X(—8)+(107—2X37)>9=107X9+37X(—26)所以方程37x+107y=1有-組整數(shù)解為x26,原方程的所有整數(shù)解為x2625107k,k為整數(shù).y9y92537k題型二：多元一次不定方程(組)的整數(shù)解多元一次不定方程的整數(shù)解問題可轉(zhuǎn)化為二元一次不定方程來求解.下面通過例題進行說明.例3.求方程12x+8y+36z=100的所有整數(shù)解.解：原方程可化為3x+2y+9z=25.將①分為3x2yt②t9z25③xtxt2k④②的一組解為，所以②的所有整數(shù)解為t10k1為整數(shù).ytyt3kl⑨③的一組解為t7③的一組解為t7,所以③的所有整數(shù)解為t79k2

z2k2k2為整數(shù).x79k22k1k1，k2為整數(shù)).將⑥代入④⑤，消去t得，y79k23kl

k1，k2為整數(shù)).練習3.一個布袋中裝有紅、黃、藍三種顏色的大小相同的小球，紅球上標有數(shù)字1,黃球上標有數(shù)字2,藍球上標有數(shù)字3.小明從布袋中摸出10個球，它們上面所標數(shù)字之和等于21,則小明摸出的球中紅球個數(shù)最多為幾個？解：設紅、黃、藍球各摸出x、v、z個，則xyz10(1)x2y3z21(2)(2)—(1)消去x得y+2z=11(3)y12k(3)的通解為y,k為整數(shù).z5k所以x=10—y—z=4—k,當k=0時，x最大，此時y=1,z=5.所以小明摸出的球中紅球個數(shù)最多為4個.題型三：其他不定方程111………例4.求不定方程111的正整數(shù)解.xy2解：原式變形為2x+2y=xy,即(x—2)(y—2)=4所以TOC\o"1-5"\h\zx22-x24-x2所以或或y22y21y2練習4.求方程x2—y2=105的正整數(shù)解.解：(x+y)(x—y)=105=3X5X7xy105xy35xy21xy15所以或或或xy1xy3xy5xy7解得53…x19-x13-x11解得或或或52y16y8y4例5.求方程y2+3x2y2=30x2+517的所有正整數(shù)解解：原方程可變形為y2+3x2y2-30x2-10=517,即：(y2—10)(3x2+1)=3X13M3.由于3(3x2+1),所以3|(y2—10).又因為3x2+i>i,所以y2-10>0,經(jīng)實驗可知y2-10=39,3x2+1=13.所以x=2,y=7.解析：本題雖然簡單，但也綜合運用了恒等變形、估算等多種方法.練習5.求證方程x3+113=y3沒有正整數(shù)解.解：假設方程有正整數(shù)解，則由x3+113=y3得(y—x)(y2+xy+x2)=113.由于y>x,y>11,所以y2+xy+x2>112,于是y-x=1,y2+xy+x2=113.所以(x+1)2+x(x+1)+x2=3x2+3x+1=113=1331,即3(x2+x)=1330.這與31330矛盾，所以原方程沒有正整數(shù)解.例6.求方程x+y=x2—xy+y2的全部整數(shù)解.解：將原方程看成關(guān)于x的一元二次方程：x2-(y+1)x+(y2—y)=0.若此方程有解，則^=(y+1)2-4(y2—y)>0,即3y2-6y-1<0.TOC\o"1-5"\h\z解得：1—空y12皂，所以y=0,1或2.33將y的值代入原方程可解得：x0x1x0x2x1x2y?！畒。'y1y1y2y2練習6.求方程x2+y2=2x+2y+xy的所有正整數(shù)解.解：將原方程看成關(guān)于x的一元二次方程x2-(y+2)x+(y2—2y)=0.若此方程有整數(shù)解，則A=(y+2)2—4(y2—2y)為完全平方數(shù).又因為△=-3(y—2)2+16[0,16],所以△=0,1,4,9或16.解得y=2或4.TOC\o"1-5"\h\zx4x2x4代入原方程解得x4,x2或x4.y2y4y4例7.求方程x6+3x3+1=y4的整數(shù)解.解：(1)當x>0時，x6+2x3+1<y4<x6+4x3+2,即(x3+1)2<y4<(x3+2)2所以x3+1<y2<x3+2,而x3+1與x3+2為兩個相鄰整數(shù)，中間不可能有其他整數(shù)，這說明x>0不成立.(2)當x=0時，y4=1,y=土.

(3)當x=-1時，y4=-1,y無實數(shù)解.(4)當xw—2時，x3+l<0,所以x6+4x3+2<y4<x6+4x3+1,即(x3+2)2<y4<(x3+1)所以一(x3+2)<y2<-(x3+1),與(1)類似可證x<-2不成立.綜上所述，x°或x°.y1y1解析：本題先將原方程變形，利用不等式縮小x的取值范圍，再進行求解.練習7.求方程x2+x=y4+y3+y2+y的整數(shù)解.解：原方程可變形為4x2+4x+1=4y4+4y3+4y2+4y+1.(2X+1)2=(2y2+y)2+3y2+4y+1=(2y2+y)2+2x(2y2+y)+1+(—y2+2y)=(2y2+y+1)2+(—y2+2y)2(1)當3y4y10,即當y<—1或y>2時，y22y0(2y2+y)2<(2x+1)2<(2y2+y+1)