各國著名數學家一生及其貢獻上

各國著名數學家一生及其貢獻（上）歌德巴赫歌德巴赫，C.1690年3月18日生于普魯士柯尼斯堡；1764年11月20日卒于俄國莫斯科。數學。作為數學家，歌德巴赫是非職業(yè)性的。他對數學有著敏銳的洞察力，加上與許多大數學家的交往，以及其特殊的社會地位，使得他提出的問題激勵了許多人研究，從而推動了數學的發(fā)展。關于歌德巴赫，最有名的莫過于歌德巴赫猜想！1742年6月7日，歌德巴赫在給歐拉的信中提出：每一個大于2的偶數都是兩個素數的和。例如4=2+2,6=3+3,48=29+19,100=97+3,等等。歐拉在同年6月30日的回信中說他相信這個猜想，但他不能證明。這個猜想的敘述如此簡單，卻連大數學家歐拉都不能證明，這引起了大家的注意。歷代數學家都試探過，但直到250多年后的今天，還沒有人能完全證明這個猜想。1770年，E.華林將歌德巴赫猜想發(fā)表出來，并加上每一個奇數或者是素數或者是三個素數的和的命題。稍加改變的提法是每一個大于或等于9的奇數都是三個奇素數的和，這是歌德巴赫猜想的推論。1900年，大數學家D.希爾伯特在巴黎數學家大會上提出對本世紀數學發(fā)展有重大影響的23個問題，其中歌德巴赫猜想被列為第8個問題。柯西柯西，A.L.1789年8月21日生于法國巴黎；1857年5月22日卒于法國斯科。數學、數學物理、力學。數學分析嚴格化的開拓者分析嚴格化的需要柯西懷著嚴格化的明確目標，為數學分析建立了一個基本嚴謹的完整體系。他說：至于方法，我力圖賦予幾何學中存在的嚴格性，決不求助于從代數一般性導出的推理。這種推理只能認為是一種推斷，有時還適用于提示真理，但與數學科學的令人嘆服的嚴謹性很不相符。他說他通過分析公式成立的條件和規(guī)定所用記號的意義，消除了所有不確定性，并說：我的主要目標是使嚴謹性與基于無窮小的直接考慮所得到的簡單性和諧一致。極限與無窮小柯西規(guī)定：當一個變量相繼取的值無限接近于一個固定值，最終與此固定值之差要多小就有多小時，該值就稱為所有其他值的極限。當同一變量相繼取的數值無限減小以至降到低于任何給定的數，這個變量就成為人們所稱的無窮小或無窮小量。這類變量以零為其極限。當同一變量相繼取的數值越來越增加以至升到高于每個給定的數，如果它是正變量，則稱它以正無窮為其極限，記作；如果是負變量，則稱它以負無窮為其極限，記作一從字面上看，柯西的定義與在此以前達朗貝爾、拉克魯瓦所給的定義差別不大，但實際上有巨大改進。首先，柯西常常把他的定義轉述為不等式。在討論復雜表達式的極限時，他用了-論證法的雛型。其次，他首次放棄了過去定義中常有的一個變量決不會超過它的極限這類不必要的提法，也不提過去定義中常涉及的一個變量是否達到它的極限，而把重點放在變量具有極限時的性態(tài)。最后，他以極限為基礎定義無窮小和微積分學中的基本概念，建立了級數收斂性的一般理論。函數及其連續(xù)性柯西以接近于現代的方式定義單元函數：當一些變量以這樣的方式相聯系，即當其中之一給定時，能推知所有其他變量的值，則通常就認為這些變量由前一變量表示，此變量取名為自變量，而其余由自變量表示的變量，就是通常所說的該自變量的一些函數。他以類似方式定義多元函數，并區(qū)別了顯函數和隱函數，用他建立的微分方程解的存在性定理在較強條件下證明了隱函數的局部存在性?？挛鹘o出了連續(xù)的嚴格定義：函數f是處于兩個指定界限之間的變量x的連續(xù)函數，如果對這兩個界限之間的每個值x,差f-f的數值隨著a無限減小。換言之，變量的無窮小增量總導致函數本身的無窮小增量。在一個附錄中，他給出了閉區(qū)間上連續(xù)函數介值性質的嚴格證明，其中用到了區(qū)間套思想。微分學柯西按照前人方式用差商的極限定義導數，但在定義中多了一句:當這個極限存在時，用加撇符號y'或f'表示。這表明他已用嶄新的方式考慮問題。他把導數定義轉述為不等式，由此證明有關的各種定理?？挛饕愿罹€的極限位置切線，用中值定理證明極限點處切線的水平性。他證明了f==f=0時用f的符號判斷極大、極小的命題。他由自己的中值定理推導出洛必達法則。這樣，他就為微分學的應用奠定了嚴格的理論基礎。積分學他既給出了連續(xù)函數定積分的定義，又證明了它的存在性。他還指出這種定義對于不能把被積函數轉化為原函數的一般情形也適用。他給出了現在通用的廣義積分的定義?？挛骱啙嵍鴩栏竦刈C明了微積分學基本定理即牛頓-萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶余項的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式?？挛鞯亩x是從僅把積分看作微分逆運算走向現代積分理論的轉折點，他堅持先證明存在性則是從依賴直覺到嚴格分析的轉折點。級數論柯西是第一個認識到無窮級數論并非多項式理論的平凡推廣而應當以極限為基礎建立其完整理論的數學家。他以部分和有限定義級數收斂并以此極限定義收斂級數之和。18世紀中許多數學家都隱約地使用過這種定義，柯西則明確地陳述這一定義，并以此為基礎比較嚴格地建立了完整的級數論。他給出所謂柯西準則，證明了必要性，并以理所當然的口氣斷定充分性。對于正項級數，他嚴格證明了比率判別法和他創(chuàng)造的根式判別法；指出Un與2nU2n同時收斂或發(fā)散，由此推出一些常用級數的斂散性；證明兩個收斂級數的積級數收斂。對于一般項級數，他引進了絕對收斂概念，指出絕對收斂級數必收斂；收斂級數之和收斂，但積不一定收斂，并舉出反例對于哥級數，柯西得到了收斂半徑公式，他以例子f=e—1/x2表明，一個函數可為它的泰勒級數代替只當后者收斂且其和等于所給函數。影響在柯西手里，微積分構成了由定義、定理及其證明和有關的各種應用組成的邏輯上緊密聯系的體系。他的分析教程成為嚴格分析誕生的起點。復變函數論的奠基人19世紀，復變函數論逐漸成為數學的一個獨立分支，柯西為此作了奠基性的工作。復函數與復募級數《分析教程》中有一半以上篇幅討論復數與初等復函數，這表明柯西早就把建立復變函數論作為分析的一項重要工程。他以形式方法引進復數，定義其基本運算，得到這些運算的性質。他比照實的情形定義復無窮小與復函數的連續(xù)性。復積分柯西寫于1814年的關于定積分的論文是他創(chuàng)立復變函數論的第一步。文中給出了所謂柯西-黎曼方程；討論了改變二重積分的次序問題，提出了被積函數有無窮型間斷點時主值積分的觀念并計算了許多廣義積分?？挛鲗懹?825年的關于積分限為虛數的定積分的論文，是一篇力作。文中提出了作為單復變函數論基礎的柯西積分定理。柯西本人用變分方法證明了這條定理，證明中曲線連續(xù)變形的思想，可以說是同倫觀念的萌芽。文中還討論了被積函數出現一階與m階極點時廣義積分的計算。殘數演算術語殘數首次出現于柯西在1826年寫的一篇論文中。他認為殘數演算已成為一種類似于微積分的新型計算方法，可以應用于大量問題。復變函數論的建立C.A.布里奧于1859年出版了《雙周期函數論》，闡明了柯西理論的對象，系統(tǒng)闡述了復變函數論，對于把柯西的觀念傳播到全歐洲起了決定性作用，標志著單復變函數論正式形成。斐波那契斐波那契，意大利數學家，12、13世紀歐洲數學界的代表人物。生于比薩，早年跟隨經商的父親到北非的布日伊，在那里受教育。以后到埃及、敘利亞、希臘、西西里、法國等地游歷，熟習了不同國度在商業(yè)上的算術體系。1200年左右回到比薩，潛心寫作。他的書保存下來的共有5種。最重要的是《算盤書》，算盤并不單指羅馬算盤或沙盤，實際是指一般的計算。其中最耐人尋味的是，這本書出現了中國《孫子算經》中的不定方程解法。題目是一個不超過105的數分別被3、5、7除，余數是2、3、4,求這個數。解法和《孫子算經》一樣。另一個兔子問題也引起了后人的極大興趣。題目假定一對大兔子每一個月可以生一對小兔子，而小兔子出生后兩個月就有生殖能力，問從一對大兔子開始，一年后能繁殖成多少對兔子？這導致斐波那契數列：1,1,2,3,5,8,13,21,,其規(guī)律是每一項都是前兩項的和。這數列與后來的優(yōu)選法有密切關系?？巳R因克萊因，克萊因在杜塞爾多夫讀的中學，畢業(yè)后，他考入了波恩大學學習數學和物理。他本來是想成為一位物理學家，但是數學教授普律

克改變了他的主意1868克改變了他的主意1868年克萊因在普律克教授的指導下完成了博土論文。在這一年里，普律克教授去世了，留下了未完成的幾何基礎課題。克萊因是完成這一任務的最佳人選。后來克萊因又去服了兵役。1871年，克萊因接受哥廷根大學的邀請擔任數學講師。1872年他又被埃爾朗根大學聘任為數學教授，這時他只有23歲。1875年他在慕尼黑高等技術學院取得了一個教席。在這里，他的學生包括胡爾維茨、馮戴克、洛恩、普朗克、畢安奇和里奇。五年之后，克萊因應邀去萊比錫大學講授幾何學。在這里他和他過去的出色的學生馮戴克、洛恩、司徒迪和恩格爾等成為了同事。1886年，克萊因接受了哥廷根大學的邀請來到哥廷根，開始了他的數學家的生涯。他講授的課程非常廣泛，主要是在數學和物理之間的交叉課題，如力學和勢論。他在這里直到1913年退休。他實現了要重建哥廷根大學作為世界數學研究的重要中心的愿望。著名的數學雜志《數學年刊》就是在克萊因的主持管理下才能在重要性上達到和超過了《克萊爾雜志》的。這本雜志在復分析、代數幾何和不變量理論方面很有特色。在實分析和群論新領域也很出色。要了解克萊因對在幾何學上所作的貢獻的特點是有點難的，因為即使用我們今天數學思想的大部分來理解他的結果的新奇之處也是很困難的。克萊因在數學上做出的第一個貢獻是在1870年與李合作發(fā)現的。他們發(fā)現了庫默爾面上曲線的漸近線的基本性質。他進一步地與李合作研究W-曲線。1871年克萊因出版了兩篇有關非歐幾何的論文，論文中證明了如果歐氏幾何是相容的，那么非歐幾何也是相容的。這就把非歐幾何置于與歐氏幾何同樣堅實的基礎之上?？巳R因在他的著名的埃爾朗根綱領中，以變換群的觀點綜合了各種幾何的不變量及其空間特性，以此為標準來分類，從而統(tǒng)一了幾何學。今天這些觀點已經成為大家的標準。變換在現代數學中扮演者主要角色?？巳R因指明了如何用變換群來表達幾何的基本特性的方法。而克萊因自己認為他對數學的貢獻主要在函數理論上。1882年他在一篇論文中用幾何方法來處理函數理論并把勢論與保形映射聯系起來。他也經常把物理概念用在函數理論上，特別是流體力學?？巳R因對大于四次的方程特別是用超越方法來解五次的一般方程感興趣。在厄爾米特和克隆耐克爾建立了與布里奧斯奇類似的方法之后，克萊因立刻就用二十面體群去試圖完全解決這個問題。這個工作導致他在一系列論文中對橢圓模函數的研究。1884年，克萊因在他的一本關于二十面體的重要著作中，得到了一種連接代數與幾何的重要關系，他發(fā)展了自守函數論。他和一位來自萊比錫的數學家羅伯特弗里克合作出版了一套四卷本的關于自守函數和橢圓模函數的著作，這本著作影響以后20年。另一個計劃是出版一套數學百科全書。他積極地參與到這個工作中，與K,穆勒一起編輯力學部分的四卷。我們還要提到克萊因發(fā)現的克萊因瓶，一種只有一個面的曲面。1885年克萊因被英國皇家學會選為國外會員并被授予科普勒獎1908年克萊因被國際數學會選為在羅馬召開的數學家大會主席。歐拉歐拉，L.1707年4月15日生于瑞士巴塞爾；1783年9月18日卒于俄國圣彼得堡。數學、力學、天文學、物理學。在數學領域內，18世紀可正確地稱為歐拉世紀。歐拉是18世紀數學界的中心人物。他是繼I.牛頓之最重要的數學家之一。在他的數學研究成果中，首推第一的是分析學。歐拉把由伯努利家族繼承下來的萊布尼茨學派的分析學內容進行整理，為19世紀數學的發(fā)展打下了基礎。他還把微積分法在形式上進一步發(fā)展到復數范圍，并對偏微分方程，橢圓函數論，變分法的創(chuàng)立和發(fā)展留下先驅的業(yè)績。在《歐拉全集》中，有17卷屬于分析學領域。他被同時代的人譽為分析的化身。.數論歐拉的一系列成奠定作為數學中一個獨立分支的數論的基礎。歐拉的著作有很大一部分同數的可除性理論有關。歐拉在數論中最重要的發(fā)現是二次反律。.代數歐拉《代數學入門》一書，是16世紀中期開始發(fā)展的代數學的一個系統(tǒng)總結。.無窮級數歐拉的《微分學原理》是有限差演算的第一部論著，他第一個引進差分算子。歐拉在大量地應用哥級數時，還引進了新的極其重要的傅里葉三角級數類。1777年，為了把一個給定函數展成在區(qū)間上的余弦級數，歐拉又推出了傅里葉系數公式。歐拉還把函數展開式引入無窮乘積以及求初等分式的和，這些成果在后來的解析函數一般理論中占有重要的地位。他對級數的和這一概念提出了新的更廣泛的定義。他還提出了兩種求和法。這些豐富的思想，對19世紀末，20世紀初發(fā)散級數理論中的兩個主題，即漸近級數理論和可和性的概念產生了深遠影響。.函數概念18世紀中葉，分析學領域有許多新的發(fā)現，其中不少是歐拉自已的工作。它們系統(tǒng)地概括在歐拉的《無窮分析引論》、《微分學原理》和《積分學原理》組成的分析學三部曲中。這三部書是分析學發(fā)展的里程碑四式的著作。.初等函數《無窮分析引論》第一卷共18章，主要研究初等函數論。其中，第八章研究圓函數，第一次闡述了三角函數的解析理論，并且給出了棣莫佛公式的一個推導。歐拉在《無窮分析引論》中研究了指數函數和對數函數，他給出著名的表達式，但僅考慮了正自變量的對數函數。1751年，歐拉發(fā)表了完備的復數理論。.單復變函數通過對初等函數的研究，達朗貝爾和歐拉在1747-1751年間先后得到了復數域關于代數運算和超越運算封閉的結論。他們兩人還在分析函數的一般理論方面取得了最初的進展。.微積分學歐拉的《微分學原理》和《積分學原理》二書對當時的微積分方法作了最詳盡、最有系統(tǒng)的解說，他以其眾多的發(fā)現豐富可無窮小分析