高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題的常見求解方法

高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題的常見求解方法高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題的常見求解方法PAGE =page4*2-17 =page4*28高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題的常見求解方法高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題的常見求解方法一、配方法例１。當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值．解析：，當(dāng)時(shí)，．可得，．二、判別式法:若能將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程有無(wú)實(shí)根的問題,則常利用判別式求得函數(shù)的最值．例2.若、且滿足:，則=，=。解析：由已知，變形得:,，則，即有，于是，即．即．同理,，，則，即有，于是,即．即．例3。在條件下，求的最大值．解:設(shè)，因，，故，則,即因?yàn)?，故，于是即。將代入方程得，，所以。注意：因僅為方程有實(shí)根,的必要條件，因此，必須將代入方程中檢驗(yàn)，看等號(hào)是否可取．練習(xí)：已知函數(shù)的值域?yàn)?，求常?shù)。(答案：，）換元法(一)局部換元法例4.求函數(shù)的最值．解析：設(shè)(),則由原式得當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)．故,無(wú)最小值．例5。已知，求函數(shù)的最值．解析:令則且,于是當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．注意:若函數(shù)含有和，可考慮用換元法解．（二)三角代換法(有時(shí)也稱參數(shù)方程法)例6.已知、，．求的最值．解析:設(shè)，，（為參數(shù))，因，故故當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，．練習(xí)1：實(shí)數(shù)、適合:,設(shè)，則+=____.練習(xí)2：已知、且,求的最值．解析：化為，得參數(shù)方程為，故,．（三）均值換元法例7。已知，求證：的最小值為．解析：由于本題中、的取值范圍為一切實(shí)數(shù)，故不能用三角換元，但根據(jù)其和為１，我們可以令，，(）,則∴的最小值為．在即時(shí)取等號(hào)。四、三角函數(shù)有界法:對(duì)于,總有，例8.求函數(shù)的最值．解析：，因?yàn)?，故?dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．均值不等式法例9：已知(、、均為銳角），那么的最大值等于__________。解析:因、、均為銳角，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最大值為．例10.求函數(shù)的最小值(、)．解析:當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值單調(diào)性法例11.求函數(shù)的最大值．解析：令，則，函數(shù)在，內(nèi)遞增．所以在，內(nèi)也是遞增的．當(dāng),即時(shí)，．平方開方法例12.若、是不相等的正數(shù)，求函數(shù)的最值．解析:因、是不相等的正數(shù)，與不能同時(shí)為０，故．當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，，數(shù)形結(jié)合法：借助幾何背景和幾何直觀而求其最值，常能受到直觀明快,化難為易的功效．例13.求函數(shù)的最值．解析:將函數(shù)式變形為,看成兩點(diǎn)，，，連線的斜率