廣西北海市2023屆高三上學期第一次模擬考試數(shù)學（理）試題

第5頁/共5頁2023屆北海市高三第一次模擬考試數(shù)學（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則等于（）A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，若z為純虛數(shù)，則（）A.-3 B. C.3 D.03.在等差數(shù)列中，，，則（）A.19 B.18 C.17 D.204.大西洋鮭魚每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域產(chǎn)卵．記鮭魚的游速為v（單位：），鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為Q，研究發(fā)現(xiàn)．當時，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為800．當時，鮭魚的耗氧量的單位數(shù)為（）A12800 B.24800 C.25600 D.512005.如圖所示幾何體是底面直徑為2，高為3圓柱的上底面挖去半個球，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.6.如圖所示，陰影部分由四個全等的三角形組成，每個三角形是腰長等于圓的半徑，頂角為的等腰三角形．如果在圓內(nèi)隨機取一點，那么該點落到陰影部分內(nèi)的概率為，則（）A. B. C. D.7.已知角滿足，則（）A. B. C. D.8.已知奇函數(shù)的定義域為，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．若，則的解集為（）A. B.C. D.9.已知，若，恒成立，則正數(shù)m的最小值是（）A B.1 C. D.e10.已知函數(shù)，將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，已知在上恰有5個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.11.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，則數(shù)列的前81項的和為（）A.1640 B.1660 C.1680 D.170012.已知拋物線的焦點為F，拋物線上的任意一點P到焦點F的距離比到直線的距離少，過焦點F的直線與拋物線C交于A，B兩點，直線，與直線分別相交于M，N兩點，O為坐標原點，若，則直線的斜率為（）A.1或 B.1或2 C.或2 D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量是單位向量，向量，且，則與的夾角為_____________．14.的展開式中的系數(shù)為_____________．15.如圖，已知雙曲線的左，右焦點分別為，，正六邊形的一邊的中點恰好在雙曲線上，則雙曲線的離心率是_____________．16.如圖，在體積為的三棱錐中，，，底面，則三棱錐外接球體積的最小值為______.三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答、第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分、17.已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B的大??；（2）若，求周長的最大值．18.如圖，在直三棱柱中，，E為的中點，F(xiàn)為的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成二面角的正弦值．19.某校為了了解學生每天完成數(shù)學作業(yè)所需的時間收集了相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，學生完成數(shù)學作業(yè)的時間的范圍是．其統(tǒng)計數(shù)據(jù)分組區(qū)間為，，，，．（1）求直方圖中x的值；（2）以直方圖中的頻率作為概率，從該校學生中任選4人，這4名學生中完成數(shù)學作業(yè)所需時間少于20分鐘的人數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學期望．20.已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，且橢圓的離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）相互垂直且斜率存在的直線，都過點，直線與橢圓相交于、兩點，直線與橢圓相交于、兩點，點為線段的中點，點為線段的中點，證明：直線過定點．21.已知函數(shù)．（1）當時，求過點且和曲線相切的直線方程；（2）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22.在平面直角坐標系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為