新課標必修一函數(shù)的單調性的教學設計

PAGE課題：函數(shù)的單調性教學目標：知識與技能（1）通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調性概念；（2）學會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質；(3)了解數(shù)形結合的思想及嚴密的邏輯推理，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思想和數(shù)學方法；（4）能夠熟練應用定義判斷數(shù)在某區(qū)間上的的單調性．2．過程與方法能夠觀察研究函數(shù)圖象的特點，來研究函數(shù)的單調性性質．3．情感、態(tài)度、價值觀：培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣，體會函數(shù)圖象的變化規(guī)律及蘊含本質教學方法：引導發(fā)現(xiàn)法教學重點：函數(shù)的單調性．教學難點：利用函數(shù)的單調性定義判斷、證明函數(shù)的單調性．教學程序與環(huán)節(jié)設計：1．創(chuàng)設情境：問題引入2．組織探究：通過幾個函數(shù)的圖象的“上升“和”下降“的整體認識探究函數(shù)的單調性的定義及判斷函數(shù)單調性的方法步驟3．嘗試練習：利用函數(shù)的圖象確定函數(shù)的單調區(qū)間4．鞏固提高：利用函數(shù)的單調性定義判斷、證明函數(shù)的單調性．5．作業(yè)反饋：單調性定義的應用教學過程：引入課題在初中，有沒有學過函數(shù)的增減性？（學過）一些函數(shù)的增減性是怎樣知道的？（觀察圖象得出）yxyx1-11-1（1）．f(x)=-xeq\o\ac(○,1)從左至右圖象上升還是下降______?eq\o\ac(○,2)在區(qū)間____________上，隨著x的增大，yxyx1-11-1（2）．f(x)=x2eq\o\ac(○,1)在區(qū)間____________上，f(x)的值隨著x的增大而________．eq\o\ac(○,2)在區(qū)間____________上，f(x)的值隨著x的增大而________．（3）．如何把上述的圖象所反映的特征用數(shù)學符號語言表示出來？{引導學生探討，歸納}二、新課教學（一）函數(shù)單調性定義1．增函數(shù) 一般地，設函數(shù)y=f(x)的定義域為I， 如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)（increasingfunction）．思考：仿照增函數(shù)的定義說出減函數(shù)的定義．（學生活動）注意：eq\o\ac(○,1)函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數(shù)的局部性質；eq\o\ac(○,2)必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)．2．函數(shù)的單調性定義如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間： 3．判斷函數(shù)單調性的方法步驟 利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性的一般步驟： eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2； eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)變形（通常是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,4)定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；eq\o\ac(○,5)下結論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調性）．（二）典型例題例1．根據函數(shù)圖象說明函數(shù)的單調性．如圖，是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據圖象說出函數(shù)的單調區(qū)間，以及在每一單調區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？xy0-55xy-55解：函數(shù)的單調區(qū)間有，，，xy0-55xy-55在區(qū)間，上是減區(qū)間，在區(qū)間，上是增函數(shù)。鞏固練習：課本P36練習第3題題后小結：以上是通過觀察圖象的方法來說明函數(shù)在某一區(qū)間的單調性，是一種比較粗略的方法，那么，對于任給函數(shù)，我們怎樣根據增減函數(shù)的定義來證明它的單調性呢？例2．根據函數(shù)單調性定義證明函數(shù)的單調性．物理學中的玻意耳定律（k為正常數(shù)）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強P將增大，試用函數(shù)的單調性證明之。分析：按題義，只要證明在區(qū)間（0，+）上是減函數(shù)即可。證明：根據單調性的定義，設，是定義域（0，+）上的任意兩個實數(shù)，且<，則。由，（0，+），得>0；由<，得>0；又K>0，于是>0，即>所以，函數(shù)，V（0，+）是減函數(shù)。也就是說，當體積V減少時，壓強P將增大。鞏固練習：練習：判斷函數(shù)在(0,+∞)上單調性，并給予證明。 思考：畫出反比例函數(shù)的圖象． ①這個函數(shù)的定義域是什么？ ②它在定義域上具有單調性嗎？為什么？③請你確定此函數(shù)的單調性，并證明你的結論．說明：本例可利用幾何畫板、函數(shù)圖象生成軟件等作出函數(shù)圖象．題后小結：函數(shù)的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，證明過程的第一步任取變量一定要注意其所在的區(qū)間范圍。三、歸納小結，強化思想函數(shù)的單調性一般是先根據圖象判斷，再利用定義證明．求函數(shù)的單調區(qū)間時必須要注意函數(shù)的定義域，單調性的證明一般分五步：取值→作差→變形→定號→下結論業(yè)布置書面作業(yè)：課本P43習題1．3（A組）第1-4題．2.提高作業(yè)：(1),f(x)=x2-2bx+b在x∈(-∞,1)上是減函數(shù)，求b的取值范圍(2).f(x)=(b-2)x2-2bx+b在x∈(-∞,1]上是減函數(shù)，求b的取值范圍.

教學過程與操作設計：環(huán)節(jié)教學內容設計師生雙邊互動創(chuàng)設情境閱讀教材P90的具體實例（1）~（5），思考下列問題：1．它們的對應法則分別是什么？2．以上問題中的函數(shù)有什么共同特征？（答案）1．（1）乘以1；（2）求平方；（3）求立方；（4）開方；（5）取倒數(shù)（或求－1次方）．上述問題中涉及到的函數(shù)，都是形如的函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù)．生：獨立思考完成引例．師：引導學生分析歸納概括得出結論．師生：共同辨析這種新函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的異同．組織探究材料一：冪函數(shù)定義及其圖象．一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．下面我們舉例學習這類函數(shù)的一些性質．作出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．[解]eq\o\ac(○,1)列表（略）eq\o\ac(○,2)圖象師：說明：冪函數(shù)的定義來自于實踐，它同指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)一樣，也是基本初等函數(shù)，同樣也是一種“形式定義”的函數(shù)，引導學生注意辨析．生：利用所學知識和方法嘗試作出五個具體冪函數(shù)的圖象，觀察所圖象，體會冪函數(shù)的變化規(guī)律．師：引導學生應用畫函數(shù)的性質畫圖象，如：定義域、奇偶性．師生共同分析，強調畫圖象易犯的錯誤．環(huán)節(jié)教學內容設計師生雙邊互動組織探究材料二：冪函數(shù)性質歸納．（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義，并且圖象都過點（1，1）；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當時，冪函數(shù)的圖象下凸；當時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．師：引導學生觀察圖象，歸納概括冪函數(shù)的的性質及圖象變化規(guī)律．生：觀察圖象，分組討論，探究冪函數(shù)的性質和圖象的變化規(guī)律，并展示各自的結論進行交流評析，并填表．材料三：觀察與思考觀察圖象，總結填寫下表：定義域值域奇偶性單調性定點材料五：例題[例1]（教材P92例題）[例2]比較下列兩個代數(shù)值的大小：（1），（2），[例3]討論函數(shù)的定義域、奇偶性，作出它的圖象，并根據圖象說明函數(shù)的單調性．師：引導學生回顧討論函數(shù)性質的方法，規(guī)范解題格式與步驟．并指出函數(shù)單調性是判別大小的重要工具，冪函數(shù)的圖象可以在單調性、奇偶性基礎上較快描出．生：獨立思考，給出解答，共同討論、評析．環(huán)節(jié)呈現(xiàn)教學材料師生互動設計嘗試練習1．利用冪函數(shù)的性質，比較下列各題中兩個冪的值的大?。海?），；（2），；（3），；（4），．2．作出函數(shù)的圖象，根據圖象討論這個函數(shù)有哪些性質，并給出證明．3．作出函數(shù)和函數(shù)的圖象，求這兩個函數(shù)的定義域和單調區(qū)間．4．用圖象法解方程：（1）；（2）．探究與發(fā)現(xiàn)1．如圖所示，曲線是冪函數(shù)在第一象限內的圖象，已知分別取四個值，則相應圖象依次為：．2．在同一坐標系內，作出下列函數(shù)的圖象，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？（1）和；（2）和．規(guī)律1：在第一象限，作直線，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．規(guī)律2：冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內的圖象關于直線對稱．作業(yè)回饋1．在函數(shù)中，冪函數(shù)的個數(shù)為：A．0B．1C．2D．3環(huán)節(jié)呈現(xiàn)教學材料師生互動設計2．已知冪函數(shù)的圖象過點，試求出這個函數(shù)的解析式．3．在固定壓力差（壓力差為常數(shù)）下，當氣體通過圓形管道時，其流量速率R與管道半徑r的四次方成正比．（1）寫出函數(shù)解析式；（2）若氣體在半徑為3cm的管道中，流量速率為400cm3/s，求該氣體通過半徑為r的管道時，其流量速率R的表達式；（3）已知（2）中的氣體通過的管道半徑為5cm，計算該氣體的流量速率．4．19