最新人教八年級(jí)三角形教學(xué)案

－學(xué)思苑教育學(xué)習(xí)無捷徑，考試有方法PAGE1與三角形有關(guān)的線段知識(shí)點(diǎn)1：三角形的邊三角形的概念:不在同一直線上的三條線段首尾順次相接組成的圖形叫做三角形。三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊.推論：三角形兩邊的差小于第三邊。腰腰腰腰底邊頂角底角底角（1）按角分類銳角三角形三角形直角三角形鈍角三角形（2）按邊分類不等邊三角形三角形底邊和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形考點(diǎn)1：認(rèn)識(shí)三角形1.如圖7.1.1-1的三角形記作__________，它的三條邊是__________，三個(gè)頂點(diǎn)分別是_________，三個(gè)內(nèi)角是__________，頂點(diǎn)A、B、C所對(duì)的邊分別是___________，用小寫字母分別表示為__________.圖7.1.1-2圖7.1.1-1圖7.1.1-2圖7.1.1-12.三角形按邊分類可分為__________三角形，__________三角形；等腰三角形分為底與腰__________的三角形和底與腰__________的三角形.3.如圖7.1.1-2所示，以AB為一邊的三角形有（）A.3個(gè) B.4個(gè)C.5個(gè) D.6個(gè)考點(diǎn)2：三角形三邊關(guān)系4.已知四組線段的長(zhǎng)分別如下，以各組線段為邊，能組成三角形的是（）A.1，2，3 B.2，5，8 C.3，4，5 D.4，5，105.（2008·福州）已知三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和9cm，則下列長(zhǎng)度的四條線段中能作為第三邊的是（）A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm6.如果線段a、b、c能組成三角形，那么，它們的長(zhǎng)度比可能是（）A.1∶2∶4 B.1∶3∶4 C.3∶4∶7 D.2∶3∶47.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4cm和7cm，則此三角形的周長(zhǎng)為（）A.15cm B.18cm C.15cm或18cm D.不能確定8.下列各組給出的三條線段中不能組成三角形的是（）A.3，4，5 B.3a，4a，5aC.3+a，4+a，5+a D.三條線段之比為3∶5∶89.三角形三邊的比是3∶4∶5，周長(zhǎng)是96cm，那么三邊分別是________cm.10.已知等腰三角形的周長(zhǎng)是25cm，其中一邊長(zhǎng)為10cm，求另兩邊長(zhǎng)__________.11.某木材市場(chǎng)上木棒規(guī)格和價(jià)格如下表：規(guī)格1m2m3m4m5m6m價(jià)格（元/根）101520253035小明的爺爺要做一個(gè)三角形的木架養(yǎng)魚用，現(xiàn)有兩根長(zhǎng)度為3m和5m的木棒，還需要到某木材市場(chǎng)上購買一根.問：（1）有幾種規(guī)格的木棒可供小明的爺爺選擇？（2）選擇哪一種規(guī)格的木棒最省錢？12.如圖所示,已知P是△ABC內(nèi)一點(diǎn),試說明PA+PB+PC>(AB+BC+AC).13、（1）如圖1，從A經(jīng)B到C是一條柏油馬路，AC是一條小路，人們從A到C，為什么不走柏油路，而喜歡走小路？請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)解釋一下原因。（2）如圖2，從A經(jīng)B到C是一條柏油馬路，由A經(jīng)D到C是一條小路，人們從A步行到C，為什么不走柏油路，而喜歡走小路？請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)解釋一下原因。14、已知a、b、c是△ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)知識(shí)點(diǎn)2：三角形的高、中線與角平分線1.三角形的高(如圖從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段。表示法：（1）AD是△ABC的BC上的高。（2）AD⊥BC于D。（3）∠ADB＝∠ADC＝90°。注意：①三角形的高是線段；②銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部，直角三角形有兩條高是邊，鈍角三角形有兩條高在形外；③三角形三條高所在直線交于一點(diǎn)。圖2如圖3圖12.三角形的中線（如圖2）三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊中點(diǎn)的線段。表示法：（1）AD是△ABC的BC上的中線；（2）BD＝DC＝BC注意：①三角形的中線是線段；②三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；③三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；④中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形。3、三角形的角平分線（如圖3）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交這個(gè)角頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段。表示法：（1）AD是△ABC的∠BAC的平分線。（2）∠1＝∠2＝∠BAC注意：①三角形的角平分線是線段；②三角形三條角平分線全在三角形的內(nèi)部；③三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)；④可以用量角器畫三角形的角平分線?？键c(diǎn)1：三角形的高1.如圖7.1.2-1，在△ABC中，BC邊上的高是________；在△AFC中，CF邊上的高是________；在△ABE中，AB邊上的高是_________.圖7.1.2-1圖7.1.2-2圖7.1.2-32.如圖7.1.2-2，△ABC的三條高AD、BE、CF相交于點(diǎn)H，則△ABH的三條高是_______，這三條高交于________.BD是△________、△________、△________的高.3.如圖7.1.2-3，在△ABC中EF∥AC，BD⊥AC于D，交EF于G，則下面說話中錯(cuò)誤的是（）A.BD是△ABC的高 B.CD是△BCD的高C.EG是△ABD的高 D.BG是△BEF的高4.如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定5.三角形的三條高的交點(diǎn)一定在（）A.三角形內(nèi)部 B.三角形的外部C.三角形的內(nèi)部或外部 D.以上答案都不對(duì)6.如圖7.1.2-4所示，△ABC中，邊BC上的高畫得對(duì)嗎？為什么？圖7.1.2-47、如圖，在△ABC中，D是BC邊上的任意一點(diǎn)，AH⊥BC于H。圖中以AH為高的三角形個(gè)數(shù)為（）A、3B、4C、5D、6考點(diǎn)2：三角形的中線與角平分線8如圖7.1.2-5所示：（1）AD⊥BC，垂足為D，則AD是________的高，∠________=∠________=90°.（2）AE平分∠BAC，交BC于E點(diǎn)，則AE叫做△ABC的________，∠________=∠________=∠________.（3）若AF=FC，則△ABC的中線是________，S△ABF=________.（4）若BG=GH=HF，則AG是________的中線，AH是________的中線.圖7.1.2-5圖7.1.2-69.如圖7.1.2-6，DE∥BC，CD是∠ACB的平分線，∠ACB=60°，那么∠EDC=______度.10.如圖7.1.2-7，BD=DC，∠ABN=∠ABC，則AD是△ABC的________線，BN是△ABC的________，ND是△BNC的________線.

圖7.1.2-7圖7.1.2-811.如圖7.1.2-8，若上∠1=∠2、∠3=∠4，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.AD是△ABC的角平分線 B.CE是△ACD的角平分線C.∠3=∠ACB D.CE是△ABC的角平分線12.下列判斷中，正確的個(gè)數(shù)為（）（1）D是△ABC中BC邊上的一個(gè)點(diǎn)，且BD=CD，則AD是△ABC的中線（2）D是△ABC中BC邊上的一個(gè)點(diǎn)，且∠ADC=90°，則AD是△ABC的高（3）D是△ABC中BC邊上的一個(gè)點(diǎn)，且∠BAD=∠BAC，則AD是△ABC的角平分線（4）三角形的中線、高、角平分線都是線段A.1 B.2 C.3D.412．如圖，在△ABC中，AE是中線，AD是角平分線，AF是高，則根據(jù)圖形填空：⑴BE==；⑵∠BAD==⑶∠AFB==900；14.如圖圖7.1.2-9所示，在△ABC中，D、E分別是BC、AD的中點(diǎn)，S△ABC=4cm2，求S△ABE.圖7.1.2-915.△ABC中，高AD與CE的長(zhǎng)分別為2㎝，4㎝求AB與BC的比是多少？16、在△ABC中，AB＝AC，AC上的中線BD把三角形的周長(zhǎng)分為24cm和30cm的兩個(gè)部分，求三角形的三邊長(zhǎng)。16.根據(jù)你畫圖的實(shí)踐，用序號(hào)字母填寫下表（有幾種可能情況填寫幾個(gè)字母）：A.在三角形的內(nèi)部B.在三角形的邊上C.在三角形的外部銳角三角形直角三角形鈍角三角形角平分線中線高17．填表：用長(zhǎng)度相等的火柴棒拼成如圖所示的圖形三角形的個(gè)數(shù)12345…n所用的火柴的根數(shù)3579…18.如圖所示,在△ABC中,∠A=α,△ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)P,且∠P=β,試探求下列各圖中α與β的關(guān)系,并選擇一個(gè)加以說明.知識(shí)3：三角形的穩(wěn)定性考點(diǎn)1：三角形的穩(wěn)定性1.三角形是具有________的圖形，而四邊形沒有________.2.自行車用腳架撐放比較穩(wěn)定的原因是________.3.木工師傅在做完門框后，為了防止變形常常像圖7.1.3-1所示那樣釘上兩條斜拉的木板條（即圖中的AB、CD兩個(gè)木條），這樣做根據(jù)數(shù)學(xué)道理是____________.圖7.1.3-1圖7.1.3-2考點(diǎn)2：四邊形的不穩(wěn)定性4.如圖7.1.3-2是放縮尺，其工作原理是______________.5下列把四邊形的不穩(wěn)定性合理地應(yīng)用到生產(chǎn)實(shí)際中的例子有（）（1）活動(dòng)掛架（2）放縮尺（3）屋頂鋼架（4）能夠推攏和拉開的鐵拉門（5）自行車的車架（6）大橋鋼架A.1 B.2 C.3 D.46.下列圖形（如圖7.1.3-3）中哪些具有穩(wěn)定性？圖7.1.3-37.如圖7.1.3-4，哪些應(yīng)用了三角形的穩(wěn)定性，些應(yīng)用了四邊形的不穩(wěn)定性.鋼架橋起重機(jī)屋頂鋼架活動(dòng)滑門圖7.1.3-4你來試一試：夯實(shí)基礎(chǔ)一、精心填一填，你會(huì)輕松（每題5分，共30分）1、如圖，當(dāng)______＝______時(shí)，AD是△ABC的中線；當(dāng)∠______＝∠______時(shí)，AD是△ABC的角平分線.圖2圖32、圖2中有____個(gè)三角形，它們分別是_______________________________．3、如圖3，△ABC的高AD、BE、CF相交于點(diǎn)I，△BIC的BI邊上的高是________4、三角形的三邊之比是3∶4∶5，周長(zhǎng)是36cm，求這個(gè)三角形各邊長(zhǎng)分別為___________。5、已知三角形兩邊長(zhǎng)分別是2cm和5cm，第三邊長(zhǎng)數(shù)值為奇數(shù)，則這個(gè)三角形周長(zhǎng)為_______cm．6、觀察下表中三角形個(gè)數(shù)變化規(guī)律，填表并回答下面問題．問題：如果圖中三角形的個(gè)數(shù)是102個(gè)，則圖中應(yīng)有___________條橫截線．二、耐心選一選，你會(huì)開心（每題5分，共30分）7、在下列長(zhǎng)度的四組線段中，能組成三角形的是（）．A、4，5，6B、6，8，15C、7，5，12D、3，7，138、在圖中，正確畫出AC邊上高的是（）．ABCD9、已知三角形的周長(zhǎng)為15cm，且其中兩邊都等于第三邊的2倍，那么最短邊的長(zhǎng)是（）．A、1cmB、2cmC、3cmD、4cm10、在下列長(zhǎng)度的四根木棒中，能與4cm、9cm長(zhǎng)的兩根木棒釘成一個(gè)三角形的是（）．A、4cmB、5cmC、9cmD、13cm11、如圖，線段AD把△ABC分為面積相等的兩部分，則線段AD是（）．A、三角形的角平分線B、三角形的中線C、三角形的高D、以上都不對(duì)12、在三條邊都不相等的三角形中，同一條邊上的中線、高和這邊所對(duì)角的角平分線，最短的是（）．A、高B、中線C、角平分線D、不能確定綜合創(chuàng)新三、細(xì)心做一做，你會(huì)成功（共40分）14、如圖，△ABC正好可以放在長(zhǎng)方形內(nèi)，要測(cè)出△ABC的面積，現(xiàn)有一把刻度尺，你能做到嗎?說出你是怎樣做的．15、如圖，AD、CE是△ABC的兩條高，AB＝3cm，BC＝6cm，CE＝8cm，求AD的長(zhǎng)．與三角形有關(guān)的角知識(shí)點(diǎn)一：三角形內(nèi)角和定理

1、內(nèi)容：角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°，即可以表示為：在中，有.

2、作用：在三角形中已知兩角可求第三角，或已知各角之間關(guān)系，求各角；已經(jīng)知道了三角形的內(nèi)角和等于180°，但要注意的是在解決實(shí)際問題時(shí)，這一點(diǎn)是不會(huì)在已知中告訴你的，也就是往往要把它作為隱含的條件來用，因此在解決此類問題時(shí)應(yīng)該切記．

3、定理的推導(dǎo)：三角形內(nèi)角和定理證明方法很多，定理的證明需要添加輔助線，通過輔助線將角轉(zhuǎn)移和集中，把隱含的條件顯現(xiàn)出來．由180°可聯(lián)想到①平角；②鄰補(bǔ)角；③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，現(xiàn)舉幾種常見的證明思路：

思路1：如圖1所示，延長(zhǎng)BC到E，作CD∥AB．因?yàn)锳B∥CD（已作），

所以∠1=∠A（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠B=∠2（兩直線平行，同位角相等）．

又∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定義），

所以∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代換）．

思路2：如圖2所示，在BC邊上任取一點(diǎn)D，作DE∥AB，交AC于E，DF∥AC，交AB于點(diǎn)F．

因?yàn)镈F∥AC（已作），

所以∠1=∠C（兩直線平行，同位角相等），

∠2=∠DEC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．

因?yàn)镈E∥AB（已作）．

所以∠3=∠B，∠DEC=∠A（兩直線平行，同位角相等）．

所以∠A=∠2（等量代換）．

又∠1+∠2+∠3=180°（平角定義），

所以∠A+∠B+∠C=180°（等量代換）．知識(shí)點(diǎn)二：三角形的外角

三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角.

要點(diǎn)詮釋：

(1)外角的特征有三條：

①頂點(diǎn)在三角形的一個(gè)頂點(diǎn)上．如下圖：∠ACD的頂點(diǎn)C是△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)．

②一條邊是三角形的一邊．如：∠ACD的一條邊AC正好是△ABC的一條邊；

③另一條邊是三角形某條邊的延長(zhǎng)線．如：∠ACD的邊CD是△ABC的BC邊的延長(zhǎng)線。

(2)三角形有六個(gè)外角，每個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，但算三角形外角和時(shí)，每個(gè)頂點(diǎn)處只算一個(gè)外角，外

角和是指三個(gè)外角的和，三角形的外角和為360°；和外角有共同頂點(diǎn)的內(nèi)角叫做和這個(gè)外角相鄰的內(nèi)角，它們是互補(bǔ)的，互為鄰補(bǔ)角，另外兩個(gè)內(nèi)角叫做和這個(gè)外角不相鄰的內(nèi)角．

知識(shí)點(diǎn)三：三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)

1.三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

（1）推理過程：如圖所示，

因?yàn)椤螦CD+∠ACB=180°（鄰補(bǔ)角定義），

∠ACB+∠A+∠B=180°（內(nèi)角和定理），

所以∠ACD=∠A+∠B（等式性質(zhì)）．

（2）作用：①已知外角和與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角中的一個(gè)可求“另一個(gè)”；

②可證一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和；

③經(jīng)常利用它作為中間關(guān)系式證明兩個(gè)角相等。

2.三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.如上圖所示，∠ACD>∠A或∠ACD>∠B．

作用：利用它證明兩個(gè)角不相等的關(guān)系．

要點(diǎn)詮釋：

這兩個(gè)結(jié)論稱為三角形內(nèi)角和定理的推論．它可以當(dāng)作定理直接使用．利用它證明角不等時(shí)，應(yīng)設(shè)法把求證中的大角放在三角形的外角位置上，把小角放在內(nèi)角位置上，也可以把它們的一部分放在外角或內(nèi)角的位置上。

注意：應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理的推論時(shí)，一定要理解其意思．即“和它不相鄰”的意義

三、規(guī)律方法指導(dǎo)

1．三角形內(nèi)角和為180°，三角形三個(gè)外角的和是360°,這是在做題時(shí)題設(shè)不用加以說明的已知條件；

在三個(gè)角中已知其中兩個(gè)角的度數(shù)便能求第三個(gè)角的大小.

2．在一個(gè)三角形中最多只能有一個(gè)鈍角或者一個(gè)直角，最少有兩個(gè)銳角.

3．三角形內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)是求角度數(shù)及有關(guān)的推理論證時(shí)經(jīng)常使用的理論依據(jù)．外角的性質(zhì)應(yīng)用：①證明一個(gè)角等于另兩個(gè)角的和；②作為中間關(guān)系式證明兩角相等；③證明角的不等關(guān)系.

4．利用作輔助線求解問題，會(huì)使問題變得簡(jiǎn)便.基礎(chǔ)過關(guān)作業(yè)1．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，則∠C=________．2．已知三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1：2：3，則這個(gè)三角形是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定3．△ABC中，∠A=∠B+∠C，則∠A=______度．4．根據(jù)下列條件，能確定三角形形狀的是（）（1）最小內(nèi)角是20°；（2）最大內(nèi)角是100°；（3）最大內(nèi)角是89°；（4）三個(gè)內(nèi)角都是60°；（5）有兩個(gè)內(nèi)角都是80°．A．（1）、（2）、（3）、（4）B．（1）、（3）、（4）、（5）C．（2）、（3）、（4）、（5）D．（1）、（2）、（4）、（5）5．如圖1，∠1+∠2+∠3+∠4=______度．(1)(2)(3)6．三角形中最大的內(nèi)角不能小于_______度，最小的內(nèi)角不能大于______度．7．△ABC中，∠A是最小的角，∠B是最大的角，且∠B=4∠A，求∠B的取值范圍．8．如圖2，在△ABC中，∠BAC=4∠ABC=4∠C，BD⊥AC于D，求∠ABD的度數(shù)．綜合創(chuàng)新作業(yè)9．（綜合題）如圖3，在△ABC中，∠B=66°，∠C=54°，AD是∠BAC的平分線，DE平分∠ADC交AC于E，則∠BDE=_________．10．（應(yīng)用題）如圖7-2-1-4是一個(gè)大型模板，設(shè)計(jì)要求BA與CD相交成30°角，DA與CB相交成20°角，怎樣通過測(cè)量∠A，∠B，∠C，∠D的度數(shù)，來檢驗(yàn)?zāi)０迨欠窈细瘢?1．（創(chuàng)新題）如圖，△ABC中，AD是BC上的高，AE平分∠BAC，∠B=75°，∠C=45°，求∠DAE與∠AEC的度數(shù)．12．（2005年，福建廈門）如圖，已知，在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．（1）若∠BAC=30°，求證：AD=BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度數(shù)．13．（易錯(cuò)題）在△ABC中，已知∠A=∠B=∠C，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)．培優(yōu)作業(yè)14．（探究題）（1）如圖，在△ABC中，∠A=42°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，求∠BDC的度數(shù)．（2）在（1）中去掉∠A=42°這個(gè)條件，請(qǐng)?zhí)骄俊螧DC和∠A之間的數(shù)量關(guān)系．15．（開放題）如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，作BC邊上的高AD，圖中出現(xiàn)多少個(gè)直角三角形？又作△ABD中AB邊上的高DD1，這時(shí)，圖中共出現(xiàn)多少個(gè)直角三角形？按照同樣的方法作下去，作出D1D2，D2D3，…，當(dāng)作出Dn-1Dn時(shí)，圖中共出現(xiàn)多少個(gè)直角三角形？答案:1．70°2．B3．904．C5．2806．60；607．解：設(shè)∠B=x，則∠A=x．由三角形內(nèi)角和定理，知∠C=180°-x．而∠A≤∠C≤∠B．所以x≤180°-x≤x．即80°≤x≤120°．8．解：設(shè)∠ABC=∠C=x°，則∠BAC=4x°．由三角形內(nèi)角和定理得4x+x+x=180．解得x=30．∴∠BAC=4×30°=120°．∠BAD=180°-∠BAC=180°-120°=60°．∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-60°=30°．點(diǎn)撥：∠ABD是Rt△BDA的一個(gè)銳角，若能求出另一個(gè)銳角∠DAB．就可運(yùn)用直角三角形兩銳角互余求得．9．132°點(diǎn)撥：因?yàn)椤螧AC=180°-∠B-∠C=180°-66°-54°=60°，且AD是∠BAC的平分線，所以∠BAD=∠DAC=30°．在△ABD中，∠ADB=180°-66°-30°=84°．在△ADC中，∠ADC=180°-54°-30°=96°．又DE平分∠ADC，所以∠ADE=48°．故∠BDE=∠ADB+∠ADE=84°+48°=132°．10．解：設(shè)計(jì)方案1：測(cè)量∠ABC，∠C，∠CDA，若180°-（∠ABC+∠C）=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同時(shí)成立，則模板合格；否則不合格．設(shè)計(jì)方案2：測(cè)量∠ABC，∠C，∠DAB，若180°-（∠ABC+∠C）=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°同時(shí)成立，則模板合格；否則不合格．設(shè)計(jì)方案3：測(cè)量∠DAB，∠ABC，∠CDA，若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，（∠BAD+∠ABC）-180°=20°同時(shí)成立，則模板合格；否則不合格．設(shè)計(jì)方案4：測(cè)量∠DAB，∠C，∠CDA，若（∠DAB+∠CDA）-180°=30°，180°-（∠C+∠CDA）=20°同時(shí)成立，則模板合格；否則不合格．點(diǎn)撥：這是一道幾何應(yīng)用題，借助于三角形知識(shí)分析解決問題，對(duì)形成用數(shù)學(xué)的意識(shí)解決實(shí)際問題是大有益處的．11．解法1：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠B=75°，∠C=45°，∴∠BAC=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=×60°=30°．∵AD是BC上的高，∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=90°-∠B=90°-75°=15°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=30°-15°=15°．在△AEC中，∠AEC=180°-∠C-∠CAE=180°-45°-30°=105°．解法2：同解法1，得出∠BAC=60°．∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=∠BAC=×60°=30°．∵AD是BC上的高，∴∠C+∠CAD=90°，∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=45°-30°=15°．∵∠AEC+∠C+∠EAC=180°，∴∠AEC+30°+45°=180°，∴∠AEC=105°．答：∠DAE=15°，∠AEC=105°．點(diǎn)撥：本節(jié)知識(shí)多與角平分線的定義，余角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形高的定義綜合應(yīng)用，有時(shí)也結(jié)合方程組、不等式等代數(shù)知識(shí)綜合應(yīng)用．求角的度數(shù)的關(guān)鍵是把已知角放在三角形中，利用三角形內(nèi)角和定理求解，或轉(zhuǎn)化為與已知角有互余關(guān)系或互補(bǔ)關(guān)系求解，有些題目還可以轉(zhuǎn)化為已知角的和或差來求解．12．（1）證明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°．∴∠BAC=∠ABD，∴BD=AD．（2）解法1：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°．∴（∠BAC+∠ABC）=45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠BAC，∠ABP=∠ABC；即∠BAP+∠ABP=45°，∴∠APB=180°-45°=135°．解法2：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°．∴（∠BAC+∠ABC）=45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∴∠DBC=∠ABC，∠PAC=∠BAC，∴∠DBC+∠PAD=45°．∴∠APB=∠PDA+∠PAD=∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°．13．解：由∠A=∠B=∠C知，∠B=3∠A，∠C=5∠A．設(shè)∠A=x°，則∠B=3x°，∠C=5x°．由三角形內(nèi)角和定理得x+3x+5x=180．解得x=20．∴3x=60，5x=100．∴∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°．點(diǎn)撥：解此類題，一般設(shè)較小的角為未知數(shù)．14．解：（1）∵∠A=42°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=138°．∵BD、CD平分∠ABC、∠ACB的平分線．∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB．∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=×138°=69°．∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-69°=111°．（2）∠BDC=90°+∠A．理由：∵BD、CD分別為∠ABC、∠ACB的平分線，∴∠DBC=∠ABC，∠DCB=∠ACB．∴∠DBC+∠DCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A）=90°-∠A．∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（90°-∠A）=90°+∠A．點(diǎn)撥：欲求∠BDC，只要求出∠DBC+∠DCB即可．15．解：作出BC邊上的高AD時(shí)，圖中出現(xiàn)3個(gè)直角三角形；作出△ABD中AB邊上的高DD1時(shí)，圖中出現(xiàn)5個(gè)直角三角形；作出Dn-1Dn時(shí)，圖中共出現(xiàn)（2n+3）個(gè)直角三角形．多邊形及其內(nèi)角和

目標(biāo)認(rèn)知

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1．了解多邊形，多邊形的對(duì)角線，正多邊形等有關(guān)的概念；

2．掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式；

3．靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問題，體驗(yàn)并掌握探索、歸納圖形性質(zhì)的推理方法，

進(jìn)一步培養(yǎng)說理和進(jìn)行簡(jiǎn)單推理的能力.

重點(diǎn)：

多邊形內(nèi)角和及外角和公式的靈活應(yīng)用.

難點(diǎn)：

1．多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo).

2．多邊形內(nèi)角和及外角和公式的應(yīng)用

知識(shí)要點(diǎn)梳理

知識(shí)點(diǎn)一：多邊形及有關(guān)概念

1、多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

（1）多邊形的一些要素：

邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊．

頂點(diǎn)：每相鄰兩條邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn)．

內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫多邊形的內(nèi)角，一個(gè)n邊形有n個(gè)內(nèi)角。

外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角。

（2）在定義中應(yīng)注意：

①一些線段（多邊形的邊數(shù)是大于等于3的正整數(shù)）；

②首尾順次相連，二者缺一不可;

③理解時(shí)要特別注意“在同一平面內(nèi)”這個(gè)條件,其目的是為了排除幾個(gè)點(diǎn)不共面的情況,即空間

多邊形.

2、多邊形的分類:

(1)多邊形可分為凸多邊形和凹多邊形，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果整個(gè)多邊形都在這

條直線的同一側(cè)，則此多邊形為凸多邊形，反之為凹多邊形（見圖1）.本章所講的多邊形都是指凸

多邊形.

凸多邊形凹多邊形

圖1

(2)多邊形通常還以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形．三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角

形是邊數(shù)最少的多邊形．

知識(shí)點(diǎn)二：正多邊形

各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形。如正三角形、正方形、正五邊形等。

正三角形正方形正五邊形正六邊形正十二邊形

要點(diǎn)詮釋：

各角相等、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形.

知識(shí)點(diǎn)三：多邊形的對(duì)角線

多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.如圖2，BD為四邊形ABCD的一條對(duì)角線。

要點(diǎn)詮釋：

(1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n－2)個(gè)三角形。

(2)n邊形共有條對(duì)角線。

證明：過一個(gè)頂點(diǎn)有n－3條對(duì)角線(n≥3的正整數(shù))，又∵共有n個(gè)頂點(diǎn)，∴共有n(n－3)條對(duì)角線，但過兩個(gè)不相鄰頂點(diǎn)的對(duì)角線重復(fù)了一次，∴凸n邊形，共有條對(duì)角線。

知識(shí)點(diǎn)四：多邊形的內(nèi)角和公式

1.公式：邊形的內(nèi)角和為.

2.公式的證明：

證法1：在邊形內(nèi)任取一點(diǎn)，并把這點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)連接起來，共構(gòu)成個(gè)三角形，這個(gè)三角形的內(nèi)角和為，再減去一個(gè)周角，即得到邊形的內(nèi)角和為.

證法2：從邊形一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線，可以作條對(duì)角線，并且邊形被分成個(gè)三角形，這個(gè)三角形內(nèi)角和恰好是邊形的內(nèi)角和，等于.

證法3：在邊形的一邊上取一點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)相連，得個(gè)三角形，邊形內(nèi)角和等于這個(gè)三角形的內(nèi)角和減去所取的一點(diǎn)處的一個(gè)平角的度數(shù)，

即.

要點(diǎn)詮釋：

(1)注意：以上各推導(dǎo)方法體現(xiàn)出將多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決的基礎(chǔ)思想。

(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：

①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；

②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。

知識(shí)點(diǎn)五：多邊形的外角和公式

1.公式：多邊形的外角和等于360°.

2.多邊形外角和公式的證明：多邊形的每個(gè)內(nèi)角和與它相鄰的外角都是鄰補(bǔ)角，所以邊形的內(nèi)角和加外角和為，外角和等于.注意：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無關(guān)。

要點(diǎn)詮釋：

(1)外角和公式的應(yīng)用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

(2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：

①n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))，可見多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加

1條邊，內(nèi)角和增加180°。

②多邊形的外角和等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān)。

知識(shí)點(diǎn)六：鑲嵌的概念和特征

1、定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類問題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)。這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同。

2、實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊。

3、常見的一些正多邊形的鑲嵌問題：

(1)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°。

(2)只用一種正多邊形鑲嵌地面

對(duì)于給定的某種正多邊形，怎樣判斷它能否拼成一個(gè)平面圖形，且不留一點(diǎn)空隙？解決問題的關(guān)鍵在于正多邊形的內(nèi)角特點(diǎn)。當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360°時(shí)，就能鋪成一個(gè)平面圖形。

事實(shí)上，正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，要求k個(gè)正n邊形各有一個(gè)內(nèi)角拼于一點(diǎn)，恰好覆蓋地面，這樣360°＝，由此導(dǎo)出k＝＝2＋，而k是正整數(shù)，所以n只能取3,4，6。因而，用相同的正多邊形地磚鋪地面，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用。

注意：任意四邊形的內(nèi)角和都等于360°。所以用一批形狀、大小完全相同但不規(guī)則的四邊形地磚也可以鋪成無空隙的地板，用任意相同的三角形也可以鋪滿地面。

(3)用兩種或兩種以上的正多邊形鑲嵌地面

用兩種或兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，關(guān)鍵是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題。例如，用正三角形與正方形、正三角形與正六邊形、正三角形與正十二邊形、正四邊形與正八邊形都可以作平面鑲嵌，見下圖：

又如，用一個(gè)正三角形、兩個(gè)正方形、一個(gè)正六邊形結(jié)合在一起恰好能夠鋪滿地面，因?yàn)樗鼈兊慕唤犹幐鹘侵颓『脼橐粋€(gè)周角360°。

規(guī)律方法指導(dǎo)

1．內(nèi)角和與邊數(shù)成正比：邊數(shù)增加，內(nèi)角和增加；邊數(shù)減少，內(nèi)角和減少.每增加一條邊，內(nèi)角的和

就增加180°（反過來也成立），且多邊形的內(nèi)角和必須是180°的整數(shù)倍.

2．多邊形外角和恒等于360°，與邊數(shù)的多少無關(guān).

3．多邊形最多有三個(gè)內(nèi)角為銳角，最少?zèng)]有銳角（如矩形）；多邊形的外角中最多有三個(gè)鈍角，最少

沒有鈍角.

4．在運(yùn)用多邊形的內(nèi)角和公式與外角的性質(zhì)求值時(shí)，常與方程思想相結(jié)合，運(yùn)用方程思想是解決本節(jié)

問題的常用方法.

5．在解決多邊形的內(nèi)角和問題時(shí)，通常轉(zhuǎn)化為與三角形相關(guān)的角來解決.三角形是一種基本圖形，是

研究復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，同時(shí)注意轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用.經(jīng)典例題透析

類型一：多邊形內(nèi)角和及外角和定理應(yīng)用

1．一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的5倍，它是幾邊形？

總結(jié)升華：本題是多邊形的內(nèi)角和定理和外角和定理的綜合運(yùn)用.只要設(shè)出邊數(shù)，根據(jù)條件列出關(guān)于的方程，求出的值即可，這是一種常用的解題思路.

舉一反三：

【變式1】若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和的總度數(shù)為1800°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).

【變式2】一個(gè)多邊形除了一個(gè)內(nèi)角外，其余各內(nèi)角和為2750°，求這個(gè)多邊形的內(nèi)角和是多少？

【變式3】個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。

類型二：多邊形對(duì)角線公式的運(yùn)用

2．某校七年級(jí)六班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)積分制（即每?jī)蓚€(gè)班都進(jìn)行一次比賽）.你能算出一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽嗎？

總結(jié)升華：對(duì)于其他學(xué)科問題要善于把它與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起，便于解決.

舉一反三：

【變式1】一個(gè)多邊形共有20條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是（）.

A．6B．7C．8D．9

【變式2】一個(gè)十二邊形有幾條對(duì)角線。

總結(jié)升華：對(duì)于一個(gè)n邊形的對(duì)角線的條數(shù)，我們可以總結(jié)出規(guī)律條，牢記這個(gè)公式，以后只要用相應(yīng)的n的值代入即可求出對(duì)角線的條數(shù)，要記住這個(gè)公式只有在理解的基礎(chǔ)之上才能記得牢。

類型三：可轉(zhuǎn)化為多邊形內(nèi)角和問題

3．如圖，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度數(shù).

總結(jié)升華：本題通過作輔助線，把∠A與∠G的和轉(zhuǎn)化為∠1與∠2的和，從而把問題變?yōu)榍笪暹呅蔚膬?nèi)角和運(yùn)算，“轉(zhuǎn)化思想”是解決本題的關(guān)鍵.

舉一反三：

【變式1】如圖所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________.

【變式2】如圖所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)。

類型四：實(shí)際應(yīng)用題

4．如圖，一輛小汽車從P市出發(fā)，先到B市，再到C市，再到A市，最后返回P市，這輛小汽車共轉(zhuǎn)了多少度角？

舉一反三：

【變式1】如圖所示，小亮從A點(diǎn)出發(fā)前進(jìn)10m，向右轉(zhuǎn)15°，再前進(jìn)10m，又向右轉(zhuǎn)15°，…，這樣一直走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn)時(shí)，一共走了__________m.

【變式2】小華從點(diǎn)A出發(fā)向前走10米，向右轉(zhuǎn)36°，然后繼續(xù)向前走10米，再向右轉(zhuǎn)36°，他以同樣的方法繼續(xù)走下去，他能回到點(diǎn)A嗎？若能，當(dāng)他走回點(diǎn)A時(shí)共走了多少米？若不能，寫出理由。

【變式3】如圖所示是某廠生產(chǎn)的一塊模板，已知該模板的邊AB∥CF，CD∥AE.按規(guī)定AB、CD的延長(zhǎng)線相交成80°角，因交點(diǎn)不在模板上，不便測(cè)量.這時(shí)師傅告訴徒弟只需測(cè)一個(gè)角，便知道AB、CD的延長(zhǎng)線的夾角是否合乎規(guī)定，你知道需測(cè)哪一個(gè)角嗎？說明理由.

類型五：鑲嵌問題

5．分別畫出用相同邊長(zhǎng)的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計(jì)圖。

(1)正方形和正八邊形；

(2)正三角形和正十二邊形；

(3)正三角形、正方形和正六邊形。

思路點(diǎn)撥：只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個(gè)周角，那么這些多邊形就能作平面鑲嵌。

總結(jié)升華：用兩種以上邊長(zhǎng)相等的正多邊形組合成平面圖形，實(shí)質(zhì)上是相關(guān)正多邊形“交接處各角之和能否拼成一個(gè)周角”的問題。

舉一反三：

【變式1】分別用形狀、大小完全相同的①三角形木板；②四邊形木板；③正五邊形木板；④正六邊形木板作平面鑲嵌，其中不能鑲嵌成地板的是()

A、①B、②C、③D、④

【變式2】用三塊正多邊形的木板鋪地，拼在一起并相交于一點(diǎn)的各邊完全吻合，其中兩塊木板的邊數(shù)都是8，則第三塊木板的邊數(shù)應(yīng)是()

A、4B、5C、6D、8

【變式3】（2010內(nèi)蒙古赤峰）下面平面圖形中，不能鑲嵌平面的圖形是（）

A．任意一個(gè)三角形B．任意一個(gè)四邊形

C．任意一個(gè)正五邊形D．任意一個(gè)正六邊形

學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

選擇題

1.多邊形的內(nèi)角和不可能是（）.

A.1800°B.540°C.800°D.360°

2.一個(gè)多邊形的內(nèi)角中,銳角的個(gè)數(shù)最多有().

A.3個(gè)B.4個(gè)C.5個(gè)D.6個(gè)

3.四邊形中,如果有一組對(duì)角都是直角,那么另一組對(duì)角可能().

A.都是鈍角;B.都是銳角

C.是一個(gè)銳角、一個(gè)鈍角D.是一個(gè)銳角、一個(gè)直角

4.若從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),最多可以引10條對(duì)角線,則它是().

A.十三邊形B.十二