數(shù)學(xué)畢業(yè)論文《行列式計(jì)算的若干種方法及算法實(shí)現(xiàn)》

PAGE4山西師范大學(xué)本科畢業(yè)論文行列式計(jì)算的若干種方法及算法實(shí)現(xiàn)姓名系別專業(yè)班級學(xué)號指導(dǎo)教師答辯日期成績

行列式計(jì)算的若干種方法及算法實(shí)現(xiàn)內(nèi)容摘要行列式是高等數(shù)學(xué)中基本而又重要的內(nèi)容之一，那么認(rèn)識行列式，并且掌握行列式的性質(zhì)就顯得尤為重要，在此基礎(chǔ)上，我們還需要搞清楚行列式的若干種計(jì)算方法，這不僅僅是用于高等數(shù)學(xué)中的計(jì)算，行列式也可用于解決許多實(shí)際問題。本文通過行列式的定義，把握行列式的性質(zhì)，透徹全面的概括了6種行列式的計(jì)算方法，包括定義法，化三角法，應(yīng)用一行（列）展開公式，范德蒙行列式，遞推公式法以及加邊，本文還提出運(yùn)用MATLAB來幫助計(jì)算行列式，正確的選擇計(jì)算行列式的方法，使計(jì)算更為快捷。通過這一系列的方法進(jìn)一步提高我們對行列式的認(rèn)識，為我們以后的學(xué)習(xí)帶來十分有益的幫助。【關(guān)鍵詞】行列式性質(zhì)計(jì)算方法MATLABThedeterminantofseveralkindsofcalculatingmethodandalgorithmAbstractThedeterminantofhighermathematicsisthebasicandimportantcontentof,thenknowthedeterminant,andgraspsthenatureofthedeterminantisparticularlyimportant,basedonthis,wealsoneedtofigureoutsomekindofcalculationmethodofthedeterminant,itisnotusedinthecalculationofhighermathematics,thedeterminantcanalsobeusedtosolvemanyproblems.Inthispaperthedeterminantdounderstandafter,graspthenatureofthedeterminant,thoroughlycomprehensivesummarysixkindsofdeterminantcalculationmethod,includingdefinitionmethod,thetrianglemethod,theapplicationofrow(column)onaformula,Vandermondedeterminants,recursiveformulamethodandaddedgemethod.ThispaperalsoputsforwardtohelpwithMATLABcalculationdeterminants;therightchoicecalculationmethodofthedeterminant,makingthecalculationismorequickly.Throughthisaseriesofmethodstofutureimproveourunderstandingofthedeterminant,fortherestoflearningbringsveryusefulhelp.【Keywords】DeterminantPropertiesCalculationmethodMATLAB目錄TOC\o"1-2"\u一、行列式概念的提出 1二、行列式的定義 1（一）定義1 2（二）定義2 2（三）定義3 2三、行列式的性質(zhì) 2四、行列式的若干種計(jì)算方法 4（一）定義法 4（二）化三角形法 5（三）應(yīng)用一行（列）展開公式 5（四）范德蒙行列式 5（五）遞推公式法 6（六）加邊法 7五、運(yùn)用MATLAB來解決行列式的問題 8六、結(jié)束語 13參考文獻(xiàn) 13致謝 14PAGE13行列式計(jì)算的若干種方法及算法實(shí)現(xiàn)學(xué)生姓名：指導(dǎo)老師：一、行列式概念的提出我們知道，行列式是高等代數(shù)中的一個(gè)計(jì)算工具，無論是數(shù)學(xué)中的高深領(lǐng)域，還是現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，都或多或少的與行列式有著直接或間接地關(guān)系。如：我們可以利用行列式求解線性方程組，或者，通過統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)建立關(guān)系來判斷其變化規(guī)律，來做出預(yù)測，還可以預(yù)知自然生態(tài)中物種的存活期等等的這些生活中的實(shí)際問題，都離不開行列式的參與。那么，了解行列式，認(rèn)識行列式，并且掌握行列式就顯得尤為重要。行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而引起了人們的注意，對其定義的提出需要追溯到十七世紀(jì)中期，是由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和德國數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨各自獨(dú)立提出，時(shí)間大致相同；十八世紀(jì)開始，行列式作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被廣泛研究,但并未形成統(tǒng)一的理論,符號記法也沒有得到很好的規(guī)范;在十九世紀(jì)，經(jīng)柯西、凱萊（ArthurCayley,1821-1895）和西爾維斯特（JamesJosephSylvester,1814-1897）等數(shù)學(xué)家的努力，行列式的理論進(jìn)一步的被人們認(rèn)識，并發(fā)展和完善李文林，數(shù)學(xué)史概論，高等教育出版社，2011年2月第三版，219-220.。李文林，數(shù)學(xué)史概論，高等教育出版社，2011年2月第三版，219-220.柯西于1812年在法蘭西學(xué)院發(fā)表了一篇行列式的相關(guān)論文，這篇文章于1815年在“綜合工科學(xué)校雜志”（Journaldel’ecolePolytechnipue）正式發(fā)表，柯西在這篇長達(dá)84頁的論文中，將貝祖，范德蒙德及萊布尼茨等人使用過的算式正式命名，并稱其為“行列式”。（在柯西之前，高斯的著作中曾經(jīng)出現(xiàn)過“行列式”這一名詞，但其文章中所謂的行列式實(shí)際是指二次型的“判別式”，他稱二元二次型的“判別式”為該二次型的“行列式”。）柯西把行列式作為一類函數(shù)來研究，他稱這類函數(shù)為“交錯(cuò)對稱函數(shù)”，意即對于任意的變量置換，這種函數(shù)只取兩個(gè)值，其絕對值相等而符號相反。這導(dǎo)致了幾乎是現(xiàn)代的行列式的定義。柯西還陳述了行列式的運(yùn)算法則，特別是證明了著名的行列式乘法原理，并從這個(gè)定理出發(fā)，推導(dǎo)出了一系列的漂亮而重要的結(jié)論?？挛魇状伟研辛惺降脑嘏懦煞疥?，并采用了雙足標(biāo)記法。在柯西的著作中一個(gè)階行列式記為?，F(xiàn)今通用的行列式記號則是凱萊于1841年在其“論位置幾何學(xué)的一條定理”（Onatheoremingeometryofposition）一文中首先創(chuàng)用?？挛鞯热说拇鷶?shù)行列式理論稍后被雅克比（CarlGustarJacobJacobi,1804-1851）推廣到行列式情形。雅克比的長篇論文《行數(shù)行列式》(1841）引進(jìn)了后以他名字命名的行列式——“雅克比行列式”，并將其卓有成效地應(yīng)用到函數(shù)組的相關(guān)性、多重積分的變量變換和偏微分方程的研究中。二、行列式的定義行列式是由一些數(shù)據(jù)排列成的方陣經(jīng)過規(guī)定的計(jì)算方法而得到的一個(gè)數(shù)。當(dāng)然，如果行列式中含有未知數(shù)，那么行列式就是一個(gè)多項(xiàng)式，它本質(zhì)上代表一個(gè)數(shù)值。我們所說的行列式包括二階行列式、三階行列式直至N階行列式，下面簡述行列式的定義，以方便后面的論述：定義1：階行列式，等于所有取自不同行不同列的個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，這里為自然數(shù)1,2，…，n的一個(gè)排列，每一項(xiàng)都按下列規(guī)則帶有符號：當(dāng)為偶排列時(shí)，帶有正號，當(dāng)為奇排列時(shí)，帶有負(fù)號。這一定義可以寫成，這里表示對所有級排列求和高等代數(shù)，高等教育出版社，2003年7月第3版，56-57.。高等代數(shù)，高等教育出版社，2003年7月第3版，56-57.定義2在一個(gè)排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么他們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。例如：2431中，21,43,41,31是逆序，2431的逆序數(shù)就是4，而45321的逆序數(shù)就是5.排列的逆序數(shù)記為（三）定義3逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列；逆序數(shù)是奇數(shù)的排列稱為奇排列。三、行列式的性質(zhì)通過上面的一些了解，我們知道直接用定義只能計(jì)算一些階數(shù)較低的行列式，對于一些階數(shù)較高的行列式，如果還是運(yùn)用定義來計(jì)算結(jié)果，那么工作量必會非常大，而且計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性也具有了一定的不確定性，那么這就需要我們通過嘗試來總結(jié)一些規(guī)律，明確行列式的性質(zhì)，運(yùn)用這些規(guī)律性質(zhì)來簡化計(jì)算。通過總結(jié)。我們得出行列式只要包括以下幾個(gè)性質(zhì)：性質(zhì)1：行列式D與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)2：把行列式D中某一行（列）的所有元素同乘以常數(shù)K，相當(dāng)于用數(shù)K乘這個(gè)行列式，即。依據(jù)上面的性質(zhì)2的倍法變換我們推導(dǎo)出了下面的兩個(gè)推論：推論1：一個(gè)行列式中某一行（列）所有元素的公因式可以提到行列式的符號外面。性質(zhì)3：交換行列式D中的某兩行（列），行列式改變符號。即設(shè)，則必有：D1=-D。根據(jù)行列式性質(zhì)三的換法變換，我們又能推導(dǎo)出兩個(gè)相關(guān)的結(jié)論，如下：推論2：如果行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則這個(gè)行列式等于零。性質(zhì)4：如果行列式中某一行（列）中的所有元素都可表成兩項(xiàng)之和，則該行列式可拆成兩個(gè)行列式之和。性質(zhì)5：把行列式中的某一行（列）的所有元素同乘以上一個(gè)數(shù)K再加到另一行（列）的對應(yīng)元素上，所得到的行列式與原來的行列式相等。即四、行列式的若干種計(jì)算方法計(jì)算行列式的方法是多種多樣的，我們只能是針對每個(gè)題的特征，來選取合適的計(jì)算方法求解?；镜男辛惺浇夥òǎ憾x法、化三角形法、應(yīng)用一行（列）展開公式、遞推公式法、加邊法等等。（一）定義法例1：計(jì)算行列式的值對于這樣的行列式，顯然我們可以用定義來得出結(jié)果。解:由行列式的定義可知：=1×4×4+2×2×2+1×3×6-1×4×2-2×3×4-1×2×6=-2.（二）化三角形法運(yùn)用行列式的性質(zhì)是計(jì)算行列式的一個(gè)重要途徑，大部分的行列式的計(jì)算都與它的性質(zhì)密不可分，現(xiàn)將給出的行列式化成上三角（下三角）的形式，再依據(jù)行列式的定義來計(jì)算得出結(jié)論。其計(jì)算步驟可歸納如下：有公因子的先提出公因子；進(jìn)行初等變換化成上三角（下三角）的行列式；由行列式的定義進(jìn)行計(jì)算。例2：計(jì)算下面行列式的值解：：在上述解法中，先用了運(yùn)算，其目的是把換成1，從而利用運(yùn)算，即可把變?yōu)?.如果不先做，則由于原式中，需用運(yùn)算把變?yōu)?，這樣計(jì)算時(shí)就比較麻煩。第二步把和寫在一起，這是兩次運(yùn)算，并把第一次運(yùn)算結(jié)果的書寫省略了。（三）應(yīng)用一行（列）展開公式應(yīng)用一行（列）展開應(yīng)遵循以下原則：N階行列式的某一行（列）的元素與另外一行（列）對應(yīng)的元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零。N階行列式的某一行（列）的元素與其代數(shù)余子式的乘積之和等于例3：計(jì)算解：由按照某一行（列）展開公式得=這與利用行列式的性質(zhì)計(jì)算做對比，顯然，按照某一行（列）展開更加簡便快捷，所以我們在應(yīng)對不同的題時(shí)，應(yīng)根據(jù)其題型特征，來選取最恰當(dāng)?shù)挠?jì)算方法。（四）范德蒙行列式我們會遇到形如這樣的式子，其中記號“”表示全體同類因子的乘積。例4：計(jì)算分析：通過觀察，發(fā)現(xiàn)此行列式類似于范德蒙行列式，為了得到一個(gè)范德蒙行列式，現(xiàn)添加.得到,明顯的，為的余子式，即的系數(shù)的相反數(shù)。由范德蒙行列式知：，所以的系數(shù)為故原行列式等于（五）遞推公式法在我們所熟知的領(lǐng)域中，遞推公式有著廣泛的運(yùn)用，在行列式中，我們運(yùn)用遞推法，按照行列式的某一行（列）展開，會產(chǎn)生階數(shù)比原行列式低但卻與原行列式有著相同類型的新的行列式，逐層降階后，最終計(jì)算出原行列式的值。遞推法常用的兩個(gè)公式包括：若時(shí)，則；若時(shí)，則（其中Ａ１Ａ２為待定系數(shù)）。在２中出現(xiàn)了兩個(gè)未知數(shù)，ｔ１ｔ２可以通過的兩根來確定。例5：計(jì)算階行列式解：把第一行展開得，即（六）加邊法有時(shí)為了計(jì)算行列式，特意把等階的行列式增加一行一列變?yōu)殡A行列式，再通過性質(zhì)化簡算出結(jié)果，這種方法稱為加邊法或升階法。當(dāng)然，加邊后必須是保值的，而且要使所得的高一階行列式較易計(jì)算。例6：計(jì)算,其中.解：加邊得加邊法最大的特點(diǎn)就是要找出每行或每列相同的因子，那么升階之后，就可利用的性質(zhì)把絕大部分元素化為零，然后再化為三角形行列式，這樣就達(dá)到了簡化計(jì)算的效果。五、運(yùn)用MATLAB來解決行列式的問題我們知道，線性代數(shù)是基于矩陣的運(yùn)算，而MATLAB語言就是一門矩陣運(yùn)算語言，因此，MATLAB提供了求解線性代數(shù)問題的強(qiáng)大功能，可以很方便的求解線性代數(shù)中的復(fù)雜問題。當(dāng)行列式的行和列相同時(shí)，就可以運(yùn)用MATLAB進(jìn)行矩陣的行列式操作。我們在計(jì)算行列式的過程中，對于一些階數(shù)較高，計(jì)算化解比較復(fù)雜的行列式，很難準(zhǔn)確判斷解決該行列式應(yīng)運(yùn)用哪種計(jì)算方法較為簡便，這時(shí)我們可以運(yùn)用強(qiáng)大地MATLAB計(jì)算功能，來幫助我們確定該行列式的類型判斷是否準(zhǔn)確。由于MATLAB已經(jīng)提供了det函數(shù)來求矩陣的行列式的值，但是針對一些比較有特點(diǎn)的行列式，我們選擇針對該類型行列式的計(jì)算語句來計(jì)算，會表現(xiàn)的更加迅速，快捷。這樣我們就可以通過計(jì)算的快慢來幫助我們驗(yàn)證對于該行列式我們所選取的計(jì)算方法是否準(zhǔn)確。通過實(shí)驗(yàn)，我們得出以下四種方法的計(jì)算程序，第一種是用matlab的矩陣計(jì)算語句計(jì)算，即用det函數(shù)來計(jì)算；第二種是化行列式為上三角行列式進(jìn)行計(jì)算；第三種是用按行展開降階的方法計(jì)算；第四種是從定義出發(fā)計(jì)算。以下即為該運(yùn)算過程的詳細(xì)程序。程序functionhnaglieshiclc;A=input('輸入矩陣：')[m,n]=size(A);fp=fopen('E:\data.txt','wt+');%在E盤創(chuàng)建并打開txt文本fprintf(fp,'%g',A);fclose(fp);ifm~=ndisp('error!行列不相等');elsejieshu=m%輸出矩陣的階數(shù)disp('*********計(jì)算行列式*********');%選擇菜單disp('1、用matlab的矩陣計(jì)算語句計(jì)算');disp('2、上三角行列式進(jìn)行計(jì)算');disp('3、遞歸方式計(jì)算');disp('4、定義計(jì)算');disp('5、退出');globalywhile6num=input('選擇求解行列式的方法：');switchnumcase1y=yujujisuan(A,n)case2y=triangle(A,n)case3y=f(A)case4y=dingyi(A)case5break;otherwisedisp('輸入錯(cuò)誤，請重新輸入!');endfp=fopen('data.txt','at+');%結(jié)果輸出到一個(gè)文本文件中存盤fprintf(fp,'%d',y);fclose(fp);endendend%==========================================用matlab的矩陣計(jì)算語句計(jì)算functiony=yujujisuan(A,n)y=det(A);end%==========================================化行列式為上三角行列式進(jìn)行計(jì)算functiony=triangle(A,n)an=0;fori=1:nb=0;forj=i:nifb<abs(A(j,i))b=abs(A(j,i));r=j;endendifr>ic=A(i,:);A(i,:)=A(r,:);A(r,:)=c;an=an+1;endfork=i+1:nA(k,:)=A(k,:)-(A(k,i)/A(i,i))*A(i,:);endendline=diag(A)';y=(-1).^an*prod(line);end%=====================================按行展開降階的方法（用遞歸方式）計(jì)算functiony=f(A)[n,n]=size(A);y=0;ifn==1y=A;elseforj=1:ny=y+A(1,j)*(-1)^(j+1)*f(A(2:n,setdiff(1:n,j)));endendend%===========================================定義計(jì)算functiony=dingyi(A)n=size(A);B=perms(1:n);%排列[s,m]=size(B);%排列種類sD1=0;fort=1:sa1=1;