2023高考真題知識總結(jié)方法總結(jié)題型突破：05 函數(shù)的奇偶性(對稱性)與周期性問題(學(xué)生版)

專題05函數(shù)的奇偶性(對稱性)與周期性問題【高考真題】1．(2022·全國乙文)若是奇函數(shù)，則_____，______．2．(2022·新高考Ⅱ)已知函數(shù)的定義域為R，且，則()A．B．C．0D．13．(2022·全國乙理)已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7．若y＝g(x)的圖像關(guān)于直線x＝2對稱，g(2)＝4．則()A．－21B．－22C．－23D．－244．(2022·新高考Ⅰ)已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，記，若，均為偶函數(shù)，則()A．B．C．D．【常用結(jié)論】1．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論結(jié)論1：如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有意義，那么f(0)＝0．結(jié)論2：如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．結(jié)論3：若函數(shù)y＝f(x＋b)是定義在R上的奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(b，0)中心對稱．結(jié)論4：若函數(shù)y＝f(x＋a)是定義在R上的偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a對稱．結(jié)論5：已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間D上的奇函數(shù)，則對任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0．特別地，若奇函數(shù)f(x)在D上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0．推論1：若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且g(x)＝f(x)＋c，則必有g(shù)(－x)＋g(x)＝2c．推論2：若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且g(x)＝f(x)＋c，則必有g(shù)(x)max＋g(x)min＝2c．結(jié)論6：在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇奇＝偶，偶偶＝偶，奇偶＝奇．結(jié)論7：奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．結(jié)論8：偶函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在其定義域內(nèi)關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．結(jié)論9：函數(shù)f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函數(shù)；函數(shù)f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函數(shù)；函數(shù)f(x)＝eq\f(ax＋1,ax－1)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)；結(jié)論10：函數(shù)f(x)＝logaeq\f(x－b,x＋b)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)；函數(shù)f(x)＝loga(eq\r(1＋m2x2)±m(xù)x)(a>0且a≠1)是奇函數(shù)．結(jié)論11：函數(shù)y＝f(x)是可導(dǎo)的奇函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)是偶函數(shù)；函數(shù)y＝f(x)是可導(dǎo)的偶函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)是奇函數(shù)；結(jié)論12：導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則所有的原函數(shù)y＝f(x)都是偶函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則原函數(shù)y＝f(x)中只有一個是奇函數(shù)；2．函數(shù)的對稱性(奇偶性的推廣)(1)函數(shù)的軸對稱定理1：如果函數(shù)y＝f(x)滿足f(x＋a)＝f(b－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對稱．推論1：如果函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＝f(a－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．推論2：如果函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＝f(－x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0（y軸）對稱，就是偶函數(shù)的定義，它是上述定理1的簡化．(2)函數(shù)的點對稱定理2：如果函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，b)對稱．推論1：如果函數(shù)y＝f(x)滿足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)對稱．推論2：如果函數(shù)y＝f(x)滿足f(x)＋f(－x)＝0，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(0，0)對稱，就是奇函數(shù)的定義，它是上述定理2的簡化．(3)兩個等價關(guān)系若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于直線x＝a軸對稱，則以下三式成立且等價：f(a＋x)＝f(a－x)f(2a－x)＝f(x)f(2a＋x)＝f(－x)若函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(a，0)中心對稱，則以下三式成立且等價：f(a＋x)＝－f(a－x)f(2a－x)＝－f(x)f(2a＋x)＝－f(－x)(4)原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的對稱性的關(guān)系定理1：可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱的充要條件是導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象關(guān)于點(a，0)中心對稱．定理2：可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(a，f(a))中心對稱的充要條件是導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．3．函數(shù)周期性常用的結(jié)論結(jié)論1：若f(x＋a)＝f(x－a)，則f(x)的一個周期為2a；結(jié)論2：若f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)的一個周期為2a；結(jié)論3：若f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，則f(x)的一個周期為2a；結(jié)論4：若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，則f(x)的一個周期為6a；結(jié)論5：若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則f(x)的一個周期為2a；結(jié)論6：若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，則f(x)的一個周期為2a；結(jié)論7：若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a與x＝b對稱，則f(x)的一個周期為2|b－a|．結(jié)論8：若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a，0)對稱，又關(guān)于點(b，0)對稱，則f(x)的一個周期為2|b－a|．結(jié)論9：若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a對稱，又關(guān)于點(b，0)對稱，則f(x)的一個周期為4|b－a|．結(jié)論10：若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，并且是周期為T的周期函數(shù)，則f′(x)也是的周期為T的周期函數(shù)；若函數(shù)f(x)可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)是周期為T的周期函數(shù)，且f(0)＝f(T)，則f(x)也是的周期為T的周期函數(shù)結(jié)論7—結(jié)論9的記憶：兩次對稱成周期，兩軸兩心二倍差，一軸一心四倍差．總規(guī)律：在函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性中，知二斷一．即這三條性質(zhì)中，只要已知兩條，則第三條一定成立．【同類問題】題型一函數(shù)的奇偶性與周期性1．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0＜x＜1時，f(x)＝4x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝()A．－2B．0C．2D．12．(2021·全國甲)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x＋1)為奇函數(shù)，f(x＋2)為偶函數(shù)，當x∈[1，2]時，f(x)＝ax2＋b．若f(0)＋f(3)＝6，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))等于()A．－eq\f(9,4)B．－eq\f(3,2)C．eq\f(7,4)D．eq\f(5,2)3．已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，f(x＋2)是偶函數(shù)，且當x∈(0，2]時，f(x)＝x，則f(－2022)＋f(2023)＝()A．－3B．－2C．1D．04．(多選)(2022·威海模擬)函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)與f(x－1)都是偶函數(shù)，則()A．f(x)是偶函數(shù)B．f(x)是奇函數(shù)C．f(x＋3)是偶函數(shù)D．f(x)＝f(x＋4)5．(多選)已知f(x)為奇函數(shù)，且f(x＋1)為偶函數(shù)，若f(1)＝0，則()A．f(3)＝0B．f(3)＝f(5)C．f(x＋3)＝f(x－1)D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝16．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x＋1)是偶函數(shù)，當x∈(2，4)時，f(x)＝|x－3|，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(2022)＝________．7．(多選)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[－2，0]上單調(diào)遞減，下面關(guān)于f(x)的判斷正確的是()A．f(0)是函數(shù)的最小值B．f(x)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱C．f(x)在[2，4]上單調(diào)遞增D．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱8．寫出一個同時滿足以下三個條件①定義域不是R，值域是R；②奇函數(shù)；③周期函數(shù)的函數(shù)解析式____________．9．函數(shù)y＝f(x)對任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(1，0)對稱，f(1)＝4，則f(2020)＋f(2021)＋f(2022)的值為________．題型二函數(shù)的奇偶性與對稱性10．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則以下函數(shù)中圖象一定關(guān)于點(－1，0)成中心對稱的是()A．y＝(x－1)f(x－1)B．y＝(x＋1)f(x＋1)C．y＝xf(x)＋1D．y＝xf(x)－111．已知函數(shù)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f(x)的周期為2，在[－1，0]上單調(diào)遞增，那么f(x)在[1，3]上()A．單調(diào)遞增B．單調(diào)遞減C．先增后減D．先減后增12．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，令a＝ln2，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))，c＝logeq\f(1,2)2，則f(a)，f(b)，f(c)的大小關(guān)系是()A．f(b)<f(c)<f(a)B．f(a)<f(c)<f(b)C．f(c)<f(b)<f(a)D．f(c)<f(a)<f(b)13．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，其圖象關(guān)于點(－2，0)對稱，且f(x)在[0，2)上單調(diào)遞增，則()A．f(11)<f(12)<f(21)B．f(21)<f(12)<f(11)C．f(11)<f(21)<f(12)D．f(21)<f(11)<f(12)14．寫出一個滿足f(x)＝f(2－x)的偶函數(shù)f(x)＝________．題型三函數(shù)的周期性與對稱性15．(多選)已知f(x)的定義域為R，其函數(shù)圖象關(guān)于直線x＝－3對稱且f(x＋3)＝f(x－3)，當x∈[0，3]時，f(x)＝2x＋2x－11，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)為偶函數(shù)B．f(x)在[－6，－3]上單調(diào)遞減C．f(x)的圖象關(guān)于直線x＝3對稱D．f(2023)＝－716．已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意實數(shù)x有f(x＋4)＝－f(x)，若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，f(－1)＝2，則f(2025)＝________．17．已知偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(2－x)＝0，下列說法正確的是()A．函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)B．函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)C．函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù)D．函數(shù)f(x－3)為偶函數(shù)18．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(1＋x)＝f(1－x)，當x∈[－1，1]時，f(x)＝x3－3x，則f(2023)等于()A．1B．－2C．－1D．219．已知函數(shù)f(x)滿足：f(x＋2)的圖象關(guān)于直線x＝－2對稱，且f(x＋2)＝eq\f(1,fx)，當2≤x≤3時，f(x)＝log2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(11,2)))，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(219,2)))的值為()A．2B．3C．4D．620．設(shè)函數(shù)f(x)為定義在R上的函數(shù)，對?x∈R都有：f(x)＝f(－x)，f(x)＝f(2－x)；且函數(shù)f(x)對?x1，x2∈[0，1]，x1≠x2，有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0成立，設(shè)a＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2023,2)))，b＝f(log43)，c＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))，則a，b，c的大小關(guān)系為________．21．(多選)已知奇函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(2＋x)＝f(2－x)，以下關(guān)于函數(shù)f(x)的說法正確的為()A．f(x)滿足f(8－x)＝f(x)B．8為f(x)的一個周期C．f(x)＝sineq\f(πx,4)是滿足條件的一個函數(shù)D．f(x)有無數(shù)個零點22．(多選)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(2－x)＝f(x)，當x∈[0，1]時，f(x)＝x3，則下列結(jié)論錯誤的是()A．f(2021)＝0B．2是f(x)的一個周期C．當x∈(1，3)時，f(x)＝(1－x)3D．f(x)＞0的解集為(4k，4k＋2)(k∈Z)題型四抽象函數(shù)23．設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，若f(8)＝3，則f(eq\r(2))＝________．24．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，則f(4)＝________．25．(多選)定義在R上的函數(shù)f