導(dǎo)數(shù)綜合解答題專項(xiàng)練習(xí) 學(xué)案-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教Ａ版選修2-2

第12頁(yè)（共12頁(yè)）導(dǎo)數(shù)解答題練習(xí)1．已知函數(shù)f（x）＝lnx+x+1，g（x）＝x2+2x．（1）求函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）的極值；（2）若m為整數(shù)，對(duì)任意的x＞0都有f（x）﹣mg（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．2．設(shè)函數(shù)f（x）＝（x2+m）ex．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若g（x）＝2ex﹣nx﹣1﹣f（x），當(dāng)m＝1，且x≥0時(shí)，g（x）≤0，求n的取值范圍．3．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx+2，g（x）＝（a﹣1）lnx．（Ⅰ）若a＞0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．4．已知函數(shù)f（x）＝，（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）證明：a＝1時(shí)，f（x）+g（x）﹣（1+）lnx＞e．5．設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx﹣+a﹣x（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若a＝2，k∈N，g（x）＝2﹣2x﹣x2，且當(dāng)x＞2時(shí)不等式k（x﹣2）+g（x）＜f（x）恒成立，試求k的最大值．6．已知函數(shù)f（x）＝ex（2x﹣1），g（x）＝ax﹣a（a∈R）．（1）若y＝g（x）為曲線y＝f（x）的一條切線，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范圍．答案解析1．已知函數(shù)f（x）＝lnx+x+1，g（x）＝x2+2x．（1）求函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）的極值；（2）若m為整數(shù)，對(duì)任意的x＞0都有f（x）﹣mg（x）≤0成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．【分析】（1）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx+1﹣x2﹣x．（x∈（0，+∞））．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．（2）令f（x）﹣mg（x）≤0成立，g（x）＝x2+2x＞0．m≥，令u（x）＝，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值即可得出．【解答】解：（1）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx+x+1﹣x2﹣2x＝lnx+1﹣x2﹣x．（x∈（0，+∞））．h′（x）＝﹣2x﹣1＝．可知：當(dāng)x＝時(shí)，函數(shù)h（x）取得極大值，h（）＝ln+1﹣﹣＝﹣ln2+．h（x）無(wú)極小值．（2）令f（x）﹣mg（x）≤0成立，g（x）＝x2+2x＞0．∴m≥，令u（x）＝，u′（x）＝，令v（x）＝x+2lnx，則v（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞增．v（）＝﹣2ln2＜0，v（1）＝1＞0．∴函數(shù)v（x）存在唯一零點(diǎn)x0∈，使得x0+2lnx0＝0．∴u（x）存在極大值即最大值，u（x0）＝＝∈，∴m≥1．∴整數(shù)m的最小值為1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式的性質(zhì)與解法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．2．設(shè)函數(shù)f（x）＝（x2+m）ex．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若g（x）＝2ex﹣nx﹣1﹣f（x），當(dāng)m＝1，且x≥0時(shí)，g（x）≤0，求n的取值范圍．【分析】（1）對(duì)f（x）求導(dǎo)后，再令h（x）＝x2+2x+m，Δ＝4﹣4m，接下來(lái)分△≤0及Δ＞0兩種情況討論得出結(jié)論；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)g（x）的最大值，只需其最大值小于等于0即可，進(jìn)而求得n的取值范圍．【解答】解：（1）依題得，f（x）定義域?yàn)镽，f′（x）＝（x2+2x+m）ex，ex＞0，…（1分）令h（x）＝x2+2x+m，Δ＝4﹣4m，①若△≤0，即m≥1，則h（x）≥0恒成立，從而f′（x）≥0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)m＝1，x＝﹣1時(shí)，f′（x）＝0，所以f（x）在R上單調(diào)遞增…（2分）②若Δ＞0，即m＜1，令h（x）＝0，得或，當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，…（3分）當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，…（4分）綜合上述：當(dāng)m≥1時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增；當(dāng)m＜1時(shí)，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞減，f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增…（5分）（2）依題意可知：g（x）＝2ex﹣nx﹣1﹣f（x）＝ex﹣x2ex﹣nx﹣1…（6分）令x＝0，可得g（0）＝0，…（7分），g′（x）＝（1﹣x2﹣2x）ex﹣n，設(shè)h（x）＝（1﹣x2﹣2x）ex﹣n，則h′（x）＝﹣（x2+4x+1）ex，…（8分）當(dāng)x≥0時(shí)，h′（x）＜0，g′（x）單調(diào)遞減，…（9分）故g′（x）≤g′（0）＝1﹣n，…（10分）要使g（x）≤0在x≥0時(shí)恒成立，需要g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，所以需要g′（x）≤1﹣n≤0，…（11分）即n≥1，此時(shí)g（x）≤g（0）＝0，故n≥1，綜上所述，n的取值范圍是[1，+∞）．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，最值，考查不等式的恒成立問(wèn)題，考查分類討論思想，邏輯推理能力，屬于中檔題．3．已知函數(shù)f（x）＝ax2﹣（a+2）x+lnx+2，g（x）＝（a﹣1）lnx．（Ⅰ）若a＞0，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若對(duì)任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥g（x），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【分析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類，利用導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)函數(shù)的定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)可得原函數(shù)的單調(diào)性．（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x），則h（x）＝ax2﹣（a+2）x+（2﹣a）lnx+2，h（1）＝0，可得對(duì)任意的x∈[1，+∞），都有h（x）≥0，由其必要條件是h'（1）≥0求得，驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）＝0，符合要求；然后分析當(dāng)和a≤0時(shí)不符合要求即可．【解答】解：（Ⅰ），①若0＜a＜2，由f'（x）＞0，可得或，由f'（x）＜0，可得，∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；②若a＝2，則，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；③若a＞2，由f'（x）＞0，可得或，由f'（x）＜0，可得時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上可知，0＜a＜2時(shí)，f（x）在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，a＝2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，a＞2時(shí)，f（x）在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣g（x），則h（x）＝ax2﹣（a+2）x+（2﹣a）lnx+2，h（1）＝0，若對(duì)任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥g（x），即都有h（x）≥0，其必要條件是h'（1）≥0，＝，∵x≥1，∴由h'（1）≥0，可得2a×1+a﹣2≥0，得，①當(dāng)時(shí)，∵x≥1，∴，∴h'（x）≥0，此時(shí)h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）＝0，符合要求；②當(dāng)時(shí)，，∵x≥1，x﹣1≥0，∴由h'（x）＜0，得，此時(shí)h（x）在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，h（x）＜h（1）＝0，不合要求，舍去；③當(dāng)a≤0時(shí)，2ax+a﹣2＜0，h'（x）＜0，h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h（x）＜h（1）＝0，不合要求，舍去．綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論是數(shù)學(xué)思想方法，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬難題．4．已知函數(shù)f（x）＝，（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）證明：a＝1時(shí)，f（x）+g（x）﹣（1+）lnx＞e．【分析】（1）f（x）＝+alnx，（x∈（0，+∞））．f′（x）＝﹣+＝．對(duì)a分類討論即可得出函數(shù)點(diǎn)單調(diào)性．（2）a＝1時(shí)，f（x）+g（x）﹣（1+）lnx＞e．即：+﹣lnx﹣e＞0?ex﹣ex+1＞．x∈（0，+∞）．令F（x）＝ex﹣ex+1，G（x）＝，分別研究其單調(diào)性即可得出．【解答】（1）解：f（x）＝+alnx，（x∈（0，+∞））．f′（x）＝﹣+＝．a(chǎn)≤0時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減．a(chǎn)＞0時(shí)，f′（x）＝．可得函數(shù)f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增．（2）證明：a＝1時(shí)，f（x）+g（x）﹣（1+）lnx＞e．即：+﹣lnx﹣e＞0?ex﹣ex+1＞．x∈（0，+∞）．令F（x）＝ex﹣ex+1，F(xiàn)′（x）＝ex﹣e，x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＝ex﹣e，x∈（0，1）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)F（x）單調(diào)遞減；x∈（1，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)F（x）單調(diào)遞增．可得x＝1時(shí)，函數(shù)F（x）取得極小值即最小值，F(xiàn)（1）＝1．令G（x）＝，G′（x）＝，可得x＝e時(shí)，函數(shù)G（x）取得最大值，G（e）＝1．1與e不同時(shí)取得，因此F（x）＞G（x），即ex﹣ex+1＞．x∈（0，+∞）．故原不等式成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、方程與不等式解法、分類討論方法、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．5．設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx﹣+a﹣x（a∈R）．（1）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若a＝2，k∈N，g（x）＝2﹣2x﹣x2，且當(dāng)x＞2時(shí)不等式k（x﹣2）+g（x）＜f（x）恒成立，試求k的最大值．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到a＝，令h（x）＝，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）代入a的值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k＜，令F（x）＝（x＞2），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．【解答】解：（1）由題意知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）＝lnx﹣ax，令f′（x）＝0，可得lnx﹣ax＝0，∴a＝，令h（x）＝，則由題可知直線y＝a與函數(shù)h（x）的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，h′（x）＝，令h′（x）＝0，得x＝e，可知h（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減，h（x）max＝h（e）＝，當(dāng)x趨向于+∞時(shí)，h（x）趨向于零，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，）．（2）當(dāng)a＝2時(shí)，f（x）＝xlnx﹣x2+2﹣x，k（x﹣2）+g（x）＜f（x），即k（x﹣2）＜xlnx+x，因?yàn)閤＞2，所以k＜，令F（x）＝（x＞2），則F′（x）＝，令m（x）＝x﹣4﹣2lnx（x＞2），則m′（x）＝1﹣＞0，所以m（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增，m（8）＝4﹣2ln8＜4﹣lne2＝0，m（10）＝6﹣2ln10＞6﹣2lne3＝0，故函數(shù)m（x）在（8，10）上唯一的零點(diǎn)x0，即x0﹣4﹣2lnx0＝0，故當(dāng)2＜x＜x0時(shí)，m（x）＜0，即F′（x）＜0，當(dāng)x0＜x時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，所以F（x）min＝F（x0）＝＝＝，所以k＜，因?yàn)閤0∈（8，10），所以∈（4，5），所以k的最大值為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道綜合題．6．已知函數(shù)f（x）＝ex（2x﹣1），g（x）＝ax﹣a（a∈R）．（1）若y＝g（x）為曲線y＝f（x）的一條切線，求a的值；（2）已知a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＜g（x0），求a的取值范圍．【分析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)（m，n），求得切線的斜率，由切線的方程，可得a＝em（2m+1），又n＝am﹣a＝em（2m﹣1），解方程可得a的值；（2）函數(shù)f（x）＝ex（2x﹣1），g（x）＝ax﹣a，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0使得f（x0）在直線y＝ax﹣a的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，數(shù)形結(jié)合可得﹣a＞f（0）＝﹣1且f（﹣1）＝﹣3e﹣1≥﹣a﹣a，解關(guān)于k的不等式組可得．【解答】解：（1）f′（x）＝ex（2x﹣1）+2ex＝ex（2x+1），設(shè)切點(diǎn)為（m，n），由題意可得a＝em（2m+1），又n＝am﹣a＝em（2m﹣1），解方程可得，a＝1或4；（2）函數(shù)f（x）＝ex（2x﹣1