有理數(shù)科學(xué)計(jì)數(shù)法

一、有理數(shù)㈠、負(fù)數(shù)的引入同學(xué)們，你能用數(shù)表示零5度，零下2度，地上2層，地下二層，高于海平面4000米，低于海平面400米嗎？大家發(fā)現(xiàn)，我們小學(xué)學(xué)過(guò)的自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)已經(jīng)不能滿足實(shí)際的需要。比如一些相反意義的量：收入200元和支出100元，零上6℃和零下4℃等，它們不但意義相反，而且表示一定的數(shù)量。怎樣表示他們呢？我們把一種意義的量規(guī)定是正的，把另一種和它意義相反的量規(guī)定為負(fù)的，這樣就產(chǎn)生了正數(shù)和負(fù)數(shù)。用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量時(shí)，哪種意義為正，是可以根據(jù)需要，任意選擇，規(guī)定哪種意義的量為正數(shù)，那么具有相反意義的量就為負(fù)數(shù)。習(xí)慣上把“前進(jìn)，上升，收入，零上溫度”等規(guī)定為正。而把“后退，下降，支出，零下溫度”等規(guī)定為負(fù)。正號(hào)可以省略，4000，+4000.正數(shù)和負(fù)數(shù)1、概念：正數(shù)大于0的數(shù)3,589，1，0.3，1/2負(fù)數(shù)在正數(shù)前加“-”的數(shù)，負(fù)數(shù)比0小。-3,-589，-1，-0.3，-1/2零不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。0不僅僅可以表示沒(méi)有，引入負(fù)數(shù)后，0可以表一個(gè)具體確切意義的量，比如說(shuō)我們?cè)诙旖?jīng)常會(huì)遇到溫度為0℃，它并不是表示沒(méi)有，它表示的溫度就是0度。為什么引入負(fù)數(shù)，通過(guò)正數(shù)和負(fù)數(shù)來(lái)表示相反意義的量。方向東西走5，向西走-3，家庭收入與支出。②、注意：1)、為了強(qiáng)調(diào)，正數(shù)前面有時(shí)可以加上“+”（讀作正）號(hào)，例如：6,1.5,5/6也可以寫作+6，+1.5，+5/62)、對(duì)于正數(shù)和負(fù)數(shù)的概念，不能簡(jiǎn)單理解為;帶“+”號(hào)的數(shù)是正數(shù)，帶“-”負(fù)號(hào)的數(shù)是負(fù)數(shù)，例如a一定是負(fù)數(shù)嗎？不一定。A=3,-a=-3a=0,-a=0a=-3-(a)=3不能認(rèn)為有負(fù)號(hào)就是負(fù)數(shù)例1：下面（1）不帶“-”號(hào)的數(shù)都是正數(shù)；（2）帶“-”號(hào)的數(shù)一定是負(fù)數(shù)（3）不存在既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)的數(shù)（4）0度表示沒(méi)有溫度，其中正確的有幾個(gè)（）。A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)02、-（-3）4、溫度計(jì)測(cè)量㈡、正負(fù)數(shù)的意義用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量；如果正數(shù)表示某種意義，那么負(fù)數(shù)表示它的相反的意義，反之亦然。譬如：用正數(shù)表示向南，向北3km,則可以用分?jǐn)?shù)表示-3km.“相反意義的量”包括兩個(gè)方面的含量：一是相反意義，二是相反意義的基礎(chǔ)上要有量。例2：1、某人轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，如果+2圈表示沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)2圈，那么-3圈表示（）？2、在某次數(shù)學(xué)質(zhì)量分析中，如果某學(xué)生的成績(jī)超過(guò)平均分5分記作+5，那么-10分表示（）；若班級(jí)的平均分為80分，則記作-10分的同學(xué)得分是（）分；若班級(jí)平均分是72分，則記作-10分的同學(xué)實(shí)際得分是（）分？3、學(xué)校、家、書店，依次坐落在一條南北走向的大街上，學(xué)校在家的南邊20米，書店在家的北邊70米，小明同學(xué)從家出發(fā)，向北走了50米，接著又向南走了-20米，此時(shí)小明的位置是（）。A．在家B在書店C在學(xué)校D在家的北邊30米處a,b互為相反數(shù)1、a+b=02、a=-b3、若a≠0,a㈢、有理數(shù)3.1、有理數(shù)的概念整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)3.2、有理數(shù)的分類①、按符號(hào)分：正整數(shù)正有理數(shù)正分?jǐn)?shù)有理數(shù)零0負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)②、按定義分：正整數(shù)整數(shù)0有理數(shù)負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)非正數(shù)，非負(fù)數(shù)整數(shù)：正整數(shù)，0負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)，負(fù)分?jǐn)?shù)12,115,0.3,0.1206,0.小數(shù)：十進(jìn)制分?jǐn)?shù)。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以互化。上述的小數(shù)都可以有分?jǐn)?shù)來(lái)表示。所以我們把有限小數(shù)和無(wú)限小數(shù)都看作分?jǐn)?shù)。循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)純循環(huán)小數(shù)是從小數(shù)部分第一位開始循環(huán)的小數(shù),例如0.22222……，0.23

循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的,叫混循環(huán)小數(shù),例如2.356，0.123456，0.3純循環(huán)小數(shù)是從十分位開始循環(huán)的小數(shù),如0.33333333...(1/3),0.1428571428571(1/7)等,純循環(huán)小數(shù)個(gè)位可為非零自然數(shù)（自然數(shù)包括0）。0.0.6X10=6.666……….（10.6=0.666……….（2）（1）-（2）得0.6X9=6所以=6注：有時(shí)候?yàn)榱艘恍┑男枰?，整?shù)也可以看做是分母為1的數(shù)。具體看結(jié)果。4/2長(zhǎng)得像分?jǐn)?shù)，實(shí)際是整數(shù)，看最后③、無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)二、數(shù)軸㈠、數(shù)軸的定義：規(guī)定了原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度的的直線。（三要素），通常整數(shù)寫在原點(diǎn)的右方，負(fù)數(shù)寫在原點(diǎn)的左方。a,-a.左邊是負(fù)數(shù)，右邊是正數(shù)，X12V-101X-104單位長(zhǎng)度要統(tǒng)一，三要素，缺一不可。正方向（一般為向右為正），單位長(zhǎng)度大小的確定，都是根據(jù)實(shí)際需要規(guī)定的，但同一數(shù)軸上的單位長(zhǎng)度必須一致。例：2008年8月第29屆運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京開幕，5個(gè)城市的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間（單位：時(shí)）在數(shù)軸上表示如圖所示，那么北京時(shí)間2008年8月8日20時(shí)應(yīng)是（）。

紐約倫敦巴黎北京首爾-501289

A、倫敦時(shí)間2008年8月8日11時(shí)8月8日12時(shí)B、巴黎時(shí)間2008年8月8日13時(shí)8月8日13時(shí)

C、紐約時(shí)間2008年8月8日5時(shí)8月8日7時(shí)

D、首爾時(shí)間2008年8月8日19時(shí)8月8日21時(shí)三、絕對(duì)值㈠、相反數(shù)代數(shù)定義：兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，則稱其中一個(gè)數(shù)為另一個(gè)數(shù)的相反數(shù)。也稱兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。特別的，0的相反數(shù)是0.2？m?m表示任意的一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)或0，0?一般的，數(shù)a的相反數(shù)是-a.這里a表示任意的一個(gè)數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0.②、幾何意義，位于原點(diǎn)的2側(cè)，并且到原點(diǎn)距離相等的2個(gè)點(diǎn)表示的數(shù)。稱為互為相反數(shù)。關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱。在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)，位于原點(diǎn)的兩側(cè)且與原點(diǎn)距離相等。-3-(-3)-[-(-3)]+{-[-(+3)]}多重符號(hào)化簡(jiǎn)，正號(hào)不影響最終結(jié)果，偶數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)不影響最終的結(jié)果，奇數(shù)個(gè)負(fù)號(hào)最終只要保留一個(gè)負(fù)號(hào)就可以了。③、比較兩個(gè)數(shù)的大小規(guī)定，數(shù)軸上的數(shù)越往右，數(shù)越大例3、若自行車條長(zhǎng)度比標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度長(zhǎng)2mm,記作+2mm,則比標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度短2mm,記作（-2mm）恰好等于標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度，記作（）。向東走-6米，實(shí)際是向（）走（）米。把下列各數(shù)分類13,-5，0.49，8，0，3.14,227,-3.28,+300%,-10正整數(shù)：8，+300%,1萬(wàn)負(fù)整數(shù)-5，-10分?jǐn)?shù)13，0.49，3.14,整數(shù)負(fù)數(shù)-5，-3.28,-106）正數(shù)130.49，8，3.14,22已知有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置，如圖，比較a,b,-a,-b的大小a0b已知3m-2與-7互為相反數(shù)，求m?解：由題意，3m-2=-7m=3㈡、絕對(duì)值3.2.1概念：數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫（讀）作a的絕對(duì)值，記作|a|>=0當(dāng)a為正數(shù)時(shí)，|a|=a負(fù)|a|=-a0|a|=0

若|a|=a，則a為正數(shù)或0；|a|=-a，則a為負(fù)數(shù)或0；絕對(duì)值具有非負(fù)性。3.2.2、比較大?、佟⒄龜?shù)大于0,0大于負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而?、?、負(fù)數(shù)的比較：先分別求出兩個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值比較兩個(gè)絕對(duì)值的大小根據(jù)”兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的反而小”例4有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|c-b|+|a-c|+|b+c|+|a+b|解：由圖可知，c<b<0<a|c|>|b|>|a|c-2b-10a1原式=-(c-b)+(a-c)+[-(b+c)]+[-(a+b)]=b-c+a-c+(-b)+(-c)+(-a)+(-b)=-b-3c例5若|a-1|+|b-2|=0,求a+b的值解;因?yàn)閨a-1|≥0,|b-2|≥0,又|a-1|+|b-2|=0所以|a-1|=0,|b-2|=0,所以a-1=0b-2=0即a=1,b=2得a+b=1+2=3例6若|m|=|n|,則m,n的關(guān)系為（m=n或m=n）若|-a|=4,則a為（±4）若x≠0,則|x|x=（±1V、總結(jié)：一、正數(shù)和負(fù)數(shù)負(fù)數(shù)的引入正數(shù)和負(fù)數(shù)二、有理數(shù)有理數(shù)概念有理數(shù)分類認(rèn)識(shí)數(shù)軸三、數(shù)軸有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小四、相反數(shù)相反數(shù)的表示法多重符號(hào)化簡(jiǎn)五、絕對(duì)值認(rèn)識(shí)絕對(duì)值利用絕對(duì)值比較有理數(shù)的大小四、有理數(shù)的加減法㈠、加法運(yùn)算法則①、同號(hào)的兩數(shù)相加,取相同的符號(hào),并把它們的絕對(duì)值相加,(-2)+(-3)=(-5)②、異號(hào)數(shù)相加絕對(duì)值不相等的兩個(gè)異號(hào)數(shù)相加.取絕對(duì)值較大數(shù)的符號(hào),并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值,作為結(jié)果.③、互為相反的兩個(gè)數(shù)的和為0④、任何一個(gè)數(shù)與0相加,仍為這個(gè)數(shù).㈡、減法運(yùn)算法則減去一個(gè)數(shù),等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù).㈢、加減法混合運(yùn)算4.3.1、加法的運(yùn)算律：交換律結(jié)合律4.3.2、步驟：①、運(yùn)用減法法則將有理數(shù)混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法②、寫成省略加號(hào)，括號(hào)的各數(shù)和的形式.③、運(yùn)用加法法則，交換律，結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。4.3.3、計(jì)算例1、（-0.125）+（+5）+（-7）+（+18）+（+2-0.1-（-813）+（+1123）-（-134+（-6.5）+338+（-1.75）例2、某公路檢修隊(duì)乘車從A地出發(fā),在南北走向的公路上檢修道路,規(guī)定向南為正,向北為負(fù),從出發(fā)到收工所行駛的路程記錄為(單位:千米)+2,-8,+5,+7,-8,+6,-7,+12（1）收工時(shí),檢修隊(duì)在A地哪邊，距A地多遠(yuǎn)？（2）汽車行駛中，每走1千米耗油0.2升，則檢修對(duì)從A地出發(fā)到收工時(shí)，共耗油多少升？解：（1）(+2)+(-8)+(+5)+(+7)+(-8)+(+6)+(-7)+(12)=(2+5+7+6+12)+[(-8)+(-8)+(-7)]=9收工時(shí)，檢修隊(duì)在A地的南邊，距A地9km.（2）需求實(shí)際路程，絕對(duì)值之和：|+2|+|-8|+|+5|+|+7|+|-8|+|+6|+|-7|+|12|=55km共耗油：55x0.2=11升若|a|=21,|b|=27且|a+b|=-(a+b),求a-b的值解：∵|a|=21,|b|=27∴a=±21,b=±27∵|a+b|=-(a+b)∴a+b≤0∴a=21,b=-27或a=-21,b=-27當(dāng)a=21,b=-27時(shí)，a-b=21–(-27)=48當(dāng)a=-21,b=-27時(shí)，a-b=-21–(-27)=6五、有理數(shù)的乘法㈠、乘法法則兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。任何數(shù)同0相乘都得0.如果兩個(gè)數(shù)的積為1我們把這兩個(gè)數(shù)稱為互為倒數(shù)。多個(gè)有理數(shù)相乘，積的結(jié)果取決于負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)。積的絕對(duì)值等于各因數(shù)的絕對(duì)值的積。㈡、運(yùn)算律交換律axb=bxa兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置積不變結(jié)合律(ab)c=ax(bc)三個(gè)數(shù)相乘先把前2個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積不變分配率a(b+c)=ab+ac一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和的積等于把這個(gè)數(shù)分別和這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。根據(jù)乘法的運(yùn)算律，三個(gè)或三個(gè)以上的數(shù)相乘，可以任意交換因數(shù)的位置，也可以將幾個(gè)因數(shù)結(jié)合在一起先乘，所以積不變。乘法和加法的分配率對(duì)于兩個(gè)以上的數(shù)相加的情形仍然成立，即a(b+c+…+m)=ab+ac+…+am.六、有理數(shù)的除法㈠、倒數(shù)倒數(shù)：用1除以一個(gè)非0的數(shù)，商就是這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負(fù)數(shù)的倒數(shù)是負(fù)數(shù)，0沒(méi)有倒數(shù)。㈡、除法法則除以一個(gè)不為0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。a÷b=ax1bb表示方法2：兩數(shù)相除同號(hào)得正異號(hào)得負(fù)并把絕對(duì)值相除。0除以任何一個(gè)不為0的數(shù)都為0。例一、(+317)x(317-713(-7)x(-1419)+13x(-1419)-6x(-3-[-5+(1-0.2x35)÷(-2)例二、已知a,b互為倒數(shù)，c,d互為相反數(shù)，|m|=5,求abm+c+d+m解：∵a,b互為倒數(shù)∴ab=1∵c,d∵∴m=5,當(dāng)m=5時(shí)，abm+c+d+m=1當(dāng)m=5時(shí)，abm+c+d+m=-15+0+（符號(hào)相關(guān)例三、（1）若|x|=4,|y|=12且xy<0,則x(2)若–xyz>0且x與z異號(hào)，則(y>0)(3)若ab>0bc<0,則ac(<)0多個(gè)有理數(shù)相乘（除），積的結(jié)果取決于負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，積為負(fù)數(shù)，當(dāng)負(fù)因數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，積為正數(shù)。積的絕對(duì)值等于各個(gè)因數(shù)的絕對(duì)值的乘積。七、有理數(shù)乘方㈠、乘方①、定義：求幾個(gè)相同因式的乘積的運(yùn)算。乘方的結(jié)果叫冪。3x3x3x3=3對(duì)任意數(shù)統(tǒng)稱為ana叫作底數(shù)，n叫作當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或者是分?jǐn)?shù)時(shí)，要打括號(hào)。（(-2)5）43一個(gè)數(shù)可以看做它本身的一次方，指數(shù)通常省略不寫。31當(dāng)?shù)讛?shù)是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，必須用括號(hào)將底數(shù)括起來(lái)。負(fù)數(shù)的乘方與乘方的相反數(shù)不同。②、有理數(shù)乘方法則負(fù)數(shù)的奇次冪為負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶數(shù)冪是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)0的任何次冪都是0(-2)3）23互為相反數(shù)的奇次冪仍互為相反數(shù)。③、有理數(shù)混合運(yùn)算的法則，先乘方，在乘除，最后加減；同級(jí)運(yùn)算我們按照從左到右的順序進(jìn)行；有括號(hào)的要先算括號(hào)里面的，并且按照從小括號(hào)，到中括號(hào)再到大括號(hào)的順序來(lái)進(jìn)行。㈡、計(jì)算例一、（1）0.25x(-2)3-[4（2）-14-1-0.5x(3)(0.5)2007x例二、已知(a-2)2+|b-5|=0,求(解：∵(a-2)2≥0∴a-2=0,b-5=0(-a)3x(-b)例二：若a+2b=0,求-(ba)解：∵a+2b=0∴a=-2b-(ba)3=-例三、已知x,y互為倒數(shù)，且絕對(duì)值相等，求(-x)n-(y解：∵xy=1且|x|=|y|∴x=y=1或x=y=-11)、若x=y=1若n為偶數(shù)，(-x)n-(y若n為奇數(shù)，(-x)n-(y)n2)、若x=y=-1若n為偶數(shù)，(-x)n-(y若n為奇數(shù)，(-x)n-(y)n=(1八、科學(xué)計(jì)數(shù)法與近似數(shù)㈠、科學(xué)計(jì)數(shù)法：把一個(gè)絕對(duì)值大于10的整數(shù)表示成a乘以10的n次方的形式。(a是整數(shù)位只有一位的數(shù)，1≤|a|<10，n是正整數(shù))。n為原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減少1.10nn為0的個(gè)數(shù)。用科學(xué)計(jì)數(shù)法表示下列各數(shù)1000000=1xc1可省略右邊開始向左移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)-8765000=-8.765x10-6541.235=-6.541235x10總結(jié)：10的指數(shù)為整數(shù)位數(shù)-1寫出下列科學(xué)計(jì)數(shù)法表示的原數(shù)3.001x104=30010原數(shù)的整數(shù)位為指數(shù)-7.557x107㈡、近似數(shù)：近似數(shù)，就是與實(shí)際接近的數(shù)，使用近似數(shù)就有個(gè)近似程度的問(wèn)題，也就是精確度。一些大數(shù)數(shù)字讀，寫都有一定的困難。用什么方法來(lái)表示這些大數(shù)，使他們易讀，易記，易判斷還便于計(jì)算？由于無(wú)法