2022年高考數(shù)學(xué)解三角形知識(shí)點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)含答案

專題19解三角形一、單選題（本大題共10小題，共50分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2acosC=b，則△ABC的形狀是(????)A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等邊三角形如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD⊥BC，AC=53，CD=5，BD=2AD，則AD的長為(????)A.4 B.5 C.6 D.7海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是(????)A.103海里 B.1063海里 C.52海里在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若角A、C、B成等差數(shù)列，角C的角平分線交AB于點(diǎn)D，且CD=3，a=3b，則c的值為(

)A.3 B.72 C.47如圖，要測(cè)量電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是π4，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是π6，水平面上的，則電視塔AB的高度為（）mA.20B.30C.40D.50為測(cè)出小區(qū)的面積，進(jìn)行了一些測(cè)量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積為(

)A.

B.3-64km2

C.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，AB=23，D是側(cè)面BCC1B1的中心，球A.1010 B.105 C.3在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若直線bx+ycos?A+cos?B=0與ax+ycos?B+cos?A=0平行，則△ABCA.銳角三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰或者直角三角形海倫不僅是古希臘的數(shù)學(xué)家，還是一位優(yōu)秀的測(cè)繪工程師．在他的著作《測(cè)地術(shù)》中最早出現(xiàn)了已知三邊求三角形面積的公式，即著名的海倫公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)，這里p=12(a+b+c)，a，b，c分別為?ABC的三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊，該公式具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn)，形式很美．已知?ABC中，p=12，c=9，cosA=2A.2 B.3 C.10 D.5在ΔABC中，若1sinA+1A.C的最大值為π3 B.C的最大值為2π3

C.C的最小值為π3 D.二、單空題（本大題共4小題，共20分）如圖，在離地面高200m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°、山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC=60°，則山的高度BC為______在四邊形ABCD中，AB=6，BC=CD=4，DA=2，則四邊形ABCD的面積的最大值是______．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D，測(cè)得CD=45m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，則AB兩點(diǎn)的距離為______．如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測(cè)出A，B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，若測(cè)得CD=4?km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離是_______km．三、解答題（本大題共4小題，共30分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且ccosB+bcosC=3acosB．(1)求cosB的值；(2)若|CA-CB|=2，△ABC的面積為2在①2acosC+c=2b，②cos2B-C2-cosBcosC=34，③(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且

．

設(shè)a，b，c分別為△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，m=(cosC2,sinC2)(1)求角C的大??；(2)已知c=72，△ABC的面積S=3某農(nóng)場有一塊等腰直角三角形的空地ABC，其中斜邊BC的長度為400米，為迎接“五一”觀光游，欲在邊界BC上選擇一點(diǎn)P，修建觀賞小徑PM、PN，其中M、N分別在邊界AB、AC上，小徑PM、PN與邊界BC的夾角都為60°，區(qū)域PMB和區(qū)域PNC內(nèi)種植郁金香，區(qū)域AMPN內(nèi)種植月季花．

(1)探究：觀賞小徑PM與PN的長度之和是否為定值？請(qǐng)說明理由；

(2)為深度體驗(yàn)觀賞，準(zhǔn)備在月季花區(qū)域內(nèi)修建小徑MN，當(dāng)P點(diǎn)在何處時(shí)，三條小徑(PM、PN、MN)的長度和最?。繉ｎ}19解三角形一、單選題（本大題共10小題，共50分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若2acosC=b，則△ABC的形狀是(????)A.等腰直角三角形 B.直角三角形

C.等腰三角形 D.等邊三角形【答案】C解：∵b=2acosC，

∴由正弦定理得sinB=2sinAcosC，

∵B=π-(A+C)，

∴sin(A+C)=2sinAcosC，

則sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC，

sinAcosC-cosAsinC=0，

即sin(A-C)=0，

∵A、C∈(0,π)，

∴A-C∈(-π,π)，則A-C=0，

∴A=C，

∴△ABC是等腰三角形．

故選：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD⊥BC，AC=53，CD=5，BD=2AD，則AD的長為A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】解：設(shè)AD=t，可得BD=2t，BC=4t2-25，

在直角三角形BCD中，可得cosB=4t2-252t，

在三角形ABC中，可得cosB=4t2-25+9t2-752?3t?4t海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是(????)A.103海里 B.1063海里 C.52海里【答案】D【解析】解：由題意可得，A=60°，B=75°，∠C=180°-60°-75°=45°

根據(jù)正弦定理可得，BCsin60°=ABsin45°在△ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若角A、C、B成等差數(shù)列，角C的角平分線交AB于點(diǎn)D，且CD=3，a=3b，則c的值為(

A.3 B.72 C.47【答案】C【解析】解：由題意，得

由S△ABC=S△ACD+S△BCD，

得，

所以ab=a+b，

所以3b2=4b，解得b=43(b=0舍去)，

如圖，要測(cè)量電視塔AB的高度，在C點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是π4，在D點(diǎn)測(cè)得塔頂A的仰角是π6，水平面上的，則電視塔AB的高度為（）A.20B.30C.40D.50【答案】A【解析】解：由題題意，設(shè)AB=x，則BD=3x，BC=x

在△DBC中，∠BCD=60°，CD=40，

∴根據(jù)余弦定理，得BD2=BC2+CD2-2BC?CD?cos∠DCB

即：(3x為測(cè)出小區(qū)的面積，進(jìn)行了一些測(cè)量工作，所得數(shù)據(jù)如圖所示，則小區(qū)的面積為(

)A.

B.3-64km2

【答案】D【解析】解：如圖連接AC，根據(jù)余弦定理可得AC即AC=3由于AC所以∠ACB=90°,∠BAC=30°，

所以∠DAC=45°-30°=15°，∠DCA=105°-90°=15°，

所以∠DAC=∠DCA所以△ADC為等腰三角形，設(shè)AD=DC=x，∠D=150°，由余弦定理x2故所求面積為12故選D．

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，AB=23，D是側(cè)面BCC1BA.1010 B.105 C.3【答案】D【解析】解：因?yàn)榍騉與直三棱柱ABC-A1B所以球心O為該三棱柱上、下底面三角形重心連線的中點(diǎn)，如圖所示，設(shè)球O的球心為O，底面三角形ABC的重心為O'，連接OO'，

則OO'⊥底面ABC．

設(shè)BC的中點(diǎn)為E，連接AE，易知點(diǎn)O'連接OD、DE，因?yàn)镈是側(cè)面BB1C1C的中心，所以四邊形OO'ED為正方形，

可得r=23×3連接OA，可得OA=r∴cos?∠ADO=DO2+AD2-A在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若直線bx+ycos?A+cos?B=0與ax+ycos?B+cos?A=0A.銳角三角形 B.等腰三角形

C.直角三角形 D.等腰或者直角三角形【答案】C【解析】解：∵直線bx+ycosA+cosB=0與ax+ycosB+cosA=0平行，

∴ba=cosAcosB，

解得bcosB=acosA，

∴利用余弦定理可得：b×a2+c2-b22ac=a×b2+c2-a22bc，海倫不僅是古希臘的數(shù)學(xué)家，還是一位優(yōu)秀的測(cè)繪工程師．在他的著作《測(cè)地術(shù)》中最早出現(xiàn)了已知三邊求三角形面積的公式，即著名的海倫公式S=p(p-a)(p-b)(p-c)，這里p=12(a+b+c)，a，b，c分別為?ABC的三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊，該公式具有輪換對(duì)稱的特點(diǎn)，形式很美．已知?ABC中，p=12，c=9，cosA.2 B.3 C.10 D.5【答案】D【解析】解：因?yàn)閜=12(a+b+c)，所以a+b+c=2p，

因?yàn)閜=12，c=9，所以a+b=15，

三角形的內(nèi)切圓半徑r=2Sa+b+c，

由余弦定理得cos?A=b2+c2-a2?2bc=23，

所以(b-a)(b+a)+81=12b，即b-5a=-27在ΔABC中，若1sinAA.C的最大值為π3 B.C的最大值為2π3

C.C的最小值為π3 D.【答案】A【解析】解：因?yàn)?sin?A+1sin?B=2(1tan?A+1tan?B)，

所以1sin?A+1sin?B=2(cosAsinA+cosBsin?B)，

所以sin?A+sin?Bsin?Asin二、單空題（本大題共4小題，共20分）如圖，在離地面高200m的熱氣球上，觀測(cè)到山頂C處的仰角為15°、山腳A處的俯角為45°，已知∠BAC=60°，則山的高度BC【答案】300【解析】解：根據(jù)題意，可得Rt△AMD中，∠MAD=45°，MD=200，

∴AM=MDsin45°=2002．

∵△MAC中，∠AMC=45°+15°=60°，∠MAC=180°-45°-60°=75°，

∴∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°，

由正弦定理，得AC=MAsin∠AMCsin∠MCA=2002×在四邊形ABCD中，AB=6，BC=CD=4，DA=2，則四邊形ABCD的面積的最大值是______．【答案】8【解析】解：如圖所示，

AB=6，BC=CD=4，DA=2，

設(shè)BD=x，在△ABD中，

由余弦定理可得x2=22+62-2×2×6cosA=40-24cosA，

在△BCD中，由余弦定理可得x2=32-32cosC，

聯(lián)立可得3cosA-4cosC=1，①

又四邊形ABCD面積S=12×4×4sinC+12×2×6sinA，

即4sinC+3sinA=12S，②

①2+②2可得9+16+24(sinAsinC-cosAcosC)=1+14S2，

化簡可得-24cos(A+C)=1海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D，測(cè)得CD=45m，∠ADB=135°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=120°，則AB兩點(diǎn)的距離為【答案】45【解析】解：易知在△ACD中，∠DAC=180°-∠ADB-∠BDC-∠ACD=15°，

∴△ACD為等腰三角形，則AD=CD=45，

在△BCD中，∠CBD=180°-∠BDC-∠ACD-∠ACB=30°，∠BCD=120°+15°=135°，

所以由正弦定理得，即45sin30°=BDsin135°，得BD=452，

在△ABD中，由余弦定理得

=452+(452)2-2×45×452×(-22)=45如圖，A，B兩點(diǎn)在河的同側(cè)，且A，B兩點(diǎn)均不可到達(dá)，要測(cè)出A，B的距離，測(cè)量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)C，D，若測(cè)得CD=4?km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，則A，B兩點(diǎn)間的距離是_______km．【答案】2【解析】由于CD=4km，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°，

所以∠DAC=180°-30°-30°-60°=60°，

∠DBC=180°-30°-60°-45°=45°三、解答題（本大題共4小題，共30分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且ccosB+bcosC=3acosB．(1)求cosB的值；(2)若|CA-CB|=2，△ABC的面積為2【答案】解：(1)由正弦定理asinA=bsinB=csin則有3sinAcosB=sin又A∈(0,π)，則sinA>0，則．(2)因?yàn)锽∈(0,π)，則sinB>0，

．因?yàn)閨CA所以S=12ac由余弦定理，

則b=3．在①2acosC+c=2b，②cos2B-C2-cosBcosC=34，③(sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且

【答案】解：

(1)選①，由正弦定理得2sin所以2sin即sin?C(2cos?A-1)=0，又C∈(0,π)，所以sin又A∈(0,π)，從而得A=π選②，因?yàn)閏os=1-所以cos(B+C)=-cosA=-cos(B+C)=12選③因?yàn)?sin所以sin2即sin2所以由正弦定理得b2由余弦定理