統(tǒng)計(jì)學(xué)：第五章 變量數(shù)列分析

統(tǒng)計(jì)學(xué)中刻劃數(shù)據(jù)分布特征的最主要的代表有：數(shù)據(jù)分布的集中趨勢與數(shù)據(jù)分布的離散程度。排序分組整理表述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)尋找反映數(shù)據(jù)分布特征的代表值：集中趨勢；離散趨勢

該項(xiàng)活動(dòng)中，每月都有數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)及分析以用來進(jìn)行該項(xiàng)活動(dòng)的調(diào)整與實(shí)施。如：有一組關(guān)于病人進(jìn)入“救助”活動(dòng)的時(shí)間長度的數(shù)據(jù)：

67個(gè)樣本：時(shí)間長度從1天到185天。為了改善頻臨死亡的病人及其家庭的生活質(zhì)量救助活動(dòng)“服務(wù)隊(duì)”：醫(yī)生家庭健康保健員社會(huì)工作者受訓(xùn)志愿者給予病人及家庭一些指導(dǎo)幫助減輕由于疾病、分離等而引起的精神緊張例：美國一家具有福利院性質(zhì)的醫(yī)院（BarnesHospital）。

均值(mean)：35.7天;

中位數(shù)(median)：17天；

眾數(shù)(Mode)：1天Interpretation:

（1）theaveragetimeapatientstaysintheProgramis35.7days,orslightlyoveramonth;（2）halfofthepatientsareintheProgram17daysorlessandhalfareintheProgram17daysormore;（3）manypatientshaveashortdayintheProgram.除了對(duì)該組數(shù)據(jù)進(jìn)行頻數(shù)方面的描述和分析外，下面的統(tǒng)計(jì)方法在描述數(shù)據(jù)分布特征及分析方面也很重要：第五章變量數(shù)列分析★§5.1集中趨勢的測定§5.2離中趨勢的測定§5.3分布偏態(tài)與峰度§5.1集中趨勢的測定一、集中趨勢的涵義二、平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法★83名女生的身高分布的集中趨勢、中心數(shù)值《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析算術(shù)平均數(shù)指總體中各單位的次數(shù)分布從兩邊向中間集中的趨勢，用平均指標(biāo)來反映。集中趨勢指同質(zhì)總體中各單位某一數(shù)量標(biāo)志的一般水平，是對(duì)總體單位間數(shù)量差異的抽象化《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析集中趨勢是一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，測度集中趨勢就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。不同類型的數(shù)據(jù)用不同的集中趨勢測度值。（定類數(shù)據(jù)：眾數(shù)、定序數(shù)據(jù)：中位數(shù)和分位數(shù)、定距和定比數(shù)據(jù)：均值）§5.1集中趨勢的測定一、集中趨勢的涵義二、平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法★★二、平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法㈠算術(shù)平均數(shù)㈡調(diào)和平均數(shù)㈢幾何平均數(shù)㈣中位數(shù)㈤眾數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)★基本形式：例：直接承擔(dān)者算術(shù)平均數(shù)（均值）《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析A.簡單算術(shù)平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析平均每人日銷售額為：算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元、440元，則【例】《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析B.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析解：算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法若上述資料為組距數(shù)列，則應(yīng)取各組的組中值作為該組的代表值用于計(jì)算；此時(shí)求得的算術(shù)平均數(shù)只是其真值的近似值。說明《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析思考題

比特啤酒公司雇用了468名員工，其中有56名管理人員，130名行政和技術(shù)人員，其余282人是工人。這三組人的周平均工資分別是500英鎊、300英鎊和200英鎊。財(cái)務(wù)主管希望計(jì)算全體員工的平均工資。？《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析正確的計(jì)算方法分析：成績（分）人數(shù)（人）甲班乙班丙班603915010013950平均成績（分）619980起到權(quán)衡輕重的作用算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析決定平均數(shù)的變動(dòng)范圍表現(xiàn)為次數(shù)、頻數(shù)、單位數(shù)；即公式中的表現(xiàn)為頻率、比重；即公式中的算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法指變量數(shù)列中各組標(biāo)志值出現(xiàn)的次數(shù)，是變量值的承擔(dān)者，反映了各組的標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的影響程度權(quán)數(shù)絕對(duì)權(quán)數(shù)相對(duì)權(quán)數(shù)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析⒈變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差之和衡等于零，即：⒉變量值與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方和為最小，即：算術(shù)平均數(shù)的主要數(shù)學(xué)性質(zhì)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析離差的概念12345678-1-1-213《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析▲注意：

均值容易受到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中個(gè)別極端數(shù)據(jù)的影響，從而使均值代表某組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的“平均水平”時(shí)失去意義，這時(shí)往往用“剔除極端值”的方法加以修正。二、平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法㈠算術(shù)平均數(shù)㈡調(diào)和平均數(shù)㈢幾何平均數(shù)㈣中位數(shù)㈤眾數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)★★【例】

設(shè)X=（2，4，6，8），則其調(diào)和平均數(shù)可由定義計(jì)算如下：⒉再求算術(shù)平均數(shù)：⒈求各標(biāo)志值的倒數(shù)：，，，⒊再求倒數(shù)：是總體各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又叫倒數(shù)平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析A.簡單調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理、尚為原始資料的情況調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算方法《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析B.加權(quán)調(diào)和平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算方法《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析——當(dāng)己知各組變量值和標(biāo)志總量時(shí)，作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用。因?yàn)椋赫{(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析日產(chǎn)量（件）各組工人日總產(chǎn)量（件）10111213147001100456019501400合計(jì)9710【例】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：計(jì)算該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量。調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析即該企業(yè)該日全部工人的平均日產(chǎn)量為12.1375件。調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用解：《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析二、平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法㈠算術(shù)平均數(shù)㈡調(diào)和平均數(shù)㈢幾何平均數(shù)㈣中位數(shù)㈤眾數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)★★★是N項(xiàng)變量值連乘積的開N次方根幾何平均數(shù)用于計(jì)算現(xiàn)象的平均比率或平均速度應(yīng)用：各個(gè)比率或速度的連乘積等于總比率或總速度；相乘的各個(gè)比率或速度不為零或負(fù)值。應(yīng)用的前提條件：《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析A.簡單幾何平均數(shù)——適用于總體資料未經(jīng)分組整理尚為原始資料的情況式中：為幾何平均數(shù);為變量值的個(gè)數(shù)；為第個(gè)變量值。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析【例】某流水生產(chǎn)線有前后銜接的五道工序。某日各工序產(chǎn)品的合格率分別為95﹪、92﹪、90﹪、85﹪、80﹪，求整個(gè)流水生產(chǎn)線產(chǎn)品的平均合格率。分析：設(shè)最初投產(chǎn)100A個(gè)單位，則第一道工序的合格品為100A×0.95；第二道工序的合格品為（100A×0.95）×0.92；

……第五道工序的合格品為（100A×0.95×0.92×0.90×0.85）×0.80；《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應(yīng)為100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產(chǎn)品總的合格率為：即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需采用幾何平均法計(jì)算?！督y(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析因該流水線的最終合格品即為第五道工序的合格品，故該流水線總的合格品應(yīng)為100A×0.95×0.92×0.90×0.85×0.80；則該流水線產(chǎn)品總的合格率為：即該流水線總的合格率等于各工序合格率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故需采用幾何平均法計(jì)算。解：《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析思考若上題中不是由五道連續(xù)作業(yè)的工序組成的流水生產(chǎn)線，而是五個(gè)獨(dú)立作業(yè)的車間，且各車間的合格率同前，又假定各車間的產(chǎn)量相等均為100件，求該企業(yè)的平均合格率。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析因各車間彼此獨(dú)立作業(yè)，所以有第一車間的合格品為：100×0.95；第二車間的合格品為：100×0.92；

……

第五車間的合格品為：100×0.80。則該企業(yè)全部合格品應(yīng)為各車間合格品的總和，即總合格品=100×0.95+……+100×0.80幾何平均數(shù)的計(jì)算方法分析：《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。又因?yàn)閼?yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算，即《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析B.加權(quán)幾何平均數(shù)——適用于總體資料經(jīng)過分組整理形成變量數(shù)列的情況式中：為幾何平均數(shù);為第組的次數(shù)；為組數(shù)；為第組的標(biāo)志值或組中值。幾何平均數(shù)的計(jì)算方法《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析【例】某金融機(jī)構(gòu)以復(fù)利計(jì)息。近12年來的年利率有4年為3﹪，2年為5﹪，2年為8﹪，3年為10﹪，1年為15﹪。求平均年利率。設(shè)本金為V，則至各年末的本利和應(yīng)為：第1年末的本利和為：第2年末的本利和為：………………第12年末的本利和為：分析：第2年的計(jì)息基礎(chǔ)第12年的計(jì)息基礎(chǔ)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析則該筆本金12年總的本利率為：即12年總本利率等于各年本利率的連乘積，符合幾何平均數(shù)的適用條件，故計(jì)算平均年本利率應(yīng)采用幾何平均法。解：《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析幾何平均數(shù)的計(jì)算方法思考若上題中不是按復(fù)利而是按單利計(jì)息，且各年的利率與上相同，求平均年利率。分析第1年末的應(yīng)得利息為：第2年末的應(yīng)得利息為：第12年末的應(yīng)得利息為：…………設(shè)本金為V，則各年末應(yīng)得利息為：《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析則該筆本金12年應(yīng)得的利息總和為：=V（0.03×4+0.05×2+……+0.15×1）這里的利息率或本利率不再符合幾何平均數(shù)的適用條件，需按照求解比值的平均數(shù)的方法計(jì)算。因?yàn)榧俣ū窘馂閂《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析所以，應(yīng)采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)公式計(jì)算平均年利息率，即：解：《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析（比較：按復(fù)利計(jì)息時(shí)的平均年利率為6.85﹪）注：可看作是均值的一種變形幾何平均等于對(duì)數(shù)的算術(shù)平均調(diào)和平均數(shù)與算術(shù)平均數(shù)的區(qū)別:凡是掌握被平均指標(biāo)的分母資料時(shí)，用算術(shù)平均法。凡是掌握被平均指標(biāo)的分子資料時(shí)，用調(diào)和平均法。平均指標(biāo)＝分子：標(biāo)志總量分母：總體單位總數(shù)價(jià)格（元）3.32.52.0合計(jì)銷售量（斤）34512算術(shù)平均求某種商品三種零售價(jià)格的平均價(jià)格調(diào)和平均價(jià)格（元）3.32.52.0合計(jì)銷售額（元）10101030例求95%、93%、90%的幾何平均數(shù)（計(jì)算誤差：0.0007）是否為比率或速度各個(gè)比率或速度的連乘積是否等于總比率或總速度是否為其他比值是否否是否是幾何平均法算術(shù)平均法求解比值的平均數(shù)的方法數(shù)值平均數(shù)計(jì)算公式的選用順序指標(biāo)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析二、平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法㈠算術(shù)平均數(shù)㈡調(diào)和平均數(shù)㈢幾何平均數(shù)㈣中位數(shù)㈤眾數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)★★★★《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析

如果統(tǒng)計(jì)資料中含有異常的或極端的數(shù)據(jù)，就有可能得到非典型的甚至可能產(chǎn)生誤導(dǎo)的平均數(shù)，這時(shí)使用中位數(shù)來度量集中趨勢比較合適。比如有5筆付款：

9元，10元，10元，11元，60元平均付款為100/5=20元。很明顯，這并不是一個(gè)好的代表值，而中位數(shù)10元是一個(gè)更好的代表值。將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列后，指處于數(shù)列中間位置的標(biāo)志值，用表示中位數(shù)不受極端數(shù)值的影響，在總體標(biāo)志值差異很大時(shí)，具有較強(qiáng)的代表性。由于均值容易受到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中個(gè)別極端數(shù)據(jù)的影響，從而使均值代表某組統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的“平均水平”時(shí)失去意義，這時(shí)用中位數(shù)代替均值則更有意義。中位數(shù)的作用：二、平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法中位數(shù)的位次為：即第3個(gè)單位的標(biāo)志值就是中位數(shù)【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元，則中位數(shù)的確定（未分組資料）《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析中位數(shù)的位次為：中位數(shù)應(yīng)為第3和第4個(gè)單位標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)，即【例B】若上述售貨小組為6個(gè)人，某天的銷售額按從小到大的順序排列為440元、480元、520元、600元、750元、760元，則中位數(shù)的確定（未分組資料）《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析【例C】某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下：日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）10111213147010038015010070170550700800合計(jì)800—計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的中位數(shù)。中位數(shù)的位次：中位數(shù)的確定（單值數(shù)列）《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析中位數(shù)的確定（組距數(shù)列）【例D】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的中位數(shù)?！督y(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析二、平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法㈠算術(shù)平均數(shù)㈡調(diào)和平均數(shù)㈢幾何平均數(shù)㈣中位數(shù)㈤眾數(shù)數(shù)值平均數(shù)位置平均數(shù)★★★★★《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析有時(shí)眾數(shù)是一個(gè)合適的代表值

比如在服裝行業(yè)中，生產(chǎn)商、批發(fā)商和零售商在做有關(guān)生產(chǎn)或存貨的決策時(shí)，更感興趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。

指總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值，用表示,它不受極端數(shù)值的影響，用來說明總體中大多數(shù)單位所達(dá)到的一般水平。眾數(shù)二、平均指標(biāo)的種類及計(jì)算方法購買五類不同品牌計(jì)算機(jī)的統(tǒng)計(jì)中，得到如表所示的頻數(shù)分布表。顯然，眾數(shù)，即個(gè)人購買最多的計(jì)算機(jī)品牌是Apple。在這類數(shù)據(jù)中，“均值”與“中位數(shù)”是沒有任何意義的?！氨姅?shù)”提供了頻數(shù)最高的個(gè)人電腦購買品牌。CompanyFrequencyApple13Compaq12Gateway20005IBM9PackardBell11日產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）101112131470100380150100合計(jì)800【例A】已知某企業(yè)某日工人的日產(chǎn)量資料如下:眾數(shù)的確定（單值數(shù)列）計(jì)算該企業(yè)該日全部工人日產(chǎn)量的眾數(shù)?！督y(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析眾數(shù)的確定（組距數(shù)列）【例B】某車間50名工人月產(chǎn)量的資料如下：月產(chǎn)量（件）工人人數(shù)（人）向上累計(jì)次數(shù)（人）200以下200～400400～600600以上373283104250合計(jì)50—計(jì)算該車間工人月產(chǎn)量的眾數(shù)。概約眾數(shù)：眾數(shù)所在組的組中值，在本例為500件眾數(shù)的原理及應(yīng)用83名女生身高原始數(shù)據(jù)83名女生身高組距數(shù)列《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析當(dāng)數(shù)據(jù)分布存在明顯的集中趨勢，且有顯著的極端值時(shí)，適合使用眾數(shù)；當(dāng)數(shù)據(jù)分布的集中趨勢不明顯或存在兩個(gè)以上分布中心時(shí)，不適合使用眾數(shù)（前者無眾數(shù)，后者為雙眾數(shù)或多眾數(shù)，也等于沒有眾數(shù)）。眾數(shù)的原理及應(yīng)用《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析

眾數(shù)、中位數(shù)和均值都是對(duì)數(shù)據(jù)集中趨勢的測度，

1、均值由全部數(shù)據(jù)計(jì)算，包含了全部數(shù)據(jù)的信息，具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，當(dāng)數(shù)據(jù)接近對(duì)稱分布時(shí)，具有較好的代表性；但對(duì)于偏態(tài)分布，其代表性較差。

2、中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)中間位置上的代表值，不受數(shù)據(jù)極端值的影響，對(duì)于偏態(tài)分布的數(shù)據(jù)，其代表性要比均值好。

3、眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)分布的峰值，是一種位置的代表，當(dāng)數(shù)據(jù)的分布具有明顯的集中趨勢時(shí)，尤其對(duì)于偏態(tài)分布，眾數(shù)的代表性比均值好。

4、對(duì)接近正態(tài)的分布數(shù)據(jù)，常用均值描述數(shù)據(jù)的集中趨勢；對(duì)偏態(tài)分布，常用眾數(shù)或中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢。

5、均值只適用于定距或定比尺度的數(shù)據(jù)；定序尺度數(shù)據(jù)可用中位數(shù)或眾數(shù)進(jìn)行描述，而對(duì)定類尺度數(shù)據(jù)，只能用眾數(shù)進(jìn)行描述。

眾數(shù)、中位數(shù)和均值的應(yīng)用場合眾數(shù)、中位數(shù)和均值的關(guān)系對(duì)稱分布

均值=中位數(shù)=眾數(shù)左偏分布均值

中位數(shù)

眾數(shù)右偏分布眾數(shù)

中位數(shù)

均值第五章變量數(shù)列分析★§5.1集中趨勢的測定§5.2離中趨勢的測定★課程學(xué)生語文數(shù)學(xué)英語總成績平均成績甲乙丙606555656565706575195195195656565單位：分某班三名同學(xué)三門課程的成績?nèi)缦拢赫?qǐng)比較三名同學(xué)學(xué)習(xí)成績的差異?！督y(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析集中趨勢弱、離中趨勢強(qiáng)集中趨勢強(qiáng)、離中趨勢弱《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析§5.2離中趨勢的測定一、離中趨勢的涵義二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及計(jì)算三、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差及方差★指總體中各單位標(biāo)志值背離分布中心的規(guī)?；虺潭龋脴?biāo)志變異指標(biāo)來反映。離中趨勢反映統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)差異程度的綜合指標(biāo)，也稱為標(biāo)志變動(dòng)度變異指標(biāo)值越大，平均指標(biāo)的代表性越??；反之，平均指標(biāo)的代表性越大《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析例：如果你是一家制造業(yè)公司的供應(yīng)部門經(jīng)理，與兩家原材料供應(yīng)商聯(lián)系供貨，兩家供應(yīng)商均表示能在大約10個(gè)工作日內(nèi)供齊所需原材料。幾個(gè)月的運(yùn)轉(zhuǎn)之后，你發(fā)現(xiàn)盡管兩家供貨商供貨的平均時(shí)間都是大約10天，但他們供貨所需天數(shù)的分布情況卻是不同的（圖）。問:兩家供貨商按時(shí)供貨的可信度相同嗎？考慮它們直方圖的差異，你更愿意選擇哪家供貨商供貨呢？測定離中趨勢的意義用來衡量和比較平均數(shù)代表性的大??；用來反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過程的均衡性和節(jié)奏性；用來測定變量數(shù)列次數(shù)分布較正態(tài)分布的偏離程度。 《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析§5.2離中趨勢的測定一、離中趨勢的涵義二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及計(jì)算三、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差及方差★★測定標(biāo)志變異度的絕對(duì)量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）測定標(biāo)志變異度的相對(duì)量指標(biāo)（表現(xiàn)為無名數(shù)）標(biāo)志變異指標(biāo)的種類《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析全距標(biāo)準(zhǔn)差異眾比率四分位差標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)指所研究的數(shù)據(jù)中，最大值與最小值之差，又稱極差。全距最大變量值或最高組上限或開口組假定上限最小變量值或最低組下限或開口組假定下限【例A】某售貨小組5人某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，則《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析【例B】某季度某工業(yè)公司18個(gè)工業(yè)企業(yè)產(chǎn)值計(jì)劃完成情況如下：計(jì)劃完成程度（﹪）組中值（﹪）企業(yè)數(shù)（個(gè)）計(jì)劃產(chǎn)值（萬元）90以下90～100100～110110以上8595105115231038002500172004400合計(jì)—1824900計(jì)算該公司該季度計(jì)劃完成程度的全距?！督y(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析優(yōu)點(diǎn):計(jì)算方法簡單、易懂；缺點(diǎn):易受極端數(shù)值的影響，由于極差只利用了數(shù)據(jù)兩端的信息，沒有反映中間數(shù)據(jù)的分散狀況，因而不能準(zhǔn)確描述數(shù)據(jù)的分散程度。往往應(yīng)用于生產(chǎn)過程的質(zhì)量控制中全距的特點(diǎn)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析異眾比率

(概念要點(diǎn))1. 離散程度的測度值之一2. 非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率3. 計(jì)算公式為

4.用于衡量眾數(shù)的代表性(取值在0到1之間，越趨近于1，說明眾數(shù)所在組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比率越低，代表性越弱）異眾比率

(算例)表3-1某城市居民關(guān)注廣告類型的頻數(shù)分布

廣告類型人數(shù)(人)頻率(%)

商品廣告服務(wù)廣告金融廣告房地產(chǎn)廣告招生招聘廣告其他廣告1125191610256.025.54.58.05.01.0合計(jì)200100根據(jù)表3-1中的數(shù)據(jù)，計(jì)算異眾比率解：在所調(diào)查的200人當(dāng)中，關(guān)注非商品廣告的人數(shù)占44%，異眾比率還是比較大。因此，用“商品廣告”來反映城市居民對(duì)廣告關(guān)注的一般趨勢，其代表性不是很好

Vr

=200-112200

=1-

112

200

=0.44=44%四分位差Q1Q2Q325%25%25%25%四分位數(shù)：

用于衡量中位數(shù)的代表性反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度⑴簡單標(biāo)準(zhǔn)差——適用于未分組資料是各個(gè)數(shù)據(jù)與其算術(shù)平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的開平方根，用來表示；標(biāo)準(zhǔn)差的平方又叫作方差，用來表示。標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算公式：總體單位總數(shù)第個(gè)單位的變量值總體算術(shù)平均數(shù)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析【例A】某售貨小組5個(gè)人，某天的銷售額分別為440元、480元、520元、600元、750元，求該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差。解：即該售貨小組銷售額的標(biāo)準(zhǔn)差為109.62元?！督y(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析⑵加權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差——適用于分組資料標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式總體算術(shù)平均數(shù)第組變量值出現(xiàn)的次數(shù)第組的變量值或組中值《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析【例B】計(jì)算下表中某公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差。月工資（元）組中值（元）職工人數(shù)（人）300以下300～400400～500500～600600～700700～800800～900900以上2503504505506507508509502083143824563052377820合計(jì)—2000《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析解：即該公司職工月工資的標(biāo)準(zhǔn)差為167.9元。《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析標(biāo)準(zhǔn)差的特點(diǎn)不易受極端數(shù)值的影響，能綜合反映全部單位標(biāo)志值的實(shí)際差異程度；用平方的方法消除各標(biāo)志值與算術(shù)平均數(shù)離差的正負(fù)值問題，可方便地用于數(shù)學(xué)處理和統(tǒng)計(jì)分析運(yùn)算.《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析測定標(biāo)志變異度的絕對(duì)量指標(biāo)（與原變量值名數(shù)相同）測定標(biāo)志變異度的相對(duì)量指標(biāo)（表現(xiàn)為無名數(shù)）標(biāo)志變異指標(biāo)的種類《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析全距標(biāo)準(zhǔn)差異眾比率四分位差標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)可比變異系數(shù)指標(biāo)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析身高的差異水平：cm體重的差異水平：kg用變異系數(shù)可以相互比較可比《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析變異系數(shù)指標(biāo)用來對(duì)比不同水平的同類現(xiàn)象，特別是不同類現(xiàn)象總體平均數(shù)代表性的大小:——標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)小的總體，其平均數(shù)的代表性大；反之，亦然。應(yīng)用:《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)(離散系數(shù)）【例】某年級(jí)一、二兩班某門課的平均成績分別為82分和76分，其成績的標(biāo)準(zhǔn)差分別為15.6分和14.8分，比較兩班平均成績代表性的大小。解：一班成績的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：二班成績的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：因?yàn)?，所以一班平均成績的代表性比二班大?！督y(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析§5.2離中趨勢的測定一、離中趨勢的涵義二、標(biāo)志變異指標(biāo)的種類及計(jì)算三、是非標(biāo)志的標(biāo)準(zhǔn)差及方差★★★是非標(biāo)志總體分組單位數(shù)變量值具有某一屬性不具有某一屬性10合計(jì)—為研究是非標(biāo)志總體的數(shù)量特征，令指總體中全部單位只具有“是”或“否”、“有”或“無”兩種表現(xiàn)形式的標(biāo)志，又叫交替標(biāo)志是非標(biāo)志《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析是非標(biāo)志總體的指標(biāo)具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)不具有某種標(biāo)志表現(xiàn)的單位數(shù)所占的成數(shù)指是非標(biāo)志總體中具有某種表現(xiàn)或不具有某種表現(xiàn)的單位數(shù)占全部總體單位總數(shù)的比重成數(shù)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析是非標(biāo)志總體的指標(biāo)均值標(biāo)準(zhǔn)差《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析是非標(biāo)志總體的指標(biāo)方差標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析【例】某廠某月份生產(chǎn)了400件產(chǎn)品，其中合格品380件，不合格品20件。求產(chǎn)品質(zhì)量分布的集中趨勢與離中趨勢。是非標(biāo)志總體的指標(biāo)解：《統(tǒng)計(jì)學(xué)》第五章變量數(shù)列分析§5.3分布偏態(tài)與峰度一、偏態(tài)及其測度

二、峰度及其測度

動(dòng)差又稱矩，可用來說明數(shù)據(jù)頻數(shù)分布的特征。

一般地，取數(shù)據(jù)中的a點(diǎn)為中心點(diǎn)，所有數(shù)據(jù)與a之差的k次方的平均數(shù)：稱為數(shù)據(jù)X關(guān)于a的k階動(dòng)差（k階矩）。當(dāng)時(shí)，數(shù)據(jù)以算術(shù)平均數(shù)為中心，上式稱為中心k階動(dòng)差（矩）。一、統(tǒng)計(jì)學(xué)中常以中心3階動(dòng)差（矩）來測度分布的偏態(tài)。

動(dòng)差法當(dāng)a=0時(shí)，即數(shù)據(jù)以原點(diǎn)為中心，上式稱為原點(diǎn)k階動(dòng)差(矩)偏態(tài)是對(duì)分布偏斜方向及程度的測度，通過偏斜系數(shù)進(jìn)行測度

3=0時(shí)，為對(duì)稱分布；

3>0時(shí)，為正偏（右偏）分布；

3<0時(shí)，為負(fù)偏（左偏）分布。

式中，3表示偏態(tài)系數(shù)，3是標(biāo)準(zhǔn)差的三次方。因此，該指標(biāo)是相對(duì)指標(biāo)。峰度是頻數(shù)分布的另一重要特點(diǎn)。其測度的是：某種頻數(shù)分布的曲線與正態(tài)分布曲線相比，是尖頂，還是平頂，其尖或平的程度如何。峰度就是頻數(shù)分布曲線頂端的尖峭程度。

峰度的測度，往往以中心4階動(dòng)差為基礎(chǔ)進(jìn)行；

二、峰度及其測度將4階動(dòng)差的數(shù)值，除以標(biāo)準(zhǔn)差的4次方，化為相對(duì)數(shù)，就是峰度的測度值，即峰度系數(shù)：經(jīng)驗(yàn)上，峰度系數(shù)為3時(shí)，恰為正態(tài)分布，因此，

當(dāng)峰度系數(shù)<3時(shí)，為平頂分布曲線；當(dāng)峰度系數(shù)>3時(shí)，為尖頂分布曲線；

當(dāng)峰度系數(shù)接近于1.8時(shí)，則頻數(shù)分布曲線趨向于一條水平線；

當(dāng)峰度系數(shù)小于1.8時(shí)，為U型曲線。注意：

1、在用動(dòng)差法計(jì)算偏態(tài)系數(shù)與峰度系數(shù)時(shí)，對(duì)所考察的對(duì)象按總體公式測度其方差與標(biāo)準(zhǔn)差。

2、偏度與峰度主要用于檢查樣本的分布是否正態(tài)來判斷總體的分布是否接近于正態(tài)分布。如果樣本的偏度接近于0而峰度接近于3，就可以推斷總體的分布是接近于正態(tài)分布的。偏態(tài)

(實(shí)例)【例】已知1997年我國農(nóng)村居民家庭按純收入分組的有關(guān)數(shù)據(jù)如表。試計(jì)算偏態(tài)系數(shù)1997年農(nóng)村居民家庭純收入數(shù)據(jù)按純收入分組（元）戶數(shù)比重（%）500以下500~10001000~1