量子力學(xué)12-2課件

§12.3

Lippman-Schwinger方程Born近似12.3.1

Lippman-Schwinger方程一、

Green函數(shù)的引進(jìn)前面提到，動(dòng)量為的入射粒子對(duì)勢(shì)場的散射,可以歸結(jié)為求解S-方程滿足下列邊界條件§12.3Lippman-Schwinger方程11定義Green函數(shù)，它滿足下面證明,由上述Green函數(shù)所定義的波函數(shù)是方程的一個(gè)解。[證明]利用上述Green函數(shù)的定義，有﹟定義Green函數(shù)，它滿足下面證明,由2這樣方程的解可以表成式中是滿足下列齊次方程的任何一個(gè)解也就是說,解還是不確定的。這種不確定性由入射波的邊界條件來定。對(duì)于力程為有限的勢(shì)場，如假設(shè)入射粒子具有動(dòng)量，其入射波表為，這樣方程的解可以表成式中是滿足下列齊次方程3此時(shí)，可取為，則散射問題歸結(jié)為求解下列積分方程上述方程就是Lippman-Schwinger方程，這是一個(gè)積分方程。為確定式中的Green函數(shù)，要利用散射波邊界條件﹟此時(shí)，可取為，則散射問題歸結(jié)為求解下列4二、

Green函數(shù)的求解對(duì)Green函數(shù)的定義式由于等式右邊只是的函數(shù),只與和的相對(duì)位置有關(guān)，故可以寫成的形式。寫出的Fourier變換式并將其代入上式，利用以及？二、Green函數(shù)的求解對(duì)Green函數(shù)的定義式由于等式5可以求得即因此令則有可以求得即因此令則有6對(duì)所得公式加以分析可以發(fā)現(xiàn)，是被積函數(shù)的一級(jí)極點(diǎn),在數(shù)理方法中用留數(shù)定理計(jì)算出積分.如對(duì)積分容易算出函數(shù)在一級(jí)極點(diǎn)的留數(shù)和為其中是在其第個(gè)奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)洛浪展開中的系數(shù)，稱為留數(shù)，常寫作。上式稱為留數(shù)定理。對(duì)所得公式加以分析可以發(fā)現(xiàn)，是被積函數(shù)的一級(jí)7這樣根據(jù)留數(shù)定理，有即將其代入式由于物理上感興趣的是要求給出往外出射的波，故選積分路徑如右圖所示：計(jì)算我們所需積分，要選取適當(dāng)?shù)姆e分路徑。這樣根據(jù)留數(shù)定理，有即將其代入式由于物理上感興趣的是要求給出8得這就是方程滿足邊界條件的解.由于積分號(hào)內(nèi)含有待求未知函數(shù),實(shí)際上還是個(gè)積分方程，常采用逐級(jí)近似解法。下節(jié)課介紹一種近似解法。﹟得這就是方程滿足邊界條件的解.由于積分號(hào)內(nèi)含有待求未知函數(shù)9上次課復(fù)習(xí)為求解波函數(shù)，定義了Green函，它滿足并證明了由Green函數(shù)所定義的波函數(shù)是方程的一個(gè)解，從而其一般解可表成上次課復(fù)習(xí)為求解波函數(shù)，定義了Green函10而是滿足下列齊次方程的任何一個(gè)解若取為，則散射問題歸結(jié)為求解下列積分方程上述方程就是Lippman-Schwinger方程，這是一個(gè)積分方程，需要給出Green函數(shù)。而是滿足下列齊次方程的任何一個(gè)解若11根據(jù)留數(shù)定理，有是滿足邊界條件的解.下面介紹一種近似解法。這樣由于積分號(hào)內(nèi)含有待求未知函數(shù),實(shí)際上還是個(gè)積分方程，常采用逐級(jí)近似解法。根據(jù)留數(shù)定理，有是滿足邊界條件的解.下面介紹一種近似解法。這1212.3.2

Born近似如把出射粒子與靶子的相互作用看成微擾，則式可作為的一級(jí)近似解，而其右邊的微擾項(xiàng)中可用零級(jí)近似解代替，即這就是散射問題的Born一級(jí)近似。一、散射問題的Born一級(jí)近似解12.3.2Born近似如把出射粒子與靶子的相互作用13假設(shè)具有有限力程，則上式中的積分實(shí)際上只局限于空間一個(gè)有限區(qū)域。當(dāng)時(shí)，是一光滑的緩變函數(shù),而且當(dāng)?shù)环e函數(shù)的分子中是一個(gè)隨迅速振蕩的函數(shù)，所以有下面考慮式在處的漸近行為。假設(shè)具有有限力程，則上式中的積分實(shí)際上只局限14式中是出射粒子的動(dòng)量。對(duì)于彈性散射，，這樣，由上式及可以得出﹟式中是出射粒子15與下式比較，得二、Born一級(jí)近似解下的散射截面式且見下圖：與下式比較，得二、Born一級(jí)近似解下的散射截面式且見下圖：16見下圖：是散射過程中粒子的動(dòng)量轉(zhuǎn)移。由右圖可以看出，是散射角?？梢钥闯觯沙艘粋€(gè)常數(shù)因子外,散射振幅就是相互作用的Fourier變換。若為中心勢(shì)，則與角無關(guān)。見下圖：是散射過程中粒子的動(dòng)量轉(zhuǎn)移。由右圖可以看出17這樣，我們?cè)谟?jì)算積分時(shí)，是同積分變量無關(guān)的常矢量。積分同坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，可選擇方向?yàn)檩S方向，采用球坐標(biāo)系，從而得出在為中心力場的情況下，此積分可化簡為這樣，我們?cè)谟?jì)算積分18其中，如前所述而散射截面為由上式可以看出，越大，則越小。而對(duì)于高速入射粒子，很大，主要集中在小角度范圍內(nèi)。代入式得將﹟其中，如前所述而散射截面為由上式可以看出，越大，則19三、Born近似的適用條件在Born近似下如Born近似是一個(gè)好的近似，就要求由于勢(shì)場V對(duì)散射波的影響在靶子鄰域()內(nèi)最強(qiáng)，故上述條件可換成三、Born近似的適用條件在Born近似下如Born近似是一20設(shè)V為中心場，則要求這就是Born近似成立的條件。若入射粒子能量很低，此時(shí)則上式化為?設(shè)V為中心場，則要求這就是Born近似成立的條件。若入射粒21若V(r)具有有限力程（≈r0）,強(qiáng)度≈V0，則上式化為反之，若入射粒子能量很高，將隨迅速振蕩，此時(shí)上式第一項(xiàng)為，隨迅速振蕩，對(duì)積分無貢獻(xiàn)；第二項(xiàng)主要局限在區(qū)域中對(duì)積分有貢獻(xiàn)，其值約為這是低能條件下的必然結(jié)果。若V(r)具有有限力程（≈r0）,強(qiáng)度≈V0，則上式化為反之22化為可以看出，如果Born近似在低能區(qū)適用，即反之，則不一定。則上述Born近似成立的條件則在高能區(qū)也適用，即下式必然滿足化為可以看出，如果Born近似在低能區(qū)適用，即反之，則不23比較Born近似法和分波法，一般說來,Born近似較適用于高能粒子散射，而分波法較適用于低能粒子散射，因?yàn)榇藭r(shí)只需考慮l較小的那些分波。﹟比較Born近似法和分波法，一般說來,Born近似較適用于24§12.4

全同粒子的散射全同粒子相碰撞,由于波函數(shù)的交換對(duì)稱性，將出現(xiàn)一些很有趣的特征，比如微分截面的不可分性和散射截面的對(duì)稱性等.這完全是一種量子效應(yīng)。下面討論幾種特殊粒子之間的碰撞。一、無自旋的不同粒子之間的碰撞以α粒子與氧原子核碰撞為例。α粒子與氧原子核的基態(tài)自旋都是0?？紤]碰撞。如下圖§12.4全同粒子的散射全同粒子相碰撞,由于波函數(shù)的交換25這是質(zhì)心坐標(biāo)系中的圖像。其中D1和D2是兩個(gè)探測(cè)器,(a)圖表示在θ方向D1獲得一個(gè)α粒子，而在方向D2測(cè)得一個(gè)O核。(b)圖則正好α與O核交換了一下。這是質(zhì)心坐標(biāo)系中的圖像。其中D1和D2是兩個(gè)探測(cè)器,(a)26設(shè)在θ方向測(cè)得α粒子的散射振幅為f(θ)，微分截面為|f(θ)|2。按照?qǐng)D(b)，O核在θ方向的散射振幅與α粒子在(π-θ)方向的散射振幅f(π-θ)相同，截面為|f(π-θ)

|2。因此,在θ方向測(cè)得粒子（不管是α還是O核）的微分截面為設(shè)在θ方向測(cè)得α粒子的散射振幅為f(θ)，微分截面為|f(27二、無自旋的兩個(gè)全同粒子之間的碰撞以α-α粒子碰撞為例對(duì)于兩個(gè)α粒子之間的碰撞，考慮到波函數(shù)的交換對(duì)稱性，在質(zhì)心系中，入射波表示為z=z1-z2

是兩個(gè)α粒子相對(duì)坐標(biāo)的z

分量。經(jīng)散射后，,散射波對(duì)于兩個(gè)α粒子交換也是對(duì)稱的。二、無自旋的兩個(gè)全同粒子之間的碰撞以α-α粒子碰撞為例對(duì)于兩28當(dāng)兩個(gè)粒子交換時(shí)，，相當(dāng)于，即，。因此即散射振幅為。因此散射截面為與不同粒子的碰撞相比，最后兩項(xiàng)是多出來的，屬于干涉項(xiàng)，是全同粒子波函數(shù)交換對(duì)稱性帶來的。當(dāng)兩個(gè)粒子交換時(shí)，，相當(dāng)于29由于干涉項(xiàng)的存在，全同粒子散射的角分布有下列特點(diǎn)：在質(zhì)心系中，全同粒子散射截面對(duì)于角總是對(duì)稱的。因?yàn)榱罡鶕?jù)則有﹟由于干涉項(xiàng)的存在，全同粒子散射的角分布有下列特點(diǎn)：在質(zhì)心系中30三、自旋為1/2的全同粒子之間的碰撞以e-e電子碰撞為例電子具有自旋。對(duì)于兩個(gè)電子交換，波函數(shù)應(yīng)反對(duì)稱。兩個(gè)電子組成的體系，自旋態(tài)可以是單態(tài)（S=0）或三重態(tài)（S=1）。對(duì)自旋單態(tài)，其空間波函數(shù)對(duì)于交換空間坐標(biāo)應(yīng)要求是對(duì)稱的，因此散射振幅為?三、自旋為1/2的全同粒子之間的碰撞以e-e電子碰撞為例電子31對(duì)自旋三重態(tài)，其空間波函數(shù)對(duì)于交換空間坐標(biāo)應(yīng)要求是反對(duì)稱的，因此散射振幅為所以微分截面為設(shè)入射電子束與靶電子均未極化，即自旋方向是無規(guī)分布的。統(tǒng)計(jì)說來，有1/4幾率處于單態(tài)，3/4幾率處于三重態(tài)。因此微分截面為對(duì)自旋三重態(tài)，其空間波函數(shù)對(duì)于交換空間坐標(biāo)應(yīng)要求是反對(duì)稱的，32可以看出，上式即不同于不同粒子的散射截面，也不同于全同無自旋粒子的散射截面。最后兩項(xiàng)是干涉項(xiàng)。但同樣可以證明,在質(zhì)心系中散射截面對(duì)角也是對(duì)稱的。作業(yè):p3612，3﹟可以看出，上式即不同于不同粒子的散射截面，也不同于全同無自旋33方式：閉卷量子力學(xué)（2）考試相關(guān)說明內(nèi)容：本學(xué)期所講的五章內(nèi)容題型：1、單選題（8小題，共20分）2、判斷題（5小題，共10分）時(shí)間：本周六晚3、簡答證明題（3小題，共30分）4、計(jì)算題（3小題，共40分）方式：閉卷量子力學(xué)（2）考試相關(guān)說明內(nèi)容：本學(xué)期所講的五章內(nèi)34量子力學(xué)II學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.電磁場中帶電粒子的Schr?dinger方程2.正常Zeeman效應(yīng)：可以對(duì)能級(jí)分裂的解釋。一、粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)Landau能級(jí)及簡并度。量子力學(xué)II學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.電磁場中帶電粒子的Schr?di351.對(duì)1D諧振子引進(jìn)并采用自然單位，有二、力學(xué)量本征值問題的代數(shù)解法有升降算符的概念1.對(duì)1D諧振子引進(jìn)并采用自然單位，有二、力學(xué)量本征值問362.角動(dòng)量的一般定義令則有3.CG系數(shù)的概念若則展開系數(shù)稱之為CG系數(shù)。它表示耦合表象與非耦合表象基矢之間的關(guān)系2.角動(dòng)量的一般定義令則有3.CG系數(shù)的概念若則展開37a.根據(jù)體系Hamilton量形式和對(duì)稱性b.滿足問題的邊界條件三、變分法（步驟）1.確定試探波函數(shù)原則：c.應(yīng)包含一個(gè)或多個(gè)變分參數(shù)2.求Hamilton在試探波函數(shù)中的平均值3.求此平均值對(duì)變分參數(shù)λ的極值4.求出λ并由此得到基態(tài)能量和波函數(shù)a.根據(jù)體系Hamilton量形式和對(duì)稱性b.滿足問題的邊界381.量子態(tài)隨時(shí)間的演化對(duì)Hamilton不含時(shí)的體系，Schr?dinger方程的解可寫為若采取能量表象，則有四、量子躍遷2.量子躍遷幾率躍遷速率1.量子態(tài)隨時(shí)間的演化對(duì)Hamilton不含時(shí)的體系，S39含時(shí)微擾論的一級(jí)近似解為3.含時(shí)微擾論躍遷幾率公式為從初態(tài)到附近一系列可能末態(tài)躍遷速率之和為此公式稱為Fermi黃金規(guī)則4.黃金規(guī)則含時(shí)微擾論的一級(jí)近似解為3.含時(shí)微擾論躍遷幾率公式為從初405.能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系>~意義:能量分辨和時(shí)間分辨是不可能同時(shí)達(dá)到高精度要求的。6.光的吸收與受激輻射微擾項(xiàng)躍遷幾率躍遷速率對(duì)非偏振自然光上式對(duì)躍遷選擇定則的給出很重要。達(dá)到平衡時(shí)吸收系數(shù)與受激輻射系數(shù)的關(guān)系。5.能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系>~意義:能量分辨和時(shí)間分辨41中心勢(shì)作用下的波函數(shù)在處的漸近行為是散射截面(又稱微分截面或角分布)與散射振幅的關(guān)系五、散射現(xiàn)象的描述總截面1.散射的量子力學(xué)描述了解半徑為a的球體靶子及球方勢(shì)壘s分波的總散射截面的表達(dá)式。中心勢(shì)作用下的波函數(shù)在處的漸近行為是散射截面(422.分波法是在中心力場作用下粒子散射截面普遍計(jì)算方法散射振幅、微分截面及總截面用各分波的相移來表示的普遍表達(dá)式：3.光學(xué)定理它給出向前散射振幅f(0)與總截面的關(guān)系。2.分波法是在中心力場作用下粒子散射截面普遍計(jì)算方法散射振幅43利用Green函數(shù)的定義式4.Lippman-Schwinger方程給出了求解散射問題的積分方程此方程就是Lippman-Schwinger方程。5.利用留數(shù)定理，給出了散射問題的Born一級(jí)近似利用Green函數(shù)的定義式4.Lippman-Schwin44對(duì)于中心力場問題，采用球坐標(biāo)，可得散射振幅為其中比較Born近似法和分波法，一般說來,Born近似較適用于高能粒子散射，而分波法較適用于低能粒子散射，因?yàn)榇藭r(shí)只需考慮l

較小的那些分波。而散射截面為對(duì)于中心力場問題，采用球坐標(biāo)，可得散射振幅為其中比較Born45下面就最后這兩章上節(jié)習(xí)題課。6.全同粒子的散射截面（1）無自旋的不同粒子之間的碰撞（2）無自旋的兩個(gè)全同粒子之間的碰撞（3）自旋為1/2的全同粒子之間的碰撞下面就最后這兩章上節(jié)習(xí)題課。6.全同粒子的散射截面（1）無自46設(shè)把處于基態(tài)的氫原子放在平行板電容器中，取平行板法線方向?yàn)閦軸方向、電場沿z軸方向可視作均勻，設(shè)電容器突然充電然后放電，電場隨時(shí)間變化規(guī)律是：求時(shí)間充分長后，氫原子躍遷到2s或2p態(tài)的幾率。習(xí)題1設(shè)把處于基態(tài)的氫原子放在平行板電容器中，取平行板法線方向?yàn)閦47解：按照習(xí)慣表示法,氫原子的初態(tài)（k態(tài)）的波函數(shù)是：Ψ100，末態(tài)（k’態(tài)）的波函數(shù)是Ψ200或Ψ2lm態(tài)，它們的顯式是如下：【分析】這是個(gè)含時(shí)微擾問題。利用公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要知道微擾項(xiàng)和初末態(tài)。解：按照習(xí)慣表示法,氫原子的初態(tài)（k態(tài)）的波函數(shù)是：Ψ10048這些公式的后面者要用來計(jì)算幾率。從題意看來，原子所受的微擾是個(gè)隨時(shí)間變化的涵數(shù)，而且，電場的方向是固定的，與光照射情形不同（光的電磁場是看作各向同性的），因此只能用一般的隨時(shí)間變化的躍遷振幅公式：

這些公式的后面者要用來計(jì)算幾率。從題意看來，原子所受的微擾是49微擾是指氫原子在此均勻電場中的偶極矩勢(shì)能：

微擾算符H‘在初態(tài)Ψk（Ψ100）以及末態(tài)（即Ψ200或Ψ2lm）Ψk’態(tài)之間的矩陣元是：微擾是指氫原子在此均勻電場中的偶極矩勢(shì)能：50將（6）式化入（4）先對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分；并認(rèn)為充分長時(shí)間可以用t→∞表達(dá)：將（6）式化入（4）先對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分；并認(rèn)為充分長時(shí)間可以用51其次計(jì)算偶極矩陣元與無關(guān)部分(ez)k’k,按題意，要求兩種躍遷幾率，下面分別進(jìn)行：（1s→2s）躍遷，即從態(tài)Ψ100躍遷到Ψ200的幾率：知道C200,100=0，W200,100=0，即自1s向2s的躍遷不存在。將其代入式其次計(jì)算偶極矩陣元與無關(guān)部分(ez)k’k,按題意，要求兩種52再考察(1s→2p)的躍遷，由于2p有三種不同態(tài)，自1s躍遷到每一態(tài)都有一定幾率，因而要分別計(jì)算再求總和。同理可求再考察(1s→2p)的躍遷，由于2p有三種不同態(tài)，自1s躍遷53量子力學(xué)12-2課件54相應(yīng)的躍遷幾率(自Ψ100態(tài)→Ψ210態(tài))因C211,100=0,C21-1,100=0，則:將三種值分別代入式得：﹟相應(yīng)的躍遷幾率(自Ψ100態(tài)→Ψ210態(tài))因C211,1055習(xí)題2具有電荷q的離子,在其平衡位置附近作一維簡諧振動(dòng),在光的照射下發(fā)生躍遷,入射光能量密度為ρ(ω),波長較長,求:(1)躍遷選擇定擇。(2)設(shè)離子處于基態(tài)，求每秒躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。【分析】本題是一維運(yùn)動(dòng),可以假設(shè)電磁場力的方向與振動(dòng)方向一致。為了確定諧振子在光照射下的躍遷選擇定則，先計(jì)算躍遷速率，因?yàn)槭请S時(shí)間作交變的微擾，可以用專門的公式：習(xí)題2具有電荷q的離子,在其平衡位置附近作一維簡諧振動(dòng),在光56式中應(yīng)理解為諧振子的矢徑的矩陣元的平方和,但在一維諧振子情形，僅有一項(xiàng)，此時(shí)解:(1)利用諧振子的無微擾能量本征函數(shù)求矩陣元式中式中應(yīng)理解為諧振子的矢徑的矩陣元的平方和,但在一57利用諧振子定態(tài)波函數(shù)的遞推公式：代入(3)，利用波函數(shù)的正交歸一化關(guān)系：有由此知道，對(duì)指定的初態(tài)k來說，要使矢徑矩陣元（即偶極矩陣元）不為零，則末態(tài)k’和初態(tài)k的關(guān)系必需是：利用諧振子定態(tài)波函數(shù)的遞推公式：代入(3)，利用波函數(shù)的正58因此有---一維諧振子躍遷的選擇定則是:初末態(tài)的量子數(shù)差數(shù)是1。(2)每秒鐘從基態(tài)k=0躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率可以從(2)式和(7)式得到：﹟因此有---一維諧振子躍遷的選擇定則是:初末態(tài)的量子數(shù)差數(shù)是59習(xí)題3計(jì)算氫原子的第一激發(fā)態(tài)的自發(fā)輻射系數(shù)解:按照愛因斯坦輻射理論,這系數(shù)是:第一激發(fā)態(tài)是指E2的態(tài)(四度簡并的),從第一激發(fā)態(tài)只能躍遷到基態(tài)E1。關(guān)于偶極矩陣元，就注意到：現(xiàn)在應(yīng)當(dāng)分別就四種躍遷計(jì)算其躍遷的幾率，最后求總和，這才能代表E1→E2的躍遷.習(xí)題3計(jì)算氫原子的第一激發(fā)態(tài)的自發(fā)輻射系數(shù)解:按照愛60(200→100躍遷）按照氫原子選擇定則，只有滿足以下兩式教材P339距陣元才不全為零。因此不滿足以上條件的躍遷是禁戒的。但是我們也可以不用這個(gè)定則，直接用波涵數(shù)得出該結(jié)果：(200→100躍遷）按照氫原子選擇定則，只有滿教材P361代入（2）和（1）得：代入（2）和（1）得：62(II)(210→100躍遷）這種躍遷不違背定則，是可能的。(II)(210→100躍遷）這種躍遷不違背定則，是可63代入（1）得：前式中的共振頻率ωk’k用k’=2,k=1代入，并使用氫原子能級(jí)公式：代入（6）式得：代入（1）得：前式中的共振頻率ωk’k用k’=2,k=1代入64(III)211→100躍遷，仿照前一計(jì)算：(III)211→100躍遷，仿照前一計(jì)算：65因而有：代入（1）有：因而有：代入（1）有：6621-1→100躍遷：按題意,從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)的幾率,應(yīng)當(dāng)包括第一激發(fā)態(tài)的四種簡并Ψ200,Ψ211,Ψ21-1,Ψ210分別躍遷到Ψ100的總幾率,所以應(yīng)當(dāng)將(7)、(9)、(10)求總和，于是有：21-1→100躍遷：按題意,從第一激發(fā)態(tài)躍遷到基態(tài)的67根據(jù)前一題計(jì)算所得到的自發(fā)輻射系數(shù)A2p→1s，以及相應(yīng)的發(fā)射頻率ω21的值，我們可以求得賴曼系數(shù)中第一條線的強(qiáng)度I21(ω21)，這里n2p是輻射前處在2p態(tài)上的氫原子數(shù)目，其它能級(jí)間有躍遷時(shí)，Ik’k(ωk’k)的計(jì)算也按上述步驟。﹟根據(jù)前一題計(jì)算所得到的自發(fā)輻射系數(shù)A2p→1s，以及相應(yīng)的發(fā)68設(shè)有一個(gè)自旋是的粒子，相應(yīng)的磁矩是μ=gs，粒子置于旋轉(zhuǎn)磁場中，磁場是：粒子與磁場的作用能是：。又設(shè)粒子原先處于的態(tài)，試討論躍遷幾率?！痉治觥勘绢}是一個(gè)具有自旋的體系，所受的微擾是隨時(shí)間變化的，但不同于光照射，因此不能使用光照躍遷公式，也要用最普遍的隨時(shí)間變化的躍遷公式。計(jì)算中的算符可用角動(dòng)量表象。習(xí)題4設(shè)有一個(gè)自旋是的粒子，相應(yīng)的磁矩是μ=gs，粒69解：微擾算符解：微擾算符70其次，設(shè)法來表示體系的初末狀態(tài)，因?yàn)橛凶孕圆ê瘮?shù)適宜用旋量式，按照題意，粒子的自旋初態(tài)是正的自旋，因此若設(shè)定軌道運(yùn)動(dòng)，則末態(tài)方面，由于自旋只可能有兩種，因而只會(huì)有兩種指定的末態(tài)。此外，因?yàn)槲_是磁場，它引起的附加能量只與自旋有關(guān)，與軌道運(yùn)動(dòng)無關(guān)，軌道波函數(shù)是不變的，所以，所述兩種末態(tài)波函數(shù)是：其次，設(shè)法來表示體系的初末狀態(tài)，因?yàn)橛凶孕圆ê瘮?shù)適宜用71在能量方面，若一開始粒子就在磁場之中，則除軌道運(yùn)動(dòng)能量外應(yīng)考察自旋軌道相互作用但是軌道能量，同理，末態(tài)的總能量是：在能量方面，若一開始粒子就在磁場之中，則除軌道運(yùn)動(dòng)能量外應(yīng)考72根據(jù)（3）的兩個(gè)式子，配合（1）和（2），可算得矩陣元。先對(duì)第一種躍遷進(jìn)行計(jì)算，即k→k’情形，假定是歸一化的：根據(jù)（3）的兩個(gè)式子，配合（1）和（2），可算得矩陣元。先對(duì)73再根據(jù)與時(shí)間有關(guān)的微擾躍遷振幅公式此式中將此結(jié)果連同(6)代入(7),得:躍遷幾率再根據(jù)與時(shí)間有關(guān)的微擾躍遷振幅公式此式中將此結(jié)果連同(6)代74這是指粒子處在原狀態(tài)的幾率,是與時(shí)間平方成正比的.再計(jì)算第二種躍遷遷幾率,即k→k’’的情形這是指粒子處在原狀態(tài)的幾率,是與時(shí)間平方成正比的.再計(jì)算75同樣可以用(7)來計(jì)算躍遷振幅,此式中的頻率躍變(實(shí)際上是能量躍遷)代入(7)式(k更改為k”)同樣可以用(7)來計(jì)算躍遷振幅,此式中的頻率躍變代入(7)式76躍遷幾率若將（10）式展開到t2項(xiàng)再和（8）式相加，近似地驗(yàn)證了躍遷幾率的守恒性質(zhì)。最后一式是虛指數(shù)積分,近似地用δ函數(shù)表示（時(shí)間很長以后）﹟躍遷幾率若將（10）式展開到t2項(xiàng)再和（8）式相加，近似地驗(yàn)77試用玻恩近似計(jì)算庫侖散射的微分截面σ(θ),庫侖勢(shì)為,入射粒子質(zhì)量為μ,速度為v,α為實(shí)數(shù).將代入上式,其中習(xí)題5[解]散射的玻恩近似公式為試用玻恩近似計(jì)算庫侖散射的微分截面σ(θ),庫侖勢(shì)為78用下述方法可以確定上述積分值,將(3)式代入(2)式,得﹟用下述方法可以確定上述積分值,將(3)式代入(2)式,得﹟79考慮兩個(gè)質(zhì)量為m的高能全同粒子散射,相互作用力勢(shì)為,其中A與α是大于0的常數(shù),分別在以下情況用玻恩近似公式計(jì)算散射微分截面σ(θ):(1)粒子自旋s=0;(2)粒子自旋s=1/2;并且散射是非極化的;(3)粒子自旋s=1/2;并且這兩個(gè)粒子的自旋均指向

z軸正方向.提示:習(xí)題6考慮兩個(gè)質(zhì)量為m的高能全同粒子散射,相互作用力勢(shì)為80[解]在中心力場V(r)中,出射球面波振幅其中將代入(1)式,并利用提示積分公式和(2)式,算出[解]在中心力場V(r)中,出射球面波振幅其中將81(1)s=0的全同粒子散射(2)s=1/2的全同粒子非極化散射--無規(guī)分布(1)s=0的全同粒子散射(2)s=1/2的全同82(3)s=1/2的全同粒子極化散射,散射體系處于總自旋s=1,ms=1的態(tài)﹟(3)s=1/2的全同粒子極化散射,散射體83感謝各位一年來對(duì)我教學(xué)工作的配合！祝大家量子力學(xué)考試取得好成績！感謝各位一年來祝大家量子力學(xué)考試84§12.3

Lippman-Schwinger方程Born近似12.3.1

Lippman-Schwinger方程一、

Green函數(shù)的引進(jìn)前面提到，動(dòng)量為的入射粒子對(duì)勢(shì)場的散射,可以歸結(jié)為求解S-方程滿足下列邊界條件§12.3Lippman-Schwinger方程185定義Green函數(shù)，它滿足下面證明,由上述Green函數(shù)所定義的波函數(shù)是方程的一個(gè)解。[證明]利用上述Green函數(shù)的定義，有﹟定義Green函數(shù)，它滿足下面證明,由86這樣方程的解可以表成式中是滿足下列齊次方程的任何一個(gè)解也就是說,解還是不確定的。這種不確定性由入射波的邊界條件來定。對(duì)于力程為有限的勢(shì)場，如假設(shè)入射粒子具有動(dòng)量，其入射波表為，這樣方程的解可以表成式中是滿足下列齊次方程87此時(shí)，可取為，則散射問題歸結(jié)為求解下列積分方程上述方程就是Lippman-Schwinger方程，這是一個(gè)積分方程。為確定式中的Green函數(shù)，要利用散射波邊界條件﹟此時(shí)，可取為，則散射問題歸結(jié)為求解下列88二、

Green函數(shù)的求解對(duì)Green函數(shù)的定義式由于等式右邊只是的函數(shù),只與和的相對(duì)位置有關(guān)，故可以寫成的形式。寫出的Fourier變換式并將其代入上式，利用以及？二、Green函數(shù)的求解對(duì)Green函數(shù)的定義式由于等式89可以求得即因此令則有可以求得即因此令則有90對(duì)所得公式加以分析可以發(fā)現(xiàn)，是被積函數(shù)的一級(jí)極點(diǎn),在數(shù)理方法中用留數(shù)定理計(jì)算出積分.如對(duì)積分容易算出函數(shù)在一級(jí)極點(diǎn)的留數(shù)和為其中是在其第個(gè)奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)洛浪展開中的系數(shù)，稱為留數(shù)，常寫作。上式稱為留數(shù)定理。對(duì)所得公式加以分析可以發(fā)現(xiàn)，是被積函數(shù)的一級(jí)91這樣根據(jù)留數(shù)定理，有即將其代入式由于物理上感興趣的是要求給出往外出射的波，故選積分路徑如右圖所示：計(jì)算我們所需積分，要選取適當(dāng)?shù)姆e分路徑。這樣根據(jù)留數(shù)定理，有即將其代入式由于物理上感興趣的是要求給出92得這就是方程滿足邊界條件的解.由于積分號(hào)內(nèi)含有待求未知函數(shù),實(shí)際上還是個(gè)積分方程，常采用逐級(jí)近似解法。下節(jié)課介紹一種近似解法。﹟得這就是方程滿足邊界條件的解.由于積分號(hào)內(nèi)含有待求未知函數(shù)93上次課復(fù)習(xí)為求解波函數(shù)，定義了Green函，它滿足并證明了由Green函數(shù)所定義的波函數(shù)是方程的一個(gè)解，從而其一般解可表成上次課復(fù)習(xí)為求解波函數(shù)，定義了Green函94而是滿足下列齊次方程的任何一個(gè)解若取為，則散射問題歸結(jié)為求解下列積分方程上述方程就是Lippman-Schwinger方程，這是一個(gè)積分方程，需要給出Green函數(shù)。而是滿足下列齊次方程的任何一個(gè)解若95根據(jù)留數(shù)定理，有是滿足邊界條件的解.下面介紹一種近似解法。這樣由于積分號(hào)內(nèi)含有待求未知函數(shù),實(shí)際上還是個(gè)積分方程，常采用逐級(jí)近似解法。根據(jù)留數(shù)定理，有是滿足邊界條件的解.下面介紹一種近似解法。這9612.3.2

Born近似如把出射粒子與靶子的相互作用看成微擾，則式可作為的一級(jí)近似解，而其右邊的微擾項(xiàng)中可用零級(jí)近似解代替，即這就是散射問題的Born一級(jí)近似。一、散射問題的Born一級(jí)近似解12.3.2Born近似如把出射粒子與靶子的相互作用97假設(shè)具有有限力程，則上式中的積分實(shí)際上只局限于空間一個(gè)有限區(qū)域。當(dāng)時(shí)，是一光滑的緩變函數(shù),而且當(dāng)?shù)环e函數(shù)的分子中是一個(gè)隨迅速振蕩的函數(shù)，所以有下面考慮式在處的漸近行為。假設(shè)具有有限力程，則上式中的積分實(shí)際上只局限98式中是出射粒子的動(dòng)量。對(duì)于彈性散射，，這樣，由上式及可以得出﹟式中是出射粒子99與下式比較，得二、Born一級(jí)近似解下的散射截面式且見下圖：與下式比較，得二、Born一級(jí)近似解下的散射截面式且見下圖：100見下圖：是散射過程中粒子的動(dòng)量轉(zhuǎn)移。由右圖可以看出，是散射角?？梢钥闯?，由除了一個(gè)常數(shù)因子外,散射振幅就是相互作用的Fourier變換。若為中心勢(shì)，則與角無關(guān)。見下圖：是散射過程中粒子的動(dòng)量轉(zhuǎn)移。由右圖可以看出101這樣，我們?cè)谟?jì)算積分時(shí)，是同積分變量無關(guān)的常矢量。積分同坐標(biāo)系的選擇無關(guān)，可選擇方向?yàn)檩S方向，采用球坐標(biāo)系，從而得出在為中心力場的情況下，此積分可化簡為這樣，我們?cè)谟?jì)算積分102其中，如前所述而散射截面為由上式可以看出，越大，則越小。而對(duì)于高速入射粒子，很大，主要集中在小角度范圍內(nèi)。代入式得將﹟其中，如前所述而散射截面為由上式可以看出，越大，則103三、Born近似的適用條件在Born近似下如Born近似是一個(gè)好的近似，就要求由于勢(shì)場V對(duì)散射波的影響在靶子鄰域()內(nèi)最強(qiáng)，故上述條件可換成三、Born近似的適用條件在Born近似下如Born近似是一104設(shè)V為中心場，則要求這就是Born近似成立的條件。若入射粒子能量很低，此時(shí)則上式化為?設(shè)V為中心場，則要求這就是Born近似成立的條件。若入射粒105若V(r)具有有限力程（≈r0）,強(qiáng)度≈V0，則上式化為反之，若入射粒子能量很高，將隨迅速振蕩，此時(shí)上式第一項(xiàng)為，隨迅速振蕩，對(duì)積分無貢獻(xiàn)；第二項(xiàng)主要局限在區(qū)域中對(duì)積分有貢獻(xiàn)，其值約為這是低能條件下的必然結(jié)果。若V(r)具有有限力程（≈r0）,強(qiáng)度≈V0，則上式化為反之106化為可以看出，如果Born近似在低能區(qū)適用，即反之，則不一定。則上述Born近似成立的條件則在高能區(qū)也適用，即下式必然滿足化為可以看出，如果Born近似在低能區(qū)適用，即反之，則不107比較Born近似法和分波法，一般說來,Born近似較適用于高能粒子散射，而分波法較適用于低能粒子散射，因?yàn)榇藭r(shí)只需考慮l較小的那些分波。﹟比較Born近似法和分波法，一般說來,Born近似較適用于108§12.4

全同粒子的散射全同粒子相碰撞,由于波函數(shù)的交換對(duì)稱性，將出現(xiàn)一些很有趣的特征，比如微分截面的不可分性和散射截面的對(duì)稱性等.這完全是一種量子效應(yīng)。下面討論幾種特殊粒子之間的碰撞。一、無自旋的不同粒子之間的碰撞以α粒子與氧原子核碰撞為例。α粒子與氧原子核的基態(tài)自旋都是0?？紤]碰撞。如下圖§12.4全同粒子的散射全同粒子相碰撞,由于波函數(shù)的交換109這是質(zhì)心坐標(biāo)系中的圖像。其中D1和D2是兩個(gè)探測(cè)器,(a)圖表示在θ方向D1獲得一個(gè)α粒子，而在方向D2測(cè)得一個(gè)O核。(b)圖則正好α與O核交換了一下。這是質(zhì)心坐標(biāo)系中的圖像。其中D1和D2是兩個(gè)探測(cè)器,(a)110設(shè)在θ方向測(cè)得α粒子的散射振幅為f(θ)，微分截面為|f(θ)|2。按照?qǐng)D(b)，O核在θ方向的散射振幅與α粒子在(π-θ)方向的散射振幅f(π-θ)相同，截面為|f(π-θ)

|2。因此,在θ方向測(cè)得粒子（不管是α還是O核）的微分截面為設(shè)在θ方向測(cè)得α粒子的散射振幅為f(θ)，微分截面為|f(111二、無自旋的兩個(gè)全同粒子之間的碰撞以α-α粒子碰撞為例對(duì)于兩個(gè)α粒子之間的碰撞，考慮到波函數(shù)的交換對(duì)稱性，在質(zhì)心系中，入射波表示為z=z1-z2

是兩個(gè)α粒子相對(duì)坐標(biāo)的z

分量。經(jīng)散射后，,散射波對(duì)于兩個(gè)α粒子交換也是對(duì)稱的。二、無自旋的兩個(gè)全同粒子之間的碰撞以α-α粒子碰撞為例對(duì)于兩112當(dāng)兩個(gè)粒子交換時(shí)，，相當(dāng)于，即，。因此即散射振幅為。因此散射截面為與不同粒子的碰撞相比，最后兩項(xiàng)是多出來的，屬于干涉項(xiàng)，是全同粒子波函數(shù)交換對(duì)稱性帶來的。當(dāng)兩個(gè)粒子交換時(shí)，，相當(dāng)于113由于干涉項(xiàng)的存在，全同粒子散射的角分布有下列特點(diǎn)：在質(zhì)心系中，全同粒子散射截面對(duì)于角總是對(duì)稱的。因?yàn)榱罡鶕?jù)則有﹟由于干涉項(xiàng)的存在，全同粒子散射的角分布有下列特點(diǎn)：在質(zhì)心系中114三、自旋為1/2的全同粒子之間的碰撞以e-e電子碰撞為例電子具有自旋。對(duì)于兩個(gè)電子交換，波函數(shù)應(yīng)反對(duì)稱。兩個(gè)電子組成的體系，自旋態(tài)可以是單態(tài)（S=0）或三重態(tài)（S=1）。對(duì)自旋單態(tài)，其空間波函數(shù)對(duì)于交換空間坐標(biāo)應(yīng)要求是對(duì)稱的，因此散射振幅為?三、自旋為1/2的全同粒子之間的碰撞以e-e電子碰撞為例電子115對(duì)自旋三重態(tài)，其空間波函數(shù)對(duì)于交換空間坐標(biāo)應(yīng)要求是反對(duì)稱的，因此散射振幅為所以微分截面為設(shè)入射電子束與靶電子均未極化，即自旋方向是無規(guī)分布的。統(tǒng)計(jì)說來，有1/4幾率處于單態(tài)，3/4幾率處于三重態(tài)。因此微分截面為對(duì)自旋三重態(tài)，其空間波函數(shù)對(duì)于交換空間坐標(biāo)應(yīng)要求是反對(duì)稱的，116可以看出，上式即不同于不同粒子的散射截面，也不同于全同無自旋粒子的散射截面。最后兩項(xiàng)是干涉項(xiàng)。但同樣可以證明,在質(zhì)心系中散射截面對(duì)角也是對(duì)稱的。作業(yè):p3612，3﹟可以看出，上式即不同于不同粒子的散射截面，也不同于全同無自旋117方式：閉卷量子力學(xué)（2）考試相關(guān)說明內(nèi)容：本學(xué)期所講的五章內(nèi)容題型：1、單選題（8小題，共20分）2、判斷題（5小題，共10分）時(shí)間：本周六晚3、簡答證明題（3小題，共30分）4、計(jì)算題（3小題，共40分）方式：閉卷量子力學(xué)（2）考試相關(guān)說明內(nèi)容：本學(xué)期所講的五章內(nèi)118量子力學(xué)II學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.電磁場中帶電粒子的Schr?dinger方程2.正常Zeeman效應(yīng)：可以對(duì)能級(jí)分裂的解釋。一、粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)Landau能級(jí)及簡并度。量子力學(xué)II學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.電磁場中帶電粒子的Schr?di1191.對(duì)1D諧振子引進(jìn)并采用自然單位，有二、力學(xué)量本征值問題的代數(shù)解法有升降算符的概念1.對(duì)1D諧振子引進(jìn)并采用自然單位，有二、力學(xué)量本征值問1202.角動(dòng)量的一般定義令則有3.CG系數(shù)的概念若則展開系數(shù)稱之為CG系數(shù)。它表示耦合表象與非耦合表象基矢之間的關(guān)系2.角動(dòng)量的一般定義令則有3.CG系數(shù)的概念若則展開121a.根據(jù)體系Hamilton量形式和對(duì)稱性b.滿足問題的邊界條件三、變分法（步驟）1.確定試探波函數(shù)原則：c.應(yīng)包含一個(gè)或多個(gè)變分參數(shù)2.求Hamilton在試探波函數(shù)中的平均值3.求此平均值對(duì)變分參數(shù)λ的極值4.求出λ并由此得到基態(tài)能量和波函數(shù)a.根據(jù)體系Hamilton量形式和對(duì)稱性b.滿足問題的邊界1221.量子態(tài)隨時(shí)間的演化對(duì)Hamilton不含時(shí)的體系，Schr?dinger方程的解可寫為若采取能量表象，則有四、量子躍遷2.量子躍遷幾率躍遷速率1.量子態(tài)隨時(shí)間的演化對(duì)Hamilton不含時(shí)的體系，S123含時(shí)微擾論的一級(jí)近似解為3.含時(shí)微擾論躍遷幾率公式為從初態(tài)到附近一系列可能末態(tài)躍遷速率之和為此公式稱為Fermi黃金規(guī)則4.黃金規(guī)則含時(shí)微擾論的一級(jí)近似解為3.含時(shí)微擾論躍遷幾率公式為從初1245.能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系>~意義:能量分辨和時(shí)間分辨是不可能同時(shí)達(dá)到高精度要求的。6.光的吸收與受激輻射微擾項(xiàng)躍遷幾率躍遷速率對(duì)非偏振自然光上式對(duì)躍遷選擇定則的給出很重要。達(dá)到平衡時(shí)吸收系數(shù)與受激輻射系數(shù)的關(guān)系。5.能量-時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系>~意義:能量分辨和時(shí)間分辨125中心勢(shì)作用下的波函數(shù)在處的漸近行為是散射截面(又稱微分截面或角分布)與散射振幅的關(guān)系五、散射現(xiàn)象的描述總截面1.散射的量子力學(xué)描述了解半徑為a的球體靶子及球方勢(shì)壘s分波的總散射截面的表達(dá)式。中心勢(shì)作用下的波函數(shù)在處的漸近行為是散射截面(1262.分波法是在中心力場作用下粒子散射截面普遍計(jì)算方法散射振幅、微分截面及總截面用各分波的相移來表示的普遍表達(dá)式：3.光學(xué)定理它給出向前散射振幅f(0)與總截面的關(guān)系。2.分波法是在中心力場作用下粒子散射截面普遍計(jì)算方法散射振幅127利用Green函數(shù)的定義式4.Lippman-Schwinger方程給出了求解散射問題的積分方程此方程就是Lippman-Schwinger方程。5.利用留數(shù)定理，給出了散射問題的Born一級(jí)近似利用Green函數(shù)的定義式4.Lippman-Schwin128對(duì)于中心力場問題，采用球坐標(biāo)，可得散射振幅為其中比較Born近似法和分波法，一般說來,Born近似較適用于高能粒子散射，而分波法較適用于低能粒子散射，因?yàn)榇藭r(shí)只需考慮l

較小的那些分波。而散射截面為對(duì)于中心力場問題，采用球坐標(biāo)，可得散射振幅為其中比較Born129下面就最后這兩章上節(jié)習(xí)題課。6.全同粒子的散射截面（1）無自旋的不同粒子之間的碰撞（2）無自旋的兩個(gè)全同粒子之間的碰撞（3）自旋為1/2的全同粒子之間的碰撞下面就最后這兩章上節(jié)習(xí)題課。6.全同粒子的散射截面（1）無自130設(shè)把處于基態(tài)的氫原子放在平行板電容器中，取平行板法線方向?yàn)閦軸方向、電場沿z軸方向可視作均勻，設(shè)電容器突然充電然后放電，電場隨時(shí)間變化規(guī)律是：求時(shí)間充分長后，氫原子躍遷到2s或2p態(tài)的幾率。習(xí)題1設(shè)把處于基態(tài)的氫原子放在平行板電容器中，取平行板法線方向?yàn)閦131解：按照習(xí)慣表示法,氫原子的初態(tài)（k態(tài)）的波函數(shù)是：Ψ100，末態(tài)（k’態(tài)）的波函數(shù)是Ψ200或Ψ2lm態(tài)，它們的顯式是如下：【分析】這是個(gè)含時(shí)微擾問題。利用公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，需要知道微擾項(xiàng)和初末態(tài)。解：按照習(xí)慣表示法,氫原子的初態(tài)（k態(tài)）的波函數(shù)是：Ψ100132這些公式的后面者要用來計(jì)算幾率。從題意看來，原子所受的微擾是個(gè)隨時(shí)間變化的涵數(shù)，而且，電場的方向是固定的，與光照射情形不同（光的電磁場是看作各向同性的），因此只能用一般的隨時(shí)間變化的躍遷振幅公式：

這些公式的后面者要用來計(jì)算幾率。從題意看來，原子所受的微擾是133微擾是指氫原子在此均勻電場中的偶極矩勢(shì)能：

微擾算符H‘在初態(tài)Ψk（Ψ100）以及末態(tài)（即Ψ200或Ψ2lm）Ψk’態(tài)之間的矩陣元是：微擾是指氫原子在此均勻電場中的偶極矩勢(shì)能：134將（6）式化入（4）先對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分；并認(rèn)為充分長時(shí)間可以用t→∞表達(dá)：將（6）式化入（4）先對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分；并認(rèn)為充分長時(shí)間可以用135其次計(jì)算偶極矩陣元與無關(guān)部分(ez)k’k,按題意，要求兩種躍遷幾率，下面分別進(jìn)行：（1s→2s）躍遷，即從態(tài)Ψ100躍遷到Ψ200的幾率：知道C200,100=0，W200,100=0，即自1s向2s的躍遷不存在。將其代入式其次計(jì)算偶極矩陣元與無關(guān)部分(ez)k’k,按題意，要求兩種136再考察(1s→2p)的躍遷，由于2p有三種不同態(tài)，自1s躍遷到每一態(tài)都有一定幾率，因而要分別計(jì)算再求總和。同理可求再考察(1s→2p)的躍遷，由于2p有三種不同態(tài)，自1s躍遷137量子力學(xué)12-2課件138相應(yīng)的躍遷幾率(自Ψ100態(tài)→Ψ210態(tài))因C211,100=0,C21-1,100=0，則:將三種值分別代入式得：﹟相應(yīng)的躍遷幾率(自Ψ100態(tài)→Ψ210態(tài))因C211,10139習(xí)題2具有電荷q的離子,在其平衡位置附近作一維簡諧振動(dòng),在光的照射下發(fā)生躍遷,入射光能量密度為ρ(ω),波長較長,求:(1)躍遷選擇定擇。(2)設(shè)離子處于基態(tài)，求每秒躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率。【分析】本題是一維運(yùn)動(dòng),可以假設(shè)電磁場力的方向與振動(dòng)方向一致。為了確定諧振子在光照射下的躍遷選擇定則，先計(jì)算躍遷速率，因?yàn)槭请S時(shí)間作交變的微擾，可以用專門的公式：習(xí)題2具有電荷q的離子,在其平衡位置附近作一維簡諧振動(dòng),在光140式中應(yīng)理解為諧振子的矢徑的矩陣元的平方和,但在一維諧振子情形，僅有一項(xiàng)，此時(shí)解:(1)利用諧振子的無微擾能量本征函數(shù)求矩陣元式中式中應(yīng)理解為諧振子的矢徑的矩陣元的平方和,但在一141利用諧振子定態(tài)波函數(shù)的遞推公式：代入(3)，利用波函數(shù)的正交歸一化關(guān)系：有由此知道，對(duì)指定的初態(tài)k來說，要使矢徑矩陣元（即偶極矩陣元）不為零，則末態(tài)k’和初態(tài)k的關(guān)系必需是：利用諧振子定態(tài)波函數(shù)的遞推公式：代入(3)，利用波函數(shù)的正142因此有---一維諧振子躍遷的選擇定則是:初末態(tài)的量子數(shù)差數(shù)是1。(2)每秒鐘從基態(tài)k=0躍遷到第一激發(fā)態(tài)的幾率可以從(2)式和(7)式得到：﹟因此有---一維諧振子躍遷的選擇定則是:初末態(tài)的量子數(shù)差數(shù)是143習(xí)題3計(jì)算氫原子的第一激發(fā)態(tài)的自發(fā)輻射系數(shù)解:按照愛因斯坦輻射理論,這系數(shù)是:第一激發(fā)態(tài)是指E2的態(tài)(四度簡并的),從第一激發(fā)態(tài)只能躍遷到基態(tài)E1。關(guān)于偶極矩陣元，就注意到：現(xiàn)在應(yīng)當(dāng)分別就四種躍遷計(jì)算其躍遷的幾率，最后求總和，這才能代表E1→E2的躍遷.習(xí)題3計(jì)算氫原子的第一激發(fā)態(tài)的自發(fā)輻射系數(shù)解:按照愛144(200→100躍遷）按照氫原子選擇定則，只有滿足以下兩式教材P339距陣元才不全為零。因此不滿足以上條件的躍遷是禁戒的。但是我們也可以不用這個(gè)定則，直接用波涵數(shù)得出該結(jié)果：(200→100躍遷）按照氫原子選擇定則，只有滿教材P3145代入（2）和（1）得：代入（2）和（1）得：146(II)(210→100躍遷）這種躍遷不違背定則，是可能的。(II)(210→100躍遷）這種躍遷不違背定則，是可147代入（1）得：前式中的共振頻率ωk’k用k’=2,k=1代入，并使用氫原子能級(jí)公式：代入（6）式得：代入（1）得：前式中的共振頻率ωk’k用k’=2,k=1代入148(III)211→100躍遷，仿照前一計(jì)算：(III)211→100躍遷，仿照前一計(jì)算：149因而有：代入（1）有：因而有：代入（1）有：15021-1