陶華君：高考數(shù)學(xué)選擇題-填空解題方法

陶華君制作PAGE14高考數(shù)學(xué)選擇題解題方法一，直接法所謂直接法，就是直接從題設(shè)的條件出發(fā)，運(yùn)用有關(guān)的概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識，通過嚴(yán)密的推理和計(jì)算來得出題目的結(jié)論。【例1】已知與分別是定義在上的奇函數(shù)與偶函數(shù)，若則等于（）A,B,C,1D,【解析】此題可以先求出函數(shù)的解析式，然后求解，也可以直接求，選B【例2】函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))＋sin2x的最小正周期是()A.eq\f(π,2)B．πC．2πD．4π【解析】y＝eq\f(\r(3),2)cos2x－eq\f(1,2)sin2x＋sin2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，T＝π，選B.【例3】06全國Ⅰ理8）拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是（）A、B、C、D、3【解析】設(shè)直線與相切，則聯(lián)立方程知，令，有，∴兩平行線之間的距離，選A【例4】圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為的點(diǎn)共有（）Ａ.1個Ｂ.2個Ｃ.3個Ｄ.4個【解析】將圓的方程化為(x＋1)2＋(y＋2)2＝(2)2,∴r＝2.∵圓心(－1，－2)到直線x＋y＋1＝0的距離d＝＝,恰為半徑的一半．故選Ｃ．【例5】設(shè)F1、F2為雙曲線－y2＝1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上滿足∠F1PF2＝90o，則△F1PF2的面積是（）Ａ.1Ｂ./2Ｃ.2Ｄ.【解析】＝1，選Ａ．或者直接用結(jié)論求解：在橢圓中，在雙曲線中【例6】橢圓mx2＋ny2＝1與直線x＋y＝1交于A、B兩點(diǎn)，過AB中點(diǎn)M與原點(diǎn)的直線斜率為，則的值為（）Ａ.Ｂ.Ｃ.1Ｄ.【解析】命題：“若斜率為k(k≠0)的直線與橢圓＋＝1（或雙曲線－＝1）相交于A、B的中點(diǎn)，則k·kOM＝－(或k·kOM＝)，”（證明留給讀者）在處理有關(guān)圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題中有著廣泛的應(yīng)用．運(yùn)用這一結(jié)論，不難得到：解∵kAB·kOM＝－＝－＝－∴＝－kAB·kOM＝1·＝，故選Ａ．【例7】等于（）A．B.2C.-2D.+2[解析]∵.故選D二，特例法包括選取符合題意的特殊數(shù)值、特殊位置、特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊圖形等，代入或者比照選項(xiàng)來確定答案。這種方法叫做特值代驗(yàn)法，是一種使用頻率很高的方法?！纠?】若函數(shù)是偶函數(shù)，則的對稱軸是（）A、B、C、D、【解析】因?yàn)槿艉瘮?shù)是偶函數(shù)，作一個特殊函數(shù)，則變?yōu)?，即知的對稱軸是，選C【例2】△ABC的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，，則的取值是（）A、-1B、1C、-2D、2【解析】特殊化處理，不妨設(shè)△ABC為直角三角形，則圓心O在斜邊中點(diǎn)處，此時(shí)有，，選B【例3】已知定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y＝f(x)恒不為零，同時(shí)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1，那么當(dāng)x<0時(shí)，一定有()A．f(x)<－1B．－1<f(x)<0C．f(x)>1D．0<f(x)<1【解析】取特殊函數(shù)．設(shè)f(x)＝2x，顯然滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)(即2x＋y＝2x·2y)，且滿足x>0時(shí)，f(x)>1，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)x<0時(shí)，0<2x<1，即0<f(x)<1.答案：D【例4】．若動點(diǎn)P、Q在橢圓9x2＋16y2＝144上，且滿足OP⊥OQ，則中心O到弦PQ的距離OH必等于()A.eq\f(20,3)B.eq\f(23,4)C.eq\f(12,5)D.eq\f(4,15)【解析】選一個特殊位置(如圖)，令OP、OQ分別在長、短正半軸上，由a2＝16，b2＝9得，OP＝4，OQ＝3，則OH＝eq\f(12,5).根據(jù)“在一般情況下成立，則在特殊情況下也成立”可知，答案C正確．【例5】（2010重慶理數(shù)）(5)函數(shù)的圖象()A.關(guān)于原點(diǎn)對稱B.關(guān)于直線y=x對稱C.關(guān)于x軸對稱D.關(guān)于y軸對稱【解析】是偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱通過特殊值法即可，即選D【例6】過拋物線ｙ＝ｘ2（ａ>0）的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，若線段FP與FQ的長分別是ｐ、ｑ，則＝（）.A.2ａB.C.4ａD.【解析】由題意知，對任意的過拋物線焦點(diǎn)F的直線，的值都是的表示式，因而取拋物線的通徑進(jìn)行求解，則ｐ＝ｑ＝，所以=，故應(yīng)選D.【例7】已知等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（）A．130B．170C．210D．260【解析】解法1：特殊化法。令m=1，則a1=S1=30，又a1+a2=S2=100∴a2=70∴等差數(shù)列的公差d=a2–a1=40，于是a3=a2+d=110故應(yīng)選C解法2，利用等差數(shù)列的求和公式求解【例8】（08江西卷6）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是（）【解析】利用特殊值x=代入即可答案選D【例9】（06北京卷）設(shè)，則等于（） （A） （B）（C） （D）【解析】依題意，為首項(xiàng)為2，公比為8的前n＋4項(xiàng)求和，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式可得D。另外特例法解，設(shè)n=0,則所以選D【例10】（10全國Ⅱ）如果等差數(shù)列中，，那么（）（A）14（B）21（C）28（D）35【解析】直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)可解，由已知得，所以也可以設(shè)，可以求出前7項(xiàng)和【例11】（10年安徽理）設(shè)，二次函數(shù)的圖像可能是（）【解析】特例法即可，取即可選出D【例12】設(shè)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=+2x+b(b常數(shù))，則f(-1)=（）(A)3(B)1(C)-1(D)-3【解析】然后可求出選D三、數(shù)形結(jié)合“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”華羅庚。畫出圖形或者圖象能夠使問題提供的信息更直觀地呈現(xiàn)，從而大大降低思維難度，是解決數(shù)學(xué)問題的有力策略，這種方法使用得非常之多?！纠?】(2008陜西文、理)雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，若垂直于軸，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．做出圖形即可求出答案B【例2】（07江蘇6）設(shè)函數(shù)定義在實(shí)數(shù)集上，它的圖象關(guān)于直線對稱，且當(dāng)時(shí)，，則有（）A、B、C、D．【解析】當(dāng)時(shí)，，的圖象關(guān)于直線對稱，則圖象如圖所示。這個圖象是個示意圖，事實(shí)上，就算畫出的圖象代替它也可以。由圖知，符合要求的選項(xiàng)是B，【例3】若P（2，-1）為圓的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（）A、B、C、D、【解析】畫出圓和過點(diǎn)P的直線，再看四條直線的斜率，即可知選A【例4】（07遼寧）已知變量、滿足約束條件，則的取值范圍是（）A、B、C、D、【解析】把看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)所在直線的斜率，不難求得答案，選A。）【例5】曲線與直線有兩個公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是（）A、B、C、D、【解析】事實(shí)上不難看出，曲線方程的圖象為，表示以（1，0）為圓心，2為半徑的上半圓，如圖。直線過定點(diǎn)（2，4），那么斜率的范圍就清楚了，選D【例6】函數(shù)在區(qū)間A上是增函數(shù)，則區(qū)間A是（）A、B、C、D、【解析】作出該函數(shù)的圖象如右，知應(yīng)該選B【例7】、（06湖南理10）若圓上至少有三個不同的點(diǎn)到直線的距離為，則直線的傾斜角的取值范圍是（）A、B、C、D、【解析】圓方程化為，由題意知，圓心到直線的距離應(yīng)該滿足，在已知圓中畫一個半徑為的同心圓，則過原點(diǎn)的直線與小圓有公共點(diǎn)，∴選B?！纠?】方程的實(shí)根的個數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4【解析】在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)cosx與lgx的圖象，如圖，由兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)的個數(shù)為3，知應(yīng)選C【例9】(07天津理7)在R上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且。若在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，則（）A、在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)B、在區(qū)間[-2，-1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)C、在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是增函數(shù)D、在區(qū)間[-2，-1]上是減函數(shù)，在區(qū)間[3，4]上是減函數(shù)【解析】是抽象函數(shù)，因此畫出其簡單圖象即可得出結(jié)論，如下左圖知選B）【例10】（05年四川）若，則（）A、B、C、D、【解析】構(gòu)造斜率即可，構(gòu)造函數(shù)上的三點(diǎn)和原點(diǎn)的斜率B?！纠?1】(10年湖北)設(shè)集合A=，B=,則A∩B的子集的個數(shù)是（）A.4B.3C.2D.1【解析】考查集合的意義與數(shù)形結(jié)合思想，及一個有限集的子集的個數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系中畫出和的圖像，知道圖像有兩個公共點(diǎn)，所以A∩B元素有2個，所以子集有4個，選A【例12】(10年湖北)若直線與曲線有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B.C.D.【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出曲線（該曲線是以點(diǎn)（2,3）為圓心，2為半徑的圓不在直線y=3上方的部分）與直線的圖像，平移該直線，結(jié)合圖形可求出，選C四、估值判斷有些問題，屬于比較大小或者確定位置的問題，我們只要對數(shù)值進(jìn)行估算，或者對位置進(jìn)行估計(jì)，就可以避免因?yàn)榫_計(jì)算和嚴(yán)格推演而浪費(fèi)時(shí)間。【例1】已知是方程的根，是方程的根，則（）A、6B、3C、2D、1【解析】我們首先可以用圖象法來解：如圖，在同一坐標(biāo)系中作出四個函數(shù)，，，，的圖象，設(shè)與的圖象交于點(diǎn)A，其橫坐標(biāo)為；與的圖象交于點(diǎn)C，其橫坐標(biāo)為；與的圖象交于點(diǎn)B，其橫坐標(biāo)為。因?yàn)榕c為反函數(shù)，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線對稱，所以2×=3，選B。此屬于數(shù)形結(jié)合法，也算不錯，但非最好?，F(xiàn)在用估計(jì)法來解它：因?yàn)槭欠匠痰母?，所以是方程的根，所以所以選B?！纠?】已知過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是（）A、B、C、D、【解析】用估計(jì)法，設(shè)球半徑R，△ABC外接圓半徑為，則S球=，選D【例3】如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，EF∥AB，，EF與平面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為（）A、B、5C、6D、【解析】該多面體的體積比較難求，可連接BE、CF，問題轉(zhuǎn)化為四棱錐E-ABCD與三棱錐E-BCF的體積之和，而=6，所以只能選D【例4】（07全國Ⅱ理12）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，A、B、C為該拋物線上的三點(diǎn)，若，則等于（）A、9B、6C、4D、3【解析】很明顯（直覺）三點(diǎn)A、B、C在該拋物線上的圖形完全可能如右邊所示（數(shù)形結(jié)合），可以估計(jì)（估值法）到，稍大于（通徑，長為4），∴，選B。當(dāng)然也可以用定義法：由可知，由拋物線定義有，所以=6五，排除法（代入檢驗(yàn)法）它是充分運(yùn)用選擇題中的單選的特征，即有且只有一個正確選項(xiàng)這一信息，通過分析、推理、計(jì)算、判斷，逐一排除，最終達(dá)到目的的一種解法?！纠?】(2010年山東理文)函數(shù)y=2x-的圖像大致是（）【解析】因?yàn)楫?dāng)所以排除B，C；故排除D，選A【例2】（2010江西理數(shù)）9．給出下列三個命題：①函數(shù)與是同一函數(shù)；②若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，則函數(shù)與的圖像也關(guān)于直線對稱；③若奇函數(shù)對定義域內(nèi)任意x都有，則為周期函數(shù)。其中真命題是（）A.①②B.①③C.②③D.②【解析】考查相同函數(shù)、函數(shù)對稱性的判斷、周期性知識?？紤]定義域不同，①錯誤；排除A、B，驗(yàn)證③,,又通過奇函數(shù)得，所以f（x）是周期為2的周期函數(shù)，選擇C?！纠?】（2010天津理數(shù)）（2）函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是（）(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【解析】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的概念與零點(diǎn)定理的應(yīng)用，屬于容易題。由及零點(diǎn)定理知f(x)的零點(diǎn)在區(qū)間（-1，0）上?！纠?】數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=，且(n≥2)，則an等于（）。（A）（B）()n-1（C）()n（D）【解析】特殊值法檢驗(yàn)即可,選A【例5】（2008安徽文）函數(shù)圖像的對稱軸方程可能是（A． B． C． D．【解析】當(dāng)自變量取得對稱軸時(shí)，函數(shù)去最值，代入檢驗(yàn)可知選D【例6】（2009重慶卷文）圓心在軸上，半徑為1，且過點(diǎn)（1，2）的圓的方程為（）A． B．C．D．【解析】解法1（直接法）：設(shè)圓心坐標(biāo)為，則由題意知，解得，故圓的方程為。解法2（數(shù)形結(jié)合法）：由作圖根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離為1易知圓心為（0，2），故圓的方程為解法3（驗(yàn)證法）：將點(diǎn)（1，2）代入四個選擇支，排除B，D，又由于圓心在軸上，排除C?！纠?】（10年全國）已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3,0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(-12,-15),則E的方程為（）（A）（B）（C）（D）【解析】命題：“若斜率為k(k≠0)的直線與橢圓＋＝1（或雙曲線－＝1）相交于A、B的中點(diǎn)為M，則k·kOM＝－(或k·kOM＝)，”∵故選B．填空題的解法一、直接法這是解填空題的基本方法，它是直接從題設(shè)條件出發(fā)、利用定義、定理、性質(zhì)、公式等知識，通過變形、推理、運(yùn)算等過程，直接得到結(jié)果?！纠?】設(shè)其中，為互相垂直的單位向量，又，則實(shí)數(shù)m=?！窘馕觥俊?，∴∴，而，為互相垂直的單位向量，故可得∴?！纠?】已知等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比數(shù)列，則eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝________.【解析】由已知得aeq\o\al(2,3)＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴a1＝d，∴eq\f(a1＋a3＋a9,a2＋a4＋a10)＝eq\f(3a1＋10d,3a1＋13d)＝eq\f(13,16).【例3】(2008江蘇)的最小正周期為，其中，則=【解析】直接代入公式即可?！纠?】（2010四川理數(shù)）直線與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則.【解析】圓心為(0,0)，半徑為2，圓心到直線的距離為d＝故得|AB|＝2EQ\r(3)【例5】（10廣東理數(shù)）9.函數(shù)=lg(-2)的定義域是【解析】∵，∴．二、特殊化法當(dāng)填空題的結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時(shí)，可以把題中變化的不定量用特殊值代替，即可以得到正確結(jié)果?！纠?】在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c。若a、b、c成等差數(shù)列，則?！窘馕觥刻厥饣毫?，則△ABC為直角三角形，，從而所求值為?！纠?】求值?！窘馕觥款}目中“求值”二字提供了信息：答案為一定值，于是不妨令，得結(jié)果為?！纠?】的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，，則實(shí)數(shù)m=?！窘馕觥繒r(shí)，為直角三角形，為中點(diǎn)，邊上的高的交點(diǎn)H和B重合，，46.【例4】（06全國卷I）已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則________?！窘馕觥亢瘮?shù)若為奇函數(shù)，則，即，a=.【例5】若函數(shù)f(x)=x2+bx+c對任意實(shí)數(shù)t都有f(2+t)=f(2-t)，則f(1),f(2),f(4)的大小關(guān)系是 【解析】由于f(2+t)=f(2-t)，故知f(x)的對稱軸是x=2?？扇√厥夂瘮?shù)f(x)=(x-2)2,即可求得f(1)=1,f(2)=0,f(4)=4?！鄁(2)<f(1)<f(4)。【例6】（2010江蘇卷）5、設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=________【解析】考查函數(shù)的奇偶性的知識。g(x)=ex+ae-x為奇函數(shù)，由g(0)=0，得a=－1。三、數(shù)形結(jié)合法對于一些含有幾何背景的填空題，若能數(shù)中思形，以形助數(shù)，則往往可以簡捷地解決問題，得出正確的結(jié)果?！纠?】如果不等式的解集為A，且，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是?！窘馕觥扛鶕?jù)不等式解集的幾何意義，作函數(shù)和函數(shù)的圖象（如圖），從圖上得出實(shí)數(shù)a的范圍是?！纠?】直線y＝kx＋3k－2與直線y＝－eq\f(1,4)x＋1的交點(diǎn)在第一象限，則k的取值范圍是________．]【解析】因?yàn)閥＝kx＋3k－2，即y＝k(x＋3)－2，故直線過定點(diǎn)P(－3，－2)，而定直線y＝－eq\f(1,4)x＋1在兩坐標(biāo)軸上的交點(diǎn)分別為A(4,0)，B(0,1)．如圖所示，求得eq\f(2,7)<k<1.【例3】若關(guān)于x的方程=k(x-2)有兩個不等實(shí)根，則k的取值范圍是 【解析】【例4】（2010遼寧理數(shù)）（14）已知且，則的取值范圍是_______（