人教版高中數(shù)學選修4-5 1.2《絕對值不等式》習題課

習題課絕對值不等式已知集合A={xlx2-5x+6<0},B={xll2x—1卜3}，則AAB等于()A.{xl2WxW3}B.{xl2Wx<3}C.{xl2<x<3}D.{xl—1<x<3}答案：C不等式lx+3—lx—3l>3的解集是（A.3A.3{xlx>Q}B.{xl|<xW3}C.{xlx±3}D.{xl—3<x<0}答案：A不等式lx+2曰xl的解集是.答案：{xlx>—1}lx—1l+lx+2l+lxl>10的解集是答案：{xlx>3或x<—#■}x2—2lxl—15>0的解集是.答案：(一8,—5)U(5,+<?)若關于實數(shù)x的不等式lx—5l+lx+3l<a無解，則實數(shù)a的取值范圍是.解析：不等式lx—5l+lx+3l<a無解，即aWlx—5l+lx+3l因為lx—5l+lx+3|>|(x—5)—(x+3)l=8,所以a<8.答案：(一8,8].解不等式lx+5l—lx—3l>10.解析：lx+5l=0,lx—3l=0的根為一5,3.(1)當xW—5時，lx+5l—lx—3卜10o—x—5+x—3>10o—18>10.xWxW—5,所以|lx+5—lx—3卜10的解集為0.(2)當一5<x<3時，lx+5l—lx—3l>10ox+5+x—3>10o2x+2>10ox>4.的解集為0.—5<x<3,所以|lx+5l—lx—3卜的解集為0.(3)當x>3時，lx+5l—lx—3l>10ox+5—x+3>10o8>10.x±3,所以|lx+5l—lx—3卜0的解集為0.綜上所述，原不等式的解集為.8.解不等式x+l2x—llv3.解析：原不等式可化為，f2x-解析：原不等式可化為，f2x-1>0,或*x+(2x—1)<3C2x-1<0,x—(2x—1)<3.141解得2^x<3或—2vx<2?4所以原不等式的解集是{xl—2<xv§}.9.解不等式lx2+x—2l>x.解析：當x<0時，原不等式恒成立；當x>0時，原不等式可化為X2+x—2>x或X2+x—2<—X.即X2>2或X2+2x—2<0.x>j'2或x<—2或—1—、.；3<x<—1+3.又x>0，.:0Wxv\：3—1或x>\;'2.綜上所述，原不等式的解集是{xlx<j3—1或x>\：2}.10.解不等式1x2—3x—4l>x+2.解析：解法一原不等式等價于x+2<0①x+2>0,X2—3x—4>x+2或X2—3x—4V—(x+2).由①oxW—2,fx>—2，由②°ix>2+伍或xV2—伍或1—>/3vxV1+邁o—2VxV2—冷冗或x>2+V1^或1—冷？VxV1+<3,-22-Jw1-J31+J32+J10加所以原不等式的解集為(一◎2—\：1B)U(1—翻，1+￡)U(2+\/1B,+Q.解法二原不等式等價于x2—3x—4>0,<x2—3x—4>x+2x2—3x2—3x—4V0,(x2—3x—4)>x+2.J(x+l)(x—4)>0,I(x—2—10)(x—2+冷10)>0f(x+1)(x—4)V0,或J②I(x—l—p3)(x—1+\；3)V0,???不等式組①的解集為_(—g,2—H10)U(2+￡10,+g),不等式組②的解集為(1—石，1+焉).所以原不等式的解集為—(—g,2—"J10)U(1—3,1+、'3)U(2+\；10,+g).解法三原不等式等價于[(x2—3x—4)+(x+2)]^[(x2—3x—4)—(x+2)]>0即(x2—2x—2)(x2—4x—6)>0,(x—1—3)(x—1+3)(x—2—10)(x—2+10)>0,結(jié)合圖形(如上圖)可知原不等式的解集為(—g,2—諷)U(1—石，1+“間山2+伍，+8).11.若xWR不等式lx—11+lx—2&的解集為非空集合?求實數(shù)a的取值范圍.解析：要使lx—1l+lx—2|<a的解集非空，只需a不小于lx—1l+lx—21的最小值即可?由lx—1l,lx—21可以看作數(shù)軸上的點到1,2兩點的距離，可以看出lx—1l+lx—21的最小值為1.所以a>1.故a的取值范圍是［1,+g).12.已知f(x)=lax+1l(a￡R)，不等式f(x)<3的解集為｛xl—2<x<1｝.求a的值；若f(x)—2f@lWk恒成立，求k的取值范圍.解析：(1)由lax+l|<3得一4<ax<2，又f(x)<3的解集為｛xl—2<x<1｝，所以當a<0時，不合題意.42當a>0時，一一WxW—,得a=2.aax(2)記h(x)=fx)—織2)，廠xW—1,則h(x)=1—4x—3,—1<x<—2，所以lh(x)|<l,因此k>1.所以k的取值范圍是［1,+g).13.已知函數(shù)fx)=l2x—ll+l2x+al,g(x)=x+3.⑴當a=—2時，求不等式f(x)<g(x)的解集；⑵設a>—1,且當xW[—2，2)時，,f(x)-g(x)，求a的取值范圍.解析：(1)當a=—2時，不等式f(x)<g(x)化為l2x—1l+l2x—21—x—3vO,設函數(shù)y=l2x—1l+l2x—2l—x—3，—5x，x<2，y-x-2，gwxWl,3x—6，x>1.其圖象如圖所示，從圖象可知，當且僅當x￡(0，2)時，yvO,???原不等式解集是{xl0vx<2}.(2)當x^[—2，2)時，fx)=1+a,不等式f(x)<g(x)化為1+a<x+3,a1.*.x^a—2對xW[—2，二)都成立，故一2三a—2，4即a<3,?a的取值范圍為(一1，扌14.已知函數(shù)f(x)=lx—al，其中a>1.當a=2時，求不等式f(x)>4—lx—4l的解集；已知關于x的不等式f(2x+a)—fx)|<2的解集為{x|l<x<2},求a的值.解析：(1)當a=2時，—2x+6,x<2,fx)+lx—41=^2,2<x<4,、2x—6,x>4.當x<2時,

由f(x)>4—\x—4\^—2+6>4^xWl；當2VxV4時，由fx)>4—lx—4ln2三4,不成立；當x>4時，由f(x)>4—lx—4ln2x—6>4nx三5；綜上，xWl,或x>5所以，當a=2時，不等式f(x)>4—lx—41的解集為{xlxWl,或x>5}.(2)記h(x)=f(2x+a)—2f(x)=l2xl—2lx—alTOC\o"1-5"\h\zf—2a，x<0，則h=(x)i4x—2a，OVxVa,\o"CurrentDocument"〔2a,x>a.由f(2x+a)—2fx)|<2得lh(x)|<2.即l4x=2a|<2n—2<4x—2a<2a—1a+12、x、2由已知不等式f(2x+a)—2fx)|<2的解集為{x|1<x<2}亦即lh(x)|<2的解集為{x|1<x<2}a—1<

所以=1<

所以解得a=3.a十1~T=21.兩實數(shù)大小比較的三種情況.設a,b為兩個實數(shù)，它們在實軸上的點分別記為A,B.如果A落在B的右邊，則稱a大于b,記為a〉b；如果A落在B的左邊，則稱a小于b,記作aVb；如果A與B重合，則稱a與b相等，記為a=b.2?不等式的基本性質(zhì).對稱性：a>bob<a.傳遞性：a>b,b>cOa>c.加(減)：a>boa+c>b+c.乘(除)：a>b,c>Ooac>bc；a>b,cVOoacVbc.

(5)乘方：a>b>Onan>bn，其中n為正整數(shù)，且n>2.開方(取算術根)：a>b>0npa>pb，其中n為正整數(shù)，且n>2.a>b,c>dna+c>b+d.本性質(zhì)說明兩個同向不等式相加，所得的不等式和原不等式同向.a>b>0，c>d>0nac>bd.本性質(zhì)說明兩邊都是正數(shù)的同時不等式兩邊分別相乘，所得的不等式和原不等式同向.基本不等式.定理1：設a，bWR，貝9a2+b2±2ab，當且僅當a=b時，等號成立.定理2：如果a，b為正數(shù)，貝產(chǎn)號三\；ab,當且僅當a=b時，等號成立.我們稱爭為正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)，因而這一定理可用語言敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù).定理3：如果a，b，c為正數(shù)，貝9"+?+°三3abc，當且僅當a=b=c時，等號成立.c的幾何平均數(shù)，定a—I—~b~I-c3]c的幾何平均數(shù)，定我們稱3為正數(shù)a，b，c的算術平均數(shù),3abc為正數(shù)a，b,理3中的不等式為三個正數(shù)的算術一幾何平均不等式，或簡稱為平均不等式.定理4(一般形式的算術一幾何平均不等式)：如果a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則幻+勺十…+a：：三勺072…a，當且僅當a】=a2=...=a時，等號成立.12n12絕對值的三角不等式.定理1：若a，b為實數(shù)，貝yia+b|W|al+lbl,當且僅當ab>0時，等號成立.定理2：設a，b，c為實數(shù)，貝Jia—c|<|a—bl+lb—cl.等號成立o(a—b)(b—c)>0，即b落在a，c之間，推論1：llal—lblKla+bl；推論2：llal—lblKla—bl.絕對值不等式的解法.lax+b|<c，lax+b|>c型不等式的解法.c>0，則lax+b|<c的解為一c<ax+b<c,lax+bl三c的解為ax+b>c或ax+b<—c，然后根據(jù)a,b的值解出即可.cVO,則lax+b|<c的解集為，lax+b|>c的解集為R.lx—al+lx—b|>c,lx—al+lx—b|<c型不等式的解法.解這類含絕對值的不等式的一般步驟是：令每個絕對值符號里的一次式為0,求出相應的根；把這些根由小到大順