概率與統(tǒng)計隨機抽樣用樣本估計總體變量間的相互

第十模塊概率與統(tǒng)計第四十八講隨機抽樣?用樣本估計總體?變量間的相互關系?統(tǒng)計案例回歸課本1.樣本及抽樣的定義(1)在數理統(tǒng)計中稱研究對象的全體為總體,組成總體的每一個基本單元為個體,從總體中抽取若干個個體x1,x2,…,xn,這樣的n個個體x1,x2,…,xn稱為大小為n(容量為n)的一個樣本.(2)抽樣:抽樣是為了獲取總體的信息,特別在客觀實際中對總體的全部個體逐一進行研究,有的是不適宜?不可能或不必要的.因此,抽樣調查是獲取總體信息的重要方法.2.隨機抽樣(1)簡單隨機抽樣:從一個總體中通過逐個抽取的方法從中抽取一個樣本,且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等,這樣的抽樣稱為簡單隨機抽樣.這樣抽出的樣本稱為簡單隨機樣本.簡單隨機抽樣的基本方法有抽簽法和隨機數表法.

(2)系統(tǒng)抽樣:系統(tǒng)抽樣被稱為等距抽樣或機械抽樣.它按照時間或空間的等距間隔抽取樣本,即將總體分成幾個部分,然后按照預先定出的規(guī)則,從每一部分抽取一個個體,得到所需要的樣本,這種抽樣稱為系統(tǒng)抽樣.系統(tǒng)抽樣與簡單隨機抽樣的聯系在于:將總體均分后的每一部分進行抽樣時,采用的是簡單隨機抽樣.

(3)分層抽樣:當總體中一部分個體與另一部分個體有明顯的差異且易于區(qū)別時,常將相近的個體歸成一組,然后按照各部分所占的比例進行抽樣,這種抽樣稱為分層抽樣.其中所分成的各部分稱為層.分層抽樣時,每一個個體被抽到的概率都是相等的.3.頻率分布表?頻率分布直方圖與莖葉圖(1)頻率分布樣本中所有數據(或者數據組)的頻數和樣本容量的比,就是該數據的頻率.所有數據(或者數據組)的頻率的分布變化規(guī)律叫做頻率分布,可以用頻率分布表?頻率分布直方圖?頻率分布折線圖?莖葉圖等來表示.(2)頻率分布折線圖:連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得到頻率分布折線圖.

(3)總體密度曲線如果樣本容量不斷增大,分組的組距不斷縮小,則頻率分布直方圖實際上越來越接近于總體在各小組內所取值的個數與總數比值的大小,它可以用一光滑曲線來描繪,這條光滑曲線就叫做總體密度曲線.(4)莖葉圖表示數據有兩個突出的優(yōu)點,其一是統(tǒng)計圖上沒有原始數據的損失,所有信息都可以從這個莖葉圖中得到,其二是在比賽時隨時記錄,方便記錄與表示.4.用樣本的數字特征估計總體的數字特征(1)眾數,中位數,平均數在一組數據中,出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數.將一組數據按大小依次排列,把處在中間位置的一個數據(或中間兩個數據的平均數)叫做這組數據的中位數.如果n個數數,x1,x2,…,xn,那么(x1+x2+…+xn)叫做這n個個數的平均均數.總體中所有有個體的平平均數叫做做總體平均數數.樣本中所有有個體的平平均數叫做做樣本平均數數,如果在n個數據中中,x1出現了f1次,x2出現f2次,…,xk出現fk次(這里f1+f2+…+fk=n),那那么(x1f1+x2f2+…+xkfk),叫做這n個數的加加權平均數數.5.兩個變變量的相關關關系(1)當自自變量的取取值一定時,因變量量的取值帶帶有隨機性,這兩個變變量之間的的關系叫做做相關關系系.如果一個變變量的值由由小變大時時,另一個個變量的值值也在由小小到大,這這種相關稱稱為正相關;反之,如如果一個變變量的值由由小變大時時,另一個個變量的值值在由大到到小,這種種關系稱為為負相關.變量間的的這種關系系與函數關關系不同,它是一種種非確定關關系.(2)散點點圖:表示示具有相關關系的兩個變量量的一組數數據的圖形形叫做散點點圖.6.回歸直直線方程(1)一般般地,設x和y是具具有相關關關系的兩個個變量,且且對應于n個觀測值值的n個點點大致分布布在一條直直線的附近近,若所求求的直線方方程為我們將這個個方程叫做做回歸直線方方程,a,b叫叫做回歸系數,相應的直直線叫做回歸直線.(2)最小小二乘法使離差平方方和Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2為最小的方方法,叫做做最小二乘乘法.7.回歸分分析(1)回歸歸直線方程程=bx+a中,上述方程對對應的直線線叫做回歸直線,而對兩個個變量所進進行的上述述統(tǒng)計分析析叫做線性回歸分分析.相關系數用相關系數來描述線性性相關關系系的強弱.當r>0時,兩個個變量正相關;當r<0時,兩個個變量負相關,r的絕對對值越接近近1,表明明兩個變量量的線性相相關性越強,r的絕對對值接近于于0,表明明兩個變量量之間幾乎乎不存在線性相關關關系.通常常當|r|大于r0.05時,認為兩兩個變量有有很強的線線性相關關關系,因而而求回歸直直線方程才才有意義.數據點和它它在回歸直直線上相應應位置的差差異(y1-i)是隨機誤誤差效應,稱i=yi-i為殘差,將所得值值平方后加加起來,用用數學符號號表示為(yi-i)2稱為殘差平方和和,它代表了了隨機誤差差的效應.8.獨立性性檢驗(1)分類類變量的定定義如果某種變變量的不同同“值”表示個體所所屬的不同同類別,像像這樣的變變量稱為分類變量.(2)2××2列聯表表一般地,假假設有兩個個分類變量量X和Y,它們的值值域分別為為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本本頻數列聯聯表(稱為為2×2列列聯表)為為K2=用用它它的大小可可以決定是是否拒絕原原來的統(tǒng)計計假設H0,如果K2值較大,就就拒絕H0,即拒絕事件A與B無關.考點陪練1.(2010·重慶)某單單位有職工工750人人,其中青青年職工350人,中年職工工250人人,老年職職工150人,為了了了解該單單位職工的的健康情況況,用分層層抽樣的方方法從中抽抽取樣本.若樣本中中的青年職職工為7人人,則樣本本容量為()A.7B.15C.25D.35解析:設樣樣本容量為為n,則依依題意有××n=7,n=15,選B.答案:B2.(2010·湖北)將參參加夏令營營的600名學生編編號為:001,002,…,600.采用系統(tǒng)統(tǒng)抽樣方法法抽取一個個容量為50的樣本本,且隨機機抽得的號號碼為003.這600名學學生分住在在三個營區(qū)區(qū),從001到300的第ⅠⅠ營區(qū),從從301到到495在在第Ⅱ營區(qū)區(qū),從496到600在第ⅢⅢ營區(qū),三三個營區(qū)被被抽中的人人數依次為為()A.26,16,8B.25,17,8C.25,16,9D.24,17,9解析:依題題意及系統(tǒng)統(tǒng)抽樣的意意義可知,將這600名學生生按編號依依次分成50組,每每一組各有有12名學學生,第k(k∈N*)組抽中的的號碼是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤≤300,得k≤,因此此第Ⅰ營區(qū)區(qū)被抽中的的人數是25;令300<3+12(k-1)≤495得<k≤42,因此第ⅡⅡ營區(qū)被抽抽中的人數數是42-25=17.結合合各選項知知,選B.答案:B3.(2010·山東)在某某項體育比比賽中,七七位裁判為為一選手打打出的分數數如下:90899095939493去掉一個最最高分和一一個最低分分后,所剩剩數據的平平均值和方方差分別為為()A.92,2B.92,2.8C.93,2D.93,2.8解析:去掉掉一個最高高分95分分與一個最最低分89分后,所所得的5個個數分別為為90?90?93?94??93,所以故選B.答案:B4.(2010·福建)若某某校高一年年級8個班班參加合唱唱比賽的得得分如莖葉葉圖所示,則這組數數據的中位位數和平均均數分別是是()A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和和91.5D.92和92解析:中位位數為(91+92)=91.5;平均數為為(87+89+90+91+92+93+94+96)=91.5.答案:A5.(2010·湖南)某商商品銷售量量y(件)與銷售價價格x(元元/件)負負相關,則則其回歸方方程可能是是()A.=-10x+200B.=10x+200C.=-10x-200D.=10x-200解析:由圖圖象知選項項B?D為為正相關,選項C不不符合實際際意義,故故選A.答案:A類型一抽抽樣方法的的綜合應用用解題準備:1.簡單單隨機抽樣樣:抽簽法法:攪拌均均勻后逐一一抽取.隨機數表法法:注意編編號的靈活活性,如對對100個個個體可用用00,01,01,02,…,99來編編號.2.系統(tǒng)抽抽樣:對多多余個體的的剔除不影影響總體中中每個個體體被抽到的的等可能性性,仍然能能保證抽樣樣的公平性性.例如從從1002個體中利利用系統(tǒng)抽抽樣抽取容容量為20的樣本,剔除2個個個體后,每個個體體被抽到的的可能性仍仍為3.分層抽抽樣:當總總體中個體體差異較大大時,往往往采用分層層抽樣的方方法,若有有某些層面面應抽取的的個體數目目不是整數數時,可作作適當的細細微調整.【典例1】】為了了考察某校校的教學水水平,將抽抽查這個學學校高三年年級的部分分學生本年年度的考試試成績.為為了全面反反映實際情情況,采取取以下三種種方式進行行抽查(已已知該校高高三年級共共有20個個班,并且且每個班內內的學生已已經按隨機機方式編好好了學號,假定該校校每班學生生的人數相相同):①①從高三年年級20個個班中任意意抽取一個個班,再從從該班中任任意抽取20名學生生,考察他他們的學習習成績;②②每個班抽抽取1人,共計20人,考察察這20名名學生的成成績;③把學生按按成績分成成優(yōu)秀、良良好、普通通三個級別別,從其中中共抽取100名學學生進行考考察(已知知該校高三三學生共1000人人,若按成成績分,其其中優(yōu)秀生生共150人,良好好生共600人,普普通生共250人).根據上上面的敘述述,試回答答下列問題題:(1)上面三種種抽取方式式的總體、、個體、樣樣本分別是是什么?每每一種抽取取方式抽取取的樣本中中,樣本容容量分別是是多少?(2)上面面三種抽取取方式各自自采用的是是何種抽取取樣本的方方法?(3)試分別別寫出上面面三種抽取取方式各自自抽取樣本本的步驟.[分析]本本題主主要考查基基本概念和和三種抽樣樣方法的聯聯系與區(qū)別別,準確把把握三種抽抽樣方法的的概念與特特點是解此此題的關鍵鍵;另外要要注意敘述述的完整性性和條理性性.[解](1)這這三種抽取取方式的總總體都是指指該校高三三全體學生生本年度的的考試成績績,個體都都是指高三三年級每個個學生本年年度的考試試成績.其其中第一種種抽取方式式的樣本為為所抽取的的20名學學生本年度度的考試成成績,樣本本容量為20;第二二種抽取方方式的樣本本為所抽取取的20名名學生本年年度的考試試成績,樣樣本容量為為20;第第三種抽取取方式的樣樣本為所抽抽取的100名學生生本年度的的考試成績績,樣本容容量為100.(2)三種種抽取方式式中,第一一種采用的的是簡單隨隨機抽樣法法;第二種種采用的是是系統(tǒng)抽樣樣法和簡單單隨機抽樣樣法;第三三種采用的的是分層抽抽樣法和簡簡單隨機抽抽樣法.(3)第一一種方式抽抽樣的步驟驟如下:第第一步,用用抽簽法在在這20個個班中任意意抽取一個個班;第二二步,從這這個班中按按學號用隨隨機數表法法或抽簽法法抽取20名學生,考察其考考試成績.第二種方式式抽樣的步步驟如下:第一步,用簡單隨隨機抽樣法法從第一個個班中任意意抽取一名名學生,記記其學號為為a;第二二步,在其其余的19個班中,選取學號號為a的學學生,加上上第一個班班的一名學學生,共計計20人.第三種方式式抽樣的步步驟如下:第一步,分層.因因為若按成成績分,其其中優(yōu)秀生生共150人,良好好生共600人,普普通生共250人,所以在抽抽取樣本時時,應該把把全體學生生分成三個個層次;第第二步,確確定各個層層次抽取的的人數.因因為樣本容容量與總體體的個數之之比為100:1000=1:10,所以在每每個層次中中抽取的個個體數依次次為即15,60,25;第三步步,按層次次分別抽取取.在優(yōu)秀秀生中用簡簡單隨機抽抽樣法抽15人;在在良好生中中用簡單隨隨機抽樣法法抽取60人;在普普通生中用用簡單隨機機抽樣法抽抽取25人人.類型二 頻率率分布直方圖圖和莖葉圖解題準備:1.作頻率分分布直方圖的的步驟:(1)求極差差,即一組數數據中最大值值和最小值的的差.(2)決定組組距與組數.將數據分組組時,組數應應力求合適,以使數據的的分布規(guī)律能能較清楚的呈呈現出來.這這時應注意:①一般樣本本容量越大,所分組數越越多;②為方方便起見,組組距的選擇應應力求“取整”;③當樣本容容量不超過100時,按按照數據的多多少,通常分分成5~12組.(3)將數據據分組.(4)計算各各小組的頻率率,作頻率分分布表.各小小組的頻率(5)畫頻率率分布直方圖圖.2.莖葉圖的的制作步驟如如下:(1)將所有有兩位數的十十位數字作為為“莖”,莖按從小到到大順序排列列,莖相同者者共用一個莖莖,再畫上豎豎線作為分界界線.(2)在分界界線的一側對對應“莖”處,記錄下“葉”——個位數字,一一般共莖的葉葉按從小到大大(或從大到到小)的順序序同行列出.【典例2】為為了解某某校初中畢業(yè)業(yè)男生的體能能狀況,從該該校初中畢業(yè)業(yè)班學生中抽抽取若干名男男生進行鉛球球測試,把所所得數據(精精確到0.1米)進行整整理后,分成成6組畫出頻頻率分布直方方圖的一部分分(如下圖),已知從左左到右前5個個小組的頻率率分布為0.04,0.10,0.14,0.28,0.30.第6小組的頻數數是7.(1)請將頻頻率分布直方方圖補充完整整;(2)該校參參加這次鉛球球測試的男生生有多少人?(3)若成績績在8.0米米以上(含8.0米)的的為合格,試試求這次鉛球球測試的成績績的合格率;(4)在這次次測試中,你你能確定該校校參加測試的的男生鉛球成成績的眾數和和中位數各落落在哪個小組組內嗎?[解](1)由頻率率分布直方圖圖的意義可知知,各小組頻頻率之和為1,故第6小小組的頻率為為:1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14,易知知第6小組與與第3小組的的頻率相等,故兩個小長長方形等高.(2)由(1)知,第6小組的頻率率是0.14.又因為第6小小組的頻數是是7,現設參參加這次測試試的男生有x人,根據頻率定義義,得即即x=50(人人).(3)由圖可可知,第4??5?6小組組成績在8.0米以上,其頻率之和和為:0.28+0.30+0.14=0.72,故合格格率為72%.(4)能確定定中位數落在在第4小組,而眾數落在在第5小組.[反思感悟]解決該類問題題時應正確理理解圖表中各各個量的意義義,識圖掌握信息息是解決該類類問題的關鍵鍵.頻率分布指的的是一個樣本本數據在各個個小范圍內所所占的比例的的大小.一般用頻率分分布直方圖反反映樣本的頻頻率分布.其中,①頻率分布直直方圖中縱軸軸表示頻頻率②②頻率分布布直方圖中,各小長方形的的面積之和為為1,因此在頻率分分布直方圖中中,組距是一個固固定值,所以各個長方方形高的比也也就是頻率之之比;③頻率分布表表和頻率分布布直方圖是一一組數據頻率率分布的兩種種形式,前者者準確,后者者直觀;④眾眾數為最高矩矩形的中點;⑤中位數為為平分頻率分分布直方圖面面積且垂直于于橫軸的直線線與橫軸交點點的橫坐標.[探究]某某化肥廠甲甲?乙兩個車車間包裝肥料料,在自動包包裝傳送帶上上每隔30min抽取取一包產品,稱其重量,分別記錄抽抽查數據如下下:甲:102,101,99,98,103,98,99;乙:110,115,90,85,75,115,110.(1)這種抽抽樣方法是哪哪一種?(2)將這兩兩組數據用莖莖葉圖表示;(3)將兩組組數據比較,說明哪個車車間產品較穩(wěn)穩(wěn)定.[解](1)因為間間隔時間相同同,故是系統(tǒng)統(tǒng)抽樣.(2)莖葉圖圖如下:(3)甲車間間:平均值:(102+101+99+98+103+98+99)=100,方差:[(102-100)2+(101-100)2+…+(99-100)2]≈3.4286.[反思感悟](1)莖葉圖的優(yōu)優(yōu)點是保留了了原始數據,便于記錄及及表示,能反反映數據在各各段上的分布布情況.(2)莖葉圖圖不能直接反反映總體的分分布情況,這這就需要通過過莖葉圖給出出的數據求出出數據的數字字特征,進一一步估計總體體情況.類型三 線性性回歸的應用用解題準備:求求線性回歸方方程的步驟為為:(1)列表xi,yi,xiyi;(2)計算(3)代入公公式計算b,a的值;(4)寫出回回歸方程.【典例3】以以下是某某地搜集到的的新房屋的銷銷售價格y和和新房屋的面面積x的數據據:(1)畫出數數據對應的散散點圖;(2)求線性性回歸方程,并在散點圖圖中加上回歸歸直線;(3)據(2)的結果估估計當新房屋屋面積為150m2時的銷售價格格.[解](1)數據對對應的散點圖圖如圖所示:(3)據(2),當x=150時,銷售價格的的估計值為:=0.1962×150+1.8166=31.2466(萬元).類型四 獨立立性檢驗解題準備:獨獨立性檢驗的的一般步驟:(1)根據樣樣本數據制成成2×2列聯聯表.(2)根據公公式K2=計計算K2的值.(3)比較K2與臨界值的大大小關系作統(tǒng)統(tǒng)計推斷.【典例4】(2009·江蘇模擬題)利用統(tǒng)計變變量K2的觀測值來判判斷兩個分類類變量之間的的關系的可信信程度.考查小麥種子子經滅菌與否否跟發(fā)生黑穗穗病的關系,經試驗觀察察,得到數據據如下表所示示:試按照原試驗驗目的作統(tǒng)計計分析推斷.[分析]利利用已知條條件來判斷兩兩個分類變量量是否具有關關系,可以先先假設兩個變變量之間有關關系,再計算算K2的值,K2的值越大說明明兩個變量間間有關系的可可能性越大,再參考臨界界值,從而判判斷兩個變量量有關系的可可信程度.[解]由由列表知,a=26,b=184,c=50,d=200,a+b=210,c+d=250,a+c=76,b+d=384,n=460.∴有95%的把握認為種種子滅菌與否否與小麥發(fā)生生黑穗病是有有關系的.[反思感悟](1)獨立性檢驗驗的關鍵是準準確的計算K2,在計算時,要充分利用用2×2列聯聯表.(2)學習相相關和無關的的判定一定要要結合實際問問題,從現實實中尋找例子子,從而增強強學習數學的的興趣.錯源一 對簡簡單隨機抽樣樣的理解不到到位【典例1】下下面的抽抽樣中,是簡簡單隨機抽樣樣的個數是()①從無數個個個體中抽取20個個體作作為樣本;②從50臺冰冰箱中一次性性抽取5臺冰冰箱進行質量量檢查;③某班有40名同學,指指定個子最高高的5名同學學參加學校組組織的籃球賽賽;④一彩民選號號,從裝有36個大小??形狀都相同同的號簽的盒盒子中無放回回地抽取6個個號簽A.4B.3C.2D.1[錯解]①①②③④都都是簡單隨機機抽樣,故選選A.[剖析]不不清楚簡單單隨機抽樣有有以下四個特特點:(1)總體個數有有限;(2)逐個抽取;(3)不放放回;(4)公平性.每每個個體被抽抽到的可能性性相同.因此此,要深刻理理解概念,深深挖其內涵.[正解解]①①總體體個數數無限限,故故不是是簡單單隨機機抽樣樣;②②雖然然“一次性性”抽取和和“逐個”抽取不不影響響個體體被抽抽到的的可能能性,但不不滿足足簡單單隨機機抽樣樣的定定義;③因因為指指定5名同同學參參賽,每個個個體體被抽抽到的的可能能性不不相同同,不不是等等可能能抽樣樣;④④是簡簡單隨隨機抽抽樣.故選選D.[答案案]D錯源二二頻頻率率分布布直方方圖中中小長長方形形高的的含義義模糊糊不清清【典例例2】】如如圖圖是一一個容容量為為200的的樣本本頻率率分布布直方方圖,請根根據圖圖形中中的數數據填填空:(1)樣本本數據據落在在[5,9)的的頻率率為________;(2)樣本本數據據落在在[9,13)的頻頻率為為________.[錯解解](1)落在在[5,9)的的頻率率為0.08.(2)落在在[9,13)的頻頻率為為0.09.[剖析析]頻頻率分分布直直方圖圖中縱縱軸表表示,而而不直直接表表示頻頻率.[正解解](1)落在在[5,9)的的頻率率為0.08××4=0.32;(2)落在在[9,13)的頻頻率為為0.09×4=0.36.[答案案]0.320.36技法一一構構造2×2列聯聯表進進行獨獨立性性檢驗驗【典例例1】】為為觀觀察藥藥物A,B治療療某病病的療療效,某醫(yī)醫(yī)生將將100例例該病病病人人隨機機的分分成兩兩組,一組組40人,服用用A藥藥;另另一組組60人,服用用B藥藥.結結果發(fā)發(fā)現:服用用A藥藥的40人人中有有30人治治愈;服用用B藥藥的60人人中有有11人治治愈.問A,B兩藥藥對該該病的的治愈愈率之之間是是否有有顯著著差別別?[解題題切入入點]首首先先應考考察該該資料料取自自什么么樣的的試驗驗設計計.由由于100個病病人完完全隨隨機地地被分分成2組,而且且,事事先不不知道道任何何一個個病人人的治治療結結果是是治愈愈還是是不能能治愈愈,故故該資資料取取自完完全隨隨機統(tǒng)統(tǒng)計,符合合2××2列列聯表表的要要求.[解]為為便便于將將數據據代入入公式式計算算,先先列出出2××2列列聯表表:因為31.859>10.828,所所以我我們有有99.9%的的把握握說,A,B兩兩藥對對該病病的治治愈率率之間間有顯顯著差差別.[方法法與技技巧]上上述述結論論是對對所有有服用用A藥藥或B藥的的病人人而言言的,絕不不要誤誤以為為只對對100個個病人人成立立.這這就體體現了了統(tǒng)計計的意意義,即由由樣本本推斷斷出全全體.技法二二數數形結結合思思想【典例例2】】為為了了了解解中學學生的的身高高情況況,對對某中中學同同齡的的若干干女生生的身身高進進行測測量,將所所得數數據整