高中數(shù)學高考40第七章 不等式、推理與證明 7 4 基本不等式及其應用

§7.4基本不等式及其應用最新考綱考情考向分析1.了解基本不等式的證明過程．2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.主要考查利用基本不等式求最值．常與函數(shù)、解析幾何、不等式相結合考查，作為求最值的方法，常在函數(shù)、解析幾何、不等式的解答題中考查，難度為中檔.1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：.(2)等號成立的條件：當且僅當時取等號．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)設a>0，b>0，則a，b的算術平均值為eq\f(a＋b,2)，幾何平均值為eq\r(ab)，均值不等式可敘述為兩個正實數(shù)的算術平均值大于或等于它們的幾何平均值．4．利用均值不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當時，x＋y有最小值2eq\r(p).(簡記：積定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么當且僅當時，xy有最大值eq\f(p2,4).(簡記：和定積最大)概念方法微思考1．若兩個正數(shù)的和為定值，則這兩個正數(shù)的積一定有最大值嗎？2．函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2嗎？題組一思考辨析1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)函數(shù)f(x)＝cosx＋eq\f(4,cosx)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值等于4.()(2)“x>0且y>0”是“eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2”的充要條件．()(3)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R)．()(4)若a>0，則a3＋eq\f(1,a2)的最小值為2eq\r(a).()(5)不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)有相同的成立條件．()(6)兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項．()題組二教材改編2．設x>0，y>0，且x＋y＝18，則xy的最大值為()A．80B．77C．81D．823．若把總長為20m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2.題組三易錯自糾4．“x>0”是“x＋eq\f(1,x)≥2成立”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于()A．1＋eq\r(2)B．1＋eq\r(3)C．3D．46．若正數(shù)x，y滿足3x＋y＝5xy，則4x＋3y的最小值是()A．2B．3C．4D．5題型一利用均值不等式求最值命題點1配湊法例1(1)已知0<x<1，則x(4－3x)取得最大值時x的值為________．(2)函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值為________．命題點2常數(shù)代換法例2(2019·大連模擬)已知首項與公比相等的等比數(shù)列{an}中，滿足amaeq\o\al(2,n)＝aeq\o\al(2,4)(m，n∈N+)，則eq\f(2,m)＋eq\f(1,n)的最小值為()A．1B.eq\f(3,2)C．2D.eq\f(9,2)命題點3消元法例3已知正實數(shù)a，b滿足a2－b＋4≤0，則u＝eq\f(2a＋3b,a＋b)()A．有最大值eq\f(14,5) B．有最小值eq\f(14,5)C．有最小值3 D．有最大值3跟蹤訓練1(1)(2019·丹東質(zhì)檢)設x>0，y>0，若xlg2，lgeq\r(2)，ylg2成等差數(shù)列，則eq\f(1,x)＋eq\f(9,y)的最小值為()A．8B．9C．12D．16(2)若a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c＝2，則eq\f(4,a＋1)＋eq\f(1,b＋c)的最小值是()A．2B．3C．4D．6題型二均值不等式的綜合應用命題點1均值不等式與其他知識交匯的最值問題例4已知圓O的方程為x2＋y2＝1，過第一象限內(nèi)圓O外的點P(a，b)作圓O的兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，若eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝8，則a＋b的最大值為()A．3 B．3eq\r(2)C．4eq\r(2) D．6命題點2求參數(shù)值或取值范圍例5(2018·包頭模擬)已知不等式(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(a,y)))≥9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為()A．2B．4C．6 D．8跟蹤訓練2(1)在△ABC中，A＝eq\f(π,6)，△ABC的面積為2，則eq\f(2sinC,sinC＋2sinB)＋eq\f(sinB,sinC)的最小值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3\r(3),4)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,3)(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx(a>0，b>0)的圖象在點(1，f(1))處的切線的斜率為2，則eq\f(8a＋b,ab)的最小值是()A．10 B．9C．8 D．3eq\r(2)利用均值不等式求解實際問題數(shù)學建模是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學的語言表達問題，用數(shù)學的方法構建模型解決問題．過程主要包括：在實際情景中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、建立模型、確定參數(shù)、計算求解、檢驗結果、改進模型，最終解決實際問題．例某廠家擬在2019年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，該產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費用m萬元(m≥0)滿足x＝3－eq\f(k,m＋1)(k為常數(shù))，如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件．已知2019年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元．每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)．(1)將2019年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費用m萬元的函數(shù)；(2)該廠家2019年的促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？1．函數(shù)f(x)＝eq\f(x2＋4,|x|)的最小值為()A．3 B．4C．6 D．82．若x>0，y>0，則“x＋2y＝2eq\r(2xy)”的一個充分不必要條件是()A．x＝y(tǒng) B．x＝2yC．x＝2且y＝1 D．x＝y(tǒng)或y＝13．(2018·沈陽模擬)已知正數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則eq\f(4,a)＋eq\f(1,b)的最小值為()A.eq\f(5,3) B．3C．5 D．94．若a>0，b>0，lga＋lgb＝lg(a＋b)，則a＋b的最小值為()A．8 B．6C．4 D．25．已知函數(shù)f(x)＝ex在點(0，f(0))處的切線為l，動點(a，b)在直線l上，則2a＋2－b的最小值是()A．4 B．2C．2eq\r(2) D.eq\r(2)6.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法(以幾何方法研究代數(shù)問題)成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OF⊥AB，設AC＝a，BC＝b，則該圖形可以完成的無字證明為()A.eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a>0，b>0)B．a(chǎn)2＋b2≥2eq\r(ab)(a>0，b>0)C.eq\f(2ab,a＋b)≤eq\r(ab)(a>0，b>0)D.eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)7．設x，y均為正數(shù)，且xy＋x－y－10＝0，則x＋y的最小值是________．8．設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S7－S5＝3(a4＋a5)，則4a3＋eq\f(9,a7)的最小值為________．9．已知△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，且△ABC的面積為eq\f(3\r(3),4)，則a的最小值為________．10．已知a，b為正實數(shù)，且(a－b)2＝4(ab)3，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的最小值為________．11．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20.(1)求u＝lgx＋lgy的最大值；(2)求eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值．12.某人準備在一塊占地面積為1800平方米的矩形地塊中間建三個矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路(如圖所示)，大棚占地面積為S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)試用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，則x，y的值各為多少？13．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若eq\f(2a－c,b)＝eq\f(cosC,cosB)，b＝4，則△ABC面積的最大值為()A．4eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D.eq\r(3)14．如圖，在△ABC中，點D，E是線段BC上兩個動點，且eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)的最小值為()A．eq\f(3,2)B．2