大學(xué)物理課課件第5章-剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

本章題頭LwIw剛體的剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

第5章本章內(nèi)容本章內(nèi)容運(yùn)動(dòng)學(xué)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)械能守恒定律角動(dòng)量守恒定律剛體力學(xué)習(xí)題●

練習(xí)7剛體運(yùn)動(dòng)學(xué)、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量●

練習(xí)8剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律●

練習(xí)9轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能、剛體角動(dòng)量

運(yùn)動(dòng)學(xué)5-1ssss剛體及其平動(dòng)形狀固定的質(zhì)點(diǎn)系（含多個(gè)質(zhì)點(diǎn)、不形變、理想固體）。剛體：物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中大小和形狀不發(fā)生改變，這樣的理想模型叫剛體。平動(dòng)

剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的

相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理。rrva剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)，且該轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。OO平動(dòng)

剛體任意兩點(diǎn)的連線保持方向不變。各點(diǎn)的相同，可當(dāng)作質(zhì)點(diǎn)處理。rrva定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體每點(diǎn)繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)，且轉(zhuǎn)軸空間位置及方向不變。平面運(yùn)動(dòng)

剛體質(zhì)心限制在一平面內(nèi)，轉(zhuǎn)軸可平動(dòng)，但始終垂直于該平面且通過(guò)質(zhì)心定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

剛體上各質(zhì)點(diǎn)都以某一定點(diǎn)為球心的各個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)。一般運(yùn)動(dòng)

復(fù)雜的轉(zhuǎn)動(dòng)與平動(dòng)的混合。剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)剛體其它運(yùn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)物理量剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程qq()t,wdq轉(zhuǎn)動(dòng)方向用矢量表示或時(shí)，它們與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右螺旋定則wdq1.角位置q描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體（上某點(diǎn)）的位置2.角位移qr描述剛體轉(zhuǎn)過(guò)的大小和方向rt0rqdq,dq,剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)參考方向Xpp剛體中任一點(diǎn)pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0靜止w常量勻角速w變角速描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向，常量是轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)量。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程qq()t,wdq轉(zhuǎn)動(dòng)方向用矢量表示或時(shí)，它們與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右螺旋定則wdq1.角位置q描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體（上某點(diǎn)）的位置2.角位移qr描述剛體轉(zhuǎn)過(guò)的大小和方向rt0rqdq,dq,剛體轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)參考方向Xpp剛體中任一點(diǎn)pOOrqqqrqrpp(t+△t)w3.角速度wtdqwdw0靜止w常量勻角速w變角速描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢和方向，常量是轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)量。續(xù)描述剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變4.角加速度b的快慢和改變的方向tddwbtddq22常量b勻角加速b0勻角速變角加速b()tb常量因剛體上任意兩點(diǎn)的距離不變，故剛體上各點(diǎn)的相同。wb,OO定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的只有wdq,同和反兩個(gè)方向，故OOwdq,,b也可用標(biāo)量wdq,,b（其中的正和負(fù)表方向）代替。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)參量剛體轉(zhuǎn)軸1.角位置q轉(zhuǎn)動(dòng)平面（包含p并與轉(zhuǎn)軸垂直）(t)pp(t+△t)qrqrqqrp參考方向Xpp剛體中任一點(diǎn)p剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程qq()t2.角位移qrrt0rqdq3.角速度wwtdqwdw0w常量靜止勻角速()tww變角速4.角加速度btddwb變角加速b()tb常量b勻角加速b0勻角速,wdq轉(zhuǎn)動(dòng)方向用矢量表示或時(shí)，它們與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)方向采用右螺旋定則wdq描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物理量轉(zhuǎn)動(dòng)方程求導(dǎo)例題單位：qrqdqrad,w-1rads,b-2rads例已知求()tqp+05t21p+pt2w()tb()trad)(

50p

51p

52p

53pw1rads0213tsqrad100p150p03st

50pp12b2rads0213tsp解法提要tdqwd05p+ptw()ttddwb-1rads()b()tp-2rads(),,勻角加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)線量與角量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體在某時(shí)刻t的瞬時(shí)角速度為，瞬時(shí)角加速度為，例bw已知求剛體中一質(zhì)點(diǎn)P至轉(zhuǎn)軸的距離為r質(zhì)點(diǎn)P

的大小rPPrOOw

瞬時(shí)線速度v瞬時(shí)切向加速度atna瞬時(shí)法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2這是定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中線量與角量的基本關(guān)系qdqddsds解法提要dsqdr積分求轉(zhuǎn)動(dòng)方程例已知求w()t()tq任意時(shí)刻的b()tkk0恒量且

t

=0時(shí)w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212勻角加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角位移方程勻角加速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程公式對(duì)比質(zhì)點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)或剛體平動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt勻速直線運(yùn)動(dòng)ssvt勻角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)qwt勻變速直線運(yùn)動(dòng)勻變角速定軸轉(zhuǎn)動(dòng)s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt第2節(jié)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5-2ssss剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律引言剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)定律或剛體平動(dòng)F

=

m

a慣性質(zhì)量合外力合加速度若剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，服從怎樣的運(yùn)動(dòng)定律？主要概念使剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效果的合外力矩剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量FrM叉乘右螺旋M

=

r

×

F222M

=

r

F

sinj222大小2r2=2Ftd2=2F合外力矩

外力在轉(zhuǎn)動(dòng)平面上對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩使剛體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)M

=

r

×

F111力矩切向1Ft1M2M1M2M合外力矩=M+d22F大小M=d11F=r22Ftr11Ftr1=1FtM

=

r

F

sinj111大小1d1=1Fj1d1r1F1P1OF2r22FtP2j2d2切向一、外力矩與合外力矩方向轉(zhuǎn)動(dòng)定律某質(zhì)元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通過(guò)轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifcosqit=rmirmiai=rmirmiribtnrmirmiFiOrifiijqi瞬時(shí)角速度w角加速度瞬時(shí)b等式兩邊乘以ri

并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對(duì)抵消=0+riifcosqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律某質(zhì)元rmirmifi受內(nèi)力受外力FiFi+f=rmirmiaii其法向n分量均通過(guò)轉(zhuǎn)軸，不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。t其切向投影式為ijFisin+ifsinqit=rmirmiai=rmirmirib等式兩邊乘以ri

并對(duì)所有質(zhì)元及其所受力矩求和=內(nèi)力矩成對(duì)抵消=0+riifsinqi∑iFijsin∑ri合外力矩Mbrrmirmii∑2()得Mbrrmirmii∑2()=與剛體性質(zhì)及質(zhì)量分布有關(guān)的物理量，用表示稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I轉(zhuǎn)動(dòng)慣量tnrmirmiFiOrifiijqi瞬時(shí)角速度w角加速度瞬時(shí)b二、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律Mbrrmirmii∑2()=bIM剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律即bMIMI剛體所獲得的角加速度

的大小與剛體受到的

b合外力矩的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及其計(jì)算Mb=I將剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)定律F=am對(duì)比轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度II∑rmiriri2

與剛體的質(zhì)量、形狀、大小及質(zhì)量對(duì)轉(zhuǎn)軸的分布情況有關(guān)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體用積分求Ir

為體積元

dV

處的密度rVdVrmdIr2m2I的單位為m2kg分立質(zhì)點(diǎn)的算例轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算舉例可視為分立質(zhì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的剛體m12m轉(zhuǎn)軸Or1r2

若連接兩小球（視為質(zhì)點(diǎn)）的輕細(xì)硬桿的質(zhì)量可以忽略，則Irmiriri2∑m1r12+2mr22轉(zhuǎn)軸O2mm1601l2lIrmiriri2∑+2mm121l(sin60)2(sin60)2l0.75(m11l2+2m2l2)直棒算例質(zhì)量連續(xù)分布的剛體勻直細(xì)桿對(duì)中垂軸的ILmOdmrdrI2rdmL2L22rmLdr3mL1r3L2L2211mL2勻直細(xì)桿對(duì)端垂軸的ILmOdmrdrI2rdmL2rmLdr0mL31r3L031mL22IOIC+mrmCO質(zhì)心新軸質(zhì)心軸r,L

平行軸定理對(duì)新軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量IO對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量ICr新軸對(duì)心軸的平移量例如：rL2時(shí)代入可得I端31mL25、平行軸定理*

若剛體對(duì)過(guò)質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

Ic，則剛體對(duì)與該軸相距為

d的平行軸z

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

Iz

為mR稱為平行軸定理如圖，若則：圓盤算例勻質(zhì)薄圓盤對(duì)心垂軸的I

取半徑為微寬為的窄環(huán)帶的質(zhì)量為質(zhì)元rdrdm2dmmpR2pdrr2mRdr2rOrdrRmdmdm3I2rdm0R2r2mRdr2r2mRdr20Rr2mR24r40R21R2m球體算例勻質(zhì)實(shí)心球?qū)π妮S的ImORrryyddmdm2rR2y2rRp343m可看成是許多半徑不同的共軸薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的迭加Id距為、半徑為、微厚為Oyydr的薄圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dmrdVpr2ryd2rdmId21其中IId212rpr2ryd21prr4ydRR2y2()yd221prR158prR5225mR()常用結(jié)果LRmm勻質(zhì)薄圓盤勻質(zhì)細(xì)直棒轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直盤面22I=m

R123I=m

L1轉(zhuǎn)軸通過(guò)端點(diǎn)與棒垂直其它典型RRRR12RRLba勻質(zhì)矩形薄板轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直板面I

=(a

+

b)22m12勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直環(huán)面I

=

m

R

2勻質(zhì)細(xì)圓環(huán)轉(zhuǎn)軸沿著環(huán)的直徑2I

=2m

R勻質(zhì)厚圓筒轉(zhuǎn)軸沿幾何軸I

=(R1

+

R2

)22m2勻質(zhì)圓柱體轉(zhuǎn)軸通過(guò)中心垂直于幾何軸mI

=

R

+

22m124L勻質(zhì)薄球殼轉(zhuǎn)軸通過(guò)球心2I

=2m

R3轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題一三、轉(zhuǎn)動(dòng)定律應(yīng)用選例bIM合外力矩應(yīng)由各分力矩進(jìn)行合成。合外力矩與合角加速度方向一致。bM在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中，可先設(shè)一個(gè)正軸向（或繞向），若分力矩與此向相同則為正，反之為負(fù)。MMb與時(shí)刻對(duì)應(yīng)，何時(shí)何時(shí)b則何時(shí)，M00b則何時(shí)M恒定恒定。例

勻直細(xì)桿一端為軸水平靜止釋放OLm,qmgMmgL21qcos,m2I31LbMI23Lgqcos2pq,q0,bMmgL21,23LgM0,b0轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題二例已知求T1T2a（以后各例同）Rm1m2m輪軸無(wú)摩擦輕繩不伸長(zhǎng)輪繩不打滑解法提要T2T1G1G2T2T1aabT1–m1

g=

m1am2

g–

T2=

m2a(

T2

–

T1)

R=Iba=RbI=mR22轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)線-角聯(lián)立解得a=m1m1+m2+

gm2m21gT1=m1(g+a)T2=m2(g–a)m1gm2g如果考慮有轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦力矩

Mr,則轉(zhuǎn)動(dòng)式為(

T2

–

T1)

R

–

Mr=Ib再聯(lián)立求解。轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題三例Rm1m細(xì)繩纏繞輪緣Rm（A）（B）恒力F滑輪角加速度b細(xì)繩線加速度a求解法提要（A）bMIFR21mR22FmRabR2Fm（B）bIRT21mR2bam1gTm1m1Rbbm121mm1+()RgabRm121mm1+()g轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題四Rm1m2m例已知m=12kgm2=1kgm1=3kgR=0.1mT2T1T1T2G1G2baa解法提要對(duì)m1m2m分別應(yīng)用和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定律m1

g–T1=

m1aT2–

m2

g=

m2a(

T1

–

T2)

R=Ib及a=RbI=mR221得b

=(m1-m2)gR(m1+m2+m2)常量qdqt00dtw(m1-m2)gR(m1+m2+m2)0ttdtwtb故tdqdwqdwtd由,qt(m1-m2)gR(m1+m2+m2)22

(rad)求()tqq物體從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq從等傾角處?kù)o止釋放兩勻直細(xì)桿地面求兩者瞬時(shí)角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根據(jù)1L1LLL2短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無(wú)關(guān)第3節(jié)機(jī)械能守恒定律

機(jī)械能守恒定律5-3ssss轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能wOviviririrmirmi∑剛體中任一質(zhì)元的速率rmirmiviviririw該質(zhì)元的動(dòng)能Erik21rmivi221rmiririw22對(duì)所有質(zhì)元的動(dòng)能求和EkErik21rmiriri2w2()∑轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

IEk21Iw2得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能公式轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能1、力矩的功z§5.3轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能

剛體在外力作用下轉(zhuǎn)過(guò)一微小角位移。力的作用點(diǎn)的位移為在上的元功為：

剛體在外力矩M作用下轉(zhuǎn)過(guò)一有限角位移時(shí)，力矩的總功2、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能定理剛體中任意一質(zhì)元的動(dòng)能：剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：miz定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理即：合外力矩對(duì)剛體所作的功，等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量。把質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理應(yīng)用于剛體質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理

對(duì)剛體，因?yàn)?，換成外力矩的功，平動(dòng)動(dòng)能換成轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能,就得到剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理含平動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題功能原理

+rE機(jī)械A(chǔ)外A非保守內(nèi)力(E動(dòng)+)E勢(shì)(E動(dòng)+)E勢(shì)00()E平動(dòng)+E轉(zhuǎn)動(dòng)()E+E00平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)平動(dòng)動(dòng)能重力勢(shì)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Ek21mv2Ek21Iw2Epmgch轉(zhuǎn)動(dòng)力矩所做元功dAhMqd動(dòng)能定理例題二解法提要外力作的總功gmA02pL2qdcosq從水平擺至垂直由Aw212I0w212I得w2AI代入得wgmL2LmI231本題gL3利用vrw的關(guān)系還可算出此時(shí)桿上各點(diǎn)的線速度已知例水平位置靜止釋放求擺至垂直位置時(shí)桿的wGqw00wgmO？Lm,()勻直細(xì)桿一端為軸第4節(jié)角動(dòng)量守恒定律

角動(dòng)量守恒定律5-4ssss角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理角動(dòng)量定理（微分形式）（積分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量

所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量mri其角動(dòng)量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部質(zhì)元的總角動(dòng)量L∑Liw∑2mriri()wI對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體L∑LiwwIm2r()d定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量LwI定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量大小方向L與同繞向wLw或與沿軸同指向角動(dòng)量是剛體所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量定理由MLtdd所受合外力矩M0若則Ltdd0即LIw常矢量

當(dāng)剛體所受的合外力矩等于零時(shí)，MIw

剛體的角動(dòng)量保持不變。剛體的角動(dòng)量守恒定律角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Iw變大，乘積保持不變，Iw變大則Iw變小。收臂大小Iw

用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂I大小w花樣滑冰中常見(jiàn)的例子角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Iw變大，乘積保持不變，Iw變大則Iw變小。收臂大小Iw

用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂I大小w花樣滑冰收臂大小Iw張臂Iw大小先使自己轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)收臂大小Iw共軸系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒共軸系統(tǒng)若0IMwS外則LSi恒矢量Sii輪、轉(zhuǎn)臺(tái)與人系統(tǒng)I輪I人臺(tái)初態(tài)全靜LSi初0人沿某一轉(zhuǎn)向撥動(dòng)輪子w輪末態(tài)w人臺(tái)I輪w輪LSi末+I人臺(tái)w人臺(tái)LSi初0得I人臺(tái)w人臺(tái)I輪w輪導(dǎo)致人臺(tái)反向轉(zhuǎn)動(dòng)直升飛機(jī)防旋措施直升飛機(jī)防止機(jī)身旋動(dòng)的措施用兩個(gè)對(duì)轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干CH47)165用尾漿（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）守恒例題一wA靜已知例AIB