中考數(shù)學(xué)壓軸題精選(二次函數(shù))(16題)-附詳細解答和評分標(biāo)準(zhǔn)

1、〔第25題圖〕AxyBCO如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線=－++經(jīng)過A〔0，－4〕、B〔，0〕、C〔，0〕三點，且-=5．〔第25題圖〕AxyBCO〔1〕求、的值；〔4分〕〔2〕在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；〔3分〕〔3〕在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形？假設(shè)存在，求出點P的坐標(biāo)，并判斷這個菱形是否為正方形？假設(shè)不存在，請說明理由．〔3分〕解：解：〔1〕解法一：∵拋物線=－++經(jīng)過點A〔0，－4〕，∴=－4……1分又由題意可知，、是方程－++=0的兩個根，∴+=，=－=6 2分由得〔-〕=25又〔-〕=〔+〕－4=－24∴－24=25解得=± 3分當(dāng)=時，拋物線與軸的交點在軸的正半軸上，不合題意，舍去．∴=－． 4分解法二：∵、是方程－++c=0的兩個根，即方程2－3+12=0的兩個根．∴=， 2分∴－==5，解得=± 3分〔以下與解法一相同．〕〔2〕∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點D必在拋物線的對稱軸上， 5分又∵=－－－4=－〔+〕+ 6分∴拋物線的頂點〔－，〕即為所求的點D． 7分〔3〕∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對角線的菱形，點B的坐標(biāo)為〔－6，0〕，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點P必是直線=-3與拋物線=－--4的交點， 8分∴當(dāng)=－3時，=－×〔－3〕－×〔－3〕－4=4，∴在拋物線上存在一點P〔－3，4〕，使得四邊形BPOH為菱形． 9分四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標(biāo)只能是〔－3，3〕，但這一點不在拋物線上． 10分2、點A〔a，〕、B〔2a，y〕、C〔3a，y〕都在拋物線上.〔1〕求拋物線與x軸的交點坐標(biāo)；〔2〕當(dāng)a=1時，求△ABC的面積；〔3〕是否存在含有、y、y，且與a無關(guān)的等式？如果存在，試給出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由.解：〔1〕由5=0， 〔1分〕得，． 〔2分〕∴拋物線與x軸的交點坐標(biāo)為〔0，0〕、〔，0〕． 〔3分〕〔2〕當(dāng)a=1時，得A〔1，17〕、B〔2，44〕、C〔3，81〕， 〔4分〕分別過點A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，那么有=S-- 〔5分〕=-- 〔6分〕=5〔個單位面積〕 〔7分〕〔3〕如：． 〔8分〕事實上，=45a2+36a．3〔〕=3[5×〔2a〕2+12×2a-〔5a2+12a〕]=45a2+36a∴． 〔10分〕yxO第26題圖DECFAB3、如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸的負(fù)半軸上，邊在軸的正半軸上，且，，矩形繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)后得到矩形．點的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點，點的對應(yīng)點為點，拋物線過點．yxO第26題圖DECFAB〔1〕判斷點是否在軸上，并說明理由；〔2〕求拋物線的函數(shù)表達式；〔3〕在軸的上方是否存在點，點，使以點為頂點的平行四邊形的面積是矩形面積的2倍，且點在拋物線上，假設(shè)存在，請求出點，點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．解：〔1〕點在軸上 1分理由如下：連接，如下圖，在中，，，，由題意可知：點在軸上，點在軸上． 3分〔2〕過點作軸于點，在中，，點在第一象限，點的坐標(biāo)為 5分由〔1〕知，點在軸的正半軸上點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為 6分拋物線經(jīng)過點，由題意，將，代入中得解得所求拋物線表達式為： 9分〔3〕存在符合條件的點，點． 10分理由如下：矩形的面積以為頂點的平行四邊形面積為．由題意可知為此平行四邊形一邊，又邊上的高為2 11分依題意設(shè)點的坐標(biāo)為點在拋物線上解得，，，以為頂點的四邊形是平行四邊形，yxODEyxODECFABM當(dāng)點的坐標(biāo)為時，點的坐標(biāo)分別為，；當(dāng)點的坐標(biāo)為時，點的坐標(biāo)分別為，． 14分AOxyBFC圖164、如圖16，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經(jīng)過AOxyBFC圖16〔1〕求過三點拋物線的解析式并求出頂點的坐標(biāo)；〔2〕在拋物線上是否存在點，使為直角三角形，假設(shè)存在，直接寫出點坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由；〔3〕試探究在直線上是否存在一點，使得的周長最小，假設(shè)存在，求出點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．解：〔1〕直線與軸交于點，與軸交于點．， 1分點都在拋物線上，拋物線的解析式為 3分頂點 4分〔2〕存在 5分 7分 9分〔3〕存在 10分理由：解法一：延長到點，使，連接交直線于點，那么點就是所求的點． 11分AOxyBFC圖AOxyBFC圖9HBM點在拋物線上，在中，，，，在中，，，， 12分設(shè)直線的解析式為解得 13分解得在直線上存在點，使得的周長最小，此時． 14分5、如圖14，半徑為1的與軸交于兩點，為的切線，切點為，圓心的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過兩點．〔1〕求二次函數(shù)的解析式；圖14yxOAB圖14yxOABMO1〔3〕線段上是否存在一點，使得以為頂點的三角形與相似．假設(shè)存在，請求出所有符合條件的點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．解：〔1〕圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，，……1分二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，可得方程組 2分解得：二次函數(shù)解析式為 3分〔2〕過點作軸，垂足為． 4分是的切線，為切點，〔圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑〕．yAHFMyAHFMOP1P2O1xB為銳角， 5分，在中，．．點坐標(biāo)為 6分設(shè)切線的函數(shù)解析式為，由題意可知， 7分切線的函數(shù)解析式為 8分〔3〕存在． 9分①過點作軸，與交于點．可得〔兩角對應(yīng)相等兩三角形相似〕， 10分②過點作，垂足為，過點作，垂足為．可得〔兩角對應(yīng)相等兩三角開相似〕在中，，，在中，，， 11分符合條件的點坐標(biāo)有， 12分6、中，，，cm．長為1cm的線段在的邊上沿方向以1cm/s的速度向點運動〔運動前點與點重合〕．過分別作的垂線交直角邊于兩點，線段運動的時間為s．〔1〕假設(shè)的面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式〔寫出自變量的取值范圍〕；〔2〕線段運動過程中，四邊形有可能成為矩形嗎？假設(shè)有可能，求出此時的值；假設(shè)不可能，說明理由；〔3〕為何值時，以為頂點的三角形與相似？解：〔1〕當(dāng)點在上時，，．． 2分當(dāng)點在上時，．． 4分〔2〕，．．． 6分由條件知，假設(shè)四邊形為矩形，需，即，．當(dāng)s時，四邊形為矩形． 8分〔3〕由〔2〕知，當(dāng)s時，四邊形為矩形，此時，． 9分除此之外，當(dāng)時，，此時．，．． 10分，．又，． 11分，．當(dāng)s或s時，以為頂點的三角形與相似． 12分7、：如圖14，拋物線與軸交于點，點，與直線相交于點，點，直線與軸交于點．〔1〕寫出直線的解析式．〔2〕求的面積．〔3〕假設(shè)點在線段上以每秒1個單位長度的速度從向運動〔不與重合〕，同時，點在射線上以每秒2個單位長度的速度從向運動．設(shè)運動時間為秒，請寫出的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并求出點運動多少時間時，的面積最大，最大面積是多少？xxyABCEMDPNO解：〔1〕在中，令，， 1分又點在上的解析式為 2分〔2〕由，得 4分，， 5分 6分〔3〕過點作于點 7分 8分由直線可得：在中，，，那么， 9分 10分 11分此拋物線開口向下，當(dāng)時，當(dāng)點運動2秒時，的面積到達最大，最大為． 12分8、某工廠要趕制一批抗震救災(zāi)用的大型活動板房．如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一局部組成，矩形長為12m，拋物線拱高為5.6m．〔1〕在如下圖的平面直角坐標(biāo)系中，求拋物線的表達式．〔2〕現(xiàn)需在拋物線AOB的區(qū)域內(nèi)安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在AB上，每扇窗戶寬1.5m，高1.6m，相鄰窗戶之間的間距均為0.8m，左右兩邊窗戶的窗角所在的點到拋物線的水平距離至少為0.8m．請計算最多可安裝幾扇這樣的窗戶？解：〔1〕設(shè)拋物線的表達式為 1分點在拋物線的圖象上．∴ 3分∴拋物線的表達式為 4分〔2〕設(shè)窗戶上邊所在直線交拋物線于C、D兩點，D點坐標(biāo)為〔k，t〕窗戶高1.6m，∴ 5分〔舍去〕 6分∴〔m〕 7分又設(shè)最多可安裝n扇窗戶∴ 9分．答：最多可安裝4扇窗戶． 10分〔此題不要求學(xué)生畫出4個表示窗戶的小矩形〕B為等腰三角形的點P有5個．11、拋物線與軸的一個交點為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點C．⑴直接寫出拋物線的對稱軸，及拋物線與軸的另一個交點B的坐標(biāo)；⑵當(dāng)點C在以AB為直徑的⊙P上時，求拋物線的解析式；⑶坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點，使得以點M和⑵中拋物線上的三點A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請求出點的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請說明理由．解：⑴對稱軸是直線：，點B的坐標(biāo)是(3,0)．……2分說明：每寫對1個給1分，“直線〞兩字沒寫不扣分．⑵如圖，連接PC，∵點A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B(3,0)，∴AB＝4．∴在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，∴∴b＝………………3分當(dāng)時，∴………………4分∴………………5分⑶存在．……………6分理由：如圖，連接AC、BC．設(shè)點M的坐標(biāo)為．①當(dāng)以AC或BC為對角線時，點M在x軸上方，此時CM∥AB，且CM＝AB．由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．∴x＝±4．∴點M的坐標(biāo)為．…9分說明：少求一個點的坐標(biāo)扣1分．②當(dāng)以AB為對角線時，點M在x軸下方．過M作MN⊥AB于N，那么∠MNB＝∠AOC＝90°．∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC＝MB，且AC∥MB．∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴點M的坐標(biāo)為．……………12分說明：求點M的坐標(biāo)時，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式，然后求交點M的坐標(biāo)的方法均可，請參照給分．綜上所述，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點，使得以點A、B、C、M為頂點的四邊形是平行四邊形．其坐標(biāo)為．說明：①綜上所述不寫不扣分；②如果開頭“存在〞二字沒寫，但最后解答全部正確，不扣分。12、如圖，將置于平面直角坐標(biāo)系中，其中點為坐標(biāo)原點，點的坐標(biāo)為，．〔1〕假設(shè)的外接圓與軸交于點，求點坐標(biāo)．DCOABxy〔2〕假設(shè)點的坐標(biāo)為，試猜測過DCOABxy〔3〕二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點和且頂點在圓上，求此函數(shù)的解析式．FEFE解：〔1〕連結(jié)AD，那么∠ADO＝∠B＝600在Rt△ADO中，∠ADO＝600所以O(shè)D＝OA÷＝3÷＝DCOABxyF所以D點的坐標(biāo)是〔0，〕DCOABxyF〔2〕猜測是CD與圓相切∵∠AOD是直角，所以AD是圓的直徑E又∵Tan∠CDO=CO/OD=1/=,∠CDO＝300E∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠即CD⊥AD∴CD切外接圓于點D〔3〕依題意可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=α〔x－0〕(x－3)由此得頂點坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為：x==;即頂點在OA的垂直平分線上，作OA的垂直平分線EF，那么得∠EFA＝∠B＝300得到EF＝EA＝可得一個頂點坐標(biāo)為〔，〕同理可得另一個頂點坐標(biāo)為〔，〕分別將兩頂點代入y=α〔x－0〕(x－3)可解得α的值分別為，那么得到二次函數(shù)的解析式是y=x(x－3)或y=x(x－3)13、如圖，直角梯形中，∥,為坐標(biāo)原點，點在軸正半軸上，點在軸正半軸上，點坐標(biāo)為〔2，2〕，∠=60°，于點.動點從點出發(fā)，沿線段向點運動，動點從點出發(fā)，沿線段向點運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度.設(shè)點運動的時間為秒.求的長；假設(shè)的面積為〔平方單位〕.求與之間的函數(shù)關(guān)系式.并求為何值時，的面積最大，最大值是多少？設(shè)與交于點.①當(dāng)△為等腰三角形時，求〔2〕中的值.②探究線段長度的最大值是多少，直接寫出結(jié)論.解：〔1〕∵∥∴在中，,∴，∴而∴為等邊三角形∴…〔3分〕〔2〕∵∴∴=〔〕…………〔6分〕即∴當(dāng)時，………〔7分〕〔3〕①假設(shè)為等腰三角形，那么：〔i〕假設(shè)，∴∥∴即解得：此時………………〔8分〕〔ii〕假設(shè)，∴過點作，垂足為，那么有：即解得：此時……〔9分〕〔iii〕假設(shè)，∴∥此時在上，不滿足題意.……………〔10分〕②線段長的最大值為……………………(12分)14、如圖19-1，是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，為原點，點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上，，．〔1〕在邊上取一點，將紙片沿翻折，使點落在邊上的點處，求兩點的坐標(biāo)；〔2〕如圖19-2，假設(shè)上有一動點〔不與重合〕自點沿方向向點勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設(shè)運動的時間為秒〔〕，過點作的平行線交于點，過點作的平行線交于點．求四邊形的面積與時間之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)取何值時，有最大值？最大值是多少？〔3〕在〔2〕的條件下，當(dāng)為何值時，以為頂點的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時刻點的坐標(biāo)．yyxBCOADE圖19-1yxBCOADE圖19-2PMN〔此題總分值12分〕解：〔1〕依題意可知，折痕是四邊形的對稱軸，在中，，．．．點坐標(biāo)為〔2，4〕． 2分在中，，又．．解得：．點坐標(biāo)為 3分〔2〕如圖①，．，又知，，，又．而顯然四邊形為矩形． 5分，又當(dāng)時，有最大值． 6分〔3〕〔i〕假設(shè)以為等腰三角形的底，那么〔如圖①〕在中，，，為的中點，yxByxBCOADE圖①PMNF又，為的中點．過點作，垂足為，那么是的中位線，，，當(dāng)時，，為等腰三角形．此時點坐標(biāo)為． 8分〔ii〕假設(shè)以為等腰三角形的腰，那么〔如圖②〕yxBCOAyxBCOADE圖②PMNF過點作，垂足為．，．．，．，，當(dāng)時，〔〕，此時點坐標(biāo)為． 11分綜合〔i〕〔ii〕可知，或時，以為頂點的三角形為等腰三角形，相應(yīng)點的坐標(biāo)為或． 12分15、〔08天津市卷26題〕〔本小題10分〕拋物線，〔Ⅰ〕假設(shè)，，求該拋物線與軸公共點的坐標(biāo)；〔Ⅱ〕假設(shè)，且當(dāng)時，拋物線與軸有且只有一個公共點，求的取值范圍；〔Ⅲ〕假設(shè)，且時，對應(yīng)的；時，對應(yīng)的，試判斷當(dāng)時，拋物線與軸是否有公共點？假設(shè)有，請證明你的結(jié)論；假設(shè)沒有，闡述理由．解