中考數(shù)學(xué)壓軸題精選(二次函數(shù))(16題)-附詳細(xì)解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

1、〔第25題圖〕AxyBCO如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線=－++經(jīng)過(guò)A〔0，－4〕、B〔，0〕、C〔，0〕三點(diǎn)，且-=5．〔第25題圖〕AxyBCO〔1〕求、的值；〔4分〕〔2〕在拋物線上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形；〔3分〕〔3〕在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形？假設(shè)存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形？假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．〔3分〕解：解：〔1〕解法一：∵拋物線=－++經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔0，－4〕，∴=－4……1分又由題意可知，、是方程－++=0的兩個(gè)根，∴+=，=－=6 2分由得〔-〕=25又〔-〕=〔+〕－4=－24∴－24=25解得=± 3分當(dāng)=時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)在軸的正半軸上，不合題意，舍去．∴=－． 4分解法二：∵、是方程－++c=0的兩個(gè)根，即方程2－3+12=0的兩個(gè)根．∴=， 2分∴－==5，解得=± 3分〔以下與解法一相同．〕〔2〕∵四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線的對(duì)稱軸上， 5分又∵=－－－4=－〔+〕+ 6分∴拋物線的頂點(diǎn)〔－，〕即為所求的點(diǎn)D． 7分〔3〕∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔－6，0〕，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是直線=-3與拋物線=－--4的交點(diǎn)， 8分∴當(dāng)=－3時(shí)，=－×〔－3〕－×〔－3〕－4=4，∴在拋物線上存在一點(diǎn)P〔－3，4〕，使得四邊形BPOH為菱形． 9分四邊形BPOH不能成為正方形，因?yàn)槿绻倪呅蜝POH為正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是〔－3，3〕，但這一點(diǎn)不在拋物線上． 10分2、點(diǎn)A〔a，〕、B〔2a，y〕、C〔3a，y〕都在拋物線上.〔1〕求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；〔2〕當(dāng)a=1時(shí)，求△ABC的面積；〔3〕是否存在含有、y、y，且與a無(wú)關(guān)的等式？如果存在，試給出一個(gè)，并加以證明；如果不存在，說(shuō)明理由.解：〔1〕由5=0， 〔1分〕得，． 〔2分〕∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔0，0〕、〔，0〕． 〔3分〕〔2〕當(dāng)a=1時(shí)，得A〔1，17〕、B〔2，44〕、C〔3，81〕， 〔4分〕分別過(guò)點(diǎn)A、B、C作x軸的垂線，垂足分別為D、E、F，那么有=S-- 〔5分〕=-- 〔6分〕=5〔個(gè)單位面積〕 〔7分〕〔3〕如：． 〔8分〕事實(shí)上，=45a2+36a．3〔〕=3[5×〔2a〕2+12×2a-〔5a2+12a〕]=45a2+36a∴． 〔10分〕yxO第26題圖DECFAB3、如下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊在軸的負(fù)半軸上，邊在軸的正半軸上，且，，矩形繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到矩形．點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，拋物線過(guò)點(diǎn)．yxO第26題圖DECFAB〔1〕判斷點(diǎn)是否在軸上，并說(shuō)明理由；〔2〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔3〕在軸的上方是否存在點(diǎn)，點(diǎn)，使以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形的面積是矩形面積的2倍，且點(diǎn)在拋物線上，假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1〕點(diǎn)在軸上 1分理由如下：連接，如下圖，在中，，，，由題意可知：點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上． 3分〔2〕過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，在中，，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)的坐標(biāo)為 5分由〔1〕知，點(diǎn)在軸的正半軸上點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)的坐標(biāo)為 6分拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，由題意，將，代入中得解得所求拋物線表達(dá)式為： 9分〔3〕存在符合條件的點(diǎn)，點(diǎn)． 10分理由如下：矩形的面積以為頂點(diǎn)的平行四邊形面積為．由題意可知為此平行四邊形一邊，又邊上的高為2 11分依題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為點(diǎn)在拋物線上解得，，，以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，yxODEyxODECFABM當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，；當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，． 14分AOxyBFC圖164、如圖16，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)AOxyBFC圖16〔1〕求過(guò)三點(diǎn)拋物線的解析式并求出頂點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕在拋物線上是否存在點(diǎn)，使為直角三角形，假設(shè)存在，直接寫出點(diǎn)坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；〔3〕試探究在直線上是否存在一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，假設(shè)存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1〕直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．， 1分點(diǎn)都在拋物線上，拋物線的解析式為 3分頂點(diǎn) 4分〔2〕存在 5分 7分 9分〔3〕存在 10分理由：解法一：延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接交直線于點(diǎn)，那么點(diǎn)就是所求的點(diǎn)． 11分AOxyBFC圖AOxyBFC圖9HBM點(diǎn)在拋物線上，在中，，，，在中，，，， 12分設(shè)直線的解析式為解得 13分解得在直線上存在點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，此時(shí)． 14分5、如圖14，半徑為1的與軸交于兩點(diǎn)，為的切線，切點(diǎn)為，圓心的坐標(biāo)為，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)．〔1〕求二次函數(shù)的解析式；圖14yxOAB圖14yxOABMO1〔3〕線段上是否存在一點(diǎn)，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似．假設(shè)存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：〔1〕圓心的坐標(biāo)為，半徑為1，，……1分二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得方程組 2分解得：二次函數(shù)解析式為 3分〔2〕過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為． 4分是的切線，為切點(diǎn)，〔圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑〕．yAHFMyAHFMOP1P2O1xB為銳角， 5分，在中，．．點(diǎn)坐標(biāo)為 6分設(shè)切線的函數(shù)解析式為，由題意可知， 7分切線的函數(shù)解析式為 8分〔3〕存在． 9分①過(guò)點(diǎn)作軸，與交于點(diǎn)．可得〔兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似〕， 10分②過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，垂足為．可得〔兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角開相似〕在中，，，在中，，， 11分符合條件的點(diǎn)坐標(biāo)有， 12分6、中，，，cm．長(zhǎng)為1cm的線段在的邊上沿方向以1cm/s的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)〔運(yùn)動(dòng)前點(diǎn)與點(diǎn)重合〕．過(guò)分別作的垂線交直角邊于兩點(diǎn)，線段運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為s．〔1〕假設(shè)的面積為，寫出與的函數(shù)關(guān)系式〔寫出自變量的取值范圍〕；〔2〕線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形有可能成為矩形嗎？假設(shè)有可能，求出此時(shí)的值；假設(shè)不可能，說(shuō)明理由；〔3〕為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形與相似？解：〔1〕當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，．． 2分當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，．． 4分〔2〕，．．． 6分由條件知，假設(shè)四邊形為矩形，需，即，．當(dāng)s時(shí)，四邊形為矩形． 8分〔3〕由〔2〕知，當(dāng)s時(shí)，四邊形為矩形，此時(shí)，． 9分除此之外，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．，．． 10分，．又，． 11分，．當(dāng)s或s時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形與相似． 12分7、：如圖14，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)，點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．〔1〕寫出直線的解析式．〔2〕求的面積．〔3〕假設(shè)點(diǎn)在線段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從向運(yùn)動(dòng)〔不與重合〕，同時(shí)，點(diǎn)在射線上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，請(qǐng)寫出的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并求出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，的面積最大，最大面積是多少？xxyABCEMDPNO解：〔1〕在中，令，， 1分又點(diǎn)在上的解析式為 2分〔2〕由，得 4分，， 5分 6分〔3〕過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn) 7分 8分由直線可得：在中，，，那么， 9分 10分 11分此拋物線開口向下，當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，的面積到達(dá)最大，最大為． 12分8、某工廠要趕制一批抗震救災(zāi)用的大型活動(dòng)板房．如圖，板房一面的形狀是由矩形和拋物線的一局部組成，矩形長(zhǎng)為12m，拋物線拱高為5.6m．〔1〕在如下圖的平面直角坐標(biāo)系中，求拋物線的表達(dá)式．〔2〕現(xiàn)需在拋物線AOB的區(qū)域內(nèi)安裝幾扇窗戶，窗戶的底邊在AB上，每扇窗戶寬1.5m，高1.6m，相鄰窗戶之間的間距均為0.8m，左右兩邊窗戶的窗角所在的點(diǎn)到拋物線的水平距離至少為0.8m．請(qǐng)計(jì)算最多可安裝幾扇這樣的窗戶？解：〔1〕設(shè)拋物線的表達(dá)式為 1分點(diǎn)在拋物線的圖象上．∴ 3分∴拋物線的表達(dá)式為 4分〔2〕設(shè)窗戶上邊所在直線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，D點(diǎn)坐標(biāo)為〔k，t〕窗戶高1.6m，∴ 5分〔舍去〕 6分∴〔m〕 7分又設(shè)最多可安裝n扇窗戶∴ 9分．答：最多可安裝4扇窗戶． 10分〔此題不要求學(xué)生畫出4個(gè)表示窗戶的小矩形〕B為等腰三角形的點(diǎn)P有5個(gè)．11、拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C．⑴直接寫出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；⑵當(dāng)點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙P上時(shí)，求拋物線的解析式；⑶坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)M和⑵中拋物線上的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：⑴對(duì)稱軸是直線：，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(3,0)．……2分說(shuō)明：每寫對(duì)1個(gè)給1分，“直線〞兩字沒(méi)寫不扣分．⑵如圖，連接PC，∵點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A(-1,0)、B(3,0)，∴AB＝4．∴在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，∴∴b＝………………3分當(dāng)時(shí)，∴………………4分∴………………5分⑶存在．……………6分理由：如圖，連接AC、BC．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．①當(dāng)以AC或BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸上方，此時(shí)CM∥AB，且CM＝AB．由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．∴x＝±4．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．…9分說(shuō)明：少求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)扣1分．②當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M在x軸下方．過(guò)M作MN⊥AB于N，那么∠MNB＝∠AOC＝90°．∵四邊形AMBC是平行四邊形，∴AC＝MB，且AC∥MB．∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．……………12分說(shuō)明：求點(diǎn)M的坐標(biāo)時(shí)，用解直角三角形的方法或用先求直線解析式，然后求交點(diǎn)M的坐標(biāo)的方法均可，請(qǐng)參照給分．綜上所述，坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、B、C、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．其坐標(biāo)為．說(shuō)明：①綜上所述不寫不扣分；②如果開頭“存在〞二字沒(méi)寫，但最后解答全部正確，不扣分。12、如圖，將置于平面直角坐標(biāo)系中，其中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．〔1〕假設(shè)的外接圓與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)坐標(biāo)．DCOABxy〔2〕假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，試猜測(cè)過(guò)DCOABxy〔3〕二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和且頂點(diǎn)在圓上，求此函數(shù)的解析式．FEFE解：〔1〕連結(jié)AD，那么∠ADO＝∠B＝600在Rt△ADO中，∠ADO＝600所以O(shè)D＝OA÷＝3÷＝DCOABxyF所以D點(diǎn)的坐標(biāo)是〔0，〕DCOABxyF〔2〕猜測(cè)是CD與圓相切∵∠AOD是直角，所以AD是圓的直徑E又∵Tan∠CDO=CO/OD=1/=,∠CDO＝300E∴∠CDA=∠CDO+∠ADO=Rt∠即CD⊥AD∴CD切外接圓于點(diǎn)D〔3〕依題意可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=α〔x－0〕(x－3)由此得頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為：x==;即頂點(diǎn)在OA的垂直平分線上，作OA的垂直平分線EF，那么得∠EFA＝∠B＝300得到EF＝EA＝可得一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔，〕同理可得另一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為〔，〕分別將兩頂點(diǎn)代入y=α〔x－0〕(x－3)可解得α的值分別為，那么得到二次函數(shù)的解析式是y=x(x－3)或y=x(x－3)13、如圖，直角梯形中，∥,為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，2〕，∠=60°，于點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度.設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.求的長(zhǎng)；假設(shè)的面積為〔平方單位〕.求與之間的函數(shù)關(guān)系式.并求為何值時(shí)，的面積最大，最大值是多少？設(shè)與交于點(diǎn).①當(dāng)△為等腰三角形時(shí)，求〔2〕中的值.②探究線段長(zhǎng)度的最大值是多少，直接寫出結(jié)論.解：〔1〕∵∥∴在中，,∴，∴而∴為等邊三角形∴…〔3分〕〔2〕∵∴∴=〔〕…………〔6分〕即∴當(dāng)時(shí)，………〔7分〕〔3〕①假設(shè)為等腰三角形，那么：〔i〕假設(shè)，∴∥∴即解得：此時(shí)………………〔8分〕〔ii〕假設(shè)，∴過(guò)點(diǎn)作，垂足為，那么有：即解得：此時(shí)……〔9分〕〔iii〕假設(shè)，∴∥此時(shí)在上，不滿足題意.……………〔10分〕②線段長(zhǎng)的最大值為……………………(12分)14、如圖19-1，是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，為原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，，．〔1〕在邊上取一點(diǎn)，將紙片沿翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，求兩點(diǎn)的坐標(biāo)；〔2〕如圖19-2，假設(shè)上有一動(dòng)點(diǎn)〔不與重合〕自點(diǎn)沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒〔〕，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)．求四邊形的面積與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)取何值時(shí)，有最大值？最大值是多少？〔3〕在〔2〕的條件下，當(dāng)為何值時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，并求出相應(yīng)的時(shí)刻點(diǎn)的坐標(biāo)．yyxBCOADE圖19-1yxBCOADE圖19-2PMN〔此題總分值12分〕解：〔1〕依題意可知，折痕是四邊形的對(duì)稱軸，在中，，．．．點(diǎn)坐標(biāo)為〔2，4〕． 2分在中，，又．．解得：．點(diǎn)坐標(biāo)為 3分〔2〕如圖①，．，又知，，，又．而顯然四邊形為矩形． 5分，又當(dāng)時(shí)，有最大值． 6分〔3〕〔i〕假設(shè)以為等腰三角形的底，那么〔如圖①〕在中，，，為的中點(diǎn)，yxByxBCOADE圖①PMNF又，為的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，那么是的中位線，，，當(dāng)時(shí)，，為等腰三角形．此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為． 8分〔ii〕假設(shè)以為等腰三角形的腰，那么〔如圖②〕yxBCOAyxBCOADE圖②PMNF過(guò)點(diǎn)作，垂足為．，．．，．，，當(dāng)時(shí)，〔〕，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為． 11分綜合〔i〕〔ii〕可知，或時(shí)，以為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或． 12分15、〔08天津市卷26題〕〔本小題10分〕拋物線，〔Ⅰ〕假設(shè)，，求該拋物線與軸公共點(diǎn)的坐標(biāo)；〔Ⅱ〕假設(shè)，且當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求的取值范圍；〔Ⅲ〕假設(shè)，且時(shí)，對(duì)應(yīng)的；時(shí)，對(duì)應(yīng)的，試判斷當(dāng)時(shí)，拋物線與軸是否有公共點(diǎn)？假設(shè)有，請(qǐng)證明你的結(jié)論；假設(shè)沒(méi)有，闡述理由．解