隨機(jī)變量與分布

隨機(jī)變量與分布7.3.1隨機(jī)變量

一、案例

二、概念和公式的引出

三、進(jìn)一步的練習(xí)隨機(jī)變量與分布

一、案例擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果可以用1，2，3，4，5，6這6個(gè)數(shù)字來表示．從有3件廢品的一批產(chǎn)品中任取5件，觀察出現(xiàn)廢品的件數(shù)．我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果可以用0，1，2，3這4個(gè)數(shù)字來表示．案例1[擲骰子]案例2[產(chǎn)品檢驗(yàn)]隨機(jī)變量與分布拋一枚硬幣，結(jié)果只有“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”兩種情況，若用數(shù)0表示出現(xiàn)正面，數(shù)1表示出現(xiàn)反面，那么，拋一枚硬幣的結(jié)果也可以用0，1這2個(gè)數(shù)字來表示．從最長使用壽命為10000h的一批燈泡中，任取一個(gè)檢驗(yàn)，觀察使用壽命t．我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的可能結(jié)果為案例3[拋硬幣]案例4[燈泡壽命]隨機(jī)變量與分布某公共汽車站每15s發(fā)一班汽車，觀察某人在該站候車的時(shí)間．我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果為案例5[候車]隨機(jī)變量與分布

二、概念和公式的引出隨機(jī)變量如果隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)結(jié)果A都有一個(gè)實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母等字母表示．隨機(jī)變量與分布

三、進(jìn)一步練習(xí)練習(xí)1[擲骰子]表示“出現(xiàn)2點(diǎn)”這一隨機(jī)事件．練習(xí)2[產(chǎn)品取樣]可用隨機(jī)變量表示取到廢品件數(shù)，如“”表示“取到2件廢品”這一隨機(jī)事件．可用隨機(jī)變量表示擲骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，如“”隨機(jī)變量與分布可用隨機(jī)變量X表示拋出的結(jié)果，如“X=0”表示“出現(xiàn)正面”這一隨機(jī)事件．練習(xí)3[拋硬幣]隨機(jī)變量與分布7.3.2離散型隨機(jī)變量及其分布

一、案例

二、概念和公式的引出

三、進(jìn)一步的練習(xí)隨機(jī)變量與分布

案例[取球]上面我們已經(jīng)知道隨機(jī)變量可以表示隨機(jī)試驗(yàn)的取值1，2，…，6來表示所有結(jié)果．一定順序列出．如擲一枚骰子，可用結(jié)果，有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可用隨機(jī)變量的取值按隨機(jī)變量與分布

二、概念和公式的引出離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量的所有可能取值是有限多個(gè)或可列多個(gè)，這樣的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．隨機(jī)變量與分布設(shè)某盒中裝有編號(hào)為0，2，4數(shù)字的六個(gè)球，分別為1

三、進(jìn)一步練習(xí)案例1[摸球]的號(hào)碼”，寫出的可能取值和每個(gè)取值的概率．個(gè)，3個(gè)，2個(gè)．現(xiàn)從盒中任取一球，用表示“取到球隨機(jī)變量與分布解由于表示“取到球的號(hào)碼”，因此，可能取值為0，2，4．表示“取到0號(hào)球”，表示“取到2號(hào)球”，表示“取到4號(hào)球”，隨機(jī)變量與分布將隨機(jī)變量取值和相應(yīng)概率列成下表0241/61/21/3隨機(jī)變量與分布案例2[擲骰子]設(shè)表示擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則可將的可能取值和相應(yīng)的概率列成下表1234561/61/61/61/61/61/6隨機(jī)變量與分布

二、概念和公式的引出概率分布設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取值為取每一個(gè)值的概率為，則下表稱為…………隨機(jī)變量的概率分布，簡稱為的分布列隨機(jī)變量與分布概率分布也可簡寫為離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：隨機(jī)變量與分布

三、進(jìn)一步練習(xí)練習(xí)[信號(hào)燈]汽車需要通過有4盞紅綠信號(hào)燈的道路才能達(dá)到目的地，設(shè)汽車在每盞紅綠燈前通過的概率為，停止前進(jìn)（即遇到紅燈）的概率為，求汽車首次停止前進(jìn)（遇到紅燈或到達(dá)目的地）時(shí)，己通過的信號(hào)燈數(shù)的概率分布．隨機(jī)變量與分布解汽車首次停止前進(jìn)時(shí)，已通過的信號(hào)燈數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，用表示．顯然，的可能值為0，1，2，3，4，因?yàn)楸硎疽淹ㄟ^的信號(hào)燈數(shù)是0，有表示已通過的信號(hào)燈數(shù)是1，有表示已通過的信號(hào)燈數(shù)是2，有隨機(jī)變量與分布表示已通過的信號(hào)燈數(shù)是3，有表示已通過的信號(hào)燈數(shù)是4，有所以的概率分布見下表012340.40.240.1440.08640.1296隨機(jī)變量與分布

一、案例[擲硬幣、產(chǎn)品抽樣]拋擲一枚硬幣只出現(xiàn)正面或反面；產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)的結(jié)果為合格品或廢品．隨機(jī)變量與分布

二、概念和公式的引出伯努利試驗(yàn)如果一次隨機(jī)試驗(yàn)只出現(xiàn)兩種結(jié)果，用隨機(jī)變量取0或1來表示，那么稱服從兩點(diǎn)（或0-1）分布．取0時(shí)的概率為p，則設(shè)

的概率分布見下表01隨機(jī)變量與分布

三、進(jìn)一步練習(xí)練習(xí)[產(chǎn)品抽樣]某廠生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率為0.95，今抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)，則抽出合格品的件數(shù)服從兩點(diǎn)分布．其概率分布見下表010.050.95隨機(jī)變量與分布

一、案例[投籃命中次數(shù)的概率分布]

某人投籃的命中率為，現(xiàn)投籃20次，則投籃命中其概率分布為是隨機(jī)變量，可能取值為0，1，2，…，20，的次數(shù)隨機(jī)變量與分布二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量取值為0，1，2，…，n，其概率分布為則稱服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布，記作隨機(jī)變量與分布

三、進(jìn)一步練習(xí)練習(xí)[摸球]練習(xí)[使用壽命]按規(guī)定，某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)的為一級(jí)品．已知某大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為，現(xiàn)從中隨機(jī)地抽查10只，設(shè)10只元件中一級(jí)品的只數(shù)為，求的概率分布．隨機(jī)變量與分布解這是一個(gè)不放回抽樣，但由于這批元件的總數(shù)很大，且抽查的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來說又很小，因而可以當(dāng)作放回抽樣來處理．我們把檢查一只元件是否為一級(jí)品看作是一次試驗(yàn)，檢查10為一級(jí)品的只數(shù)，其可能的取值為0，1，2，…，10，且服從參數(shù)為n=10,p的二項(xiàng)分布，的概率分布為只元件相當(dāng)于做10重復(fù)試驗(yàn)，隨機(jī)變量與分布

二、概念和公式的引出泊松分布3．泊松分布如果隨機(jī)變量的概率分布為則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記作隨機(jī)變量與分布7.3.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其分布

一、案例

二、概念和公式的引出

三、進(jìn)一步練習(xí)隨機(jī)變量與分布

一、案例案例1[電子元件]電子元件的使用壽命是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取內(nèi)的一切值．

案例2[候車]某公共汽車站10分鐘發(fā)一趟各線路的汽車，某人到公共汽車站候車的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取[0,10]上的一切值．隨機(jī)變量與分布

二、概念和公式的引出概率分布密度的概率分布密度（簡稱分布密度或密度）函數(shù)．對(duì)于隨機(jī)變量，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)f(x)，使在任意區(qū)間(a,b)內(nèi)取值的概率為為則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為隨機(jī)變量與分布由密度函數(shù)的定義得下列兩個(gè)性質(zhì)：隨機(jī)變量與分布

二、概念和公式的引出均勻分布如果隨機(jī)變量的密度函數(shù)為1、均勻分布則稱在[a,b]上服從均勻分布，記作隨機(jī)變量與分布

三、進(jìn)一步練習(xí)練習(xí)[候車問題]某公共汽車站每隔10min有一輛公共汽車通過，現(xiàn)有問該乘客候車時(shí)間小于5min的概率．一乘客隨機(jī)到站候車．設(shè)表示乘客的候車時(shí)間，隨機(jī)變量與分布解由于乘客到站相當(dāng)于在[0,10]內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，因此即故乘客候車小于5min的概率為隨機(jī)變量與分布

一、概念和公式的引出正態(tài)分布如果隨機(jī)變量的密度函數(shù)為2、正態(tài)分布其中為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記作隨機(jī)變量與分布正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖象如下所示

正態(tài)分布曲線決定于密度函數(shù)中的兩個(gè)參數(shù)

的陡緩程度．

參數(shù)

參數(shù)決定了曲線的中心位置，

決定曲線隨機(jī)變量與分布特別地，當(dāng)

時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即

，其密度函數(shù)為