課件-計算機圖形學-圖形幾何變換

第四章圖形幾何變換內(nèi)容提要4.1概述4.2二維幾何變換4.3二維組合變換4.4三維幾何變換4.5三維組合變換4.6OpenGL編程（補充內(nèi)容）第四章圖形幾何變換內(nèi)容提要

平移旋轉(zhuǎn)縮放錯切4.1概述：

一圖形變換的幾種形式：(動畫演示）4.1概述：點的表示：二維圖形中的點可以用坐標（x,y）來表示，也可以用矢量[x,y]來表示。二維行矢量[x,y]三維行矢量[x,y,z]二維列矢量三維列矢量圖形的表示用nx2或nx3矩陣來表示二維或三維圖形上所有n個點。

二維空間上 三維空間上的所有點 的所有點二圖形與矢量點的表示：二維圖形中的點可以用坐標（x,y）來表示，二圖形

1圖形變換的方法：借助變換矩陣來實現(xiàn)三圖形的變換圖形（可用點集表示）矩陣P新矩陣P’新圖形P×變換矩陣T表示成表示成1圖形變換的方法：借助變換矩陣來實現(xiàn)三圖形的變換2變換矩陣:點

：變換矩陣 ：變換：變換后的點：新矩陣：P=[x,y]2變換矩陣:點 ：P=[x,y]3為什么要用變換矩陣？

(1)

圖形可用點集表示，點集可用矩陣表示：所以對圖形進行各種變換，就是對圖形中的點進行變化，就是使點集對應(yīng)的矩陣發(fā)生變化。反過來，當矩陣發(fā)生變化時，它所代表的圖形也發(fā)生變化(2)結(jié)論：圖形變換可通過對矩陣進行某種運算來實現(xiàn)，通常將矩陣P乘以一個相應(yīng)的變換矩陣T，

從而得到新矩陣P’，新矩陣P’代表變換后新圖形上的各個點的坐標。(3)例：動畫演示(進行圖形變換需要借助不同的變換矩陣)3為什么要用變換矩陣？(3)例：動畫演示(進行圖形變換需1圖形模式（固定坐標系模式）變換前后點的坐標發(fā)生變化，但都是在同一坐標系中。2空間模式（活動坐標系模式）改變參照系，變換前后是相對不同坐標系的四變換方式1圖形模式（固定坐標系模式）四變換方式設(shè)有兩個矢量矢量和

五數(shù)學基礎(chǔ)設(shè)有兩個矢量五數(shù)學基礎(chǔ)矢量的數(shù)乘

矢量的點積矢量的數(shù)乘矢量的長度單位矢量：長度為1的矢量

矢量的夾角矢量的叉積矢量的長度1比例變換的變換矩陣：則：a為x方向的比例因子，d為y方向的比例因子。4.2二維變換：

一比例變換：1比例變換的變換矩陣：4.2二維變換：2例：以坐標原點為放縮參照點不僅改變了物體的大小和形狀，也改變了它離原點的距離

3動畫演示圖形比例變換的過程2例：3動畫演示圖形比例變換的過程

對X軸對稱變換變換矩陣：則：圖形對x軸進行對稱變換二對稱變換變換矩陣：二對對Y軸對稱變換變換矩陣：則：圖形對y軸進行對稱變換對Y軸對稱變換變換矩陣：對原點對稱變換變換矩陣：則：圖形對坐標原點進行對稱變換

動畫演示圖形對稱變換的過程對原點對稱變換變換矩陣：動畫演示圖形對稱變換的過程三旋轉(zhuǎn)變換1旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣：X’=Rcos（α+θ）=Rcosαcosθ-Rsinαsinθ=Xcosθ-YsinθY’=Rsin(α+θ)=Rcosαsinθ+Rsinαcosθ=Xsinθ+Ycosθ

繞坐標原點旋轉(zhuǎn)θ角的變換矩陣為：＝寫成矩陣形式：三旋轉(zhuǎn)變換1旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣：＝寫成矩陣形式：2旋轉(zhuǎn)變換繞坐標原點旋轉(zhuǎn)角度（逆時針為正，順時針為負）3動畫演示圖形旋轉(zhuǎn)變換的過程2旋轉(zhuǎn)變換3動畫演示圖形旋轉(zhuǎn)變換的過程四錯切變換

1錯切變換的變換矩陣：四錯切變換1錯切變換的變換矩陣：2沿x方向錯切（b=0,c≠0）2沿x方向錯切（b=0,c≠0）3沿y方向錯切（b≠0,c=0）3沿y方向錯切（b≠0,c=0）4沿X，y方向錯切（b≠0,c≠0）5動畫演示圖形錯切變換的過程4沿X，y方向錯切（b≠0,c≠0）5五平移變換

1平移變換的例子：例如：從A平移到A’·得到結(jié)果：即：平移變換:，AA’lm五平移變換1平移變換的例子：AA’lm2平移變換的問題問題的提出：平移變換:的運算為加法，不統(tǒng)一比例變換:的運算為乘法.旋轉(zhuǎn)變換:的運算為乘法.復(fù)合變換：T=T1·T2·T3·T4·T5的運算為乘法.理想是用乘法來統(tǒng)一。問題的解決：采用齊次坐標技術(shù)可以使所有變換全都使用乘法，即如下的形式：2平移變換的問題問題的提出：3齊次坐標技術(shù)齊次坐標表示法由n+1維向量表示一個n維向量采用了齊次坐標技術(shù)，圖形變換才可以轉(zhuǎn)換為表示圖形的點集矩陣與某一變換矩陣相乘這一單一問題。因而可以借助計算機高速計算功能，快速得到變換后的圖形。為高度動態(tài)的計算機圖形顯示提供了可能性。齊次坐標表示法的優(yōu)點便于變換合成便于硬件實現(xiàn)3齊次坐標技術(shù)齊次坐標表示法4齊次坐標表示的實現(xiàn)給二維點增加一維，給變換矩陣增加一列。變換后的點也增加一列。結(jié)果：平移變換也可以使用矩陣乘法來進行計算。推廣：二維三維4齊次坐標表示的實現(xiàn)給二維點增加一維，給變換矩陣增加一5齊次坐標的正?；懻摚狐c沒有唯一的齊次坐標表示齊次坐標的一般形式：H=1時，為：H=2時，為：它們都表示二維空間點zyx1205齊次坐標的正?；懻摚狐c沒有唯一的齊次坐標表示zyx6齊次坐標表示的物理含義

只要和對應(yīng)的元素成比例，則它們對應(yīng)于二維空間的同一個點。該點對應(yīng)的齊次坐標為三維空間的一條直線。該直線上的每一個點都對應(yīng)于一個二維坐標點（x,y）。6齊次坐標表示的物理含義只要齊次坐標表示法用n+1維表示n維圖形的物理含義是：xzy1Z=1平面圖形落在Z＝1的平面上，它對圖形的形狀沒有影響。齊次坐標表示法用n+1維表示n維圖形的物理含義是：xzy17齊次坐標的正?；〗Y(jié)：只有H=1時，點的齊次坐標x,y才與二維坐標的x,y值相等。所以應(yīng)當進行齊次坐標的正?；?齊次坐標的正常化小結(jié)：

一組合變換：一個復(fù)雜的變換可以轉(zhuǎn)化為多個基本變換，這種方法叫做組合變換。齊次坐標統(tǒng)一了圖形變換的表示形式，為組合變換提供了基礎(chǔ)。4.3二維組合變換

一組合變換：4.3二維組合變換二復(fù)合變換及變換的模式

1關(guān)于繞任意參照點旋轉(zhuǎn)θ的變換變換矩陣：T=T1?T2?T3（位移，旋轉(zhuǎn)，-位移）二復(fù)合變換及變換的模式1關(guān)于繞任意參照點2關(guān)于任意參照點的放縮變換位移，縮放，-位移2關(guān)于任意參照點的放縮變換3關(guān)于任意軸的對稱變換關(guān)于任意軸的對稱變換（平移，旋轉(zhuǎn)，對稱，-旋轉(zhuǎn)，-平移）3關(guān)于任意軸的對稱變換關(guān)于任意軸的對稱變換（平移，旋轉(zhuǎn)，對

關(guān)于任意軸的對稱變換步驟：1)平移直線，使其通過原點，變換矩陣為：2)繞原點旋轉(zhuǎn)，使直線與X軸重合，變換矩陣為：關(guān)于任意軸的對稱變換步驟：1)平移直線，使其通過原點，變換3)對X坐標軸對稱變換，其變換矩陣為：4)繞原點放置使直線回到原來與X軸成θ角的位置，變換矩陣為：3)對X坐標軸對稱變換，其變換矩陣為：4)繞原點放置使直線回5)平移直線，使其回到原來的位置，變換矩陣為：通過上述5個步驟，即可實現(xiàn)圖形對任意直線的對稱變換，其組合變換矩陣為：T=T1?T2?T3?T4?T5＝結(jié)論：復(fù)雜變換可以通過基本變換的組合而生成。注意：變換順序影響結(jié)果，組合的順序不能顛倒。5)平移直線，使其回到原來的位置，變換矩陣為：通過上述5個

4.4三維幾何變換一三維幾何變換1三維幾何變換是二維幾何變換的推廣。2三維幾何變換在齊次坐標空間中可以用4×4的變換矩陣表示，(x,y,z)點對應(yīng)的齊次坐標為：(x,y,z,h)，其中h是不等于0的任意常數(shù)。3變換矩陣：

4.4三維幾何變換一三維幾何變換二三維齊次坐標(x,y,z)點對應(yīng)的齊次坐標為標準齊次坐標(x,y,z,1)二三維齊次坐標三比例變換比例變換變換矩陣：若a=e=j則：xyz方向的縮放比例相同，如圖1若a≠e≠j則：立體產(chǎn)生類似變形，如圖2。zyxzyx圖1圖2三比例變換比例變換變換矩陣：zyxzyx四全比例變換全比例變換矩陣：變換結(jié)果：需要進行齊次坐標正?；娜壤儞Q全比例變換矩陣：五對稱變換

變換矩陣：

立體對xoy平面對稱時，x,y坐標不變，z坐標變化。zyx1對xoy平面的對稱變換五對稱變換zyx1對xoy平面的對稱變換2對xoz和yoz平面的對稱變換對xoz平面的對稱變換：對xoz平面的對稱變換：2對xoz和yoz平面的對稱變換對xoz平面的對稱1繞x軸旋轉(zhuǎn)變換zyxzyx繞x軸旋轉(zhuǎn)六旋轉(zhuǎn)變換變換矩陣：1繞x軸旋轉(zhuǎn)變換zyxzyx繞x軸旋轉(zhuǎn)六旋轉(zhuǎn)變換2繞y軸旋轉(zhuǎn)變換：

變換矩陣：zyx繞y軸旋轉(zhuǎn)zyx2繞y軸旋轉(zhuǎn)變換：zyx繞y軸旋轉(zhuǎn)zyx3繞z軸旋轉(zhuǎn)變換

變換矩陣：zyxzyx繞z軸旋轉(zhuǎn)3繞z軸旋轉(zhuǎn)變換zyxzyx繞z軸旋轉(zhuǎn)七平移變換平移變換矩陣

l,m,n分別為x,y,z方向的平移量。zyx七平移變換平移變換矩陣zyx八錯切變換錯切變換:錯切變換是指立體沿x,y,z三個方向產(chǎn)生錯切變形，它是斜軸測投影變換的基礎(chǔ)。錯切變換的6種形式：1)沿x方向含y分量錯切，2)沿x方向含z分量錯切3)沿y方向含x分量錯切，4)沿y方向含z分量錯切5)沿z方向含x分量錯切，6)沿z方向含y分量錯切八錯切變換錯切變換:3錯切變換矩陣：則：主對角線元素全為1，第4行，第4列的其余元素全為0。b,c,d,f,h,I中至少有一個不為0。3錯切變換矩陣：則：主對角線元素全為1，第4行，第4列的（1）沿x含y錯切變換矩陣：x的值隨著y的增大而增大。zyx（1）沿x含y錯切變換矩陣：zyx（2）沿x含z錯切變換矩陣：x的值隨著z的增大而增大。zyx（2）沿x含z錯切變換矩陣：zyx（3）沿y含x錯切變換矩陣：y的值隨著x的增大而增大。zyx（3）沿y含x錯切變換矩陣：zyx（4）沿y含z錯切變換矩陣：y的值隨著z的增大而增大。zyx（4）沿y含z錯切變換矩陣：zyx（5）沿z含x錯切變換矩陣：z的值隨著x的增大而增大。zyx（5）沿z含x錯切變換矩陣：zyx（6）沿z含y錯切變換矩陣：z的值隨著y的增大而增大。zyx（6）沿z含y錯切變換矩陣：zyx九三維組合變換分成5個步驟：1)J軸繞Z軸轉(zhuǎn)φ，成為J1，使J1與YOZ共面。2)J1軸繞X軸轉(zhuǎn)γ，成為J2，使J2與Z軸重合。3)立方體繞J2軸轉(zhuǎn)θ，達到目的。4)從J2返回J1。5)從J1返回J。J2J2zyxJ1JzyxJ1zyxJ11問題1：如何實現(xiàn)三維物體繞任意軸旋轉(zhuǎn)？2思路：將任意軸J軸重合Z軸之后，使立方體旋轉(zhuǎn)θ角，然后返回。九三維組合變換J2J2zyxJ1JzyxJ1zyxJ13實現(xiàn)方法：三維組合變換

通過對三維基本變換矩陣的組合，可以實現(xiàn)對三維物體的復(fù)雜變換，變換結(jié)果是每次變換矩陣相乘。

3實現(xiàn)方法：三維組合變換4實現(xiàn)步驟：

(1)將三維物體與任意軸J一起作平移變換，使任意軸過原點，其變換矩陣為：

zyxJzyxJ平移變換4實現(xiàn)步驟：zyxJzyxJ平移變換

(2)令J軸繞X軸轉(zhuǎn)

角，成為J1，使J1與XOZ共面。再繞Y軸旋轉(zhuǎn)?角，使其與Z軸重合。

其變換矩陣為：

zyxJ旋轉(zhuǎn)變換yxzJzzyxJ旋轉(zhuǎn)變換(2)令J軸繞X軸轉(zhuǎn)角，成為J1，使J1與XO

(3)將立方體繞Z軸（J軸）旋轉(zhuǎn)角其變換矩陣為：

zyxJ旋轉(zhuǎn)變換zyxJ(3)將立方體繞Z軸（J軸）旋轉(zhuǎn)角zyxJ旋轉(zhuǎn)變換zy

(4)對步驟（2）作逆變換，將J軸回到原來的位置，

其變換矩陣為：

zyxJyxzJzzyxJ旋轉(zhuǎn)變換旋轉(zhuǎn)變換(4)對步驟（2）作逆變換，將J軸回到原來的位置，zyx

(5)對步驟(1)作逆變換，將任意軸J軸回到原來的位置其變換矩陣為：

zyxJ平移變換zyxJ(5)對步驟(1)作逆變換，將任意軸J軸回到原來的位上述五個步驟連起來，便組成繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣：zyxJzyxJ組合變換上述五個步驟連起來，便組成繞任意軸的旋轉(zhuǎn)變換矩陣：zyxJz5問題2：相對任一參考點的三維變換相對于參考點F(xf,yf,zf)作比例、旋轉(zhuǎn)、錯切等變換的過程分為以下三步：(1)將參考點F移至坐標原點(2)針對原點進行二維幾何變換(3)進行反平移5問題2：相對任一參考點的三維變換相對于參考點F(xf,例：相對于F(xf,yf,zf)點進行比例變換例：相對于F(xf,yf,zf)點進行比例變換4.6OpenGL編程（補充內(nèi)容）4.6.1OpenGL編程基礎(chǔ)知識4.6.2Windows環(huán)境下OpenGL編程概論4.6.3基本幾何圖元的定義4.6.4坐標變換4.6OpenGL編程（補充內(nèi)容）4.6.1Ope4.6.1OpenGL編程基礎(chǔ)知識4.6.1.1OpenGL概述4.6.1.2OpenGL命令語法及各種狀態(tài)的含義4.6.1.3運用輔助庫創(chuàng)建規(guī)則幾何對象4.6.1.4OpenGL輔助庫函數(shù)詳解4.6.1.5Windows環(huán)境下OpenGL編程步驟4.6.1OpenGL編程基礎(chǔ)知識4.6.1.1OpenGL概述一問題：從事三維圖形開發(fā)的技術(shù)人員編寫了大量的矩陣變換、外部設(shè)備訪問等函數(shù)，但很多工作與自己的目標關(guān)系不大，浪費精力。例如：1演示本人編寫的程序旋轉(zhuǎn)的矩形rotate12演示本人用OpenGL提供的函數(shù)編寫的旋轉(zhuǎn)的矩形OpenGLrotate

說明OpenGL帶來極大便利，可幫助我們將精力放在更大目標上。二OpenGL是一個三維圖形開發(fā)的有力工具：OpenGL提供了一種直觀的編程環(huán)境，它提供的一系列函數(shù)大大簡化了三維圖形程序。4.6.1.1OpenGL概述一問題：三OpenGL基本概念：1OpenGL是一個性能卓越的開放式三維圖形標準：

(1)Microsoft、SGI、IBM、DEC、SUN、HP等大公司都采用OpenGL作為三維圖形標準

(2)許多軟件廠商也以O(shè)penGL為基礎(chǔ)開發(fā)自己的產(chǎn)品：著名的產(chǎn)品包括動畫制作軟件：SoftImage3D、3DStudioMAX、仿真軟件OpenInventor、VR軟件WorldToolKit、CAM軟件ProEngineer、GIS軟件ARC/INFO等。

(3)OpenGL是開放的圖形標準：用戶在UNIX下開發(fā)的OpenGL圖形軟件很容易移植到微機上的Windows上。三OpenGL基本概念：OpenGL獨立于硬件設(shè)備、窗口系統(tǒng)和操作系統(tǒng)：許多計算機公司已把OpenGL集成到各種操作系統(tǒng)和窗口系統(tǒng)中，其中窗口系統(tǒng)：X窗口系統(tǒng)，Windows等。操作系統(tǒng)包括：unix，WindowsNT和Windows等系統(tǒng)。OpenGL實際是一個開放的三維圖形軟件包：OpenGL可以與VisualC++緊密接口。OpenGL獨立于硬件設(shè)備、窗口系統(tǒng)和操作系統(tǒng)：四OpenGL的七大功能：1建模：OpenGL提供的繪制函數(shù)：基本的點、線、多邊形的繪制函數(shù)、復(fù)雜的三維物體（球、錐、多面體、茶壺等）的繪制函數(shù)、復(fù)雜曲線和曲面的繪制函數(shù)。(演示茶壺顯示的程序）

2變換：

OpenGL圖形庫的變換包括基本變換和投影變換?；咀儞Q有：平移、旋轉(zhuǎn)、縮放、鏡像4種變換

投影變換有：平行投影、透視投影兩種變換

有利于減少算法的運行時間，提高三維圖形的顯示速度。四OpenGL的七大功能：顏色模式設(shè)置：OpenGL顏色模式有兩種：RGBA模式、顏色索引兩種光照和材質(zhì)設(shè)置：

OpenGL光有：輻射光（EmittedLight）、環(huán)境光（AmbientLight）、漫反射光（DiffuseLight）、鏡面光（SpecularLight）、材質(zhì)用光反射率表示場景中物體最終反映到人眼的顏色是：光的紅、綠、藍分量與材質(zhì)紅、綠、藍分量的反射率相乘后形成的顏色。

顏色模式設(shè)置：5紋理映射：利用OpenGL紋理映射功能可以十分逼真地表達物體表面細節(jié)6位圖顯示和圖像增強7雙緩存動畫：雙緩存即前臺緩存和后臺緩存，后臺緩存計算場景，生成畫面，前臺顯示后臺緩存已畫好的畫面。5紋理映射：4.6.1.2OpenGL命令語法及各種狀態(tài)的含義OpenGL有115個核心函數(shù)：核心函數(shù)有多種形式并能接受不同類型的參數(shù)，這些函數(shù)又可派生出300多個函數(shù)?；竞瘮?shù)的命名規(guī)則：以前綴gl開頭，組成命令名的每個字的開頭用大寫字母。例：glClearColor().OpenGL定義的符號常數(shù)以GL_開頭，各字母間用下劃線分隔。例：GL_COLOR_BUFFER_BITOpenGL定義的數(shù)據(jù)類型以GL開頭:例：intGLint4.6.1.2OpenGL命令語法及各種狀態(tài)的含義Ope4.6.1.3運用輔助庫創(chuàng)建規(guī)則幾何對象一輔助庫簡介：1問題：OpenGL中提供了許多圖形函數(shù)，但沒有窗口函數(shù)及讀取鍵盤和鼠標事件的函數(shù)，初學者感到困難。

2解決方法：使用輔助庫提供的函數(shù)。

輔助庫提供：基本的窗口管理、基本三維圖形繪制函數(shù)。

輔助庫的主要目的：幫助初學者盡快掌握OpenGL的精髓。4.6.1.3運用輔助庫創(chuàng)建規(guī)則幾何對象一輔助庫簡介：二輔助庫分類：1窗口初始化函數(shù)2窗口處理和事件處理函數(shù)3定義場景繪制循環(huán)函數(shù)4三維物體繪制函數(shù)5顏色索引表裝入函數(shù)6空閑時間處理函數(shù)二輔助庫分類：三輔助庫應(yīng)用示例

演示C++OpenGL程序（旋轉(zhuǎn)的立方體、球體）三輔助庫應(yīng)用示例4.6.1.4OpenGL輔助庫函數(shù)詳解一窗口初始化函數(shù)（需3個函數(shù)完成）1voidauxInitWindow(Glbyte*titleString);表示打開一個窗口，函數(shù)的參數(shù)是窗口的標題。在打開窗口之前需要先調(diào)用：auxInitDisplayMode()和auxInitPosition()函數(shù)。程序運行時在此窗口內(nèi)按下Esc鍵可以關(guān)閉該程序及窗口。4.6.1.4OpenGL輔助庫函數(shù)詳解一窗口初始化函voidauxInitDisplayMode(Glbitfieldmask);用來設(shè)置窗口顯示模式。窗口的基本模式：RGBA或顏色索引模式、單緩存或雙緩存模式。例：auxInitDisplayMode(AUX_SINGLE|AUX_RGBA);表示以RGBA單緩存模式顯示。voidauxInitPosition(Glintx,Glinty,Glsizeiwidth,

Glsizeiheight);用于設(shè)置窗口的大小及位置。x,y為窗口的左上角屏幕坐標width、height分別決定窗口的初始寬度和高度，單位均為像素。voidauxInitDisplayMode(Glbitf二窗口處理和事件處理函數(shù)（由3個回調(diào)函數(shù)組成）voidauxReshapeFunc(void(*function)(Glsizei));指定在窗口形狀改變時對繪制產(chǎn)生的影響voidauxKeyFunction(Glintkey,void(*function)(void));定義鍵盤事件響應(yīng)函數(shù)voidauxMouseFunc(Glintbutton,Glintmode,void(*function)(AUX_EVENTREC*));定義鼠標事件響應(yīng)函數(shù)二窗口處理和事件處理函數(shù)（由3個回調(diào)函數(shù)組成）三維物體繪制函數(shù)：(輔助庫可繪制11種基本幾何圖形）

繪制球的函數(shù)：voidauxWireSphere(Gldouble);voidauxSolidSphere(Gldouble);繪制立方體、長方體、圓柱、二十面體、八面體、四面體、十二面體、圓錐、茶壺等函數(shù)三維物體繪制函數(shù)：(輔助庫可繪制11種基本幾何圖形）4.6.1.5Windows環(huán)境下OpenGL編程步驟一創(chuàng)建項目文件二選擇Project|Setting菜單項，在Link選項組的Lib列表框中添加：

opengl32.lib、glu32.lib、glaux.lib三對視圖類進行以下操作：4.6.1.5Window