概率論復習第一章(1,2,3,4)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計

主講黃維忠序言

在我們所生活的世界上，充滿了不確定性

——隨機現(xiàn)象下面的現(xiàn)象哪些是隨機現(xiàn)象？A.太陽從東方升起；B.明天的最高溫度；C.上拋物體一定下落；D.新生嬰兒的體重.隨機現(xiàn)象：帶有隨機性、偶然性的現(xiàn)象.隨機現(xiàn)象是不是沒有規(guī)律可言?否！在一定條件下對隨機現(xiàn)象進行大量觀測會發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律性.例如:

一門火炮在一定條件下進行射擊，個別炮彈的彈著點可能偏離目標而有隨機性的誤差，但大量炮彈的彈著點則表現(xiàn)出一定的規(guī)律性，如一定的命中率，一定的分布規(guī)律等等.又如:

在一個容器內(nèi)有許多氣體分子，每個氣體分子的運動存在著不定性，無法預言它在指定時刻的動量和方向.但大量分子的平均活動卻呈現(xiàn)出某種穩(wěn)定性，如在一定的溫度下，氣體對器壁的壓力是穩(wěn)定的，呈現(xiàn)“無序中的規(guī)律”."天有不測風云"和"天氣可以預報"有矛盾嗎?無!

“天有不測風云”指的是隨機現(xiàn)象一次實現(xiàn)的偶然性.

“天氣可以預報”指的是研究者從大量的氣象資料來探索這些偶然現(xiàn)象的規(guī)律性.從表面上看，隨機現(xiàn)象的每一次觀察結(jié)果都是隨機的，但多次觀察某個隨機現(xiàn)象，便可以發(fā)現(xiàn)，在大量的偶然之中存在著必然的規(guī)律.隨機現(xiàn)象的這種必然性表現(xiàn)在大量重復試驗或觀察中隨機現(xiàn)象所呈現(xiàn)出的固有規(guī)律性，稱之為隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性.概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性的數(shù)學學科。理論嚴謹,應用廣泛,發(fā)展迅速.第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)與管理的復雜化產(chǎn)生了運籌學、系統(tǒng)論、信息論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計學等學科。概率論是一門研究客觀世界隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學分支學科。對客觀世界中隨機現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率論；使概率論成為數(shù)學的一個分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學家J.伯努利；而概率論的飛速發(fā)展則在17世紀微積分學說建立以后。數(shù)理統(tǒng)計學是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議的數(shù)學分支學科。概率論是數(shù)理統(tǒng)計學的基礎，數(shù)理統(tǒng)計學是概率論的一種應用。但是它們是兩個并列的數(shù)學分支學科，并無從屬關(guān)系。概率統(tǒng)計理論與方法的應用幾乎遍及所有科學技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟的各個部門中.例如:尋求最佳生產(chǎn)方案要進行試驗設計和數(shù)據(jù)處理；產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能否在臨床中應用，均需要用到假設檢驗；氣象、水文、地震預報、人口控制及預測都與概率論緊密相關(guān)；4.

電子系統(tǒng)的設計離不開可靠性估計;探討太陽黑子的規(guī)律時，時間序列分析方法非常有用;研究化學反應的時變率，要以馬爾可夫過程來描述;在生物學中研究群體的增長問題時提出了生滅型隨機模型，傳染病流行問題要用到多變量非線性生滅過程；許多服務系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調(diào)度、購物排隊、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的識就是排隊論。目前，概率統(tǒng)計理論進入其他科學領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展.在社會科學領(lǐng)域，尤其是經(jīng)濟學中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟的穩(wěn)定增長等問題，都大量采用概率統(tǒng)計方法。目前,不僅高等學校各專業(yè)都開設了這門課程,而且被國家教委定為本科生考研的數(shù)學課程之一，希望大家能認真學好這門重要課程。“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質(zhì)上只是概率的問題?！?/p>

——拉普拉斯第一章概率論的基本概念（隨機事件及其概率）§1.§2隨機事件

對某一事物特征進行觀察,統(tǒng)稱試驗。H

例如,

擲硬幣試驗擲一枚硬幣，觀察出正還是反.T擲骰子試驗擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)

壽命試驗測試在同一工藝條件下生產(chǎn)出的燈泡的壽命.試驗結(jié)果不止一個，且能事先明確所有的結(jié)果;特點：可在相同的條件下重復進行;試驗前不能預知出現(xiàn)哪種結(jié)果。具有以上特點的試驗稱為隨機試驗,用E

表示。樣本空間——隨機試驗E所有可能的結(jié)果組成的集合稱為樣本空間，記為S。樣本空間的元素，即E

的直接結(jié)果，稱為樣本點(或基本事件)，常記為，S={}。例1

隨機試驗及相應的樣本空間E1:投一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)有限樣本空間E2:觀察總機每天9:00~10:00接到的電話次數(shù)E3:觀察某燈泡的壽命隨機事件

——樣本空間的子集,常記為A,B,…它是滿足某些條件的樣本點所組成的集合。隨機事件發(fā)生

——組成隨機事件的一個樣本點出現(xiàn)。如在擲骰子試驗中，觀察擲出的點數(shù).事件基本事件（相對于觀察目的不可再分解的事件）復合事件（兩個或一些基本事件并在一起，就構(gòu)成一個復合事件）事件

B={擲出奇數(shù)點}

事件Ai

={擲出i點}

i=1,2,3,4,5,6必然事件——全體樣本點組成的事件,記為S

。每次試驗必定發(fā)生的事件。不可能事件——不包含任何樣本點的事件。每次試驗必定不發(fā)生的事件，記為?；臼录?/p>

——僅由一個樣本點所組成的子集。每次試驗必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個基本事件。事件的關(guān)系和運算Venn圖AS

隨機事件的關(guān)系和運算類似于集合的關(guān)系和運算1.事件的包含

——A

包含于B事件A發(fā)生必導致事件B

發(fā)生

A

S

B

2.事件的相等事件A發(fā)生必導致事件B

發(fā)生，同時，事件B發(fā)生必導致事件A發(fā)生事件的關(guān)系3.事件的并(和)或——A

與B

的和事件事件A與事件B

至少有一個發(fā)生的和事件——的和事件——

S

4.事件的交(積)

事件A與事件B同時

發(fā)生——A

與B

的積事件的積事件——的積事件——

5.

事件的差——A

與B

的差事件事件A發(fā)生，但事件B

不發(fā)生

B6.事件的互斥(互不相容)——A

與B

互不相容（互斥）A、

B不可能同時發(fā)生兩兩互斥兩兩互斥AB7.事件的對立——A

與B

互相對立（互逆）每次試驗A、

B中有且只有一個發(fā)生稱B

為A的對立事件(or逆事件)，記為注意：“A

與B

互相對立”與“A

與B

互不相容”是不同的概念A

運算律事件運算集合運算對應

吸收律

重余律

冪等律

交換律

結(jié)合律

分配律

差化積運算順序：

反演律（對偶律）逆交并差，括號優(yōu)先。例2

利用事件關(guān)系和運算表達多個事件的關(guān)系:A,B,C

都不發(fā)生——

A,B,C

不都發(fā)生——

A發(fā)生，而B不發(fā)生——例3

生產(chǎn)加工三個零件，分別用

表示第i個零件為正品。用及事件的運算表示下列事件：（1）沒有一個零件是次品，全是正品。(B1)（2）只有第一個是次品。(B2)（3）恰有一個是次品。(B3)（4）至少有一個是次品。(B4)解：（1）(2)(2)(3)(3)(4)某人向目標射擊，以A表示事件“命中目標”，定義事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)nA次，則比值nA/n稱為事件A在n次重復試驗中出現(xiàn)的頻率，記為fn(A).

§1.3頻率與概率P（A）=？?頻率的穩(wěn)定性實驗者

n nH fn(H)德.摩根（De.Morgan） 2048 1061 0.5181

蒲豐(Buffon） 4040 2048 0.5069K.皮爾遜（K.Pearson） 12000 6019 0.5016K.皮爾遜（K.Pearson） 24000 12012 0.5005

觀察歷史上有多位有名的科學家的“拋硬幣”試驗結(jié)果，有什么規(guī)律?在充分多次試驗中，事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數(shù)越多，一般來說擺動越小.這個性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性.頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小.盡管每進行一連串（n次）試驗，所得到的頻率可以各不相同，但只要n相當大，頻率與概率是會非常接近的.因此，概率是可以通過頻率來“測量”的,頻率是概率的一個近似.若他射擊n發(fā)，中靶m發(fā)，當n很大時，可用頻率m/n作為他中靶概率的估計.

若我們希望知道某射手中靶的概率，應對這個射手在同樣條件下大量射擊情況進行觀察記錄.概率的統(tǒng)計定義為了研究事件A

的概率，在相同的條件下，重復進行n

次試驗，若A出現(xiàn)（發(fā)生）了k次，則稱為事件A的頻率。理論和試驗都表明，當n充分大時，頻率具有穩(wěn)定性（穩(wěn)定于某個數(shù)值），因此定義：概率的公理化定義非負性：對于每一個事件A，有P(A)≥0

規(guī)范性：對于必然事件S，有P(S)=1可列可加性：設E是隨機試驗，S是它的樣本空間。對于E的每一事件A賦予一個實數(shù)，記為P(A),稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P(?)滿足以下條件：設A1,A2,…

對于ij,AiAj=,i,j=1,2,…,有:概率的性質(zhì)

P()=0

有限可加性若A1,A2,

…

An,是兩兩互不相容的事件，則有：

設A,B是兩個事件，若AB,則有：由可加性移項即得。注意：若去掉條件AB,則

對于任一事件A，有：P(A)1

（逆事件的概率）對于任一事件A，有：

（加法公式）對于任意兩事件A,B

有：對于任意n個事件A1,A2,…An,

有：一般地，請大家自己寫出任意三個事件的加法公式?！?.4等可能概型（古典概型）——最早研究的概率模型解:

設A:得奇數(shù).例擲一枚骰子,求得奇數(shù)的概率.顯然,P(A)=3/6=1/2.事件

A1）隨機試驗的所有可能結(jié)果為有限個，每次試驗發(fā)生且僅發(fā)生其中一個結(jié)果；其特征為：2）每一個結(jié)果發(fā)生的可能性相同。對古典概型,某隨機事件A發(fā)生的概率:乘法原理：設完成一件事需分兩步，第一步有n1種方法,第二步有n2種方法，則完成這件事共有n1n2種方法復習：排列與組合的基本概念加法原理：設完成一件事可有兩種途徑，第一種途徑有n1種方法，第二種途徑有n2種方法，則完成這件事共有n1+n2種方法。有重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，記錄其結(jié)果后放回，將記錄結(jié)果排成一列，n共有nk種排列方式.無重復排列：從含有n個元素的集合中隨機抽取k次，每次取一個，取后不放回，將所取元素排成一列，共有Ank=n(n-1)…(n-k+1)種排列方式.當k＝n時，共有n！種排列方式，稱為全排列.組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k個，共有種取法.古典概型問題1、抽球問題

例1

設盒中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從盒中任抽2個球，求取到一紅一白的概率。解:設A-----取到一紅一白答:取到一紅一白的概率為3/5解法一:解法二可見:隨機抽球問題可以用組合法解,也可以用排列法解.關(guān)鍵是:計算事件概率時保證分子,分母在同一個樣本空間下討論.例2

設有N件產(chǎn)品,其中有M件次品,現(xiàn)從這N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.解：令B={恰有k件次品}這是一種無放回抽樣.次品正品M件次品N-M件正品在實際中，產(chǎn)品的檢驗、疾病的抽查、農(nóng)作物的選種等問題均可化為隨機抽球問題。我們選擇抽球模型的目的在于是問題的數(shù)學意義更加突出，而不必過多的交代實際背景。例3將m個球等可能地分到

M個盒中，每一個盒子的容量不限。考察以下各種分法的概率：1）

A：某指定的m個盒子中各有一球；2）

B：恰有m個盒子中各有一球。3）C:某指定的盒子中恰有k

球(km)2、分球入盒問題解:

所有可能的分法有：Mm種A成立的分法有:1）

A：某指定的m個盒子中各有一球；B成立的分法有

種2）

B：恰有m個盒子中各有一球。3）C:某指定的盒子中恰有k

球(km)

C成立的分法有

種某班有50位同學，他們中至少有2位在同一天過生日的概率是多少?

生日問題?n202330405064100p.970一般地，有：.411.507.706.891.997.99999973、分組問題例430名學生中有3名運動員，將這30名學生平均分成3組，求：（1）每組有一名運動員的概率；（2）3名運動員集中在一個組的概率。解:設A:每組有一名運動員;B:3名運動員集中在一組30人(1)(2)(3)一般地，把n個球隨機地分成m組(n>m),要求第i

組恰有ni個球(i=1,…m)，共有分法：30人(1)(2)(3)(2)解法一(“3名運動員集中在一個組”包括“3名運動員都在第一組”,“3名運動員都在第二組”,“3名運動員都在第三組”三種情況.)30人(1)(2)(3)(2)解法二(“3名運動員集中在一個組”相當于“取一組有3名運動員,7名普通隊員,其余兩組分配剩余的20名普通隊員.)4、隨機取數(shù)問題例5

從1到200這200個自然數(shù)中任取一個,(1)求取到的數(shù)能被6整除的概率

(2)求取到的數(shù)能被8整除的概率

(3)求取到的數(shù)既能被6整除也能被8整除的概率解:N(S)=200,N(3)=[200/24]=8N(1)=[200/6]=33,N(2)=[200/8]=25(1),(2),(3)的概率分別為:33/200,1/8,1/25補充練習1、

把C、C、E、E、I、N、S七個字母分別寫在七張同樣的卡片上，并且將卡片放入同一盒中，現(xiàn)從盒中任意一張一張地將卡片取出，并將其按取到的順序排成一列，假設排列結(jié)果恰好拼成一個英文單詞：

ISCNCE的概率有多大？E解：七個字母的排列總數(shù)為7！拼成英文單詞SCI