固體電子物理7課件

固體電子理論§2.7晶體中電子的運(yùn)動(dòng)

布洛赫電子運(yùn)動(dòng)的速度、加速度、有效質(zhì)量在討論外場作用下晶體中電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律時(shí)，首先要知道晶體電子在波矢k0狀態(tài)的平均速度。由量子理論可知，粒子運(yùn)動(dòng)的平均速度相當(dāng)于以波矢k0為中心的波包移動(dòng)的速度。該波包由以k0為中心的在Δk范圍內(nèi)的一系列布洛赫波疊加而成,Δk應(yīng)當(dāng)滿足關(guān)系。在這樣的Δk范圍可以認(rèn)為，描述波包的函數(shù)（一維）為在Δk內(nèi)，k值偏離k0的值用ζ表示，即固體電子理論波包的波函數(shù)可以改寫為相應(yīng)的幾率分布為波包中心移動(dòng)的速度（即電子的速度）為當(dāng)時(shí)，上式有最大值，根據(jù)幾率密度的意義，波包中心在處。固體電子理論波包在空間上集中在Δx范圍，有且。波包的大小如果大于許多個(gè)原胞，則晶體中電子的運(yùn)動(dòng)可以看作是波包的運(yùn)動(dòng)。波包的運(yùn)動(dòng)同經(jīng)典粒子一樣，波包移動(dòng)的速度等于粒子處于波包中心那個(gè)狀態(tài)所具有的平均速度。下面考慮在外力Fx作用下，晶體電子的加速度。在dt時(shí)間內(nèi)電子獲得的能量等于外力所作的功，即單位時(shí)間內(nèi)能量的增量為電子的加速度為固體電子理論寫成分量形式：由,則得到固體電子理論與牛頓第二定律對比，上式中的與質(zhì)量的倒數(shù)相對應(yīng)，它就是前式中由九個(gè)元素組成的矩陣，稱為倒有效質(zhì)量張量。其分量可表示為：其縮寫形式為由此可見，這是一個(gè)對稱張量。經(jīng)過適當(dāng)坐標(biāo)變換可以使其對角化，前式所代表的九個(gè)元素中只有I=j的三個(gè)元素不為零，即i,j=1,2,3

固體電子理論上式說明有效質(zhì)量是狀態(tài)的函數(shù)，取決于該狀態(tài)中的關(guān)系。僅表示晶體中電子在外力場作用下，加速度與外力之間的比例關(guān)系，量綱與質(zhì)量相同。它不同于自由電子的質(zhì)量m。m*是與電子所受的內(nèi)力（晶格勢場引起）密切相關(guān)，概括了晶格勢場對電子的作用。一般情況下有效質(zhì)量是張量，晶體中電子的加速度一般與外力方向不同。只有外力沿等能面主軸方向時(shí)才是相同的。有效質(zhì)量是波矢K函數(shù)，它可以大于慣性質(zhì)量，也可以小于慣性質(zhì)量甚至可以是負(fù)的。只有在帶底與帶頂附近，可以近似認(rèn)為是常數(shù)。在帶底附近，而帶頂附近，說明此處所外加力與加速度反向。對于自由電子來說這是不可理解的。但對于晶格中的電子，由于除受外力作用外，還受到晶格內(nèi)場的作用。，就是電子受到晶體勢場強(qiáng)烈作用的結(jié)果，此時(shí)晶體傳遞給電子的動(dòng)量大于外力傳遞給電子的動(dòng)量，電子能克服外力影響作負(fù)加速運(yùn)動(dòng)。外層電子的能帶寬，小，內(nèi)層電子的能帶窄，大。固體電子理論金屬、半導(dǎo)體和絕緣體滿帶對電導(dǎo)無貢獻(xiàn)由N個(gè)元胞組成的晶體，其簡約布里淵區(qū)波矢K的數(shù)目為N?？紤]電子的自旋，每個(gè)子能帶包含有2N個(gè)電子態(tài)，即每個(gè)子能帶可填充2N個(gè)電子。如果一個(gè)能帶內(nèi)的全部狀態(tài)均為電子所填充，則稱之為滿帶。如果一個(gè)能帶未被電子所填滿，則稱之為不滿的帶。例如，半導(dǎo)體硅、鍺，它們的價(jià)帶由四個(gè)子能帶組成，共有2N×4＝8N個(gè)電子態(tài)。而硅、鍺是4價(jià)的，每個(gè)原子有4個(gè)價(jià)電子。N個(gè)元胞組成的晶體便有8N個(gè)價(jià)電子。在基態(tài)這8N個(gè)價(jià)電子正好填滿價(jià)帶，價(jià)帶的四個(gè)子能都是滿帶。已經(jīng)知道，電子的能量是波矢的偶函數(shù),即電子的速度固體電子理論上式說明速度是波矢的奇函數(shù)。波矢為k的狀態(tài)和波矢為－k的狀態(tài)中電子的速度是大小相等但方向相反。當(dāng)沒有外電場存在時(shí)，在一定的溫度下，電子占據(jù)某個(gè)狀態(tài)的幾率只同該狀態(tài)的能量有關(guān)。是k的偶函數(shù)，電子占有k狀態(tài)的幾率同占有－k狀態(tài)的幾率相等。因此在這兩個(gè)狀態(tài)的電子電流互相抵消，晶體中總的電流為零。滿帶不滿的帶kkkk固體電子理論外場不改變滿帶電子的分布當(dāng)有外電場E存在時(shí)，滿能和不滿的帶對電流的貢獻(xiàn)有很大區(qū)別。

對于滿帶的情況，所有的電子狀態(tài)都以相同的速度（反電場方向）運(yùn)動(dòng)。在點(diǎn)A的狀態(tài)和點(diǎn)A‘的狀態(tài)完全相同。因此，有外電場存在時(shí)，電子的運(yùn)動(dòng)并不改變布里淵區(qū)內(nèi)電子分布的情況。由布里淵區(qū)一邊出去的電子，就在另一邊同時(shí)填了進(jìn)來?？梢妼τ谝粋€(gè)所有狀態(tài)都被電子充滿的能帶，即使有電場晶體中也沒有電流，即滿帶對電導(dǎo)沒有貢獻(xiàn)。

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固體電子理論綜上所述：在電場作用下，一個(gè)充滿了電子的能帶不可能產(chǎn)生電流。如果孤立原子的電子都形成滿殼層，當(dāng)有N個(gè)原子組成晶體時(shí)，能級(jí)過渡成能帶。能帶中的狀態(tài)是能級(jí)中的狀態(tài)數(shù)目的N倍。因此，原有的電子恰好充滿能帶中所有的狀態(tài)，這些電子并不參與導(dǎo)電。如果原來孤立原子的殼層并不滿，如金屬鈉，一共有11個(gè)電子每個(gè)3s狀態(tài)可有2個(gè)電子，所以當(dāng)N個(gè)原子組成晶體時(shí)，3s能級(jí)過渡成能帶，能帶中有2N個(gè)狀態(tài)，可以容納2N個(gè)電子。但鈉只有N個(gè)3s電子，能帶是半滿的。因此在電場作用下，可以產(chǎn)生電流。固體電子理論金屬、半導(dǎo)體和絕緣體對于金屬，價(jià)電子處在未被充滿的帶，這種能帶稱為價(jià)帶。一價(jià)金屬（鋰、鈉、鉀等）都屬于這種情況，這些元素晶體都是良導(dǎo)體。對于堿土元素所形成的晶體，例如鎂，孤立原子有2個(gè)3s電子，照理晶體中的3s能帶應(yīng)該是滿帶。如按照上述原則，鎂應(yīng)該是不導(dǎo)電的。但實(shí)際上鎂及其它堿土族晶體都是導(dǎo)體。這是由于鎂的3s能帶和較高的能帶有交迭的現(xiàn)象。因此仍有電子在不滿的帶。以上結(jié)果說明，價(jià)電子在不滿的帶或能帶的交疊，都可以使晶體具有導(dǎo)電的性質(zhì)。金屬能帶的交迭，已由x射線發(fā)射譜實(shí)驗(yàn)得到證實(shí)。對于三維晶體，沿某一個(gè)方向的周期為a1,沿另一個(gè)方向的周期為a2,在k空間相應(yīng)的波矢為k1和k2，它們分別在和處出現(xiàn)禁帶，但禁帶所在的能量值及寬度不一樣，可能發(fā)生交疊。從整個(gè)晶體看，某一個(gè)方向上周期性勢場產(chǎn)生的禁帶被另一個(gè)方向上許可的能帶覆蓋，晶體不存在真正的禁帶。固體電子理論

能帶交疊

0對于絕緣體，它的價(jià)電子正好把價(jià)帶填滿，而更高的許可帶與價(jià)帶之間隔著一個(gè)很寬的禁帶。除非外電場非常強(qiáng)，上面許可帶總是沒有電子的。因此，在電場作用下不會(huì)產(chǎn)生電流。。半導(dǎo)體的能帶結(jié)構(gòu)基本上與絕緣體相似，只是禁帶較窄，一般在2eV以下。因此可以靠熱激發(fā)，將滿帶（價(jià)帶）的電子激發(fā)到最靠近價(jià)帶的空帶（稱為導(dǎo)帶），于是有導(dǎo)電的本領(lǐng)。由于熱激發(fā)的電子數(shù)目隨溫度按指數(shù)規(guī)律變化，所以半導(dǎo)體的電導(dǎo)率隨溫度的變化也是指數(shù)型的，這是半導(dǎo)體的主要特征。固體電子理論硅和鍺的每個(gè)元胞有兩個(gè)原子。每個(gè)原子有4個(gè)價(jià)電子，一個(gè)處于ns態(tài)，三個(gè)處于np態(tài)。由N個(gè)元胞形成的晶體中共有8N個(gè)價(jià)電子。在形成晶體的過程中，隨著原子間距的減小，相同能級(jí)發(fā)生擾動(dòng)，成為能帶。如果認(rèn)為，原來的ns能級(jí)變成ns能帶，np能級(jí)變成np能帶，則價(jià)帶將可容納16N個(gè)電子。這樣硅和鍺應(yīng)該是金屬而不是半導(dǎo)體。對于原子的內(nèi)層電子，原子的能級(jí)同晶體的能帶一一對應(yīng)的關(guān)系是正確的。對于價(jià)電子，這種對應(yīng)關(guān)系不一定能保持。一般認(rèn)為當(dāng)原子間距較大時(shí)，上述對應(yīng)關(guān)系成立；當(dāng)原子間距減小，達(dá)到某個(gè)數(shù)值r時(shí)，由于ns態(tài)電子與np態(tài)電子之間有強(qiáng)的交疊，使晶體能帶發(fā)生強(qiáng)烈的變化。例如當(dāng)原子間距為r0是，產(chǎn)生為禁帶所隔開的兩個(gè)能帶，每一個(gè)帶有4N個(gè)能級(jí)，8N個(gè)價(jià)電子恰好填滿下面的能帶成為滿帶，而上面的帶成為空的導(dǎo)帶，中間由禁帶隔開。因此，硅和鍺都是半導(dǎo)體?！狤rnpnsr0rc固體電子理論空穴

上式表明，從k態(tài)失去一個(gè)電子后，整個(gè)能帶中的電子電流等效于一個(gè)由正電荷e所產(chǎn)生的電流，其運(yùn)動(dòng)速度等于k態(tài)電子運(yùn)動(dòng)的速度，這種空的狀態(tài)稱為空穴。在電磁場作用下，隨時(shí)間變化作用于k態(tài)電子上的力為設(shè)想滿帶中有一個(gè)K態(tài)沒有電子，成為不滿的帶，在電場作用下，將產(chǎn)生電流，用I（k）表示。如果將一個(gè)電子放入k態(tài)中去，這個(gè)電子的電流為，能帶又成為滿帶，總電流應(yīng)為零，即式中E和B分別為電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度。設(shè)電子的有效質(zhì)量為me*固體電子理論由式前述me*表達(dá)式