上海市浦東模范中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析

上海市浦東模范中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，，則A.20

B.28

C.36

D.4參考答案：B故選B.2.設(shè)函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個不同的實(shí)數(shù)根，則等于A.13

B.5

C.

D.參考答案：B做出函數(shù)的圖象如圖，要使方程有三個不同的實(shí)數(shù)根，結(jié)合圖象可知，，所以三個不同的實(shí)數(shù)解為，所以，選B.3.已知函數(shù)f（x）=sinxcos2x，則下列關(guān)于函數(shù)f（x）的結(jié)論中，錯誤的是（）A．最大值為1 B．圖象關(guān)于直線x=﹣對稱C．既是奇函數(shù)又是周期函數(shù) D．圖象關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對稱參考答案：D【考點(diǎn)】H1：三角函數(shù)的周期性及其求法；H6：正弦函數(shù)的對稱性．【分析】根據(jù)題意逐一判斷各個選項(xiàng)是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=sinxcos2x，當(dāng)x=時，f（x）取得最大值為1，故A正確；當(dāng)x=﹣時，函數(shù)f（x）=1，為函數(shù)的最大值，故圖象關(guān)于直線x=﹣對稱；故B正確；函數(shù)f（x）滿足f（﹣x）=sin（﹣x）cos（﹣2x）=﹣sinxcos2x=﹣f（x），故函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，再根據(jù)f（x+2π）=sin（x+2π）cos[﹣2（x+2π）]=sinxcos2x，故f（x）的周期為2π，故C正確；由于f（﹣x）+f（x）=﹣cosx?cos（3π﹣2x）+sinxcos2x=cosxcos2x+sinxcos2x=cos2x（sinx+cosx）=0不一定成立，故f（x）圖象不一定關(guān)于點(diǎn)（，0）中心對稱，故D不正確，故選：D．4.

設(shè)i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是A.

B.

C.

D.參考答案：B5.設(shè)在處可導(dǎo)，且＝1,則＝(

)

A.1

B.0C.3

D.參考答案：C略6.書架上有4本不同的數(shù)學(xué)書，5本不同的物理書，3本不同的化學(xué)書，全部豎起排成一排，如果不使同類的書分開，則排法種數(shù)共有A．

B．

C．3

D．參考答案：答案:A7.某學(xué)校高三年級共有學(xué)生200人，其中男生120人，女生80人．為了調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，用分層抽樣的方法從該校高三全體學(xué)生中抽取一個容量為25的樣本，則應(yīng)抽取女生的人數(shù)為（

）

(A)20．

(B)18．

(C)15．

(D)10．參考答案：D8.命題：的否定是

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.

若與在區(qū)間1，2上都是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A．(0，1)

B．(0，1C．(-1,0）∪(0，1)

D．(-1，0)∪(0，1參考答案：B10.有一個共有項(xiàng)的等差數(shù)列中，前四項(xiàng)之和為20，最后四項(xiàng)之和為60，前項(xiàng)之和是100，則項(xiàng)數(shù)為A、9

B、10

C、11

D、12參考答案：B由題意可知，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得=20，因?yàn)?，所以．故B正確．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知α，β均為銳角，且cos（α+β）=，則tanα的最大值是參考答案：考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；三角函數(shù)的求值．分析：直接對三角函數(shù)關(guān)系式中的角進(jìn)行恒等變換，再利用弦化切建立一元二次不等式，最后求出結(jié)果．解答：解：知α，β均為銳角，且cos（α+β）=，則cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）﹣β]，化簡為：cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ，轉(zhuǎn)化為：tan（α+β）=2tanβ，即，則：2tanαtan2β﹣tanβ+tanα=0，所以：△≥0，即：1﹣8tan2α≥0，解得：．由于：α為銳角，所以：，則tanα的最大值為．故答案為：點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式中角的恒等變換，弦化切在做題中得應(yīng)用，一元二次不等式有解得情況討論12.如果的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則含項(xiàng)的系數(shù)等于

．（用數(shù)字作答）參考答案：試題分析：根據(jù)題意，令可知展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，可知，所以所給的式子的展開式的通項(xiàng)為，令，解得，故該項(xiàng)的系數(shù)為.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.13.已知函數(shù)的圖象為C，關(guān)于函數(shù)及其圖象的判斷如下：①圖象C關(guān)于直線對稱；②圖象C關(guān)于點(diǎn)對稱；③由得圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C；④函數(shù)f（x）在區(qū)間（）內(nèi)是增函數(shù)；⑤函數(shù)的最小正周期為．其中正確的結(jié)論序號是____

．（把你認(rèn)為正確的結(jié)論序號都填上）參考答案：①②④14.函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋畢⒖即鸢福篬﹣1，1]【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式，解出即可．【解答】解：由|x|﹣x2≥0得x2﹣|x|≤0，即|x|（|x|﹣1）≤0，所以0≤|x|≤1，解得：﹣1≤x≤1，故函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇﹣1，1]，故答案為：[﹣1，1]．15.若不等式對于一切實(shí)數(shù)x均成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

。參考答案：（1,3）16.若實(shí)數(shù)滿足，且的最大值等于34，則正實(shí)數(shù)的值等于

。參考答案：17.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ為實(shí)數(shù)，（+λ）⊥，則λ的值為．參考答案：﹣【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用．【分析】求出+λ和的坐標(biāo)，根據(jù)向量垂直列出方程解出λ．【解答】解：+λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ）?=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案為﹣．【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設(shè)函數(shù)f（x）=x2﹣alnx，g（x）=（a﹣2）x（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x）有兩個零點(diǎn)x1，x2（1）求滿足條件的最小正整數(shù)a的值；（2）求證：F′（）＞0．參考答案：【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）（1）求出函數(shù)F（x）的導(dǎo)數(shù)，求出F（x）的最小值，即，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；（2）求出，問題轉(zhuǎn)化為證明，設(shè)．令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．【解答】解：（Ⅰ）．

…（1分）當(dāng)a≤0時，f'（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），此時f（x）無單調(diào)減區(qū)間．

…（2分）當(dāng)a＞0時，由f'（x）＞0，得，f'（x）＜0，得，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．…（3分）（Ⅱ）（1）．因?yàn)楹瘮?shù)F（x）有兩個零點(diǎn)，所以a＞0，此時函數(shù)f（x）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．…（4分）所以F（x）的最小值，即．…因?yàn)閍＞0，所以．令，顯然h（a）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且，所以存在a0∈（2，3），h（a0）=0．…（6分）當(dāng)a＞a0時，h（a）＞0；當(dāng)0＜a＜a0時，h（a）＜0，所以滿足條件的最小正整數(shù)a=3．…（7分）又當(dāng)a=3時，F(xiàn)（3）=3（2﹣ln3）＞0，F(xiàn)（1）=0，所以a=3時，f（x）有兩個零點(diǎn)．綜上所述，滿足條件的最小正整數(shù)a的值為3．…（8分）（2）證明：不妨設(shè)0＜x1＜x2，于是，即，．所以．…（10分）因?yàn)?，?dāng)時，F(xiàn)'（x）＜0，當(dāng)時，F(xiàn)'（x）＞0，故只要證＞即可，即證明，…（11分）即證，也就是證．…（12分）設(shè)．令，則．因?yàn)閠＞0，所以m'（t）≥0，…（13分）當(dāng)且僅當(dāng)t=1時，m'（t）=0，所以m（t）在（0，+∞）上是增函數(shù)．又m（1）=0，所以當(dāng)m∈（0，1），m（t）＜0總成立，所以原題得證．

…（14分）【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想以及不等式的證明，是一道綜合題．19.（12分）在中，角所對的邊分別為，已知，（Ⅰ）求的大?。唬á颍┤?，求的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）由條件結(jié)合正弦定理得，從而，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由已知：，由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）∴（，又，∴，從而的取值范圍是.．．．．．．．．．．．．．．．．．12分略20.（本小題滿分13分）如圖，已知在直四棱柱（側(cè)棱垂直底面的棱柱）中，，，．（Ⅰ）求證：平面.（Ⅱ）求與平面所成的角的的正弦值；（Ⅲ）求二面角的正弦值．參考答案：見解析考點(diǎn)：利用直線方向向量與平面法向量解決計(jì)算問題，空間的角，垂直（Ⅰ）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

,．

,

又因?yàn)?/p>

所以，平面．

（Ⅱ）設(shè)為平面的一個法向量．

由，，

得取，則．

又

設(shè)與平面所成的角為，

則，

即與平面所成的角的的正弦值．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的一個法向量為

設(shè)為平面的一個法向量,

由，，，

得取，則．

設(shè)與所成角為，則，

所以二面角的正弦值為．

21.已知(為自然對數(shù)的底數(shù)).(1)若在處的切線過點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：(1)∵，∴，又∵，∴在處的切線方程為，①把點(diǎn)代入①，解得.(2)由可得，②令，，∵，且，，