上海朱行中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

上海朱行中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.煉鋼時鋼水的含碳量與冶煉時間有（

）．確定性關(guān)系

．相關(guān)關(guān)系

．函數(shù)關(guān)系

．無任何關(guān)系參考答案：B2.設(shè)函數(shù)，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，則關(guān)于x的方程f(x)＝x的解的個數(shù)為

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：C略3.（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】由題意，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算，化簡、運算，即可求解?！驹斀狻坑深}意，根據(jù)復(fù)數(shù)的運算，故選A。【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運算法則，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查運算求解能力.4.已知拋物線的準線與圓相切，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略5.如圖，是由一個圓、一個三角形和一個長方形構(gòu)成的組合體，現(xiàn)用紅、藍兩種顏色為其涂色，每個圖形只能涂一種顏色，則三個形狀顏色不全相同的概率為（

）A．

B.

C.

D.參考答案：A略6.已知函數(shù)，則的極大值點為(

)A. B.1 C.e D.2e參考答案：D【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，求出，再由導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，因此，所以，由得：；由得：；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此的極大值點.故選D【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，進而可確定其極值，屬于常考題型.7.已知集合A={1，3，5，7}，B={2,3,6,7,8}，則A∩B= （

） A．{2，3，6} B.{1，3，5} C．{3，7} D．{2，5}參考答案：C略8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出s的值為（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu)．【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的k，s的值，當k=8時不滿足條件k＜8，退出循環(huán)，輸出s的值為．【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得s=0，k=0滿足條件k＜8，k=2，s=滿足條件k＜8，k=4，s=+滿足條件k＜8，k=6，s=++滿足條件k＜8，k=8，s=+++=不滿足條件k＜8，退出循環(huán)，輸出s的值為．故選：D．9.甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小時4千米的速度向正北航行，同時乙船自B出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，當甲，乙兩船相距最近時，它們所航行的時間是（

）A．小時

B．小時 C．小時 D．小時參考答案：C10.曲線在點處的切線方程為(

)

A．x-y-2=0

B．x+y-2=0

C．x+4y-5=0

D．x-4y-5=0參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線l、m，平面α、β且l⊥α,mβ給出下列四個命題，其中正確的是①若α∥β則l⊥m

②若α⊥β則l∥m

③若l⊥m則α∥β④若l∥m則α⊥β參考答案：①④12.函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在[0，3]上的最大值是

．參考答案：5【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】對函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律，確定函數(shù)在區(qū)間[0，3]上最大值的位置，求值即可．【解答】解：由題意y′=6x2﹣6x﹣12令y′＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）單調(diào)遞減，在（2，3）上單調(diào)遞增，因為f（0）=﹣12，f（2）=﹣15，f（3）=5故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在區(qū)間[0，3]上最大值是5，故答案為：5．13.若直線與拋物線交于、兩點，則線段的中點坐標是______。參考答案：（4，2）略14.已知中，角，,所對的邊分別為，，，外接圓半徑是,且滿足條件,則的面積的最大值為

.參考答案：由正弦定理，則，帶入題中條件得，化簡得，由余弦定理解得.又，即（基本不等式）.15.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，，，則不等式

的解集是

.參考答案：略16.已知函數(shù),其中是實數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點,且.若函數(shù)的圖象在點處的切線重合,則的取值范圍是

參考答案：17.將三位老師分配到4所學(xué)校實施精準幫扶，若每位老師只去一所學(xué)校，每所學(xué)校最多去2人，則不同的分配方法有_____________種（用數(shù)字作答）.參考答案：60【分析】分2種情況討論:三位老師去三所學(xué)校；兩位老師一所學(xué)校，另一位老師去一所學(xué)校，分別求出每一種情況的分配方法數(shù)目，由加法原理計算可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,分2種情況討論：若三位老師去三所學(xué)校，則有種分配方法；若兩位老師一所學(xué)校，另一位老師去一所學(xué)校，則有種分配方法，所以共有種不同的分配方法，故答案為60.【點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax3+3x+2（a∈R）的一個極值點是1．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[﹣2，3]上的最大值和最小值．參考答案：【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（I）由于函數(shù)f（x）=ax3+3x+2（a∈R）的一個極值點是1．可得f′（1）=0，即可得到a．再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得出切線的斜率，進而得出切線方程．（II）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，再計算出區(qū)間端點的函數(shù)值即可比較出最值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+3x+2，∴f'（x）=3ax2+3．∵函數(shù)f（x）的一個極值點是1，∴f'（1）=3a+3=0．解得：a=﹣1．經(jīng)檢驗，a=﹣1滿足題意．∴f（x）=﹣x3+3x+2，∴f（2）=0，f'（2）=﹣9．∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程是y=﹣9（x﹣2），即9x+y﹣18=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f'（x）=﹣3x2+3．令f'（x）=0，得x1=﹣1，x2=1．當x在[﹣2，3]上變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表x﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，3）3f'（x）

﹣0+0﹣

f（x）4↘0↗4↘﹣16∴函數(shù)f（x）在[﹣2，3]上的最大值為4，最小值為﹣16．19.某創(chuàng)業(yè)投資公司擬投資某種新能源產(chǎn)品，研發(fā)小組經(jīng)過初步論證，估計能獲得10萬元到100萬元的投資效益，現(xiàn)準備制定一個對研發(fā)小組的獎勵方案：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，獎金不超過投資收益的20%且不超過9萬元，設(shè)獎勵y是投資收益x的模型為y=f（x）．（1）試驗證函數(shù)y=+1是否符合函數(shù)x模型請說明理由；（2）若公司投資公司采用函數(shù)模型f（x）=，試確定最小的正整數(shù)a的值．參考答案：（1）判斷y=的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值與9的大小關(guān)系，判斷﹣x≤0在[10，100]上是否恒成立；（2）令f（x）﹣≤0在[10，100]上恒成立，解出a的范圍，再令f函數(shù)y=+1是增函數(shù)，當x=100時，y=＜9，∴獎金y隨投資收益x的增加而增加，且獎金不超過9萬元，令g（x）=≤0得x≥，∴當10≤x≤100時，獎金不超過投資收益的20%，綜上，函數(shù)y=+1符合函數(shù)x模型．（2）f（x）==10﹣，顯然，當a＞0時，f（x）是增函數(shù)，令f﹣x=﹣≤0在[10，100]上恒成立，得15a≥﹣x2+48x，令h（x）=﹣x2+48x，則h（x）在[10，24]上單調(diào)遞增，在（24，100]上單調(diào)遞減，∴h（x）的最大值為h（24）=576，∴15a≥576，即a≥綜上，a≥，∴最小的正整數(shù)a的值為38．20.已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.（1）求函數(shù)的解析式；（2）過點能作幾條直線與曲線相切？說明理由.參考答案：解（1），由題知…………………（1分）∴…………（5分）（2）設(shè)過點（2,2）的直線與曲線相切于點，則切線方程為：即……………………（7分）由切線過點（2,2）得：過點（2,2）可作曲線的切線條數(shù)就是方程的實根個數(shù)……（9分）令，則由得當t變化時，、的變化如下表t0(0,2)2+0-0+↗極大值2↘極小值-2↗由知，故有三個不同實根可作三條切線…………（13分）略21.（本小題滿分12分）

如圖所示，在矩形中，，點是的中點，將沿折起到的位置，使二面角是直二面角。（1）證明：（2）求二面角的余弦值。參考答案：（Ⅰ），是的中點，，是等腰直角三角形，易知,，即.又平面平面，面∩面面，又面,；…………………分（2）法一：設(shè)是線段的中點，過作垂足為，連接，，則 平面平面,平面, 是在平面上的射影，由三垂線定理得： 是二面角的平面角. 在中，，,二面角的余弦值為.………………分 法二：分別以，所在的直線為軸、軸，過垂直于平面的射線為軸，建立如圖空間直角坐標系.則，，, 設(shè)平面的法向量為；平面的法向量為

二面角的余弦值為.………分22.已知橢圓C的對稱中心為坐標原點O，焦點在x軸上，左右焦點分別為F，F(xiàn)，左右頂點分別為A，B，且|F1F2|=4，|AB|=4（1）求橢圓的方程；（2）過F1的直線l與橢圓C相交于M，N兩點，若△MF2N的面積為，求直線l的方程．參考答案：【考點】KL：直線與橢圓的位置關(guān)系；K3：橢圓的標準方程．【分析】（1）由|F1F2|=4，|AB|=4，建立方程組，求出a=2，c=2，b=2，由此能求出橢圓的方程．（2）由F1（﹣2，0），設(shè)過F1的直線l的方程為：x+2=my，由，得（m2+2）y2﹣4my﹣4=0，利用韋達定理、弦長公式、三角形面積公式，能求出m=±1，由此能求出直線l的方程．【解答】解：（1）∵橢圓