2023年全國3卷理科數(shù)學(xué)試題及答案解析

絕密★啟封并使用完畢前本卷須知： 1.本試卷分第一卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部。第一卷1至3頁，第二卷3至5頁。 2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在本試題相應(yīng)的位置。 3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題上無效。 4.考試結(jié)束后，將本試題和答題卡一并交回。第一卷選擇題：本大題共12小題，每題5分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。〔1〕設(shè)集合，那么〔〕(A)[2，3](B)〔-，2][3,+〕(C)[3,+〕(D)〔0，2][3,+〕【答案】D〔2〕假設(shè)，那么〔〕(A)1(B)-1(C)(D)【答案】C【解析】試題分析：，應(yīng)選C．考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、共軛復(fù)數(shù)．〔3〕向量，，那么〔〕(A)(B)(C)(D)【答案】A〔4〕某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖．圖中點(diǎn)表示十月的平均最高氣溫約為，點(diǎn)表示四月的平均最低氣溫約為．下面表達(dá)不正確的是〔〕(A)各月的平均最低氣溫都在以上(B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(C)三月和十一月的平均最高氣溫根本相同(D)平均氣溫高于的月份有5個(gè)【答案】D〔5〕假設(shè)，那么〔〕(A)(B)(C)1(D)【答案】A【解析】試題分析：由，得或，所以，應(yīng)選A．〔6〕，，，那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】試題分析：因?yàn)?，，所以，?yīng)選A．〔7〕執(zhí)行以下圖的程序框圖，如果輸入的，那么輸出的〔〕〔A〕3〔B〕4〔C〕5〔D〕6【答案】B〔8〕在中，，邊上的高等于,那么〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】試題分析：設(shè)邊上的高線為，那么，所以，．由余弦定理，知，應(yīng)選C．(9)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)現(xiàn)畫出的是某多面體的三視圖，那么該多面體的外表積為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕90〔D〕81【答案】B(10)在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，假設(shè)，，，，那么的最大值是〔〕〔A〕4π〔B〕〔C〕6π〔D〕【答案】B【解析】試題分析：要使球的體積最大，必須球的半徑最大．由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值，此時(shí)球的體積為，應(yīng)選B．〔11〕為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).假設(shè)直線經(jīng)過的中點(diǎn)，那么的離心率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A〔12〕定義“標(biāo)準(zhǔn)01數(shù)列〞如下：共有項(xiàng)，其中項(xiàng)為0，項(xiàng)為1，且對任意，中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù).假設(shè)，那么不同的“標(biāo)準(zhǔn)01數(shù)列〞共有〔〕〔A〕18個(gè) 〔B〕16個(gè) 〔C〕14個(gè) 〔D〕12個(gè)【答案】C【解析】試題分析：由題意，得必有，，那么具體的排法列表如下：00001111101110110100111011010011010001110110100110第=2\*ROMANII卷本卷包括必考題和選考題兩局部。第〔13〕題~第〔21〕題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第〔22〕題~第〔24〕題未選考題，考生根據(jù)要求作答。二、填空題：本大題共3小題，每題5分〔13〕假設(shè)滿足約束條件QUOTEQUOTE那么的最大值為_____________.【答案】【解析】試題分析：作出不等式組滿足的平面區(qū)域，如以下圖，由圖知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)取得最大值，即．〔14〕函數(shù)QUOTEQUOTE的圖像可由函數(shù)QUOTEQUOTE的圖像至少向右平移_____________個(gè)單位長度得到．【答案】〔15〕為偶函數(shù)，當(dāng)QUOTEQUOTE時(shí)，QUOTEQUOTE，那么曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______________．【答案】【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，，那么．又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，那么切線斜率為，所以切線方程為，即．〔16〕直線：QUOTEQUOTE與圓QUOTEQUOTE交于兩點(diǎn)，過分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，假設(shè)QUOTEQUOTE，那么QUOTEQUOTE__________________.【答案】4三、解答題：解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．〔17〕〔本小題總分值12分〕數(shù)列QUOTEQUOTE的前n項(xiàng)和QUOTEQUOTE，QUOTEQUOTE其中．〔=1\*ROMANI〕證明QUOTEQUOTE是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；〔=2\*ROMANII〕假設(shè)QUOTEQUOTE，求．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．由，得，所以.因此是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕得，由得，即，解得．〔18〕〔本小題總分值12分〕以下圖是我國2023年至2023年生活垃圾無害化處理量〔單位：億噸〕的折線圖〔=1\*ROMANI〕由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明；〔=2\*ROMANII〕建立關(guān)于的回歸方程〔系數(shù)精確到0.01〕，預(yù)測2023年我國生活垃圾無害化處理量．附注：參考數(shù)據(jù)：，，，EQ\R(7)≈2.646.參考公式：相關(guān)系數(shù)回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：．【答案】〔Ⅰ〕理由見解析；〔Ⅱ〕1.82億噸．試題解析：〔Ⅰ〕由折線圖這數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得，，，，．因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明與的線性相關(guān)相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系.〔19〕〔本小題總分值12分〕如圖，四棱錐中，地面，，，，為線段上一點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．〔I〕證明平面；〔II〕求直線與平面所成角的正弦值.【答案】〔Ⅰ〕見解析；〔Ⅱ〕．【解析】試題分析：〔Ⅰ〕取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判斷定理可證；〔Ⅱ〕以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過求直線的方向向量與平面法向量的夾角來處理與平面所成角．試題解析：〔Ⅰ〕由得，取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?設(shè)為平面的法向量，那么，即，可取，于是.【答案】〔Ⅰ〕見解析；〔Ⅱ〕．試題解析：由題設(shè).設(shè)，那么，且.記過兩點(diǎn)的直線為，那么的方程為......3分〔Ⅰ〕由于在線段上，故.記的斜率為，的斜率為，那么，所以.......5分〔Ⅱ〕設(shè)與軸的交點(diǎn)為，那么.由題設(shè)可得，所以〔舍去〕，.設(shè)滿足條件的的中點(diǎn)為.當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得.而，所以.當(dāng)與軸垂直時(shí)，與重合，所以，所求軌跡方程為.....12分〔21〕〔本小題總分值12分〕設(shè)函數(shù)，其中，記QUOTEQUOTE的最大值為．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕求；〔Ⅲ〕證明．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕；〔Ⅲ〕見解析．試題解析：〔Ⅰ〕．〔Ⅱ〕當(dāng)時(shí)，因此，．………4分當(dāng)時(shí)，將變形為．令，那么是在上的最大值，，，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為．令，解得〔舍去〕，．〔ⅰ〕當(dāng)時(shí)，在內(nèi)無極值點(diǎn)，，，，所以．〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.22.〔本小題總分值10分〕選修4-1：幾何證明選講如圖，中的中點(diǎn)為，弦分別交于兩點(diǎn)．〔I〕假設(shè)，求的大?。弧睮I〕假設(shè)的垂直平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)，證明．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕見解析．試題解析：〔Ⅰ〕連結(jié)，那么.因?yàn)?，所以，又，所?又，所以，因此.〔Ⅱ〕因?yàn)椋?，由此知四點(diǎn)共圓，其圓心既在的垂直平分線上，又在的垂直平分線上，故就是過四點(diǎn)的圓的圓心，所以在的垂直平分線上，又也在的垂直平分線上，因此．23.〔本小題總分值10分〕選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．〔I〕寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；〔II〕設(shè)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求的最小值及此時(shí)的直角坐標(biāo).【答案】〔Ⅰ〕的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為；〔Ⅱ〕．試題解析：〔Ⅰ〕的普通方程為，的直角坐標(biāo)方程為.……5分〔Ⅱ〕由題意，可設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，因?yàn)槭侵本€，所以的最小值即為到的距離的最小值，.………………8分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，此時(shí)的直角坐標(biāo)