2023年全國高考北京卷理科數(shù)學(xué)試題答案

2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔理工農(nóng)醫(yī)類〕〔北京卷〕本試卷分第I卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部，第I卷1至2頁，第二卷3至9頁，共150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷〔選擇題共40分〕考前須知：1．答第I卷前，考生務(wù)必將答題卡上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆填寫，用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)涂黑。2．每題選出答案后，將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案選中涂滿涂黑，黑度以蓋住框內(nèi)字母為準(zhǔn)，修改時(shí)用橡皮擦除干凈。在試卷上作答無效。一、本大題共8小題，每題5分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限【答案】B【解析】此題主要考查復(fù)數(shù)在坐標(biāo)系數(shù)內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系.屬于根底知識(shí)的考查.∵，∴復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，應(yīng)選B.2．向量a、b不共線，cabR),dab,如果cd，那么〔〕A．且c與d同向B．且c與d反向C．且c與d同向D．且c與d反向【答案】D【解析】此題主要考查向量的共線〔平行〕、向量的加減法.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.取a，b，假設(shè)，那么cab，dab，顯然，a與b不平行，排除A、B.假設(shè)，那么cab，dab，即cd且c與d反向，排除C，應(yīng)選D.3．為了得到函數(shù)的圖像，只需把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)〔〕A．向左平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度B．向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移1個(gè)單位長度C．向左平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度D．向右平移3個(gè)單位長度，再向下平移1個(gè)單位長度【答案】C【解析】此題主要考查函數(shù)圖象的平移變換.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.A．，B．，C．，D．.故應(yīng)選C.4．假設(shè)正四棱柱的底面邊長為1，與底面成60°角，那么到底面的距離為〔〕A．B．1C．D．【答案】D【解析】此題主要考查正四棱柱的概念、直線與平面所成的角以及直線與平面的距離等概念.〔第4題解答圖〕屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.依題意，，如圖，，應(yīng)選D.5．“〞是“〞的〔〕A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】此題主要考查三角函數(shù)的根本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.當(dāng)時(shí)，，反之，當(dāng)時(shí)，有，或，故應(yīng)選A.6．假設(shè)為有理數(shù)〕，那么〔〕A．45B．55C．70D．【答案】C【解析】此題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開式.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.∵，由，得，∴.應(yīng)選C.7．用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為〔〕A．324B．328C【答案】B【解析】此題主要考查排列組合知識(shí)以及分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理知識(shí).屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.首先應(yīng)考慮“0”是特殊元素，當(dāng)0排在末位時(shí)，有〔個(gè)〕，當(dāng)0不排在末位時(shí)，有〔個(gè)〕，于是由分類計(jì)數(shù)原理，得符合題意的偶數(shù)共有〔個(gè)〕.應(yīng)選B.8．點(diǎn)在直線上，假設(shè)存在過的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，那么稱點(diǎn)為“點(diǎn)〞，那么以下結(jié)論中正確的是〔〕A．直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)〞B．直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)〞C．直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)〞D．直線上有無窮多個(gè)點(diǎn)〔點(diǎn)不是所有的點(diǎn)〕是“點(diǎn)〞【答案】A【解析】此題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習(xí)潛力,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.此題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解，如圖，設(shè)，那么，∵，∴〔第8題解答圖〕消去n,整理得關(guān)于x的方程〔1〕∵恒成立，∴方程〔1〕恒有實(shí)數(shù)解，∴應(yīng)選A.2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔理工農(nóng)醫(yī)類〕〔北京卷〕第二卷〔共110分〕考前須知：1．用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。2．答卷前將密封線內(nèi)的工程填寫清楚。題號(hào)二三總分151617181920分?jǐn)?shù)二、填空題：本大題共6小題，每題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。9．_________.【答案】【解析】此題主要考極限的根本運(yùn)算，其中重點(diǎn)考查如何約去“零因子〞.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.，故應(yīng)填.10．假設(shè)實(shí)數(shù)滿足那么的最小值為__________.【答案】【解析】此題主要考查線性規(guī)劃方面的根底知.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.如圖，當(dāng)時(shí)，為最小值.故應(yīng)填.〔第10題解答圖〕11．設(shè)是偶函數(shù)，假設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為1，那么該曲線在處的切線的斜率為_________.【答案】【解析】此題主要考查導(dǎo)數(shù)與曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率的概念.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.取，如圖，采用數(shù)形結(jié)合法，易得該曲線在處的切線的斜率為.故應(yīng)填.12．橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，假設(shè)，那么_________；的小大為__________.〔第11題解答圖〕【答案】【解析】此題主要考查橢圓的定義、焦點(diǎn)、長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.∵，∴，∴，又，〔第12題解答圖〕∴，又由余弦定理，得，∴，故應(yīng)填.13．假設(shè)函數(shù)那么不等式的解集為____________.【答案】【解析】此題主要考查分段函數(shù)和簡單絕對(duì)值不等式的解法.屬于根底知識(shí)、根本運(yùn)算的考查.〔1〕由.〔2〕由.∴不等式的解集為，∴應(yīng)填.14．?dāng)?shù)列滿足：那么________；=_________.【答案】1，0【解析】此題主要考查周期數(shù)列等根底知識(shí).屬于創(chuàng)新題型.依題意，得，.∴應(yīng)填1，0.三、解答題：本大題共6小題，共80分。解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15．〔本小題共13分〕在中，角的對(duì)邊分別為，.〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求的面積.【解析】此題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式等根底知識(shí)，主要考查根本運(yùn)算能力．〔Ⅰ〕∵A、B、C為△ABC的內(nèi)角，且，∴，∴.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，又∵，∴在△ABC中，由正弦定理，得∴.∴△ABC的面積.16．〔本小題共14分〕如圖，在三棱錐中，底面，點(diǎn)，分別在棱上，且〔Ⅰ〕求證：平面；〔Ⅱ〕當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求與平面所成的角的大??；〔Ⅲ〕是否存在點(diǎn)使得二面角為直二面角？并說明理由.【解法1】此題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等根底知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．〔Ⅰ〕∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC.又，∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.〔Ⅱ〕∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，∴，又由〔Ⅰ〕知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，∴，∴在Rt△ABC中，，∴.∴在Rt△ADE中，，∴與平面所成的角的大小.〔Ⅲ〕∵DE//BC，又由〔Ⅰ〕知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，又∵AE平面PAC，PE平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE，∴∠AEP為二面角的平面角，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴.∴在棱PC上存在一點(diǎn)E，使得AE⊥PC，這時(shí)，故存在點(diǎn)E使得二面角是直二面角.【解法2】如圖，以A為原煤點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得.〔Ⅰ〕∵，∴，∴BC⊥AP.又∵，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.〔Ⅱ〕∵D為PB的中點(diǎn)，DE//BC，∴E為PC的中點(diǎn)，∴，∴又由〔Ⅰ〕知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足為點(diǎn)E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵，∴.∴與平面所成的角的大小.〔Ⅲ〕同解法1.17．〔本小題共13分〕某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是2min.〔Ⅰ〕求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；〔Ⅱ〕求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望.【解析】此題主要考查隨機(jī)事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等概率知識(shí)、考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等根底知識(shí)，考查運(yùn)用概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力.〔Ⅰ〕設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，因?yàn)槭录嗀等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈〞，所以事件A的概率為.〔Ⅱ〕由題意，可得可能取的值為0，2，4，6，8〔單位：min〕.事件“〞等價(jià)于事件“該學(xué)生在路上遇到次紅燈〞〔0，1，2，3，4〕，∴，∴即的分布列是02468∴的期望是.18．〔本小題共13分〕設(shè)函數(shù)〔Ⅰ〕求曲線在點(diǎn)處的切線方程；〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；〔Ⅲ〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.【解析】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等根底知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．〔Ⅰ〕,曲線在點(diǎn)處的切線方程為.〔Ⅱ〕由，得，假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，假設(shè)，那么當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知，假設(shè)，那么當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，假設(shè)，那么當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是.19．〔本小題共14分〕雙曲線的離心率為，右準(zhǔn)線方程為〔Ⅰ〕求雙曲線的方程；〔Ⅱ〕設(shè)直線是圓上動(dòng)點(diǎn)處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明的大小為定值.【解法1】此題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圓的切線方程等根底知識(shí)，考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的根本思想方法，考查推理、運(yùn)算能力．〔Ⅰ〕由題意，得，解得，∴，∴所求雙曲線的方程為.〔Ⅱ〕點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得，∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，∴，且，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，那么，∵，且，.∴的大小為.【解法2】〔Ⅰ〕同解法1.〔Ⅱ〕點(diǎn)在圓上，圓在點(diǎn)處的切線方程為，化簡得.由及得①②∵切線與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，∴，設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，那么，∴，∴的大小為.〔∵且，∴，從而當(dāng)時(shí)，方程①和方程②的判別式均大于零〕.20．〔本小題共13分〕數(shù)集具有性質(zhì)；對(duì)任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于.〔Ⅰ〕分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；〔