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文檔簡介
2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔理工農(nóng)醫(yī)類〕〔北京卷〕本試卷分第I卷〔選擇題〕和第二卷〔非選擇題〕兩局部,第I卷1至2頁,第二卷3至9頁,共150分??荚嚂r間120分鐘。考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。第I卷〔選擇題共40分〕考前須知:1.答第I卷前,考生務(wù)必將答題卡上的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆填寫,用2B鉛筆將準考證號對應(yīng)的信息點涂黑。2.每題選出答案后,將答題卡上對應(yīng)題目的答案選中涂滿涂黑,黑度以蓋住框內(nèi)字母為準,修改時用橡皮擦除干凈。在試卷上作答無效。一、本大題共8小題,每題5分,共40分。在每題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項。1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】B【解析】此題主要考查復(fù)數(shù)在坐標系數(shù)內(nèi)復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系.屬于根底知識的考查.∵,∴復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為,應(yīng)選B.2.向量a、b不共線,cabR),dab,如果cd,那么〔〕A.且c與d同向B.且c與d反向C.且c與d同向D.且c與d反向【答案】D【解析】此題主要考查向量的共線〔平行〕、向量的加減法.屬于根底知識、根本運算的考查.取a,b,假設(shè),那么cab,dab,顯然,a與b不平行,排除A、B.假設(shè),那么cab,dab,即cd且c與d反向,排除C,應(yīng)選D.3.為了得到函數(shù)的圖像,只需把函數(shù)的圖像上所有的點〔〕A.向左平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度B.向右平移3個單位長度,再向上平移1個單位長度C.向左平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度D.向右平移3個單位長度,再向下平移1個單位長度【答案】C【解析】此題主要考查函數(shù)圖象的平移變換.屬于根底知識、根本運算的考查.A.,B.,C.,D..故應(yīng)選C.4.假設(shè)正四棱柱的底面邊長為1,與底面成60°角,那么到底面的距離為〔〕A.B.1C.D.【答案】D【解析】此題主要考查正四棱柱的概念、直線與平面所成的角以及直線與平面的距離等概念.〔第4題解答圖〕屬于根底知識、根本運算的考查.依題意,,如圖,,應(yīng)選D.5.“〞是“〞的〔〕A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】此題主要考查三角函數(shù)的根本概念、簡易邏輯中充要條件的判斷.屬于根底知識、根本運算的考查.當時,,反之,當時,有,或,故應(yīng)選A.6.假設(shè)為有理數(shù)〕,那么〔〕A.45B.55C.70D.【答案】C【解析】此題主要考查二項式定理及其展開式.屬于根底知識、根本運算的考查.∵,由,得,∴.應(yīng)選C.7.用0到9這10個數(shù)字,可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個數(shù)為〔〕A.324B.328C【答案】B【解析】此題主要考查排列組合知識以及分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理知識.屬于根底知識、根本運算的考查.首先應(yīng)考慮“0”是特殊元素,當0排在末位時,有〔個〕,當0不排在末位時,有〔個〕,于是由分類計數(shù)原理,得符合題意的偶數(shù)共有〔個〕.應(yīng)選B.8.點在直線上,假設(shè)存在過的直線交拋物線于兩點,且,那么稱點為“點〞,那么以下結(jié)論中正確的是〔〕A.直線上的所有點都是“點〞B.直線上僅有有限個點是“點〞C.直線上的所有點都不是“點〞D.直線上有無窮多個點〔點不是所有的點〕是“點〞【答案】A【解析】此題主要考查閱讀與理解、信息遷移以及學(xué)生的學(xué)習潛力,考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力.屬于創(chuàng)新題型.此題采作數(shù)形結(jié)合法易于求解,如圖,設(shè),那么,∵,∴〔第8題解答圖〕消去n,整理得關(guān)于x的方程〔1〕∵恒成立,∴方程〔1〕恒有實數(shù)解,∴應(yīng)選A.2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔理工農(nóng)醫(yī)類〕〔北京卷〕第二卷〔共110分〕考前須知:1.用鋼筆或圓珠筆將答案直接寫在試卷上。2.答卷前將密封線內(nèi)的工程填寫清楚。題號二三總分151617181920分數(shù)二、填空題:本大題共6小題,每題5分,共30分。把答案填在題中橫線上。9._________.【答案】【解析】此題主要考極限的根本運算,其中重點考查如何約去“零因子〞.屬于根底知識、根本運算的考查.,故應(yīng)填.10.假設(shè)實數(shù)滿足那么的最小值為__________.【答案】【解析】此題主要考查線性規(guī)劃方面的根底知.屬于根底知識、根本運算的考查.如圖,當時,為最小值.故應(yīng)填.〔第10題解答圖〕11.設(shè)是偶函數(shù),假設(shè)曲線在點處的切線的斜率為1,那么該曲線在處的切線的斜率為_________.【答案】【解析】此題主要考查導(dǎo)數(shù)與曲線在某一點處切線的斜率的概念.屬于根底知識、根本運算的考查.取,如圖,采用數(shù)形結(jié)合法,易得該曲線在處的切線的斜率為.故應(yīng)填.12.橢圓的焦點為,點在橢圓上,假設(shè),那么_________;的小大為__________.〔第11題解答圖〕【答案】【解析】此題主要考查橢圓的定義、焦點、長軸、短軸、焦距之間的關(guān)系以及余弦定理.屬于根底知識、根本運算的考查.∵,∴,∴,又,〔第12題解答圖〕∴,又由余弦定理,得,∴,故應(yīng)填.13.假設(shè)函數(shù)那么不等式的解集為____________.【答案】【解析】此題主要考查分段函數(shù)和簡單絕對值不等式的解法.屬于根底知識、根本運算的考查.〔1〕由.〔2〕由.∴不等式的解集為,∴應(yīng)填.14.數(shù)列滿足:那么________;=_________.【答案】1,0【解析】此題主要考查周期數(shù)列等根底知識.屬于創(chuàng)新題型.依題意,得,.∴應(yīng)填1,0.三、解答題:本大題共6小題,共80分。解容許寫出文字說明,演算步驟或證明過程。15.〔本小題共13分〕在中,角的對邊分別為,.〔Ⅰ〕求的值;〔Ⅱ〕求的面積.【解析】此題主要考查三角形中的三角函數(shù)變換及求值、誘導(dǎo)公式、三角形的面積公式等根底知識,主要考查根本運算能力.〔Ⅰ〕∵A、B、C為△ABC的內(nèi)角,且,∴,∴.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知,又∵,∴在△ABC中,由正弦定理,得∴.∴△ABC的面積.16.〔本小題共14分〕如圖,在三棱錐中,底面,點,分別在棱上,且〔Ⅰ〕求證:平面;〔Ⅱ〕當為的中點時,求與平面所成的角的大??;〔Ⅲ〕是否存在點使得二面角為直二面角?并說明理由.【解法1】此題主要考查直線和平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等根底知識,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.〔Ⅰ〕∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.又,∴AC⊥BC.∴BC⊥平面PAC.〔Ⅱ〕∵D為PB的中點,DE//BC,∴,又由〔Ⅰ〕知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,∴△ABP為等腰直角三角形,∴,∴在Rt△ABC中,,∴.∴在Rt△ADE中,,∴與平面所成的角的大小.〔Ⅲ〕∵DE//BC,又由〔Ⅰ〕知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,∴∠AEP為二面角的平面角,∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.∴在棱PC上存在一點E,使得AE⊥PC,這時,故存在點E使得二面角是直二面角.【解法2】如圖,以A為原煤點建立空間直角坐標系,設(shè),由可得.〔Ⅰ〕∵,∴,∴BC⊥AP.又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.〔Ⅱ〕∵D為PB的中點,DE//BC,∴E為PC的中點,∴,∴又由〔Ⅰ〕知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足為點E.∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角,∵,∴.∴與平面所成的角的大小.〔Ⅲ〕同解法1.17.〔本小題共13分〕某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口,假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的,遇到紅燈的概率都是,遇到紅燈時停留的時間都是2min.〔Ⅰ〕求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率;〔Ⅱ〕求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望.【解析】此題主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率知識、考查離散型隨機變量的分布列和期望等根底知識,考查運用概率與統(tǒng)計知識解決實際問題的能力.〔Ⅰ〕設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件A,因為事件A等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈,在第三個路口遇到紅燈〞,所以事件A的概率為.〔Ⅱ〕由題意,可得可能取的值為0,2,4,6,8〔單位:min〕.事件“〞等價于事件“該學(xué)生在路上遇到次紅燈〞〔0,1,2,3,4〕,∴,∴即的分布列是02468∴的期望是.18.〔本小題共13分〕設(shè)函數(shù)〔Ⅰ〕求曲線在點處的切線方程;〔Ⅱ〕求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;〔Ⅲ〕假設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,求的取值范圍.【解析】此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等根底知識,考查綜合分析和解決問題的能力.〔Ⅰ〕,曲線在點處的切線方程為.〔Ⅱ〕由,得,假設(shè),那么當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,假設(shè),那么當時,,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知,假設(shè),那么當且僅當,即時,函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,假設(shè),那么當且僅當,即時,函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增,綜上可知,函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增時,的取值范圍是.19.〔本小題共14分〕雙曲線的離心率為,右準線方程為〔Ⅰ〕求雙曲線的方程;〔Ⅱ〕設(shè)直線是圓上動點處的切線,與雙曲線交于不同的兩點,證明的大小為定值.【解法1】此題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等根底知識,考查曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的根本思想方法,考查推理、運算能力.〔Ⅰ〕由題意,得,解得,∴,∴所求雙曲線的方程為.〔Ⅱ〕點在圓上,圓在點處的切線方程為,化簡得.由及得,∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B,且,∴,且,設(shè)A、B兩點的坐標分別為,那么,∵,且,.∴的大小為.【解法2】〔Ⅰ〕同解法1.〔Ⅱ〕點在圓上,圓在點處的切線方程為,化簡得.由及得①②∵切線與雙曲線C交于不同的兩點A、B,且,∴,設(shè)A、B兩點的坐標分別為,那么,∴,∴的大小為.〔∵且,∴,從而當時,方程①和方程②的判別式均大于零〕.20.〔本小題共13分〕數(shù)集具有性質(zhì);對任意的,與兩數(shù)中至少有一個屬于.〔Ⅰ〕分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì),并說明理由;〔
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