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第2課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用..1.能根據(jù)具體問(wèn)題的特征,選擇兩種計(jì)數(shù)原理解決一些實(shí)際問(wèn)題.2.會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題合理分類或分步..1.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題.(重點(diǎn))2.合理分類或分步.(難點(diǎn))3.涂色問(wèn)題中的討論.(易混點(diǎn))..家電下鄉(xiāng)政策是國(guó)家深入貫徹落實(shí)科學(xué)發(fā)展觀、積極擴(kuò)大內(nèi)需的重要舉措,是財(cái)政和貿(mào)易政策的創(chuàng)新突破.家電下鄉(xiāng)政策實(shí)施以來(lái),給廣大農(nóng)民帶來(lái)了很大實(shí)惠,在外打工的小王要給家在農(nóng)村的父母買一臺(tái)冰箱和洗衣機(jī),現(xiàn)有5種型號(hào)的冰箱和3種型號(hào)的洗衣機(jī),那么小王共有多少購(gòu)買方案?.1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在解決計(jì)數(shù)問(wèn)題中的方法.2.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意的問(wèn)題(1)分類要做到“
”,分類后再對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和,得到總數(shù).(2)分步要做到“
”——完成了所有步驟,恰好完成任務(wù),當(dāng)然步與步之間要相互獨(dú)立.分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù),最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,把完成每一步的方法數(shù)相乘,得到總數(shù).不重不漏步驟完整.1.由數(shù)字1,2,3,4,5,6可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù)的個(gè)數(shù)是()A.11 B.12C.30 D.36解析:個(gè)位數(shù)字有6種選法,十位數(shù)字有5種選法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,可組成6×5=30個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù).答案:C.2.如圖,一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為()A.96 B.84C.60 D.48解析:方法一:先種A地有4種,再種B地有3種,若C地與A地種相同的花,則C地有1種,D地有3種;若C地與A地種不同花,則C地有2種,D地有2種,即不同種法總數(shù)為N=4×3×(1×3+2×2)=84種..方法二:若種4種花有4×3×2×1=24種;若種3種花,則A和C或B和D相同,有2×4×3×2=48種;若種2種花,則A和C相同且B和D相同,有4×3=12種.共有N=24+48+12=84種.答案:B.3.三個(gè)人踢毽,互相傳遞,每人每次只能踢一下,由甲開(kāi)始踢,經(jīng)過(guò)5次傳遞后,毽又被踢回給甲,則不同的傳遞方式共有________種.解析:如下圖:同理,甲傳給丙也可以推出5種情況,綜上有10種傳法.答案:10.4.同室4人各寫1張賀年卡,先集中起來(lái),然后每人從中拿1張別人寫的賀年卡,求4張賀年卡不同的分配方式有多少種?解析:方法一:對(duì)4人分別編1,2,3,4四個(gè)號(hào),對(duì)四張賀年卡也編上1,2,3,4四個(gè)號(hào),那么1,2,3,4四個(gè)數(shù)字填入1,2,3,4四個(gè)方格的一個(gè)填法對(duì)應(yīng)賀卡的一個(gè)送法,原題轉(zhuǎn)化為上面所述方格的編號(hào)與所填數(shù)字的不同的填法種數(shù)問(wèn)題.首先,在1號(hào)方格里填數(shù),可填上2,3,4中的任意一個(gè)數(shù),有3種填法;其次,當(dāng)在第1號(hào)方格填數(shù)i之后(2≤i≤4),在第i號(hào)方格中填上合乎要求的數(shù),有3種填法;最后,將剩下的兩個(gè)數(shù),填到空著的方格里,只有1種填法合乎要求(因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)中,至少有一個(gè)數(shù)與空的方格序號(hào)相同)..根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的分配方式共有3×3×1=9種.方法二:21—4—33—4—14—1—331—4—241—22—141—2—331—22—1共9種...用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的(1)四位密碼?(2)四位數(shù)?(3)四位奇數(shù)?四位密碼的首位可為0,四位數(shù)的首位不能為0,四位奇數(shù)的首位不為0且個(gè)位必須為奇數(shù)..[解題過(guò)程](1)完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼”這件事,可以分為四步:第一步,選取左邊第一個(gè)位置上的數(shù)字,有5種選取方法;第二步,選取左邊第二個(gè)位置上的數(shù)字,有4種選取方法;第三步,選取左邊第三個(gè)位置上的數(shù)字,有3種選取方法;第四步,選取左邊第四個(gè)位置上的數(shù)字,有2種選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成不同的四位密碼共有N=5×4×3×2=120個(gè)..(2)完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)”這件事,可以分四步:第一步,從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選一個(gè)數(shù)字作千位數(shù)字,共4種不同的選取方法,第二步從1,2,3,4中剩余的三個(gè)數(shù)字和0共4個(gè)數(shù)字選一個(gè)數(shù)字作百位數(shù)字,有4種不同的選取方法;第三步,從剩余的三個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作十位數(shù)字,有3種不同的選取方法;第四步,從剩余的兩個(gè)數(shù)字中選取一個(gè)數(shù)字作個(gè)位數(shù)字,有2種不同的選取方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可以組成不同的四位數(shù)共有N=4×4×3×2=96個(gè)..(3)完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事,可以分四步:第一步定個(gè)位,只能從1、3中任取一個(gè)有兩種方法,第二步定首位,把1、2、3、4中除去用過(guò)的一個(gè)還有3個(gè)可任取一個(gè)有3種方法,第三步,第四步把剩下的包括0在內(nèi)的還有3個(gè)數(shù)字先排百位3種方法,再排十位有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有2×3×3×2=36個(gè)..[題后感悟](1)對(duì)于組數(shù)問(wèn)題,一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰(shuí)占領(lǐng)分類,分類中再按特殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法從反面求解.(2)解決組數(shù)問(wèn)題,應(yīng)特別注意其限制條件,有些條件是隱藏的,要善于挖掘.排數(shù)時(shí),要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則..1.8張卡片上寫著0,1,2,…,7共8個(gè)數(shù)字,取其中的三張卡片排放在一起,可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)?解析:先排放百位從1,2,…,7共7個(gè)數(shù)中選一個(gè)有7種選法;再排十位,從除去百位的數(shù)外,剩余的7個(gè)數(shù)(包括0)中選一個(gè),有7種選法;最后排個(gè)位,從除前兩步選出的數(shù)外,剩余的6個(gè)數(shù)中選一個(gè),有6種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可以組成7×7×6=294(個(gè))不同的三位數(shù)..用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色,規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰的區(qū)域顏色不同,問(wèn)有多少種不同的涂色方案?.由題目可獲取以下主要信息:①用五種不同的顏色給四個(gè)區(qū)域涂色;②相鄰區(qū)域不能涂同種顏色;③不相鄰區(qū)域可以涂同種顏色.解答本題可先給各個(gè)區(qū)域標(biāo)上記號(hào),從不相鄰區(qū)域是否著相同顏色進(jìn)行分類、分步解決..[解題過(guò)程]先分為兩類:第一類,當(dāng)D與A不同色,則可分為四步完成.第一步涂A有5種方法,第二步涂B有4種方法,第三步涂C有3種方法,第四步涂D有2種涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有5×4×3×2=120種方法.第二類,當(dāng)D與A同色,分三步完成,第一步涂A和D有5種方法,第二步涂B有4種方法,第三步涂C有3種方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有5×4×3=60(種),所以共有120+60=180種不同的方案..[題后感悟]染色問(wèn)題是考查計(jì)數(shù)方法的一種常見(jiàn)問(wèn)題,由于這類問(wèn)題常常涉及分類與分步,所以在高考題中經(jīng)常出現(xiàn),處理這類問(wèn)題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)分類標(biāo)準(zhǔn),像本題中A、D顏色是否相同對(duì)其他區(qū)域的涂色有影響..2.如圖,要給地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種?.解析:按地圖A、B、C、D四個(gè)區(qū)域依次涂色,分四步完成:第一步,涂A區(qū)域,有3種選擇;第二步,涂B區(qū)域,有2種選擇;第三步,涂C區(qū)域,由于它與A、B區(qū)域不同,有1種選擇;第四步,涂D區(qū)域,由于它與B、C區(qū)域不同,有1種選擇.所以根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,得到不同的涂色方案種數(shù)共有3×2×1×1=6(種)..3.用紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個(gè)區(qū)域內(nèi),要求相鄰的兩個(gè)區(qū)域的顏色都不相同,則有多少種不同的涂色方法?.解析:給各區(qū)域標(biāo)記號(hào)A、B、C、D、E,則A區(qū)域有4種不同的涂色方法,B區(qū)域有3種,C區(qū)域有2種,D區(qū)域有2種,但E區(qū)域的涂色依賴于B與D涂色的顏色,如果B與D顏色相同有2種,如果不相同,則只有一種.因此應(yīng)先分類后分步.第一類,B、D涂同色時(shí),有4×3×2×1×2=48種,第二類,當(dāng)B、D不同色時(shí),有4×3×2×1×1=24種,故共有48+24=72種不同的涂色方法..從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種,分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,求有多少種不同的種植方法..由題目可獲取以下主要信息:①?gòu)乃姆N蔬菜品種選出3種分別種在不同土質(zhì)的三塊土地上;②黃瓜必須種植.解答此題可考慮以黃瓜所種植的土地分類求解或用間接法求解..[解題過(guò)程]方法一(直接法):若黃瓜種在第一塊土地上,則有3×2×1=6種不同種植方法.同理,黃瓜種在第二塊、第三塊土地上,均有3×2×1=6種.故不同的種植方法共有6×3=18種.方法二(間接法):從4種蔬菜中選出3種,種在三塊地上,有4×3×2=24種,其中不種黃瓜有3×2×1=6種,故共有不同種植方法24-6=18種..[題后感悟]對(duì)于同一個(gè)事件的處理,往往可以采用不同的處理方法,從而得到不同的解法,但結(jié)果肯定是相同的,用這種方法可以起到很好的檢驗(yàn)效果.按元素性質(zhì)分類,按事件發(fā)生過(guò)程分步是計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本思想方法,區(qū)分“分類”與“分步”的關(guān)鍵,是驗(yàn)證你提供的某一種方法是否完成了這件事情,分類中的每一種方法都完成了這件事情,而分步中的每一種方法不能完成這件事情,只是向事情的完成邁進(jìn)了一步..4.如圖,用6種不同的作物把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開(kāi),若相鄰區(qū)域不能種植同一種作物,則不同的種法共有()A.400種 B.460種C.480種 D.496種.解析:從A開(kāi)始,有6種方法,B有5種,C有4種,D、A種相同作物1種,D、A不同作物3種,∴不同種法有6×5×4×(1+3)=480種.故選C.答案:C.某校學(xué)生會(huì)由高一年級(jí)5人,高二年級(jí)6人,高三年級(jí)4人組成.(1)選其中一人為學(xué)生會(huì)主席,有多少種不同的選法?(2)若每年級(jí)選1人為校學(xué)生會(huì)常委成員,有多少種不同的選法?(3)若要選出不同年級(jí)的兩人分別參加市里組織的兩項(xiàng)活動(dòng),有多少種不同的選法?.第(1)問(wèn)屬于分類的問(wèn)題,用分類加法計(jì)數(shù)原理求解;第(2)問(wèn)屬于分步的問(wèn)題,用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解;第(3)問(wèn)是綜合類問(wèn)題,要先分類再分步..[規(guī)范解答](1)分三類:第一類,從高一年級(jí)選一人,有5種選擇;第二類,從高二年級(jí)選一人,有6種選擇;第三類,從高三年級(jí)選一人,有4種選擇.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有5+6+4=15(種)選法.4分(2)分三步完成:第一步,從高一年級(jí)選一人,有5種選擇;第二步,從高二年級(jí)選一人,有6種選擇;第三步,從高三年級(jí)選一人,有4種選擇.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有5×6×4=120(種)選法.8分.(3)分三類:高一、高二各一人,共有5×6=30(種)選法;高一、高三各一人,共有5×4=20(種)選法;高二、高三各一人,共有6×4=24(種)選法;由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有30+20+24=74(種)選法.12分.[題后感悟]使用兩個(gè)原理解題的本質(zhì).5.有一項(xiàng)活動(dòng),需在3名老師,8名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選人參加.(1)若只需一人參加,有多少種不同方法?(2)若需老師、男同學(xué)、女同學(xué)各一人參加,有多少種不同選法?(3)若需一名老師,一名學(xué)生參加,有多少種不同選法?.解析:(1)有三類選人的方法:3名老師中選一人,有3種方法;8名男同學(xué)中選一人,有8種方法,5名女同學(xué)中選一人,有5種方法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有3+8+5=16(種)選法.(2)分三步選人:第一步選老師,有3種方法;第二步選男同學(xué),有8種方法;第三步選女同學(xué),有5種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有3×8×5=120(種)選法.(3)可分兩類,每一類又分兩步.第一類,選一名老師再選一名男同學(xué),有3×8=24(種)選法;第二類,選一名老師再選一名女同學(xué),共有3×5=15(種)選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,共有24+15=39(種)選法..1.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用對(duì)于某些問(wèn)題,有時(shí)既要用分類計(jì)數(shù)原理,又要用分步計(jì)數(shù)原理,重視兩個(gè)原理的靈活運(yùn)用,并注意以下幾點(diǎn):(1)認(rèn)真審題,分析題目的條件、結(jié)論,特別要理解題目中所講的“事情”是什么,完成這件事情的含義和標(biāo)準(zhǔn)是什么..(2)明確完成這件事情需要“分類”還是“分步”,還是既要“分類”又要“分步”,并搞清“分類”或“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么.(3)在分析過(guò)程中,如能借助一些圖形、示意圖、表格幫助分析,可以使問(wèn)題更加直觀、清楚..2.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的使用方法(1)合理分類,準(zhǔn)確分步處理計(jì)數(shù)問(wèn)題,應(yīng)扣緊兩個(gè)原理,根據(jù)具體問(wèn)題首先弄清楚是“分類”還是“分步”,接下來(lái)要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標(biāo)準(zhǔn)是什么.分類時(shí)需要滿足兩個(gè)條件:①類與類之間要互斥(保證不重復(fù));②總數(shù)要完備(保證不遺漏).也就是要確定一個(gè)合理的分類標(biāo)準(zhǔn).分步時(shí)應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過(guò)程進(jìn)行分析,必須做到步與步之間互相獨(dú)立,互不干擾,并確保連續(xù)性..(2)特殊優(yōu)先,一般在后解含有特殊元素、特殊位置的計(jì)數(shù)問(wèn)題,一般應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮其他元素與其他位置,體現(xiàn)出解題過(guò)程中的主次思想.(3)分類討論,數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化與化歸分類討論就是把一個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題,通過(guò)正確劃分,轉(zhuǎn)化為若干個(gè)小問(wèn)題予以擊破,這是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題的基本思想.?dāng)?shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化與化歸也是化難為易,化抽象為具體,化陌生為熟悉,化未知為已知的重要思想方法,對(duì)解決計(jì)數(shù)問(wèn)題至關(guān)重要..◎有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗(yàn)田中,每塊種植一種作物,相鄰的試驗(yàn)田(有公共邊)不
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