高中數(shù)學 11.1第2課時第2課時 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應用精品同步導學 新人教A選修23

第2課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的綜合應用..1．能根據具體問題的特征，選擇兩種計數(shù)原理解決一些實際問題．2．會根據實際問題合理分類或分步..1．應用兩個計數(shù)原理解決實際問題．(重點)2．合理分類或分步．(難點)3．涂色問題中的討論．(易混點)..家電下鄉(xiāng)政策是國家深入貫徹落實科學發(fā)展觀、積極擴大內需的重要舉措，是財政和貿易政策的創(chuàng)新突破．家電下鄉(xiāng)政策實施以來，給廣大農民帶來了很大實惠，在外打工的小王要給家在農村的父母買一臺冰箱和洗衣機，現(xiàn)有5種型號的冰箱和3種型號的洗衣機，那么小王共有多少購買方案？.1．兩個計數(shù)原理在解決計數(shù)問題中的方法.2．應用兩個計數(shù)原理應注意的問題(1)分類要做到“

”，分類后再對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理求和，得到總數(shù)．(2)分步要做到“

”——完成了所有步驟，恰好完成任務，當然步與步之間要相互獨立．分步后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)相乘，得到總數(shù)．不重不漏步驟完整.1．由數(shù)字1,2,3,4,5,6可以組成沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)是()A．11 B．12C．30 D．36解析：個位數(shù)字有6種選法，十位數(shù)字有5種選法，由分步乘法計數(shù)原理知，可組成6×5＝30個無重復數(shù)字的兩位數(shù)．答案：C.2.如圖，一環(huán)形花壇分成A、B、C、D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為()A．96 B．84C．60 D．48解析：方法一：先種A地有4種，再種B地有3種，若C地與A地種相同的花，則C地有1種，D地有3種；若C地與A地種不同花，則C地有2種，D地有2種，即不同種法總數(shù)為N＝4×3×(1×3＋2×2)＝84種．.方法二：若種4種花有4×3×2×1＝24種；若種3種花，則A和C或B和D相同，有2×4×3×2＝48種；若種2種花，則A和C相同且B和D相同，有4×3＝12種．共有N＝24＋48＋12＝84種．答案：B.3．三個人踢毽，互相傳遞，每人每次只能踢一下，由甲開始踢，經過5次傳遞后，毽又被踢回給甲，則不同的傳遞方式共有________種．解析：如下圖：同理，甲傳給丙也可以推出5種情況，綜上有10種傳法．答案：10.4．同室4人各寫1張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿1張別人寫的賀年卡，求4張賀年卡不同的分配方式有多少種？解析：方法一：對4人分別編1,2,3,4四個號，對四張賀年卡也編上1,2,3,4四個號，那么1,2,3,4四個數(shù)字填入1,2,3,4四個方格的一個填法對應賀卡的一個送法，原題轉化為上面所述方格的編號與所填數(shù)字的不同的填法種數(shù)問題．首先，在1號方格里填數(shù)，可填上2,3,4中的任意一個數(shù)，有3種填法；其次，當在第1號方格填數(shù)i之后(2≤i≤4)，在第i號方格中填上合乎要求的數(shù)，有3種填法；最后，將剩下的兩個數(shù)，填到空著的方格里，只有1種填法合乎要求(因為這兩個數(shù)中，至少有一個數(shù)與空的方格序號相同)．.根據分步乘法計數(shù)原理，不同的分配方式共有3×3×1＝9種．方法二：21—4—33—4—14—1—331—4—241—22—141—2—331—22—1共9種...用0,1,2,3,4這五個數(shù)字可以組成多少個無重復數(shù)字的(1)四位密碼？(2)四位數(shù)？(3)四位奇數(shù)？四位密碼的首位可為0，四位數(shù)的首位不能為0，四位奇數(shù)的首位不為0且個位必須為奇數(shù)．.[解題過程](1)完成“組成無重復數(shù)字的四位密碼”這件事，可以分為四步：第一步，選取左邊第一個位置上的數(shù)字，有5種選取方法；第二步，選取左邊第二個位置上的數(shù)字，有4種選取方法；第三步，選取左邊第三個位置上的數(shù)字，有3種選取方法；第四步，選取左邊第四個位置上的數(shù)字，有2種選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位密碼共有N＝5×4×3×2＝120個．.(2)完成“組成無重復數(shù)字的四位數(shù)”這件事，可以分四步：第一步，從1,2,3,4這4個數(shù)字中選一個數(shù)字作千位數(shù)字，共4種不同的選取方法，第二步從1,2,3,4中剩余的三個數(shù)字和0共4個數(shù)字選一個數(shù)字作百位數(shù)字，有4種不同的選取方法；第三步，從剩余的三個數(shù)字中選取一個數(shù)字作十位數(shù)字，有3種不同的選取方法；第四步，從剩余的兩個數(shù)字中選取一個數(shù)字作個位數(shù)字，有2種不同的選取方法．由分步乘法計數(shù)原理，可以組成不同的四位數(shù)共有N＝4×4×3×2＝96個．.(3)完成“組成無重復數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事，可以分四步：第一步定個位，只能從1、3中任取一個有兩種方法，第二步定首位，把1、2、3、4中除去用過的一個還有3個可任取一個有3種方法，第三步，第四步把剩下的包括0在內的還有3個數(shù)字先排百位3種方法，再排十位有2種方法．由分步乘法計數(shù)原理共有2×3×3×2＝36個．.[題后感悟](1)對于組數(shù)問題，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由誰占領分類，分類中再按特殊位置(或者特殊元素)優(yōu)先的方法分步完成；如果正面分類較多，可采用間接法從反面求解．(2)解決組數(shù)問題，應特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘．排數(shù)時，要注意特殊元素、特殊位置優(yōu)先的原則．.1.8張卡片上寫著0,1,2，…，7共8個數(shù)字，取其中的三張卡片排放在一起，可組成多少個不同的三位數(shù)？解析：先排放百位從1,2，…，7共7個數(shù)中選一個有7種選法；再排十位，從除去百位的數(shù)外，剩余的7個數(shù)(包括0)中選一個，有7種選法；最后排個位，從除前兩步選出的數(shù)外，剩余的6個數(shù)中選一個，有6種選法．由分步乘法計數(shù)原理，共可以組成7×7×6＝294(個)不同的三位數(shù)．.用5種不同顏色給圖中的A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定一個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，問有多少種不同的涂色方案？.由題目可獲取以下主要信息：①用五種不同的顏色給四個區(qū)域涂色；②相鄰區(qū)域不能涂同種顏色；③不相鄰區(qū)域可以涂同種顏色．解答本題可先給各個區(qū)域標上記號，從不相鄰區(qū)域是否著相同顏色進行分類、分步解決．.[解題過程]先分為兩類：第一類，當D與A不同色，則可分為四步完成．第一步涂A有5種方法，第二步涂B有4種方法，第三步涂C有3種方法，第四步涂D有2種涂法，由分步乘法計數(shù)原理，共有5×4×3×2＝120種方法．第二類，當D與A同色，分三步完成，第一步涂A和D有5種方法，第二步涂B有4種方法，第三步涂C有3種方法，由分步乘法計數(shù)原理共有5×4×3＝60(種)，所以共有120＋60＝180種不同的方案．.[題后感悟]染色問題是考查計數(shù)方法的一種常見問題，由于這類問題常常涉及分類與分步，所以在高考題中經常出現(xiàn)，處理這類問題的關鍵是要找準分類標準，像本題中A、D顏色是否相同對其他區(qū)域的涂色有影響．.2.如圖，要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種，允許同一種顏色使用多次，但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色，不同的涂色方案有多少種？.解析：按地圖A、B、C、D四個區(qū)域依次涂色，分四步完成：第一步，涂A區(qū)域，有3種選擇；第二步，涂B區(qū)域，有2種選擇；第三步，涂C區(qū)域，由于它與A、B區(qū)域不同，有1種選擇；第四步，涂D區(qū)域，由于它與B、C區(qū)域不同，有1種選擇．所以根據分步乘法計數(shù)原理，得到不同的涂色方案種數(shù)共有3×2×1×1＝6(種)．.3.用紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個區(qū)域內，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有多少種不同的涂色方法？.解析：給各區(qū)域標記號A、B、C、D、E，則A區(qū)域有4種不同的涂色方法，B區(qū)域有3種，C區(qū)域有2種，D區(qū)域有2種，但E區(qū)域的涂色依賴于B與D涂色的顏色，如果B與D顏色相同有2種，如果不相同，則只有一種.因此應先分類后分步．第一類，B、D涂同色時，有4×3×2×1×2＝48種，第二類，當B、D不同色時，有4×3×2×1×1＝24種，故共有48＋24＝72種不同的涂色方法．.從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3種，分別種在不同土質的三塊土地上，其中黃瓜必須種植，求有多少種不同的種植方法．.由題目可獲取以下主要信息：①從四種蔬菜品種選出3種分別種在不同土質的三塊土地上；②黃瓜必須種植．解答此題可考慮以黃瓜所種植的土地分類求解或用間接法求解．.[解題過程]方法一(直接法)：若黃瓜種在第一塊土地上，則有3×2×1＝6種不同種植方法．同理，黃瓜種在第二塊、第三塊土地上，均有3×2×1＝6種．故不同的種植方法共有6×3＝18種．方法二(間接法)：從4種蔬菜中選出3種，種在三塊地上，有4×3×2＝24種，其中不種黃瓜有3×2×1＝6種，故共有不同種植方法24－6＝18種．.[題后感悟]對于同一個事件的處理，往往可以采用不同的處理方法，從而得到不同的解法，但結果肯定是相同的，用這種方法可以起到很好的檢驗效果．按元素性質分類，按事件發(fā)生過程分步是計數(shù)問題的基本思想方法，區(qū)分“分類”與“分步”的關鍵，是驗證你提供的某一種方法是否完成了這件事情，分類中的每一種方法都完成了這件事情，而分步中的每一種方法不能完成這件事情，只是向事情的完成邁進了一步．.4.如圖，用6種不同的作物把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能種植同一種作物，則不同的種法共有()A．400種 B．460種C．480種 D．496種.解析：從A開始，有6種方法，B有5種，C有4種，D、A種相同作物1種，D、A不同作物3種，∴不同種法有6×5×4×(1＋3)＝480種．故選C.答案：C.某校學生會由高一年級5人，高二年級6人，高三年級4人組成．(1)選其中一人為學生會主席，有多少種不同的選法？(2)若每年級選1人為校學生會常委成員，有多少種不同的選法？(3)若要選出不同年級的兩人分別參加市里組織的兩項活動，有多少種不同的選法？.第(1)問屬于分類的問題，用分類加法計數(shù)原理求解；第(2)問屬于分步的問題，用分步乘法計數(shù)原理求解；第(3)問是綜合類問題，要先分類再分步．.[規(guī)范解答](1)分三類：第一類，從高一年級選一人，有5種選擇；第二類，從高二年級選一人，有6種選擇；第三類，從高三年級選一人，有4種選擇．由分類加法計數(shù)原理，共有5＋6＋4＝15(種)選法.4分(2)分三步完成：第一步，從高一年級選一人，有5種選擇；第二步，從高二年級選一人，有6種選擇；第三步，從高三年級選一人，有4種選擇．由分步乘法計數(shù)原理，共有5×6×4＝120(種)選法.8分.(3)分三類：高一、高二各一人，共有5×6＝30(種)選法；高一、高三各一人，共有5×4＝20(種)選法；高二、高三各一人，共有6×4＝24(種)選法；由分類加法計數(shù)原理，共有30＋20＋24＝74(種)選法.12分.[題后感悟]使用兩個原理解題的本質.5.有一項活動，需在3名老師，8名男同學和5名女同學中選人參加．(1)若只需一人參加，有多少種不同方法？(2)若需老師、男同學、女同學各一人參加，有多少種不同選法？(3)若需一名老師，一名學生參加，有多少種不同選法？.解析：(1)有三類選人的方法：3名老師中選一人，有3種方法；8名男同學中選一人，有8種方法，5名女同學中選一人，有5種方法．由分類加法計數(shù)原理，共有3＋8＋5＝16(種)選法．(2)分三步選人：第一步選老師，有3種方法；第二步選男同學，有8種方法；第三步選女同學，有5種方法．由分步乘法計數(shù)原理，共有3×8×5＝120(種)選法．(3)可分兩類，每一類又分兩步．第一類，選一名老師再選一名男同學，有3×8＝24(種)選法；第二類，選一名老師再選一名女同學，共有3×5＝15(種)選法．由分類加法計數(shù)原理，共有24＋15＝39(種)選法．.1．兩個計數(shù)原理的綜合應用對于某些問題，有時既要用分類計數(shù)原理，又要用分步計數(shù)原理，重視兩個原理的靈活運用，并注意以下幾點：(1)認真審題，分析題目的條件、結論，特別要理解題目中所講的“事情”是什么，完成這件事情的含義和標準是什么．.(2)明確完成這件事情需要“分類”還是“分步”，還是既要“分類”又要“分步”，并搞清“分類”或“分步”的具體標準是什么．(3)在分析過程中，如能借助一些圖形、示意圖、表格幫助分析，可以使問題更加直觀、清楚．.2．兩個計數(shù)原理的使用方法(1)合理分類，準確分步處理計數(shù)問題，應扣緊兩個原理，根據具體問題首先弄清楚是“分類”還是“分步”，接下來要搞清楚“分類”或者“分步”的具體標準是什么．分類時需要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥(保證不重復)；②總數(shù)要完備(保證不遺漏)．也就是要確定一個合理的分類標準．分步時應按事件發(fā)生的連貫過程進行分析，必須做到步與步之間互相獨立，互不干擾，并確保連續(xù)性．.(2)特殊優(yōu)先，一般在后解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題，一般應優(yōu)先安排特殊元素，優(yōu)先確定特殊位置，再考慮其他元素與其他位置，體現(xiàn)出解題過程中的主次思想．(3)分類討論，數(shù)形結合，轉化與化歸分類討論就是把一個復雜的問題，通過正確劃分，轉化為若干個小問題予以擊破，這是解決計數(shù)問題的基本思想．數(shù)形結合，轉化與化歸也是化難為易，化抽象為具體，化陌生為熟悉，化未知為已知的重要思想方法，對解決計數(shù)問題至關重要．.◎有4種不同的作物可供選擇種植在如圖所示的4塊試驗田中，每塊種植一種作物，相鄰的試驗田(有公共邊)不