2023年吉林省長春市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)

2023年吉林省長春市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.

2.滑輪半徑r=0．2m，可繞水平軸O轉動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物體A，如圖所示。已知滑輪繞軸0的轉動規(guī)律φ=0．15t3rad，其中t單位為s，當t=2s時，輪緣上M點的速度、加速度和物體A的速度、加速度計算不正確的是()。

A.M點的速度為vM=0．36m／s

B.M點的加速度為aM=0．648m／s2

C.物體A的速度為vA=0．36m／s

D.物體A的加速度為aA=0．36m／s2

3.

4.

5.

6.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)＞0，則f(x)在(0，1)內A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

7.設函數f(x)在(0，1)內可導，f'(x)>0，則f(x)在(0，1)內（）A.A.單調減少B.單調增加C.為常量D.不為常量，也不單調

8.

9.

10.A.A.為所給方程的解，但不是通解

B.為所給方程的解，但不－定是通解

C.為所給方程的通解

D.不為所給方程的解

11.

12.

13.下列關系式正確的是（）．A.A.

B.

C.

D.

14.

15.

16.

17.A.1-cosxB.1+cosxC.2-cosxD.2+cosx

18.

19.

20.下列命題中正確的為

A.若x0為f(x)的極值點，則必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，則點x0必為f(x)的極值點

C.若f'(x0)≠0，則點x0必定不為f(x)的極值點

D.若f(x)在點x0處可導，且點x0為f(x)的極值點，則必有f'(x0)=0

二、填空題(20題)21.y'=x的通解為______．22.

23.

24.

25.

26.

27.設f(x)=xex，則f'(x)__________。

28.29.

30.

31.

32.

33.

34.35.36.37.

38.設y=f(x)可導，點xo=2為f(x)的極小值點，且f(2)=3．則曲線y=f(x)在點(2，3)處的切線方程為__________．

39.設z=ln(x2+y)，則全微分dz=__________。40.三、計算題(20題)41.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．42.43.證明：44.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．45.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．46.47.48.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

49.

50.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

51.求微分方程的通解．52.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則53.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．54.

55.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．56.

57.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

58.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

59.

60.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．四、解答題(10題)61.展開成x-1的冪級數，并指明收斂區(qū)間(不考慮端點)。

62.求微分方程y"-3y'+2y=0的通解。

63.

64.設65.66.設z=z(x，y)由方程e2-xy+y+z=0確定，求dz．

67.

68.求微分方程y"-y'-2y=ex的通解。

69.

70.

五、高等數學(0題)71.微分方程xdy—ydx=0的通解是________。

六、解答題(0題)72.設存在，求f(x)．

參考答案

1.C

2.B

3.A

4.A

5.D解析：

6.B由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)內單調增加。因此選B。

7.B由于f'(x)>0，可知f(x)在(0，1)內單調增加．因此選B．

8.D

9.A解析：

10.B本題考查的知識點為線性常系數微分方程解的結構．

11.D

12.B

13.C本題考查的知識點為定積分的對稱性．

14.B

15.C解析：

16.D解析：

17.D

18.A解析：

19.C

20.D解析：由極值的必要條件知D正確。

y=｜x｜在x=0處取得極值，但不可導，知A與C不正確。

y=x3在x=0處導數為0，但x0=0不為它的極值點，可知B不正確。因此選D。

21.本題考查的知識點為：求解可分離變量的微分方程．

由于y'=x，可知

22.1

23.

24.

解析：

25.

26.

27.(1+x)ex

28.

29.解析：

30.

31.+∞(發(fā)散)+∞(發(fā)散)

32.

33.34.本題考查的知識點為重要極限公式。

35.36.1/2

本題考查的知識點為計算二重積分．

其積分區(qū)域如圖1—1陰影區(qū)域所示．

可利用二重積分的幾何意義或將二重積分化為二次積分解之．

解法1

解法2化為先對y積分，后對x積分的二次積分．

作平行于y軸的直線與區(qū)域D相交，沿Y軸正向看，人口曲線為y＝x，作為積分下限；出口曲線為y＝1，作為積分上限，因此

x≤y≤1．

區(qū)域D在x軸上的投影最小值為x＝0，最大值為x＝1，因此

0≤x≤1．

可得知

解法3化為先對x積分，后對y積分的二次積分．

作平行于x軸的直線與區(qū)域D相交，沿x軸正向看，入口曲線為x＝0，作為積分下限；出口曲線為x＝y(tǒng)，作為積分上限，因此

0≤x≤y．

區(qū)域D在y軸上投影的最小值為y＝0，最大值為y＝1，因此

0≤y≤1．

可得知37.5．

本題考查的知識點為二元函數的偏導數．

解法1

解法2

38.

39.

40.e2

41.

列表：

說明

42.

43.

44.

45.由二重積分物理意義知

46.

47.

48.

49.

50.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

51.52.由等價無窮小量的定義可知

53.

54.

則

55.函數的定義域為

注意

56.由一階線性微分方程通解公式有

57.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％58.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

59.

60.

61.

62.y"-3y'+2y=0特征方程為r2-3r+2=0(r-1)(r-2)=0。特征根為r1=1r2=2。方程的通解為y=C1ex+C2e2x。y"-3y'+2y=0，特征方程為r2-3r+2=0，(r-1)(r-2)=0。特征根為r1=1，r2=2。方程的通解為y=C1ex+C2e2x。

63.

64.本題考查的知識點為參數方程形式的函數的求導．

只需依公式，先分別求出即可．

65.

66.

；本題考查的知識點為求二元隱函數的偏導數與全微分．

求二元隱函數的偏導數有兩種方法：

(1)利用隱函數偏導數公式：若F(x，y，z)=0確定z=z(x，y)，F(xiàn)'z≠0，則

67.

68.

69.

70.

71.∵xdy一ydx=0；即

∴l(xiāng)ny=Inx+lnc；y=cx∵xdy一ydx=0；即

∴l(xiāng)ny=Inx+