帶有約束條件的排列組合問(wèn)題

會(huì)計(jì)學(xué)1帶有約束條件的排列組合問(wèn)題在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？(1)任意選5人；一題多變(2)甲、乙、丙三人必須參加；(3)甲、乙、丙三人不能參加；第1頁(yè)/共70頁(yè)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加；一題多變第2頁(yè)/共70頁(yè)在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，某學(xué)校有12人通過(guò)了初試，學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn)，在下列條件下，有多少種不同的選法？(5)甲、乙、丙三人至少1人參加．一題多變第3頁(yè)/共70頁(yè)排列組合中的分組分配問(wèn)題一、提出分組與分配問(wèn)題，澄清模糊概念n個(gè)不同元素按照某些條件分配給k個(gè)不同得對(duì)象，稱為分配問(wèn)題，分定向分配和不定向分配兩種問(wèn)題；將n個(gè)不同元素按照某些條件分成k組，稱為分組問(wèn)題.分組問(wèn)題有不平均分組、平均分組、和部分平均分組三種情況。分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不區(qū)分的；而后者即使2組元素個(gè)數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌?，仍然是可區(qū)分的.對(duì)于后者必須先分組后排列。第4頁(yè)/共70頁(yè)二、基本的分組問(wèn)題

例1六本不同的書(shū)，分為三組，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？

(1)每組兩本.

(2)一組一本，一組二本，一組三本.

(3)一組四本，另外兩組各一本.第5頁(yè)/共70頁(yè)三、基本的分配的問(wèn)題(一)定向分配問(wèn)題例2六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)甲兩本、乙兩本、丙兩本.(2)甲一本、乙兩本、丙三本.(3)甲四本、乙一本、丙一本.第6頁(yè)/共70頁(yè)(二)不定向分配問(wèn)題例3六本不同的書(shū)，分給甲、乙、丙三人，求在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)每人兩本.(2)一人一本、一人兩本、一人三本.(3)一人四本、一人一本、一人一本.第7頁(yè)/共70頁(yè)在今年國(guó)家公務(wù)員錄用中，某市農(nóng)業(yè)局準(zhǔn)備錄用文秘人員二名、農(nóng)業(yè)企業(yè)管理人員和農(nóng)業(yè)法制管理人員各一名，報(bào)考農(nóng)業(yè)局公務(wù)人員的考生有10人，則可能出現(xiàn)的錄用情況有____種.解法1:解法2:第8頁(yè)/共70頁(yè)馬路上有編號(hào)為1，2，3，…，10的十盞路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中3盞燈關(guān)掉，但不可以同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩盞或三盞，在兩端的燈都不能關(guān)掉的情況下，有多少種不同的關(guān)燈方法？解：（插空法）本題等價(jià)于在7只亮著的路燈之間的6個(gè)空檔中插入3只熄掉的燈，故所求方法總數(shù)為種方法插空法第9頁(yè)/共70頁(yè)某城新建的一條道路上有12只路燈，為了節(jié)省用電而不影響正常的照明，可以熄滅其中三盞燈，但兩端的燈不能熄滅，也不能熄滅相鄰的兩盞燈，可以熄滅的方法共有（）（A）種（B）種（C）種（D）種A插空法第10頁(yè)/共70頁(yè)例4.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，再分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？

解：因?yàn)?0個(gè)名額沒(méi)有差別，把它們排成一排。相鄰名額之間形成９個(gè)空隙。在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有___________種分法。一班二班三班四班五班六班七班將n個(gè)相同的元素分成m份（n，m為正整數(shù)）,每份至少一個(gè)元素,可以用m-1塊隔板，插入n個(gè)元素排成一排的n-1個(gè)空隙中，所有分法數(shù)為隔板法第11頁(yè)/共70頁(yè)10個(gè)優(yōu)秀指標(biāo)分配給6個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)，共有多少種不同的分配方法？分析：（1）這是同種元素的“不平均分組”問(wèn)題.本小題可構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，用5個(gè)隔板插入10個(gè)指標(biāo)中的9個(gè)空隙，即有種方法。按照第一個(gè)隔板前的指標(biāo)數(shù)為1班的指標(biāo)，第一個(gè)隔板與第二個(gè)隔板之間的指標(biāo)數(shù)為2班的指標(biāo)，以此類(lèi)推，因此共有種分法.隔板法第12頁(yè)/共70頁(yè)例7、從6個(gè)學(xué)校中選出30名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,每校至少有1人,這樣有幾種選法?分析:問(wèn)題相當(dāng)于把個(gè)30相同球放入6個(gè)不同盒子(盒子不能空的)有幾種放法?這類(lèi)問(wèn)可用“隔板法”處理.解:采用“隔板法”得:隔板法第13頁(yè)/共70頁(yè)混合問(wèn)題，先“組”后“排”對(duì)某種產(chǎn)品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一進(jìn)行測(cè)試，至區(qū)分出所有次品為止，若所有次品恰好在第5次測(cè)試時(shí)全部發(fā)現(xiàn),則這樣的測(cè)試方法有種可能？解：由題意知前5次測(cè)試恰有4次測(cè)到次品，且第5次測(cè)試是次品。故有：種可能。次1正3次第14頁(yè)/共70頁(yè)練習(xí)：1、某學(xué)習(xí)小組有5個(gè)男生3個(gè)女生，從中選3名男生和1名女生參加三項(xiàng)競(jìng)賽活動(dòng)，每項(xiàng)活動(dòng)至少有1人參加，則有不同參賽方法______種.解：采用先組后排方法:2、3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢,每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士,不同的分配方法共有多少種?解法一：先組隊(duì)后分校（先分堆后分配）解法二：依次確定到第一、第二、第三所學(xué)校去的醫(yī)生和護(hù)士.混合問(wèn)題，先“組”后“排”第15頁(yè)/共70頁(yè)例3:

4名男生5名女生，一共9名實(shí)習(xí)生分配到高一的四個(gè)班級(jí)擔(dān)任見(jiàn)習(xí)班主任，每班至少有男、女實(shí)習(xí)生各1名的不同分配方案共有多少種？

解：由題意可知，有且僅有2名女生要分在同一個(gè)班，混合問(wèn)題，先“組”后“排”第16頁(yè)/共70頁(yè)例7、有翻譯人員11名，其中5名僅通英語(yǔ)、4名僅通法語(yǔ)，還有2名英、法語(yǔ)皆通。現(xiàn)欲從中選出8名，其中4名譯英語(yǔ)，另外4名譯法語(yǔ)，一共可列多少?gòu)埐煌拿麊?？多面手?wèn)題第17頁(yè)/共70頁(yè)例5.

有12名劃船運(yùn)動(dòng)員,其中3人只會(huì)劃左舷,4人只會(huì)劃右舷,其它5人既會(huì)劃左舷,又會(huì)劃右舷,現(xiàn)要從這12名運(yùn)動(dòng)員中選出6人平均分在左右舷參加劃船比賽,有多少種不同的選法?多面手問(wèn)題分析：設(shè)集合A={只會(huì)劃左舷的3個(gè)人}，B={只會(huì)劃右舷的4個(gè)人}，C={既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷的5個(gè)人}先分類(lèi)，以集合A為基準(zhǔn)，劃左舷的3個(gè)人中，有以下幾類(lèi)情況：①A中有3人；②A中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。第①類(lèi)，劃左舷的人已選定，劃右舷的人可以在B,C中選3人，有種,以下類(lèi)同第18頁(yè)/共70頁(yè)例8、10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（1）4只鞋子恰有兩雙；(1)因?yàn)?只鞋來(lái)自2雙鞋,所以有組對(duì)問(wèn)題第19頁(yè)/共70頁(yè)例8、10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（2）4只鞋子沒(méi)有成雙的；(2)因?yàn)?只鞋來(lái)自4雙不同的鞋,而從10雙鞋中取4雙有種方法,每雙鞋中可取左邊一只也可取右邊一只,各有種取法,所以一共有種取法.第20頁(yè)/共70頁(yè)例8、10雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（3）4只鞋子只有一雙。(3)因?yàn)?只鞋來(lái)自3雙鞋,而從10雙鞋中取3雙有種取法,3雙鞋中取出1雙有種方法,另2雙鞋中各取1只有種方法故共有種取法.第21頁(yè)/共70頁(yè)8雙互不相同的鞋子混裝在一只口袋中，從中任意取出4只，試求滿足如下條件各有多少種情況：（1）4只鞋子恰有兩雙；（2）4只鞋子沒(méi)有成雙的；（3）4只鞋子只有一雙。第22頁(yè)/共70頁(yè)注意區(qū)別“恰好”與“至少”例2

從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（）

(A)480種（B）240種（C）180種（D）120種小結(jié)：“恰好有一個(gè)”是“只有一個(gè)”的意思。“至少有一個(gè)”則是“有一個(gè)或一個(gè)以上”，可用分類(lèi)討論法求解，它也是“沒(méi)有一個(gè)”的反面，故可用“排除法”。解：第23頁(yè)/共70頁(yè)練習(xí):從6雙不同顏色的手套中任取4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有____種解：第24頁(yè)/共70頁(yè)第25頁(yè)/共70頁(yè)把握分類(lèi)原理、分步原理是基礎(chǔ)例1、如圖，某電子器件是由三個(gè)電阻組成的回路,其中有6個(gè)焊接點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，如果某個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就會(huì)不通?，F(xiàn)發(fā)現(xiàn)電路不通了,那么焊接點(diǎn)脫落的可能性共有（）

(A)63種（B）64種（C）6種（D）36種分析:由加法原理可知由乘法原理可知2×2×2×2×2×2-1=63第26頁(yè)/共70頁(yè)特殊元素（或位置）優(yōu)先安排例3將5列車(chē)停在5條不同的軌道上，其中a列車(chē)不停在第一軌道上，b列車(chē)不停在第二軌道上，那么不同的停放方法有（）（A）120種（B）96種（C）78種（D）72種解：練習(xí)3從7盆不同的盆花中選出5盆擺放在主席臺(tái)前，其中有兩盆花不宜擺放在正中間，則一共有_____種不同的擺放方法。解：C第27頁(yè)/共70頁(yè)“相鄰”用“捆綁”，“不鄰”就“插空”例4七人排成一排，甲、乙兩人必須相鄰，且甲、乙都不與丙相鄰，則不同的排法有（）種960種（B）840種（C）720種（D）600種解：另解：小結(jié)：以元素相鄰為附加條件的應(yīng)把相鄰元素視為一個(gè)整體，即采用“捆綁法”；以某些元素不能相鄰為附加條件的,可采用“插空法”?！安蹇铡庇型瑫r(shí)“插空”和有逐一“插空”,并要注意條件的限定.第28頁(yè)/共70頁(yè)8.九張卡片分別寫(xiě)著數(shù)字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個(gè)三位數(shù)，如果6可以當(dāng)作9使用，問(wèn)可以組成多少個(gè)三位數(shù)？解：可以分為兩類(lèi)情況：①若取出6，則有種方法；②若不取6，則有種方法，一共有+＝602種方法課堂練習(xí)：第29頁(yè)/共70頁(yè)例6：（1）平面內(nèi)有9個(gè)點(diǎn)，其中4個(gè)點(diǎn)在一條直線上，此外沒(méi)有3個(gè)點(diǎn)在一條直線上，過(guò)這9個(gè)點(diǎn)可確定多少條直線？可以作多少個(gè)三角形？（2）空間12個(gè)點(diǎn)，其中5個(gè)點(diǎn)共面，此外無(wú)任何4個(gè)點(diǎn)共面，這12個(gè)點(diǎn)可確定多少個(gè)不同的平面？第30頁(yè)/共70頁(yè)例8、某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)要派5人參加支邊醫(yī)療隊(duì)，至少要有1名內(nèi)科醫(yī)生和1名外科醫(yī)生參加，有多少種選法？例9:某外語(yǔ)組有9人,每人至少會(huì)英語(yǔ)和日語(yǔ)中的一門(mén),其中7人會(huì)英語(yǔ),3人會(huì)日語(yǔ),從中選出會(huì)英語(yǔ)與日語(yǔ)的各1人,有多少種不同的選法？解：由于7＋3=10＞9，所以9人中必有1人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)．(1)從只會(huì)英語(yǔ)的6人中選1人，只會(huì)日語(yǔ)的2人中選1人，有N1=6×2=12(2)既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)的那位選定，其余8人中選1人，有N2=1×8=8由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得N=N1+N2=20.選人問(wèn)題：第31頁(yè)/共70頁(yè)課堂練習(xí)：2、從6位同學(xué)中選出4位參加一個(gè)座談會(huì)，要求張、王兩人中至多有一個(gè)人參加，則有不同的選法種數(shù)為

。3、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選5人組成一個(gè)醫(yī)療隊(duì)，如果其中至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則不同的選法種數(shù)為（）4、從7人中選出3人分別擔(dān)任學(xué)習(xí)委員、宣傳委員、體育委員，則甲、乙兩人不都入選的不同選法種數(shù)共有（）1、把6個(gè)學(xué)生分到一個(gè)工廠的三個(gè)車(chē)間實(shí)習(xí)，每個(gè)車(chē)間2人，若甲必須分到一車(chē)間，乙和丙不能分到二車(chē)間，則不同的分法有

種。99CD第32頁(yè)/共70頁(yè)如圖，某城市中，M、N兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿途中路線前進(jìn)，則從M到N不同的走法共有（）

（A）25（B）15（C）13（D）10總共需6步到達(dá)，其中2步向北或者4步向東或B第33頁(yè)/共70頁(yè)5、如圖,某市有7條南北向街道，5條東西向街道（每小方格均為正方形）（1）其中有多少個(gè)矩形？（2）其中有多少個(gè)正方形？（3）從A點(diǎn)到B點(diǎn)最短路線的走法有多少種？首先，只由一個(gè)小正方形組成的有7*4

由2*2小正方形組成的有6*3

由3*3小正方形組成的有5*2

由4*4小正方形組成的有4*1

所以7*4＋6*3＋5*2＋4*1=60第34頁(yè)/共70頁(yè)(1)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)四面體？(2)以正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以確定多少個(gè)四棱錐？第35頁(yè)/共70頁(yè)排列與組合應(yīng)用題的技巧匯總在解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，常常遇到排列、組合的綜合性問(wèn)題．而解決問(wèn)題的第一步是審題，只有認(rèn)真審題，才能把握問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，分清是排列問(wèn)題、組合問(wèn)題，還是綜合問(wèn)題，分清分類(lèi)與分步的標(biāo)準(zhǔn)和方式，并且要遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)；二是按事情發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分步．第36頁(yè)/共70頁(yè)解決排列組合應(yīng)用題的常用方法：(1)合理分類(lèi)，準(zhǔn)確分步；(2)特殊優(yōu)先，一般在后；(3)先取后排，間接排除；(4)集團(tuán)捆綁，間隔插空；(5)抽象問(wèn)題，構(gòu)造模型；(6)均分除序，定序除序．第37頁(yè)/共70頁(yè)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字2,3相鄰的偶數(shù)有________個(gè)．(用數(shù)字作答)例1【解析】

數(shù)字2和3相鄰的偶數(shù)有兩種情況．第一種情況，當(dāng)數(shù)字2在個(gè)位上時(shí)，則3必定在十位上，此時(shí)這樣的五位數(shù)共有6個(gè)；第二種情況，當(dāng)數(shù)字4在個(gè)位上時(shí)，且2,3必須相鄰，此時(shí)滿足要求的五位數(shù)有AA＝12(個(gè))，則一共有6＋12＝18(個(gè))．【答案】

18【題后小結(jié)】

“個(gè)位”是特殊位置或“偶數(shù)數(shù)字”是特殊元素，應(yīng)優(yōu)先考慮．第38頁(yè)/共70頁(yè)從1,3,5,7,9五個(gè)數(shù)字中選2個(gè)，0,2,4,6,8五個(gè)數(shù)字中選3個(gè)，能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？例2【題后小結(jié)】對(duì)于組合、排列的綜合問(wèn)題，一般采取先取元素后排列的方法．第39頁(yè)/共70頁(yè)某校高二年級(jí)共有六個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排2名，則不同的安排方案種數(shù)為(

)A．80B．90C．100D．120例3【答案】

B【題后小結(jié)】本題是平均分組再分配問(wèn)題．平均分組是組合數(shù)除以“組數(shù)”的排列數(shù)，分配就是排列．第40頁(yè)/共70頁(yè)2521440302402880

1.

2.第41頁(yè)/共70頁(yè)例5．（1）四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中，一共有多少種不同的放法？解：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理：一共有種方法；（2）（捆綁法）第一步：從四個(gè)不同的小球中任取兩個(gè)“捆綁”在一起看成一個(gè)元素有種方法；第二步：從四個(gè)不同的盒中任取三個(gè)將球放入有種方法，所以，一共有＝144種方法（2）四個(gè)不同的小球放入四個(gè)不同的盒中且恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？第42頁(yè)/共70頁(yè)①分為三組，一組5人，一組4人，一組3人；②分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人；③分為甲、乙、丙三組，一組5人，一組4人，一組3人；④分為甲、乙、丙三組，每組4人；⑤分為三組，每組4人。例1：12人按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)。答案①C125.C74.C33②C125.C74.C33③C125.C74.C33.A33④C124.C84.C44⑥分成三組，其中一組2人，另外兩組都是5人。⑥C122.C105.C55A22⑤C124.C84.C44A33第43頁(yè)/共70頁(yè)1.高二要從全級(jí)10名獨(dú)唱選手中選出6名在歌詠會(huì)上表演，出場(chǎng)安排甲，乙兩人都不唱中間兩位的安排方法有多少種？練習(xí)：第44頁(yè)/共70頁(yè)

例1：5個(gè)不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。①a,e必須排在首位或末位，有多少種排法？一題多變

解：①（解題思路）分兩步完成，把a(bǔ),e排在首末兩端有A22種，再把其余3個(gè)元素排在中間3個(gè)位置有A33種。由乘法共有A22.A33=12(種)排法。優(yōu)先法第45頁(yè)/共70頁(yè)

例1：5個(gè)不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。②a,e既不在首位也不在末位，有多少種排法？一題多變

解：②先從b,c,d三個(gè)選其中兩個(gè)排在首末兩位，有A32種，然后把剩下的一個(gè)與a,e排在中間三個(gè)位置有A33種，由乘法原理:

共有A32.A33=36種排列.間接法：

A55-4A44+2A33（種）排法。第46頁(yè)/共70頁(yè)

例1：5個(gè)不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。③a,e排在一起多少種排法？一題多變

解：③捆綁法：a,e排在一起，可以將a,e看成一個(gè)整體,作為一個(gè)元素與其它3個(gè)元素全排列，有A44種；a,e兩個(gè)元素的全排列數(shù)為A22種，由乘法原理共有A44.A22(種)排列。第47頁(yè)/共70頁(yè)

例1：5個(gè)不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。④a,e不相鄰有多少種排法？一題多變

解：④排除法：即用5個(gè)元素的全排列數(shù)A55，扣除a,e排在一起排列數(shù)A44.A22，則a,e不相鄰的排列總數(shù)為A55-A44.A22（種）插空法：即把a(bǔ),e以外的三個(gè)元素全排列有A33種，再把a(bǔ),e插入三個(gè)元素排定后形成的4個(gè)空位上有A42種，由乘法原理共有A33.A42

(種)第48頁(yè)/共70頁(yè)

例1：5個(gè)不同的元素a,b,c,d,e每次取全排列。⑤a在e的左邊（可不相鄰）有多少種排法？一題多變

解:

⑤a在e的左邊(可不相鄰)，這表明a,e只有一種順序，但a,e間的排列數(shù)為A22，所以，可把5個(gè)元素全排列得排列數(shù)A55，然后再除以a,e的排列數(shù)A22。所以共有排列總數(shù)為A55/A22（種）

注意：若是3個(gè)元素按一定順序，則必須除以排列數(shù)P33。第49頁(yè)/共70頁(yè)

例2：已知集合A={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，求含有5個(gè)元素，且其中至少有兩個(gè)是偶數(shù)的子集的個(gè)數(shù)。解法1：5個(gè)元素中至少有兩個(gè)是偶數(shù)可分成三類(lèi)：①2個(gè)偶數(shù)，3個(gè)奇數(shù)；②3個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)；③4個(gè)偶數(shù)，1個(gè)奇數(shù)。所以共有子集個(gè)數(shù)為

C42.C53+C43.C52+C44.C51=105解法2：從反面考慮，全部子集個(gè)數(shù)為P95，而不符合條件的有兩類(lèi)：①5個(gè)都是奇數(shù)；②4個(gè)奇數(shù)，1個(gè)偶數(shù)。所以共有子集個(gè)數(shù)為C95-C55-C54.C41=105第50頁(yè)/共70頁(yè)（三）排列組合混合問(wèn)題：

例3：從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中，選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)分別承擔(dān)A，B，C，D，E5項(xiàng)工作。一共有多少種分配方案。

解1：分三步完成，1.選3名男同學(xué)有C63種，2.選2名女同學(xué)有C42種，3.對(duì)選出的5人分配5種不同的工作有A55種，根據(jù)乘法原理C63.C42.A55=14400(種).第51頁(yè)/共70頁(yè)

例3：從6名男同學(xué)和4名女同學(xué)中，選出3名男同學(xué)和2名女同學(xué)分別承擔(dān)A，B，C，D，E5項(xiàng)工作。一共有多少種分配方案。

解2：把工作當(dāng)作元素，同學(xué)看作位置，1.從5種工作中任選3種（組合問(wèn)題）分給6個(gè)男同學(xué)中的3人（排列問(wèn)題）有C53.A63種,第二步,將余下的2個(gè)工作分給4個(gè)女同學(xué)中的2人有A42種.根據(jù)乘法原理共有C53.A63.A42=14400(種).

亦可先分配給女同學(xué)工作,再給男同學(xué)分配工作,分配方案有C52.A42.A63=14400(種).第52頁(yè)/共70頁(yè)例4.九張卡片分別寫(xiě)著數(shù)字0，1，2，…，8，從中取出三張排成一排組成一個(gè)三位數(shù)，如果6可以當(dāng)作9使用，問(wèn)可以組成多少個(gè)三位數(shù)？解：可以分為兩類(lèi)情況：①若取出6，則有種方法；②若不取6，則有種方法，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，一共有+＝602種方法第53頁(yè)/共70頁(yè)典型例題

1.4名優(yōu)等生被保送到3所學(xué)校，每所學(xué)校至少得1名，則不同的保送方案總數(shù)為（）。（A)36(B)24(C)12(D)62.若把英語(yǔ)單詞“error”中字母的拼寫(xiě)順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的種數(shù)是（）（A)20(B)19(C)10(D)69

3.小于50000且含有兩個(gè)5，而其它數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù)有（）個(gè)。（A)(B)(C)(D)

ABB第54頁(yè)/共70頁(yè)練習(xí)

3.15人按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)。(1)分為三組，每組5人,共有______________種不同的分法。（2）分為甲、乙、丙三組，一組7人，另兩組各4人，共有___________________種不同的分法。（3）分為甲、乙、丙三組，一組6人，一組5人，一組4人，共有___________________種不同的分法。4.8名同學(xué)選出4名站成一排照相，其中甲、乙兩人都不站中間兩位的排法有______________________種。

5.某班有27名男生13女生，要各選3人組成班委會(huì)和團(tuán)支部每隊(duì)3人，3人中2男1女，共有_____________________種不同的選法。第55頁(yè)/共70頁(yè)1.(2011·大綱全國(guó)卷)某同學(xué)有同樣的畫(huà)冊(cè)2本，同樣的集郵冊(cè)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈(zèng)送方法共有(

)A．4種B．10種C．18種 D．20種練習(xí):解析：

分兩種情況：①選2本畫(huà)冊(cè)，2本集郵冊(cè)送給4位朋友有種方法；②選1本畫(huà)冊(cè)，3本集郵冊(cè)送給4位朋友有種方法，所以不同的贈(zèng)送方法共有6＋4＝10(種)，故選B.第56頁(yè)/共70頁(yè)[解題過(guò)程]

需分兩步：第1步，根據(jù)經(jīng)紀(jì)人的推薦在12種股票中選8種，共有C128種選法；第2步，根據(jù)經(jīng)紀(jì)人的推薦在7種債券中選4種，共有C74種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，此人有C128·C74＝17325種不同的投資方式．2.某人決定投資于8種股票和4種債券，經(jīng)紀(jì)人向他推薦了12種股票和7種債券．問(wèn)：此人有多少種不同的投資方式？第57頁(yè)/共70頁(yè)例4.(2011·北京高考)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)解析：

數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成C41＝4(個(gè))四位數(shù)．“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成C42＝6(個(gè))四位數(shù)．“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成C43＝4(個(gè))四位數(shù)．綜上所述，共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù)．答案：

14第58頁(yè)/共70頁(yè)

例5.“抗震救災(zāi)，眾志成城”，在我國(guó)甘肅舟曲的抗震救災(zāi)中，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專(zhuān)家中抽調(diào)6名奔赴某災(zāi)區(qū)救災(zāi)，其中這10名醫(yī)療專(zhuān)家中有4名是外科專(zhuān)家．問(wèn)：(1)抽調(diào)的6名專(zhuān)家中恰有2名是外科專(zhuān)家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名外科專(zhuān)家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名外科專(zhuān)家的抽調(diào)方法有多少種？[規(guī)范解答]

(1)分步：首先從4名外科專(zhuān)家中任選2名，有種選法，再?gòu)某饪茖?zhuān)家的6人中選取4人，有種選法，所以共有種抽調(diào)方法.第59頁(yè)/共70頁(yè)(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法，方法一(直接法)：按選取的外科專(zhuān)家的人數(shù)分類(lèi)：①選2名外科專(zhuān)家，共有C42·C64種選法；②選3名外科專(zhuān)家，共有C43·C63種選法；③選4名外科專(zhuān)家，共有C44·C62種選法；根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理，共有C42·C64＋C43·C63＋C44·C62＝185種抽調(diào)方法.方法二(間接法)：不考慮是否有外科專(zhuān)家，共有種選法，考慮選取1名外科專(zhuān)家參加，有種選法；沒(méi)有外科專(zhuān)家參加，有種選法，所以共有：種抽調(diào)方法.第60頁(yè)/共70頁(yè)(3)“至多2名”包括“沒(méi)有”、“有1名”、“有2名”三種情況，分類(lèi)解答．①?zèng)]有外科專(zhuān)家參加，有C66種選法；②有1名外科專(zhuān)家參加，有C41·C65種選法；③有2名外科專(zhuān)家參加，有C42·C64種選法.所以共有C66＋C41·C65＋C42·C64＝115種抽調(diào)方法.第61頁(yè)/共70頁(yè)[題后感悟]解答有限制條件的組合問(wèn)題的基本方法：第62頁(yè)/共70頁(yè)某市工商局對(duì)35種商品進(jìn)行抽樣檢查，鑒定結(jié)果有15種假貨，現(xiàn)從35種商品中