2014年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(含解析版)

2014年全國一致高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）一、選擇題（共12小題，每題5分）．（分）已知會集A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，則A∩B=（）15A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]2．（5分）=（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i3．（5分）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）A．f（x）?g（x）是偶函數(shù)B．|f（x）|?g（x）是奇函數(shù)C．f（x）?|g（x）|是奇函數(shù)D．|f（x）?g（x）|是奇函數(shù)4．（5分）已知F為雙曲線C：x2﹣my2（m＞）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條=3m0漸近線的距離為（）A．B．3C．mD．3m5．（5分）4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為（）A．B．C．D．6．（5分）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大體為（）A．B．第1頁（共26頁）C．D．7．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a，b，k分別為1，2，3，則輸出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）設(shè)α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，則（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）不等式組的解集記為D，有以下四個(gè)命題：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1此中真命題是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若=4，則|QF|=（）A．B．3C．D．2．（分）已知函數(shù)f（）3﹣3x2+1，若f（x）存在獨(dú)一的零點(diǎn)x0，且x0＞，則實(shí)115x=ax0第2頁（共26頁）數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）12．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）A．6B．6C．4D．4二、填空題（共4小題，每題5分）．（分）（x﹣y）（x+y）8的睜開式中x27的系數(shù)為．（用數(shù)字填寫答案）135y14．（5分）甲、乙、丙三位同學(xué)被問到能否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市；由此可判斷乙去過的城市為．15．（5分）已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若=（+），則與的夾角為．16．（5分）已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，則△ABC面積的最大值為．三、解答題17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，此中λ為常數(shù)．（Ⅰ）證明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）能否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明原由．第3頁（共26頁）18．（12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，丈量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由丈量結(jié)果得以下頻率分布直方圖：（Ⅰ）求這500件產(chǎn)質(zhì)量量指標(biāo)值的樣本均勻數(shù)和樣本方差s2（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅱ）由直方圖可以以為，這類產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值2Z遵從正態(tài)分布N（μ，σ），此中μ22近似為樣本均勻數(shù)，σ近似為樣本方差s．i）利用該正態(tài)分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這類產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結(jié)果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）證明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)第4頁（共26頁）是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E訂交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處得切線方程為y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）證明：f（x）＞1．選修4-1：幾何證明選講22．（10分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點(diǎn)E，且CB=CE．（Ⅰ）證明：∠D=∠E；（Ⅱ）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程23．已知曲線C：+=1，直線l：（t為參數(shù)）（Ⅰ）寫出曲線C的參數(shù)方程，直線l的一般方程．（Ⅱ）過曲線C上任意一點(diǎn)P作與l夾角為30°的直線，交l于點(diǎn)A，求|PA|的最大值與最小值．選修4-5：不等式選講第5頁（共26頁）24．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）能否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明原由．第6頁（共26頁）2014年全國一致高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅰ）參照答案與試題分析一、選擇題（共12小題，每題5分）．（分）已知會集A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，則A∩B=（）15A．[1，2）B．[﹣1，1]C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】5J：會集．【分析】求出A中不等式的解集確立出A，找出A與B的交集即可．【解答】解：由A中不等式變形得：（x﹣3）（x+1）≥0，解得：x≥3或x≤﹣1，即A=（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），B=[﹣2，2），A∩B=[﹣2，﹣1]．應(yīng)選：D．【評論】此題觀察了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解此題的要點(diǎn)．2．（5分）=（）A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】5N：數(shù)系的擴(kuò)大和復(fù)數(shù)．【分析】由條件利用兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，計(jì)算求得結(jié)果．【解答】解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，應(yīng)選：D．【評論】此題主要觀察兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．第7頁（共26頁）3．（5分）設(shè)函數(shù)f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是（）A．f（x）?g（x）是偶函數(shù)B．|f（x）|?g（x）是奇函數(shù)C．f（x）?|g（x）|是奇函數(shù)D．|f（x）?g（x）|是奇函數(shù)【考點(diǎn)】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．【專題】51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】依據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)即可獲得結(jié)論．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）=﹣f（x），g（﹣x）=g（x），f（﹣x）?g（﹣x）=﹣f（x）?g（x），故函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤，|f（﹣x）|?g（﹣x）=|f（x）|?g（x）為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，f（﹣x）?|g（﹣x）|=﹣f（x）?|g（x）|是奇函數(shù)，故C正確．|f（﹣x）?g（﹣x）|=|f（x）?g（x）|為偶函數(shù)，故D錯(cuò)誤，應(yīng)選：C．【評論】此題主要觀察函數(shù)奇偶性的判斷，依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決此題的要點(diǎn)．4．（5分）已知F為雙曲線C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為（）A．B．3C．mD．3m【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，一條漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式，可得結(jié)論．【解答】解：雙曲線C：x2﹣my2（＞）可化為，=3mm0∴一個(gè)焦點(diǎn)為（，0），一條漸近線方程為=0，∴點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為=．應(yīng)選：A．【評論】此題觀察雙曲線的方程與性質(zhì)，觀察點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．第8頁（共26頁）24=16種5．（5分）4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為（）A．B．C．D．【考點(diǎn)】C6：等可能事件和等可能事件的概率．【專題】11：計(jì)算題；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】求得4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動、周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的狀況，利用古典概型概率公式求解即可．【解答】解：4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，共有狀況，周六、周日都有同學(xué)參加公益活動，共有24﹣2=16﹣2=14種狀況，∴所求概率為=．應(yīng)選：D．【評論】此題觀察古典概型，是一個(gè)古典概型與擺列組合聯(lián)合的問題，解題時(shí)先要判斷該概率模型能否是古典概型，再要找出隨機(jī)事件A包括的基本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本領(lǐng)件的總數(shù)．6．（5分）如圖，圓O的半徑為1，A是圓上的定點(diǎn)，P是圓上的動點(diǎn)，角x的始邊為射線OA，終邊為射線OP，過點(diǎn)P作直線OA的垂線，垂足為M，將點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x），則y=f（x）在[0，π]的圖象大體為（）A．B．第9頁（共26頁）C．D．【考點(diǎn)】3P：抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】在直角三角形OMP中，求出OM，注意長度、距離為正，再依據(jù)直角三角形的銳角三角函數(shù)的定義即可獲得f（x）的表達(dá)式，而后化簡，分析周期和最值，結(jié)合圖象正確選擇．【解答】解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，則OM=|cosx|，∴點(diǎn)M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f（x）=OM|sinx|=|cosx|?|sinx|=|sin2x|，其周期為T=，最大值為，最小值為0，應(yīng)選：C．【評論】此題主要觀察三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的要點(diǎn)，同時(shí)觀察二倍角公式的運(yùn)用．7．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a，b，k分別為1，2，3，則輸出的M=（）第10頁（共26頁）A．B．C．D．【考點(diǎn)】EF：程序框圖．【專題】5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】依據(jù)框圖的流程模擬運(yùn)轉(zhuǎn)程序，直到不滿足條件，計(jì)算輸出M的值．【解答】解：由程序框圖知：第一次循環(huán)M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循環(huán)M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循環(huán)M=+=，a=，b=，n=4．不滿足條件n≤3，跳出循環(huán)體，輸出M=．應(yīng)選：D．【評論】此題觀察了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依據(jù)框圖的流程模擬運(yùn)轉(zhuǎn)程序是解答此類問題的常用方法．8．（5分）設(shè)α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，則（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=【考點(diǎn)】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．【專題】56：三角函數(shù)的求值．【分析】化切為弦，整理后獲得sin（α﹣β）=cosα，由該等式左右兩邊角的關(guān)系可排除選項(xiàng)A，B，而后考據(jù)C滿足等式sin（α﹣β）=cosα，則答案可求．【解答】解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosα+cossinβα，sin（α﹣β）=cosα=sin（），∵α∈（0，），β∈（0，），∴當(dāng)時(shí)，sin（α﹣β）=sin（）=cosα建立．應(yīng)選：C．第11頁（共26頁）【評論】此題觀察三角函數(shù)的化簡求值，訓(xùn)練了利用消除法及考據(jù)法求解選擇題，是基礎(chǔ)題．9．（5分）不等式組的解集記為D，有以下四個(gè)命題：p1：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2p2：?（x，y）∈D，x+2y≥2p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1此中真命題是（）A．p，p3B．p，pC．p，p2D．p，p214113【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；7A：二元一次不等式的幾何意義．【專題】59：不等式的解法及應(yīng)用；5L：簡單邏輯．【分析】作出不等式組的表示的地域D，對四個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可．【解答】解：作出圖形以下：由圖知，地域D為直線x+y=1與x﹣2y=4訂交的上部角型地域，p1：地域D在x+2y≥﹣2地域的上方，故：?（x，y）∈D，x+2y≥﹣2建立；p2：在直線x+2y=2的右上方和地域D重疊的地域內(nèi)，?（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：（x，y）∈D，x+2y≥2正確；p3：由圖知，地域D有部分在直線x+2y=3的上方，所以p3：?（x，y）∈D，x+2y≤3錯(cuò)誤；p4：x+2y≤﹣1的地域（左下方的虛線地域）恒在地域D下方，故p4：?（x，y）∈D，x+2y≤﹣1錯(cuò)誤；綜上所述，p1、p2正確；第12頁（共26頁）應(yīng)選：C．【評論】此題觀察命題的真假判斷與應(yīng)用，側(cè)重觀察作圖能力，熟練作圖，正確分析是要點(diǎn)，屬于難題．10．（5分）已知拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若=4，則|QF|=（）A．B．3C．D．2【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求得直線PF的方程，與y2=8x聯(lián)立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：設(shè)Q到l的距離為d，則|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不如設(shè)直線PF的斜率為﹣=﹣2，∵F（2，0），∴直線PF的方程為y=﹣2（x﹣2），與y2=8x聯(lián)立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，應(yīng)選：B．【評論】此題觀察拋物線的簡單性質(zhì)，觀察直線與拋物線的地點(diǎn)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．3﹣3x2+1，若f（x）存在獨(dú)一的零點(diǎn)x0，且x0＞，則實(shí)11．（5分）已知函數(shù)f（x）=ax0數(shù)a的取值范圍是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考點(diǎn)】53：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【專題】11：計(jì)算題；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】由題意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分類談?wù)摯_立函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)及地點(diǎn)即可．第13頁（共26頁）【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣3x2+1有兩個(gè)零點(diǎn)，不行立；②當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零點(diǎn)，故不行立；③當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上沒有零點(diǎn)；而當(dāng)x=時(shí)，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上獲得最小值；故f（）=﹣3?+1＞0；故a＜﹣2；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，﹣2）；應(yīng)選：D．【評論】此題觀察了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類談?wù)摰乃枷霊?yīng)用，同時(shí)觀察了函數(shù)的零點(diǎn)的判斷的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為（）A．6B．6C．4D．4【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【專題】5F：空間地點(diǎn)關(guān)系與距離．【分析】畫出圖形，聯(lián)合三視圖的數(shù)據(jù)求出棱長，推出結(jié)果即可．【解答】解：幾何體的直觀圖如圖：AB=4，BD=4，C到BD的中點(diǎn)的距離為：4，第14頁（共26頁）∴．AC==6，AD=4，明顯AC最長．長為6．應(yīng)選：B．【評論】此題觀察三視圖求解幾何體的棱長，觀察計(jì)算能力．二、填空題（共4小題，每題5分）13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的睜開式中x2y7的系數(shù)為﹣20．（用數(shù)字填寫答案）【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理．【專題】11：計(jì)算題；5P：二項(xiàng)式定理．【分析】由題意挨次求出（x+y）8中xy7，x2y6，項(xiàng)的系數(shù)，乞降即可．【解答】解：（x+y）8的睜開式中，含xy7的系數(shù)是：8．含x2y6的系數(shù)是28，∴（x﹣y）（x+y）8的睜開式中x2y7的系數(shù)為：8﹣28=﹣20．故答案為：﹣20【評論】此題觀察二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，觀察計(jì)算能力．14．（5分）甲、乙、丙三位同學(xué)被問到能否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市；由此可判斷乙去過的城市為A．【考點(diǎn)】F4：進(jìn)行簡單的合情推理．【專題】5M：推理和證明．【分析】可先由乙推出，可能去過A城市或B城市，再由甲推出只好是A，B中的一個(gè)，再由丙即可推出結(jié)論．第15頁（共26頁）【解答】解：由乙說：我沒去過C城市，則乙可能去過A城市或B城市，但甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市，則乙只好是去過A，B中的任一個(gè)，再由丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市，則由此可判斷乙去過的城市為A．故答案為：A．【評論】此題主要觀察簡單的合情推理，要抓住要點(diǎn)，逐漸推測，是一道基礎(chǔ)題．15．（5分）已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若=（+），則與的夾角為90°．【考點(diǎn)】9S：數(shù)目積表示兩個(gè)向量的夾角．【專題】5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】依據(jù)向量之間的關(guān)系，利用圓直徑的性質(zhì)，即可獲得結(jié)論．【解答】解：在圓中若=（+），即2=+，即+的和向量是過A，O的直徑，則以AB，AC為鄰邊的四邊形是矩形，則⊥，即與的夾角為90°，故答案為：90°【評論】此題主要觀察平面向量的夾角的計(jì)算，利用圓直徑的性質(zhì)是解決此題的要點(diǎn)，比較基礎(chǔ)．16．（5分）已知a，b，c分別為△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，a=2且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，則△ABC面積的最大值為．【考點(diǎn)】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)變思想；48：分析法；58：解三角形．【分析】由正弦定理化簡已知可得2a﹣b2=c2﹣bc，聯(lián)合余弦定理可求A的值，由基本不等式可求bc≤4，再利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．第16頁（共26頁）【解答】解：由于：（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c2a﹣2b+ab﹣b2=c2﹣bc，又由于：a=2，所以：，△ABC面積，而b2+c2﹣a2=bc?b2+c2﹣bc=a2b2+c2﹣bc=4bc≤4所以：，即△ABC面積的最大值為．故答案為：．【評論】此題主要觀察了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，觀察了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)變思想，屬于中檔題．三、解答題17．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，此中λ為常數(shù)．（Ⅰ）證明：an+2﹣an=λ（Ⅱ）能否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明原由．【考點(diǎn)】83：等差數(shù)列的性質(zhì)；8H：數(shù)列遞推式．【專題】54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（Ⅰ）利用anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，相減即可得出；（Ⅱ）假設(shè)存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d．可得λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣n），．獲得λSn，依據(jù)n為等差數(shù)列a=2d={a}的充要條件是，解得λ即可．【解答】（Ⅰ）證明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，第17頁（共26頁）an+1（an+2﹣an）=λan+1an+1≠0，∴an+2﹣an=λ．（Ⅱ）解：假設(shè)存在λ，使得{an}為等差數(shù)列，設(shè)公差為d．則λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d，∴．∴，，∴λS=，n=1+依據(jù){an}為等差數(shù)列的充要條件是，解得λ．=4此時(shí)可得，an﹣．=2n1所以存在λ=4，使得{an}為等差數(shù)列．【評論】此題觀察了遞推式的意義、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、等差數(shù)列的充要條件等基礎(chǔ)知識與基本技術(shù)方法，觀察了推理能力和計(jì)算能力、分類談?wù)摰乃枷敕椒ǎ瑢儆陔y題．18．（12分）從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，丈量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由丈量結(jié)果得以下頻率分布直方圖：（Ⅰ）求這500件產(chǎn)質(zhì)量量指標(biāo)值的樣本均勻數(shù)和樣本方差s2（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（Ⅱ）由直方圖可以以為，這類產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值2Z遵從正態(tài)分布N（μ，σ），此中μ第18頁（共26頁）近似為樣本均勻數(shù)，σ2近似為樣本方差s2．i）利用該正態(tài)分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這類產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的產(chǎn)品件數(shù)，利用（i）的結(jié)果，求EX．附：≈12.2．若Z～N（μ，σ2）則P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考點(diǎn)】CH：失散型隨機(jī)變量的希望與方差；CP：正態(tài)分布曲線的特色及曲線所表示的意義．【專題】11：計(jì)算題；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（Ⅰ）運(yùn)用失散型隨機(jī)變量的希望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意運(yùn)用所給數(shù)據(jù)；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），運(yùn)用EX=np即可求得．【解答】解：（Ⅰ）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本均勻數(shù)和樣本方差s2分別為：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），從而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間（187.8，212.2）的概率為0.6826，依題意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．【評論】此題主要觀察失散型隨機(jī)變量的希望和方差，以及正態(tài)分布的特色及概率求解，觀察運(yùn)算能力．19．（12分）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）證明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．第19頁（共26頁）【考點(diǎn)】M7：空間向量的夾角與距離求解公式；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】5H：空間向量及應(yīng)用．【分析】（1）連接BC1，交B1C于點(diǎn)O，連接AO，可證B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，從而可得AC=AB1；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，||為單位長度，的方向?yàn)閥軸的正方向，的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）連接BC1，交B1C于點(diǎn)O，連接AO，∵側(cè)面BB1C1C為菱形，BC1⊥B1C，且O為BC1和B1C的中點(diǎn)，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，2）∵AC⊥AB1，且O為B1C的中點(diǎn)，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，||為單位長度，的方向?yàn)閥軸的正方向，的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1為正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），設(shè)向量=（x，y，z）是平面AA11的法向量，B第20頁（共26頁）則，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一個(gè)法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為【評論】此題觀察空間向量法解決立體幾何問題，建立坐標(biāo)系是解決問題的要點(diǎn)，屬中檔題．20．（12分）已知點(diǎn)A（0，﹣2），橢圓E：+=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，直線AF的斜率為，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)A的直線l與E訂交于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，求l的方程．【考點(diǎn)】K4：橢圓的性質(zhì)；KH：直線與圓錐曲線的綜合．【專題】5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（Ⅰ）經(jīng)過離心率獲得a、c關(guān)系，經(jīng)過A求出a，即可求E的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）將y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范圍，利用弦長公式求出|PQ|，而后求出△OPQ的面積表達(dá)式，利用換元法以及基本不等式求出最值，而后求解直線方程．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），由條件知，得又，所以a=2，b22﹣c2，故E的方程．．（5分）=a=1（Ⅱ）依題意當(dāng)l⊥x軸不合題意，故設(shè)直線l：y=kx﹣2，設(shè)P（x1，1），（2，2）yQxy將y=kx﹣2代入，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，當(dāng)△=16（4k2﹣3）＞0，即時(shí)，第21頁（共26頁）從而又點(diǎn)O到直線PQ的距離，所以△OPQ的面積=，設(shè)，則t＞0，，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，k=±等號建立，且滿足△＞0，所以當(dāng)△OPQ的面積最大時(shí)，l的方程為：y=x﹣2或y=﹣x﹣2．（12分）【評論】此題觀察直線與橢圓的地點(diǎn)關(guān)系的應(yīng)用，橢圓的求法，基本不等式的應(yīng)用，觀察轉(zhuǎn)變思想以及計(jì)算能力．21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處得切線方程為y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）證明：f（x）＞1．【考點(diǎn)】6E：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值；6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】15：綜合題；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）求出定義域，導(dǎo)數(shù)f′（x），依據(jù)題意有f（1）=2，f（′1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等價(jià)于xlnx＞xe﹣x﹣，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，函數(shù)h（x）=，只要證明g（x）min＞h（x）max，利用導(dǎo)數(shù)可分別求得g（x）min，h（x）max；【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（′x）=+，由題意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+，∵f（x）＞1，∴exlnx+＞，∴＞﹣，1lnx第22頁（共26頁）f（x）＞1等價(jià)于xlnx＞xe﹣x﹣，設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，則g′（x）=1+lnx，∴當(dāng)x∈（0，）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞加，從而g（x）在（0，+∞）上的最小值為g（）=﹣．設(shè)函數(shù)h（x）=xe﹣x﹣，則h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上單調(diào)遞加，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，從而h（x）在（0，+∞）上的最大值為h（1）=﹣．綜上，當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．【評論】此題觀察導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式等，觀察轉(zhuǎn)變思想，觀察學(xué)生分析解決問題的能力．選修4-1：幾何證明選講22．（10分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長線與DC的延長線交于點(diǎn)E，且CB=CE．（Ⅰ）證明：∠D=∠E；（Ⅱ）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．【考點(diǎn)】NB：弦切角；NC：與圓有關(guān)的比率線段．【專題】15：綜合題；5M：推理和證明．【分析】（Ⅰ）利用四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，可得∠D=∠