知識點,第三章習(xí)題課-2011級

洛必達法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點,函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容羅爾中值定理：(3)f(a)=f(b);減少一個條件推廣：1.幾何解釋：曲線y=f(x)至少有一條水平切線。掌握四個微分中值定理拉格朗日中值定理：(3)f(a)=f(b);(3)f(a)=f(b);1.幾何解釋：曲線y=f(x)至少有一條切線平行于連接曲線端點的弦。..柯西中值定理：11.曲線至少有一條切線平行于連接曲線端點的弦。幾何解釋：曲線的參數(shù)式方程,x為參數(shù)....泰勒中值定理：....用()的n次多項式逼近f(x).oo...2.常用麥克勞林公式：.......5、洛必達法則定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則.關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型.注意：洛必達法則的使用條件.

用洛必達法則求未定式極限應(yīng)注意什么？1o.及時求出已定式的極限.2o.需要先驗證條件..應(yīng)該怎么做？.6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理(1)函數(shù)單調(diào)性的判定法定義(2)函數(shù)的極值及其求法定理(必要條件)定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點和不可導(dǎo)點統(tǒng)稱為臨界點.定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)求極值的步驟:步驟:1.求駐點和不可導(dǎo)點;2.求區(qū)間端點及駐點和不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比較大小,那個大那個就是最大值,那個小那個就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值問題實際問題求最值應(yīng)注意:1)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值;(4)曲線的凹凸與拐點定義定理1方法1:方法2:.(5).給定函數(shù)y=f(x),求其鉛直漸近線及斜漸近線.

...(6)函數(shù)圖形的描繪利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.

(7).求極限的方法：（1）基本方法；（2）利用重要極限；（3）利用函數(shù)的連續(xù)性；（4）使用L’Hospital法則；（5）利用等價無窮小代換；（6）利用極限存在準則；（7）利用微分中值定理（包括帶Peano型余項的Taylor公式）；……

(8)不等式的證明方法：（1）初等方法（略）；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用微分中值定理（包括Taylor公式）；（4）利用函數(shù)的最大最小值；（5）其它方法。

二、課堂練習(xí)1.填空題：2.選擇填空題（1）設(shè)

在的某鄰域內(nèi)有定義，且則在點[].（A）有極大值；（B）有極小值；（C）無極值；（D）不能判定是否取得極值。

解由極限的保號性知，

（2）方程在區(qū)間內(nèi)[].（A）無實根；（B）有惟一實根；（C）有兩個實根；（D）有三個實根。

解令（3）設(shè)曲線方程為則[].

（A）曲線沒有漸近線；（B）是曲線的漸近線；（C）是曲線的漸近線；（D）是曲線的漸近線。

解因為所以是曲線的水平漸近線。

（4）設(shè)和在上都可導(dǎo)且恒正，若則當(dāng)時,不等式[].

3.試確定的值，使函數(shù)在處取得極值，指出它是極大值還是極小值？并求出此極值。

4.在直線上求一點，使其與點和點的距離平方和為最小。

解設(shè)是直線上任意一點，則該點到兩點之距離的平方和為化簡得

5.設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi).證明：

解作輔助函數(shù)則

6.證明：若不負，則與有相同的極值點。

證設(shè)是的極值點（不妨設(shè)是極大值點），則存在

7.證明不等式：

證因為，故原不等式等價于令,則在上連續(xù)。因為

即在上嚴格遞減,故有即

8.設(shè)在內(nèi)可微，且是減函數(shù)，證明：恒有9.證明方程恰有兩個不同的實根。另證：

10.在曲線上求一點使點處的切線與及所圍成的三角形的面積最大，求的坐標(biāo)。

解切線方程為即

切線與的交點為，與的交點為所圍三角形面積為由問題的實際意義可知，有最大值而無最小值，故也就是最大值點，此時即所求點為

*11設(shè)求試分別用Rolle定理、Lagrange和Cauchy定理證明之。證[用Rolle定理]：令則由Rolle定理知，即證[用Rolle定理]：令則

證[用Lagrange定理]

則在上滿足Lagrange定理條件，故存在，使得令設(shè)證[用Cauchy定理]：

*13.試證：

*14.證明：當(dāng)時，有證法1

于是，當(dāng)時，即而當(dāng)時，