專題12函數(shù)的單調(diào)性求值域

專題12函數(shù)的單調(diào)性（求值域）主要考查：利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域（或最值）一、單選題6TOC\o"1-5"\h\z1.函數(shù)y=在區(qū)間[3,4]上的值域?yàn)椋?）X-1A.[1,2] b.[3,4] c[2,3] D.[1,6]【解析】因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y=6在（0,內(nèi)）上單調(diào)遞減，函數(shù)y=-6-的圖像可由y=6的圖像向右平移X X-1 X一個(gè)單位后得到，所以函數(shù)y=-6-在（1,+8）上單調(diào)遞減，X一16 6 6因此y=在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞減，所以 <y<--，即2<y<3.故選：C.x一1 4-1 3-12.設(shè)函數(shù)f（x）=x2-4x+1在區(qū)間限41上的值域?yàn)椋?）A.[-3,1] B.（-8,-3）d（1,+8） c,[-2,1] d.（-2,11【解析】f（X）=X2-4X+1=（X-2）2-3所以，函數(shù)f（X）在區(qū)間[1,2）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（2,4]上單調(diào)遞增，則f（X）=f（2）=-3min?.?f1=-2,f（4）=1，：.f（x）=f（4）=1.max因此，函數(shù)f（x）=x2-4x+1在區(qū)間限4]上的值域?yàn)閇-3,1].故選：a.3x+13x+1,x<1,3.函數(shù)y={ 的值域?yàn)?-logX,X>1,7A.(-8,0)d(0,9)B.[0,+8)C.(-8,9]D.(-8,9)【解析】因?yàn)閥=3X+1在（-8,1）上遞增，所以3x+【解析】因?yàn)閥=3X+1在（-8,1）上遞增，因?yàn)閥=-log7x在[1,+8）上遞減，所以y=-log7x<-log,1=0,所以函數(shù)的值域?yàn)椋?8,9），故選：D4,函數(shù)y=x2+1,4,函數(shù)y=x2+1,x<-

X1-的值域是（A.( 71一8，-47——,+84[3亞\)[丁+8JD.(3夜-8fv【解析】由于(x)二x2、g(x)'在x"2上都單調(diào)遞減,???y=x2+1,在x<-1上單調(diào)遞減，x 2.，.當(dāng)x=--.，.當(dāng)x=--時(shí)，

2y有min(-J"74，所以值域?yàn)橐唬海?8.故選：B.4J…1一3TOC\o"1-5"\h\z.若函數(shù)f(x)=-x2-x+-的定義域和值域都是［1回，則b=( )A.1 B.3 C.-3 D.1或3【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=1x2-x+3=1(x-1)2+1在[1b]上為增函數(shù)，且定義域和值域都是[1b]所以f(x).=f(1)=1,f(x)=f(b)=b，b2-b+-|=b，解得b=3或b=1(舍)，min max 2 2故選：B.函數(shù)f(x)=<x-1+2x的值域?yàn)? )A.[-1,+8) B.[0,+8) c.[1,+s) D.[2,+8)【解析】令x-1>0，解得：x>1，即函數(shù)f(x)在n,+8)為增函數(shù)，所以f(x)e［2,+8),即函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,+8)，故選：d..已知f(x)=x2+3：+6(x>0)，則f(x)的最小值是( )x+1A.4 B.5 C.6 D.8【解析】令t=x+1,(x>0)，所以x=t-1,(t>1)；x2+3x+6 (t-1)2+3(t-1)+6/所以f(x)= (x>0)轉(zhuǎn)化為y= (t>1)x十1 t即y=(t-1)2+3(t-1)+6=t+4+1,(t>1)tt又函數(shù)y在(1,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=2時(shí)，y取到最小值，最小值為5即當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取到最小值，最小值為5.故選：B.

8.已知函數(shù)仆)=2+log2Kl<x<4)，則函數(shù)y=[f(x)]2+fQ2)的最大值為(A.6 B.13 C.22 D.33【解析】f(x)=2+log2x，，y=[f(x)]2+f(x2)=(log2x)2+610g2x+6,???1<???1<x<4〃1<x<4<1<x2^4，y=[f(x)]2+f(x2)=(1og2x)2+61og2x+6，的定義域是｛xU<x<2).令10g2x=t，因?yàn)?<x<2，所以0<t<1，則上式變?yōu)閥=12+6t+6,0<t<1,y=12+6t+6在hJ上是增函數(shù)，當(dāng)t=1時(shí)，y取最大值13,故選：B二、多選題x+29.函數(shù)y=--（Xn）的定義域?yàn)椋?,5）,下列說(shuō)法正確的是（ ）x-1A.最小值為7 B.最大值為44C.無(wú)最大值 D.無(wú)最小值TOC\o"1-5"\h\zx+2. 3【解析】函數(shù)y=n=1+.在［2,5）上單調(diào)遞減，即在X=2處取得最大值4,由于x=5取不到，則最小值取不到.故選：BD10.已知函數(shù)y=x2+x+1f1<x<2］則該函數(shù)（ ）x 13 ）7A.最小值為3 B.最大值為不C.沒(méi)有最小值 D.在區(qū)間1,2上是增函數(shù)【解析】y=x2+x+1=1+x+1>1+2.:x-1=3當(dāng)且僅當(dāng)x=1是等號(hào)成立，x x x有f(?-f(x2)=(x1-x2)+一=("1-x2)(1-5),x1-x2<0

12 1211、當(dāng)一<x<x<3 1 21時(shí)，有1—,<0，故f(x)>f(x11、當(dāng)一<x<x<3 1 212, 1 7、2、當(dāng)1<x<x<2時(shí)，有1———>0，故f(x)<f(x)，即y在(1,2)上遞增且值域?yàn)?3,-).1 2 xx 1 2 212

???最大值為-.故選：AD11.定義新運(yùn)算十，當(dāng)a>b時(shí)，a十b=a；當(dāng)a<b時(shí)，a十b=b2,則函數(shù)fG)=(1十x)x-(2十x),xe[-2,2]的值可以等于().A.-6 B.1 C.6 D.-4【解析】由題意知f(x)=(1十x)x-(2十x)=\X212~Xj1,[x3-2,1<x<2易知函數(shù)f(x)在xe[-2,2]上單調(diào)遞增，所以f(x)e[-4,6]所以函數(shù)f(x)=(1十x)x-(2十x),xe[-2,2]的值可以等于為-4,1,6.故選：BCD.x4+2x2+a12.已知函數(shù)f(x)= (xeR)的值域?yàn)椋踡,+s),則實(shí)數(shù)a與實(shí)數(shù)m的取值可能為( )x2+1A.a=0,m=0 B.a-1,m=1 C.a=3,m—3 D.a=22,m=72【解析】f(x)-x4+2x2+a-Q+)+a-1-x2+1+O±x2+1 x2+1 x2+1r r a—1設(shè)x2+1-1,t>1,貝Uy-1+ t當(dāng)a-0時(shí)，y-1-1在Ix+s)上單調(diào)遞增，t-1時(shí)，y-0,故ye［o,+^),a正確;t當(dāng)a-1時(shí)，y-t在L,+s)上單調(diào)遞增，t-1時(shí)，y-1，故ye［1,+s),b正確；上單調(diào)遞減，在［上單調(diào)遞減，在［VX+s)上單調(diào)遞增，故y皿吊=2點(diǎn),C錯(cuò)誤;當(dāng)a-v12時(shí)，當(dāng)a-v12時(shí)，y-t+Y2Y在［1,+s)上單調(diào)遞增，t-1時(shí)，y-五，故ye［J2,+s),D正確.故選：ABD.三、填空題13.函數(shù)f(x)-x+4,xe；,4的值域?yàn)椤窘馕觥坑蓪?duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：f【解析】由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：f(x)―x+—在-,2上單調(diào)遞減2在(2,4］上單調(diào)遞減，所以f(x) =f(2)=4min又f(x)=max[f[1],f(4)]，且f[1]=1+8=17,f(4)=4+1=5，所以f(x)=17,maxI12J J k2J2 2 max2所以f所以f(x)417的值域?yàn)?，—.函數(shù)y=Jx+1-4的的最大值為［x+1>0【解析】由k>0可得x>0，y=%'y=%'x+1一1vx+1+vx因?yàn)閥=<T+T+A在［0,+s)單調(diào)遞增，所以y=^=1一方在［0,+s)單調(diào)遞減，xx+1+\:x1 ,—— —所以x二0時(shí)y二1K最大為1，故函數(shù)yix+1一門的最大值為1.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在【0,2］上的最小值為g(〃)，則g(〃)的最大值為【解析】函數(shù)f(x)=x2-2ax+1的對(duì)稱軸為x=a，開(kāi)口向上，當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在【0,2]上單調(diào)遞增，所以g(a)=f(0)=1當(dāng)0<a<2時(shí)，g(a)=f(a)=1-a2當(dāng)a>2時(shí)，函數(shù)f(x)=x2-2ax+1在【0,2]上單調(diào)遞減，所以g(a)=f(2)=5-4a[a<0所以g(a)=<1-a2,0<a<2，所以gmax(a)=1.5-4a,a>2 max16.設(shè)M(x,y)是直線x+y=3上的動(dòng)點(diǎn)，若1<x<2,則卜+y-卜+x的最大值為=x=x+y+1+1-2xy【解析】xx+y=x+y+ xy-2:xy+—+2=3+—TOC\o"1-5"\h\zXxy xy2 3 .— 2-3+———2vxy一—xy xxy令t-xxy-<x(3-x)-3329設(shè)f(t)g(t)=t+1t，其中。'2<t<3任取t1、t2E所以，g(t)-g(t)r1所以，g(t)-g(t)r1)t1+7Vj1+—

t2((-t2)二(t-t)-tt21 2tt12(t-1)(tt-1)tt

12■— 3?.?<2<t<t<—,則t-1<01 22 12tt12Jg(t)<g(t)所以，函數(shù)g(t)=t+1在區(qū)間?"|?上單調(diào)遞增，TOC\o"1-5"\h\z二」3J11 「k31所以，函數(shù)f(t)=3+不-2Vt+-J在區(qū)間[J2]]上單調(diào)遞減，...f(t) -f5)=3+1-2r近+岑J-9-|^2--—，max 2V27 2 2所以，Jx+4-\；y+-的最大值為“6二3二%：3一手.\y\x <2 2四、解答題217.已知函數(shù)f(x)-1-門(1)證明：函數(shù)f(x)是(一%+⑹上的增函數(shù);(2)xe[-1,2]時(shí)，求函數(shù)f(x)的值域.2 2 2(5x-5%)【解析】⑴令x1<x2，則f(x1)-f(x2)=1-口-(1-門戶(5x2+1)(5x12+1)由(5x2+1)(5x1+1)>0,5x1-5x2<0，即f(x1)-f(x2)<0，有f(x1)<f(x2).???函數(shù)f(x)是(—b,+s)上的增函數(shù);

(2)由(1)知：％e［-1,2］上有f(-1)<f(x)<f⑵，,f(x)的值域?yàn)椋邸獆，H］.18.已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x,f(0)=L(1)求f(x)的解析式.(2)求f(x)在［-1,1］上的最大值.【解析】(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c，(a豐0)，則f(x+1)-f(x)=a(x+1?+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2ax+a+b，由題c=1,2ax+a+b=2x恒成立???2a=2a+b=0,c=1得a=1,b=-1,c=1,.，.f(x)=x2-???2a=2」、 (1123(2)由(1)可得f(x)=x2-x+1=x-一+-I2)4所以f(x)在-1，|單調(diào)遞減，在［2，”單調(diào)遞增，且f(-1)=3,f。)=1???f(x)=f(-1)=3.max19.已知函數(shù)f(x)=1x2+二，求函數(shù)f(x)在區(qū)間1-3,-1］上的最值.2x-1［-3,-1］且-3<x<x<-1f(x)-f(x)=1-x2+211=(x-x)2(x1+x2)-12(x-1)(x-1)又由-3<x<x<-1，得x-x<0,-6<x+x<-2,4<(x-1)(x-1)<16,1 2則有2(x1+x2)-(x-1)(x-1)<0，則有f(x1)-f(x2)>01 2故函數(shù)f(x)在區(qū)間1-3,-1］上單調(diào)遞減，故f(x)=f(-3)=4,f(x)min=f(-1)=-2.20.已知函數(shù)f(x)=-4x2+4ax-4a-a2，求f(x)在區(qū)間［0,1］上的最值.【解析】二次函數(shù)/(x)=—4x2+4ax—4a-。2=-4x-——4a,開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為％=不.TOC\o"1-5"\h\zI2J 2(1)當(dāng);＞1,即。＞2時(shí)，函數(shù)/(%)在區(qū)間上單調(diào)遞增，即當(dāng)x=。時(shí)，/(X)取最小值/(0)=-。2-4。；當(dāng)X=1時(shí)，/(X)取最大值/(1)=一。2-4.〃 CL(2)當(dāng)0V萬(wàn)VI,即0?“V2時(shí)，對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間。1］上，故當(dāng)工=5時(shí)，"%)取最乙 乙(a\大值/-二-4a.k27①若即OWaVl,根據(jù)對(duì)稱性知當(dāng)％=1時(shí)，/(%)取最小值7(1)=—。2—4；乙A②若;＜gvl,即1＜〃V2,根據(jù)對(duì)稱性知當(dāng)X=。時(shí)，/(%)取最小值/(0)=—。2—4a.d(3)當(dāng)萬(wàn)＜。，即。＜0時(shí)，函數(shù)/(%)在區(qū)間［。，1］上單調(diào)遞減，即當(dāng)x=。時(shí)，/(%)取最大值/(0)=-。2-4。；當(dāng)％=1時(shí),/(%)取最小值/(1)=一。2-4.綜上可得：當(dāng)。＞2時(shí)，函數(shù)最大值為-〃2一4,最小值為-。2一4”；當(dāng)。V。VI時(shí)，函數(shù)最大值為—4”，最小值為一“2—4；當(dāng)1＜〃V2時(shí)，函數(shù)最大值為-4”，最小值為-〃2-4〃；當(dāng)。＜0時(shí)，函數(shù)最大值為-。2-4〃，最小值為-。2-4.21.定義在(0,”)上的函數(shù)/G)對(duì)于任意的X,yeR*,總有/G)+/(y)=/Gy),且當(dāng)X＞1時(shí)，/(%)＜。且/(0)=-1.(1)求/(D的值；(2)判斷函數(shù)在(0,長(zhǎng))上的單調(diào)性，并證明；(3)求函數(shù)/(X)在Le2上的最大值與最小值.e【解析】(1)令％=y=1f(D+f(1)=f(1)nf(1)=0(2)f(x)在(0