第二節(jié)傳遞函數(shù)

第二節(jié)傳遞函數(shù)拉普拉斯變換拉氏變換是控制工程中的一個(gè)基本數(shù)學(xué)方法，其優(yōu)點(diǎn)是能將時(shí)間函數(shù)的導(dǎo)數(shù)經(jīng)拉氏變換后，變成復(fù)變量S的乘積，將時(shí)間表示的微分方程，變成以S表示的代數(shù)方程。拉氏變換與拉氏變換的定義拉氏變換的定義設(shè)有時(shí)間函數(shù)f(t)

，其中，則f(t)的拉氏變換記作：

L—拉氏變換符號(hào)；s-復(fù)變量；F(s)—象函數(shù)。f(t)—原函數(shù)拉氏反變換的定義將象函數(shù)F(s)變換成與之相對(duì)應(yīng)的原函數(shù)f(t)的過(guò)程

線性性質(zhì)若有常數(shù)k1，k2,函數(shù)f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏變換為F1(s),F2(s),則有：此式可由定義證明。

拉氏變換的性質(zhì)

實(shí)數(shù)域的位移定理若f(t)的拉氏變換為F(s),則對(duì)任一正實(shí)數(shù)a有,其中，當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，f(t-a)表f(t)延遲時(shí)間a.

復(fù)數(shù)域的位移定理若f(t)的拉氏變換為F(s),對(duì)于任一常數(shù)a,有微分定理設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s),則其中f(0+)由正向使時(shí)的f(t)值。積分定理設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s),則其中是時(shí)的值。初值定理設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s)，則函數(shù)f(t)的初值定理表示為：證明技巧：可利用微分定理來(lái)進(jìn)行證明終值定理若f(t)的拉氏變換為F(s),則終值定理表示為：

卷積定理設(shè)f(t)的拉氏變換為F(s),g(t)的拉氏變換為G(s)，

則有

式中，稱為f(t)與g(t)的卷積。

1、單位階躍函數(shù)

典型時(shí)間函數(shù)的拉氏變換2、單位脈沖函數(shù)

3、單位斜坡函數(shù)

4、指數(shù)函數(shù)

5、正弦函數(shù)sinwt

6、余弦函數(shù)coswt

傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的基本定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。傳遞函數(shù)的基本概念

設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得其中：傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的主要特點(diǎn)G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大小）無(wú)關(guān)

G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)

傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且所具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。傳遞函數(shù)與微分方程有相通性。只要把系統(tǒng)或元件微分方程中各階導(dǎo)數(shù)用S相應(yīng)階次的變量代替，就很容易求得系統(tǒng)或元件的傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)的基本形式零點(diǎn)、極點(diǎn)表示形式：傳遞函數(shù)的零點(diǎn)。傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。傳遞函數(shù)的傳遞系數(shù)。傳遞函數(shù)的基本形式時(shí)間常數(shù)表示形式：分子各因子的時(shí)間常數(shù)。分母各因子的時(shí)間常數(shù)。傳遞函數(shù)的放大系數(shù)。時(shí)間常數(shù)表示形式零點(diǎn)、極點(diǎn)表示形式具有共軛復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)和零值極點(diǎn)時(shí)，傳遞函數(shù)可以改寫為：or典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。任何復(fù)雜系統(tǒng)可看做由一些基本的環(huán)節(jié)組成，控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)可以歸納為：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。1、比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系為一種固定的比例關(guān)系。這就是說(shuō)，它的輸出量能夠無(wú)失真、無(wú)遲后地按一定的比例復(fù)現(xiàn)輸入量。比例環(huán)節(jié)的表達(dá)式為：環(huán)節(jié)的放大系數(shù)其傳遞函數(shù)是：2、慣性環(huán)節(jié)自動(dòng)控制系統(tǒng)中經(jīng)常包含有這種環(huán)節(jié)，這種環(huán)節(jié)具有一個(gè)儲(chǔ)能元件。一階慣性環(huán)節(jié)的微分方程為：其傳遞函數(shù)是：時(shí)間常數(shù)慣性環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是其輸出不能立即跟隨時(shí)間發(fā)生變化，存在時(shí)間上的延遲，其中時(shí)間常數(shù)T越大，環(huán)節(jié)的慣性越大。3、積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)輸入量與輸出量之間關(guān)系的動(dòng)態(tài)方程為：其傳遞函數(shù)是：4、振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)的微分方程為：其傳遞函數(shù)是：5、微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)是積分環(huán)節(jié)的逆運(yùn)算，其輸出量反映了輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。常用的微分環(huán)節(jié)有純微分環(huán)節(jié)、一解微分環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)：其傳遞函數(shù)分別是：6、延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)的特點(diǎn)是，其輸出信號(hào)比輸入信號(hào)遲后一定的時(shí)間。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：其傳遞函數(shù)是：延遲時(shí)間生產(chǎn)實(shí)踐中特別是一些液壓、氣動(dòng)或機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中都可能會(huì)遇到純時(shí)間滯后現(xiàn)象。注意延遲和慣性環(huán)節(jié)的