三角函數(shù)的值域與最值教師版

教師姓名郭鵬學(xué)生姓名劉曉航填寫時間年級高一升高二學(xué)科數(shù)學(xué)上課時間階段基礎(chǔ)（）提高（J）強化（）課時計劃第（）次課共（）次課教學(xué)目標.會根據(jù)正、余弦函數(shù)的有界性和單調(diào)，性求簡單三角函數(shù)的最值和值域；.運用轉(zhuǎn)化思想，通過變形、換元等方法轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)求其給定區(qū)間內(nèi)的值域和最值；.通過對最值問題的探索與解決，提高運算能力，增強分析問題和解決問題能力。體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法在解決三角最值問題中的作用。教學(xué)重難點重點：求三角函數(shù)的最值與值域難點：靈活選取不同的方法來求三角函數(shù)的最值和值域一、知識檢測TOC\o"1-5"\h\z4 . …… 、…， 1.在下列說法中：(1)函數(shù)y=2—smx的最大值為3；(2)函數(shù)y=- +sm2x最小值是4；(3)函數(shù)y= sin2x cosx的值域是[—1,0)U(0,1]；(4)存在實數(shù)x，使得tanx+-=2成立.正確的是 ( )tanxA.(1)(2)B.(2)(4) C.(1)(3) D.(1)(4).函數(shù)y=sinx,xe[；,2g]的值域為( )631“ 1<3 <3A.[T,1] B. [2」 C.[2，：] D.[=].函數(shù)y=sin2xcos2x的最大值為 ，最小值為..x=時，函數(shù)y=sin(x+；)+sin(x一；)的最大值為.函數(shù)y=sin2x+sinx+1的值域為.函數(shù)y=acosx+b(a,b為常數(shù)，且a>0)的最大值是1,最小值是一7，則函數(shù)y=asinx+bcosx的最大值是.二、互動平臺■(I)簡單三角函數(shù)的值域【例1】1.求下列三角函數(shù)的值域.y=sinx (2)y=sinx，xg:，=_63_2.若函數(shù)y=acosx+b的最大值是1,最小值是-7，求a、b.小結(jié)：求基本三角函數(shù)值域，一定要結(jié)合三角函數(shù)的圖像，故切記正、余弦函數(shù)的圖像(11)與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域:y=Asin?x+明，y=Acos?x+明型函數(shù)的值域【例2】y=2sin(2x+?)，xg【例3】求函數(shù)y=sinx-cosx,xg[0,九]的值域

小結(jié)：對于y=Asin?%+⑺+?的最大值為|A+h，最小值為一性|+h,若y=Asin（3%+①）+h，%e[a,b]，先由％e[a,b]求出3%+p的范圍，然后結(jié)合圖像求出，即由內(nèi)而外逐層求值域（皿引入輔助角法:類型一:y=asin%+bcos%型.（此類型通常可以可化為y（皿引入輔助角法:類型一:y=asin%+bcos%型.（此類型通?？梢钥苫癁閥=asin%+bcos%=%a2+b2（%+平）求其最值（或值域）.）【例4】求函數(shù)y=sin(%-二)+sin(%+g)(%eR)的最值.

6 3兀 兀.一 兀兀一 兀解法：y=sin(%一)+cos(%一)=v-2sin[(%一)+]=<2sin(%+),6 6 6 4 12??.函數(shù)的最大值為＜2，最小值為一右.類型二：y=asin2%+bsin%-cos%+c（a豐0）型.形如這種類型的，可利用倍角公式、降幕公式進行降次、整理為y=Asin2%+Bcos2%型再利用輔助角公式求出最值.兀 7兀【例5】求函數(shù)f(%)=5<3cos2%+x3sin2%一4sin%cos%(<%< )的最值，并求取得最值時%的值.4 24?11+cos2%.解：f(%)=5%3——-——+v31—cos2%一2sin2%2=23cos3%-2sin2%+3<3=4cos(2%+看)+3<3兀 7?！?lt;%<—,4 242兀-兀 3?！?lt;2%+-<—,：2 九八1—<cos(2%+<)一一2 6 27兀???f(x)的最小值為3v3-2v2，此時x=--,f(x)無最大值.I【例6】)求函數(shù)y=(3+sinx)(3+cosx)的值域.方法小結(jié)：求只含有sinx土cosx,sinxcosx的函數(shù)的最值問題，通常方法是換元法：令 sinx土cosx=t將sinxcosx轉(zhuǎn)化為t的關(guān)系式，從而使問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題.但要注意換元后變量的取值范圍.［小試身手］已知:1.［小試身手］已知:1.y=—sin

22x+■^3sinx-cosx+1,xeR,求y的最大值及此時x的集合.［分析］此類問題為y=asin=—sin2x+二+—/.2x+—=—+2k兀，.二x=—+k兀=—sin2x+二+—/.2x+—=—+2k兀，.二x=—+k兀(kez),y62 6y=asinx+bcosx型求解.解：y=2 2sin2x+5TOC\o"1-5"\h\z11+cos2xy3sin2x, 解：y=2 2sin2x+51 3=cos2xH 4 41(1(1c=--cos2x+sin2x+5'=—

max4［小試身手］1,已知函數(shù)f(x)'=—

max4［小試身手］1,已知函數(shù)f(x)=sin2x，g(x)=cos(2x+，直線x=t(te0,y)與函數(shù)f(x)、g(x)的圖像分2,求函數(shù)y=5sin2x+%：3sinxcosx+6cos2x的值域.

.y=cos2x+cosx.求函數(shù)y=sinx+cosx+sinx?cosx的值域.(:y=asin2x+bsinx+c(a豐0)型。此類型可化為y=at2+bt+c(a豐0)在區(qū)間［一1,1］上的最值問題.【例6】求函數(shù)y=cos2X+v3sinx+1(xeR)的最值.T. T.T/. %：3、 9解：y=1—sin2x+v3sinx+1=—(sinx———)2+21 ^4??.函數(shù)的最大值為4，最小值為【例8】求函數(shù)y=cos2x+V3asinx+1(aeR,xeR)的最大值.解：y=cos2x+v3asinx+1轉(zhuǎn)化為y=一sin2x+v3asinx+2配方得:y=—(sinx—<3a)2+3y=—(sinx—<3a)2+3a2+24時，在sinx=1,ymaxv,3a+1②當a<一1時，即a<時，在sinx=-1,ymax③當一1<3aa<1,即一時，在sinx=3aa時，y2max綜上：y=<

max%：3a+1(a>3 2<3'/—a2+2( <a<4 3—綜上：y=<

max%：3a+1(a>3 2<3'/—a2+2( <a<4 3—33a+1(a<—小結(jié)：對于二次型函數(shù)，都可通過換元構(gòu)造二次函數(shù)y=at2+bt+。，進而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在某個區(qū)間上的值域問題，但一定要注意新元的范圍.2［小試身手］1,函數(shù)f(x)=sin2x+2cosx在區(qū)間［-3兀,0］上的最大值為1,則。的值是多少?.求函數(shù)y=5sinx+cos2x的最值.［分析］:觀察三角函數(shù)名和角，其中一個為正弦，一個為余弦，角分別是單角和倍角，所以先化簡，使三角函數(shù)的名和角達到統(tǒng)一.解：y=5sinx+G-2sin2x)c.L. .J. 5￥33=-2sin2x+5sinx+1=-2sinx——-1<sinx<1,「.sinx=-1,x=2k兀88133 ,=-2x+——=-6168兀7sinx=1.「.x=2k兀+——,kez,y,.2 maxc1 33 4=-2x 1 =416.設(shè)f(x)=_c, -a1L-cos2x+asinx 0兀、<x<2J(x)的最大值M(a).解：f(x)=-sin2x+asinx-a+1.令sinx=t，則0<t<1,l"乙g(tg(t)=f(x)=t2+at 1—=-t a2 a 1+ 1—.4 42

當0<￡<1,即0<a<2時，g(t)在［0，1］上先增后減，M(a)=g［a-)=a2—a-+1;2 12) 4 42(6)1當+<0,即a<0,g(t)在［0，1］上遞減，M(a)=g(0)=1-a.乙 乙IM(a)=3.求函數(shù)y=cos2x+2sinx在區(qū)間—^,:上的值域.44（V）數(shù)形結(jié)合：f（x）=asinx+:型。此類型最值問題可考慮如下幾種解法:①轉(zhuǎn)化為asinx+bcosx=cccosx+d再利用輔助角公式求其最值；②采用數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為斜率問題）求最值【例9】求函數(shù)y=‘inx的值域cosx—2sinx 一解法1：將函數(shù)y= 變形為ycosx—sinx=2ycosx—2., 、 2y 12 yI“一，...sin(x+。)=: 由Isin(x+。)I= <1n(2y)2<1+y2,, <3 v3 3解得：--3<y<-3-，故值域是［--3-解法2：數(shù)形結(jié)合法：求原函數(shù)的值域等價于求單位圓上的點P（cosx,sinx）與定點Q（2,0）所確定的直線的斜率的范圍。作出如圖得圖象，當過Q點的直線與單位圓sinx相切時得斜率便是函數(shù)y= 得最值，由幾何知識，易求得過Q的兩切線cosx—2得斜率分別為--3-、-3-。結(jié)合圖形可知，此函數(shù)的值域是[--3-,-3].—.函數(shù)y=sinx+<3cosx在區(qū)間［0,字上的最小值為.函數(shù)f(x)=cosx—1cos2x(xeR)的最大值等于—TOC\o"1-5"\h\z.函數(shù)y=tan邑—x)(——<x<—且x中0)的值域是2 4 4八九 1+cos2x+8sin2x.當0<x<7時，函數(shù)f(x)= - 的最小值為 .2 sin2x.函數(shù)y=2sing—x)—cos(看+x)(xeR)的最小值等于.一冗 …、 cos2x.當0<x<-時，函數(shù)f(x)= ; ;一的最小值是 .4 cosxsinx—sin2x.函數(shù)y=、血x的最大值為 ，最小值為 .cosx+2.函數(shù)y=cosx?tanx的值域為.…、一. ， .一兀兀--一一.一一人. .已知函數(shù)f(x)=2sin3x?>0)在區(qū)間--,-上的最小值是一2，則①的最小值等于.已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx—cosx)+1,xeR.(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期；丁_....八/、,,__.、_.兀3兀?，.一,.，一一,(II)求函數(shù)f(x)在區(qū)間-,-上的最小值和最大值.847.已知函數(shù)f(x)=2asin2x—2%3asinxcosx+a+