第5章 高頻數(shù)據(jù)分析與市場微觀結(jié)構(gòu)

高頻數(shù)據(jù)分析與市場微觀結(jié)構(gòu)1高頻數(shù)據(jù)：指在細(xì)小的時(shí)間間隔上抽取的觀測值。在金融市場中，高頻數(shù)據(jù)與市場微觀結(jié)構(gòu)緊密聯(lián)系，常用于比較不同交易系統(tǒng)價(jià)格發(fā)現(xiàn)的有效性以及特定股票買賣報(bào)價(jià)的動(dòng)態(tài)性。2股票交易發(fā)生是非同步的；不同股票交易頻率不同；相同股票不同時(shí)間交易頻率也不同；非同步交易：

3針對股票日收益率，非同步交易會導(dǎo)致股票收益率出現(xiàn)一些相關(guān)的關(guān)系。非同步交易：

例：

股票A、B相互獨(dú)立，且股票A交易更為頻繁。當(dāng)某天接近收盤時(shí)刻出現(xiàn)一個(gè)特定的消息，股票A由于交易更頻繁，所以比股票B更可能在同一天顯示出這個(gè)消息的效應(yīng)，而該消息對股票B的效應(yīng)則可能延遲到下一個(gè)交易日。4非同步交易導(dǎo)致收益率序列負(fù)相關(guān)基本假設(shè)：每個(gè)時(shí)間段，證券不交易的概率為πrt表示證券在t時(shí)刻的復(fù)合收益率{rt}獨(dú)立同分布，滿足均值為μ,標(biāo)準(zhǔn)差為δ

表示觀測到的收益率5與rt的數(shù)學(xué)關(guān)系6相關(guān)推論：，利用獨(dú)立性可得

，利用方差公式以及獨(dú)

立性可得,利用協(xié)方差公式可得7的計(jì)算：可得：結(jié)論：非同步交易會導(dǎo)致收益

率序列負(fù)相關(guān)8買賣報(bào)價(jià)差：在某些股票交易所，采取的仍然是做市商交易制度，通過做市商來給市場提供足夠的流動(dòng)性。而做市商的利潤來源，則是買價(jià)與賣價(jià)之間的價(jià)差。買賣價(jià)差雖然數(shù)量較小，但其存在使資產(chǎn)收益率序列有了一步延遲負(fù)序列相關(guān)關(guān)系。9買賣報(bào)價(jià)差：基本假設(shè)：

服從1，-1的二項(xiàng)分布，概率各為0.5

表示t時(shí)刻資產(chǎn)基本價(jià)值，保持不變則有：

10相關(guān)推論115.3交易數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)特征12(1)不等間隔的時(shí)間區(qū)間

(2)離散取值的價(jià)格

(3)日周期或者日模式的存在

(4)一秒鐘的多種交易13每五分鐘間隔內(nèi)的交易次數(shù)14序列樣本的ACF15解釋可能為：開盤大家對于價(jià)格的競爭非常激烈，臨近中午收盤交易強(qiáng)度下降，下午開盤交易強(qiáng)度逐漸回升，在收盤前又會迎來多空雙方相互競爭價(jià)格的高峰16第i次交易第i-1次交易17185.4價(jià)格變化模型5.4.1順序概率模型5.4.2分解模型195.4.1順序概率模型

表示所研究的資產(chǎn)不能觀測到的價(jià)格變化（）

表示時(shí)刻可以得到的解釋變量的p維行向量

，

在給定和的條件下服從正態(tài)分布20觀測值：，=，若，j=1,2,…,k21例5.1，以IBM為例，得到與與的解釋變量，將其帶入式5.18，可通過最大似然估計(jì)或MCMC方法得到β、α、γ的估計(jì)值22估計(jì)結(jié)果：23

邊界的劃分并不是等間隔的，但是幾乎是關(guān)于0對稱的（α）交易的持續(xù)期不僅影響的條件均值，而且影響的條件方差（）滯后價(jià)格變化的系數(shù)為負(fù)并且是高度顯著的，顯示了價(jià)格的逆轉(zhuǎn)性質(zhì)

時(shí)刻的買賣報(bào)價(jià)價(jià)差顯著地影響條件方差結(jié)論:245.4.2分解模型

表示價(jià)格變動(dòng)了多少個(gè)最小單位25對于對于

都是二元變量，所以都可以logit模型進(jìn)行估計(jì)：26對的解釋變量的估計(jì)：其中：g(λ)是參數(shù)λ的幾何分布

參數(shù)隨時(shí)間的變化為：27估計(jì)方法：第i次交易有三種情況：價(jià)格無變化：價(jià)格上升：價(jià)格下降：對于第i次交易，方程（5.24）的對數(shù)似然函數(shù)為由此，全部的對數(shù)似然函數(shù)為：28例5.2IBM股票交易數(shù)據(jù)模型簡介：估計(jì)結(jié)果：29價(jià)格變化依賴于上一次的價(jià)格變化：價(jià)格變化的方式由下式控制：只有很弱的證據(jù)表明大的價(jià)格變化有更大的可能性跟隨另外一個(gè)大的價(jià)格變化：結(jié)論：30R軟件進(jìn)行l(wèi)ogistic回歸

315.5持續(xù)期模型1、持續(xù)期定義持續(xù)期是指交易之間的時(shí)間間隔。持續(xù)期與交易強(qiáng)度呈反比。持續(xù)期越長，交易強(qiáng)度越低，即交易活動(dòng)較少。一般使用指數(shù)分布、韋布爾分布以及廣義伽馬分布來刻畫時(shí)間間隔的隨機(jī)分布。2、持續(xù)期日模式特征交易之間的時(shí)間持續(xù)期呈現(xiàn)日循環(huán)模式。舉例說，在NYSE中，開盤和收盤時(shí)刻的交易比較頻繁，而中午交易比較少，交易強(qiáng)度呈U型，對應(yīng)持續(xù)期呈倒轉(zhuǎn)U型。這種日模式是由于標(biāo)的資產(chǎn)以及市場的系統(tǒng)行為造成的。在建模中，需要剔除日模式對持續(xù)期的確定性影響，著重研究它的隨機(jī)成分。32鋪墊一：概率分布知識1、指數(shù)分布X~exp(β)概率密度函數(shù)——累積分布函數(shù)——E(X)=βVar(X)=33此處342、伽馬函數(shù)3、伽馬分布稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為(形狀參數(shù)）和（尺度參數(shù)）的伽馬分布，如果其pdf為35此處，k是形狀參數(shù)，θ是尺度參數(shù)k=1時(shí)，伽馬分布就是指數(shù)分布；K越大，伽馬分布近似于正態(tài)分布。364、韋布爾分布（Weibull）稱一個(gè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)（形狀參數(shù)）和（尺度參數(shù)）（）如果其pdf為X的cdf為

當(dāng)α=1時(shí)，韋布爾分布簡化為指數(shù)分布。37此處，λ是尺度參數(shù)，k是形狀參數(shù)。38標(biāo)準(zhǔn)化韋布爾分布：定義則E(Y)=1，而且Y的pdf為Y的cdf為對韋布爾分布進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，尺度參數(shù)消失，期望變?yōu)?，方差變?yōu)?95、廣義伽馬分布稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)的廣義伽馬分布（形狀參數(shù)α和κ，尺度參數(shù)是β）它的pdf由下式：當(dāng)κ=1時(shí)，廣義伽馬分布簡化為韋布爾分布。當(dāng)α=1時(shí)為伽馬分布。當(dāng)κ=1，α=1時(shí)為指數(shù)分布其期望為標(biāo)準(zhǔn)化廣義伽馬分布：定義Y=X/[].則E(Y)=1.Y的pdf為

40鋪墊二：調(diào)整時(shí)間持續(xù)期實(shí)證發(fā)現(xiàn)，時(shí)間持續(xù)期呈現(xiàn)出日內(nèi)模式。需要剔除其循環(huán)成分，使得模型針對的對象為調(diào)整后的時(shí)間持續(xù)期其中是一個(gè)確定的函數(shù)。實(shí)際應(yīng)用中，有很多估計(jì)的方法。光滑插值是一個(gè)通常的方法。一下運(yùn)用簡單的二次插值函數(shù)和示性變量來處理日交易活動(dòng)中確定的組成部分。我們假定其中

是示性變量41通過線性回歸的最小二乘法估計(jì)擬合的模型為42建模：ACD模型1、思想：自回歸條件持續(xù)期（ACD）模型利用GARCH模型的思想來研究調(diào)整的時(shí)間持續(xù)期的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)。2、記號說明:

(1)調(diào)整的時(shí)間持續(xù)期(2)第i-1次交易至第i次交易的調(diào)整的時(shí)間持續(xù)期的條件期望(3)是獨(dú)立同分布的非負(fù)隨機(jī)變量序列，并滿足根據(jù)服從的分布，標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布、標(biāo)準(zhǔn)韋布爾分布、標(biāo)準(zhǔn)廣義伽馬分布，ACD模型可依次分為EACD、WACD、GACD。3、模型形式回憶GARCH模型形式：43與GARCH模型類似，過程是一個(gè)鞅差序列，即，無條件期望也為0ACD模型變形為此處由上式可以得到ACD模型弱平穩(wěn)性的基本條件：期望持續(xù)期是正數(shù)，則需要舉例：EACD（1,1）模型218其中服從標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)分布。假定是弱平穩(wěn)，計(jì)算其不隨時(shí)間變化的頭兩階矩，并得到參數(shù)需要滿足的條件。

444、帶有廣義伽馬分布的ACD模型指數(shù)分布、韋布爾分布以及廣義伽馬分布分別都有相應(yīng)的危險(xiǎn)率函數(shù)，也即是強(qiáng)度函數(shù)，通俗的理解是事件發(fā)生率（聯(lián)想泊松分布的參數(shù)λ(t)）危險(xiǎn)率函數(shù)的定義具體計(jì)算為：X的危險(xiǎn)率函數(shù)其中和是X的pdf和生存函數(shù)。生存函數(shù)指數(shù)分布的危險(xiǎn)率函數(shù)是常數(shù)，韋布爾分布的危險(xiǎn)率函數(shù)是單調(diào)的。對于廣義伽馬分布，危險(xiǎn)率函數(shù)可以有各種不同的形狀，包括U型和倒U型。在現(xiàn)實(shí)生活中，股票交易的強(qiáng)度函數(shù)不是固定的，對采用標(biāo)準(zhǔn)化的廣義伽馬分布，為股票交易的持續(xù)期建模提供了一個(gè)靈活的方法。45ACD模型估計(jì)ACD模型估計(jì)使用極大似然估計(jì)令,持續(xù)期的似然函數(shù)為其中θ表示模型的參數(shù)向量，T表示樣本大小。邊緣概率密度函數(shù)精確形式相當(dāng)復(fù)雜，而且隨著樣本容量增大，它對似然函數(shù)的影響遞減的，去掉該項(xiàng)后，導(dǎo)致了條件似然方法的運(yùn)用。舉例：求WACD模型的條件對數(shù)似然函數(shù)22146ACD模型模擬以及估計(jì)驗(yàn)證1、模擬一WACD(1，1)

假定服從參數(shù)α=1.5的標(biāo)準(zhǔn)化韋布爾分布。從模型中產(chǎn)生500個(gè)觀測值，下圖是觀測值序列時(shí)間圖47模擬序列直方圖：48模擬序列的ACF以及標(biāo)準(zhǔn)化序列的ACF（為標(biāo)準(zhǔn)化序列）49把WACD(1，1)模型中模擬出的500個(gè)觀測值作為樣本，利用條件似然方法估計(jì)模型，估計(jì)結(jié)果如下：估計(jì)看上去很合理。從ACF可以看出，原始序列有明顯的序列相關(guān)性，而估計(jì)得到的序列沒有顯著的序列相關(guān)，從而說明擬合的模型是正確的，符合是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的假定。502、模擬二GACD(1，1)假定服從參數(shù)κ=1.5，α=0.5的標(biāo)準(zhǔn)化廣義伽馬分布。從模型中產(chǎn)生500個(gè)觀測值，下圖是觀測值序列時(shí)間圖51模擬序列直方圖：52模擬序列的ACF以及標(biāo)準(zhǔn)化序列的ACF（為標(biāo)準(zhǔn)化序列）53把WACD(1，1)模型中模擬出的500個(gè)觀測值作為樣本，利用條件似然方法估計(jì)模型，估計(jì)結(jié)果如下：估計(jì)看上去很合理。從ACF可以看出，原始序列有明顯的序列相關(guān)性，而估計(jì)得到的序列沒有顯著的序列相關(guān)，從而說明擬合的模型是正確的，符合是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量的假定。545.6非線性持續(xù)期模型

（thresholddurationmodel門限持續(xù)期模型）表5-8對IBM從1990年11月1日至1990年11月7日交易持續(xù)期的非線性檢驗(yàn)只利用了日內(nèi)持續(xù)期.TAR-F檢驗(yàn)括號內(nèi)的數(shù)表示時(shí)間延遲.55對IBM的日內(nèi)持續(xù)期考慮一個(gè)兩體制的門限持續(xù)期模型門限變量為，門限值的估計(jì)為3.79

擬合的門限WACD（1，1）模型是表示參數(shù)為的標(biāo)準(zhǔn)化韋布爾分布（5.45）上述門限WACD（1,1）模型的標(biāo)準(zhǔn)化新息沒有檢驗(yàn)出非線性565.7價(jià)格變化和持續(xù)期的二元模型

（pricechangeandduration，PCD模型）

第i次價(jià)格發(fā)生變化時(shí)的交易價(jià)格

價(jià)格變化的時(shí)間持續(xù)期

時(shí)間間隔中無價(jià)格變化時(shí)的交易數(shù)量

第i次價(jià)格變化的方向（+1上升；-1下降）

以最小價(jià)位變動(dòng)單位測量的第i次變化的大小

資產(chǎn)在第i次價(jià)格變化的日歷時(shí)間57新的定義下，股票價(jià)格隨時(shí)間的變化為對第i次價(jià)格變化的交易數(shù)據(jù)包括{，，，}（5.46）PCD模型關(guān)心的是對（）的聯(lián)合分析注：1、集中于與價(jià)格變化相聯(lián)系的交易可降低樣本大小2、價(jià)格變化的時(shí)間持續(xù)期中沒有日內(nèi)模式58IBM股票在1990年11月21日的日內(nèi)交易價(jià)格時(shí)間圖59給定的條件下，PCD模型將（）的聯(lián)合分布分解為：（5.47）60①

對價(jià)格變化之間的時(shí)間持續(xù)期（5